高中数学必修二第四章 4.3.2课件
高中数学第4章圆的方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件新人教A版必修2
设点 P(a，b，c)为空间直角坐标系中的点，则
对称轴(或中心或平面) 点 P 的对称点坐标
原点
(－a，－b，－c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy 平面
(a，b，－c)
yOz 平面
(－a，b，c)
xOz 平面
(a，－b，c)
关于谁谁不变，其它变相反
3．空间两点间的距离公式
『规律方法』 确定点(x0，y0，z0)的位置的四种方法 方法一 确定点(x0，y0，z0)的位置，可以通过从原点出发先沿x轴移动|x0|个 单位长度，再沿y轴移动|y0|个单位长度，然后沿z轴移动|z0|个单位长度得到． 注意：沿坐标轴正向还是负向移动由x0，y0，z0的符号决定． 方法二 在x轴上找出点M1(x0,0,0)，过点M1作与x轴垂直的平面α；再在y轴 上 找 出 点 M2(0 ， y0,0) ， 过 点 M2 作 与 y 轴 垂 直 的 平 面 β ； 最 后 在 z 轴 上 找 出 点 M3(0,0，z0)，过点M3作与z轴垂直的平面γ，于是平面α，β，γ交于一点，该点即 所求点(x0，y0，z0)．
平面上任意两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)之间的距离公式|AB|＝ x1－x22＋y1－y22， 那么空间中任意两点 A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样的呢？
1．空间直角坐标系
定义 画法
以空间中两两__垂__直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标 __原__点____，x轴、y轴、z轴叫做_坐__标__轴___.通过每两个坐标轴的平面叫做 _坐__标__平__面_，分别称为xOy平面、yOz平面、__z_O_x____平面
高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
(0,1,1),D1(0,0,1).∴
E(0, 0, 1), F(1 , 1 , 0),G(1,1, 1)
2 22
2
规律技巧:点的空间坐标为该点在坐标轴上的投影在这个坐
标轴上的坐标.
变式训练1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,各棱长均为a,底面 为正方形,PO⊥底面ABCD,建立适当的坐标系,写出各顶点的 坐标.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数 组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ___(_x_,y_,z_)___,其中x叫做点M的___横__坐__标___,y叫做点M的 ___纵__坐__标___,z叫做点M的___竖__坐__标___. 3.空间直角坐标系中的两点间距离公
题型三 两点间距离公式的应用 例3:已知A(1,2,-1),B(2,0,2),在xOz平面内的点M到A与B等距
离,求M点的轨迹. 分析:在xOz平面上点的坐标的特点是y=0,因此点M(x,0,z),代
入两点间距离公式化简得解.
解:设M(x,0,z)为所求轨迹上任一点,则有
(x 1)2 (2)2 (z 1)2 (x 2)2 02 (z 2)2
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①错,②,③,④正确.因此应选C.
答案:C
2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是
()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,-1,4)
D.(2,1,-4)
解析:点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z).
所以(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
整理,得x+3z-1=0. ∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线,其方程为x+3z-1=0. 规律技巧:动点M的轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.轨迹
人教版高中数学 必修2第四章复习 PPT课件 图文
A ' 3, 0, 2
B '(3, 4, 2)
O 0, 0, 0 4y3源自xA (3, 0 , 0 )
C (0,4,0)
B (3, 4, 0)
23
（1）空间的对称
空间点P(x, y, z)关于：
(1)x轴对称的点P1的坐标为_(_x__,__y_,___z_)_；
(2)y轴对称的点P2的坐标为_(___x_,_y_,___z_)_； (3)z轴对称的点P3的坐标为__( __x_,___y_,_z_)_； (4)原点对称的点P2的坐标为_(_ _x __,_ __y_,_ __z_)_.
次方程,利用判别式“Δ”进行判断: Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.
10
题型一 判断直线与圆的位置关系
例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相 离还是相交?
解：该圆的圆心为（2，-1），半径为 2
∴圆心到直线的距离
答d案|
213| 12 12
2.
故直线与圆相切.
(3)当 D2+E2-4F >0 时,方程表示的曲线为圆,
它的圆心坐标为 ( D , E ) ， 22
半径为 1 D2 E2 4F 2
5
题型一 圆的方程的判断 例1:判断下列方程是否表示圆,若是则求圆心与半径 (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2y-1=0; (3)x2+y2+4x+6y+9=0; (4)x2+y2+2y=0. .
6
题型二 求圆的一般方程 例题 求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A､B､C三点坐标代入整理得
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度． 由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可 以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．
高中数学选择性必修修二第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)
4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增． 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√) (2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－错误!.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n.1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. (1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79， 则AB＝q ＝3，即A ＝3B ． 又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________. 70 解析：(方法一)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则错误! 两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a11－q＝－10. ∴S 30＝错误!＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝错误!， 即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝错误!＋错误!×错误!n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？ 解：设该数列的第n 项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝错误!－错误!＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， 从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1， 所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)， 化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，na n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝6－6＋3n 2n .所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 所以1Sn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－错误!.1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11， 由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b1b11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立． 又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8， 而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a3a2＝2，a 1＝a2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝错误!＝错误!＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S2 019S1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )， 即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S2 019S1＝错误!＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫an ＋12，所以an ＋1＋12an ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1.(2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n ＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a11－q当成整体求解． 课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a1－anq1－q ＝1－an ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98， ∴1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q2＋1q3＝q3＋q2＋q ＋1a1q3＝错误!＝错误!＝－错误!. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝错误!，S 奇＝错误!.由题意得错误!＝错误!，∴1＋q ＝3， ∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝n －1＋12n. 6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d .∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋b1＝1，a2＋b2＝1，a3＋b3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )． ∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋错误!＝978. 知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12 D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2＝S 1·S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12. 9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( )A ．a 1＝－1B ．公比q ＝－2C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1.∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S10S5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ，∵S 3＝错误!＝2，S 6＝错误!＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴S10S5＝1－q101－q5＝1＋q 5＝33.11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( )A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C)D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)，∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( )A ．66B ．55C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1.∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1.∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列，首项为1，公比为12， ∴T 5＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝3116. 14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝错误!＝1，∴a 1＝错误!.∴S 10＝错误!＝错误!× 1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3.又因为a 3＝5，所以公差d ＝2.从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3.从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1. 若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1.∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12， 则2S 3＝3a11－q ，S 6＝34a11－q ，S 12－S 6＝316a11－q. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a11－q 2＝3a11－q ·316a11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列(60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误[防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0.[对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a4＝1a3＋1a5.③ 由③得2a4＝a3＋a5a3·a5，∴a 4＝2a3·a5a3＋a5.④ 由①得a 2＝a1＋a32.⑤ 由④⑤代入②，得a 23＝a1＋a32·2a3·a5a3＋a5. ∴a 3＝错误!，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误[防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．[对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0，∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a5a2＝q 3＝27，∴q ＝3， ∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a2－a1b2＝________. 12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a1＝－2＋a2，2a2＝a1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－4，a2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 2＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a2－a1b2＝错误!＝错误!. 易错点3| 忽视对公比q 的讨论[防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝错误!；当公比q ＝1时，S n ＝na 1.[对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an 1－a. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n .解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S3＝4，S6＝36得错误!由②①得1－q61－q3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47. ∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3，∴q ＝a3a2＝1. 9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12. 10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. 11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列，∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋错误!×(－2)＝－n 2＋23n ＝－错误!2＋错误!， ∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，an ＋2an ＝3， 所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋错误!＝31 010－2. 14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4.当q ≠1时，错误!解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5， 故a n ＝4或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，Sn n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得Sn n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n2＋12n －错误!＝2n －错误!； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12， 所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ， 由bn ＋1bn＝错误!＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝错误!＝错误!. 17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a2q＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2×3n －1－n ，∴S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－错误!＝3n －1－错误!. 18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5·3n－2，n≥2，n∈N*.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5n·3n－2，n≥2，n∈N*.T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，①3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×错误!－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.。
4.3.2直线与平面垂直—高中数学湘教版(2019)必修二
13
PE= .
5
Rt△PAE 中,
素养形成
转化与化归思想的应用
典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:AC⊥BD.
分析要证空间直线AC⊥BD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转
∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,
AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.
要点笔记 直线与平面垂直的性质定理主要是用来证明直线与直线平行:
垂直于同一平面的两条直线平行.
何?这两条直线又有什么样的位置关系?
提示 棱AA',BB'所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.
知识点四:空间距离
1.点到平面的距离:过一点S向平面ABC作垂线,垂足为A,则称垂线段SA的
长度为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这
面α所成的角是(
)
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面
ABC所成的角等于
.
答案 (1)A
(2)45°
解析 (1)∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所
1
以cos∠ABO= 2
又 SD=1,∴AD2=SA2+SD2,∴SD⊥SA.
连接 BD(图略),则 BD= 22 + 12 = 5,
∴BD2=SD2+SB2,∴SD⊥SB.
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
人教版高中数学选修二4.3.2等比数列的前n项和公式 (一)课件
243
1
8
27 q
，
243
1 8
8
q ( ) .
即
3
1
又由 q 0 ，得 q
.
3
1 8
27 1 ( )
3 1640
所以
.
S8
1
81
1 ( )
3
n
1
31
a1 (1 q )
（3）把 a1 8 ， q ， S n 代入 Sn
， q 0 ，求 s8 ；
243
1
31
（3）若 a1 8 ， q ， S n ，求 n .
2
2
1
1
解：（1）因为 a1 ， q ，所以
2
2
8
1
1
1
2 2 255
s8
.
1
256
1
2
1
（2）由 a1 27 ， a9
an ，
S2 n Sn an1 an2
a2 n q n (a1 a2
an )，
S3n S2 n a2 n1 a2 n2 a3n q 2 n (a1 a2
S 2 n S n S3 n S 2 n
qn .
所以
Sn
1× ( 1−264 )
64 =
=264
1 −2
−1 > 1.84 × 1019
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
典例解析
【新教材】高中数学课件4.3.2对数的运算法则
3.任何对数均可用常用对数表示,即
lg
logab=lg .
4.任何对数均可用自然对数表示,即
ln
logab= .
ln
微拓展
几个常用推论:
(1)log bn=logab(a>0 且 a≠1,b>0,n≠0);
(2)log
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应
用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变
形要化到最简形式.
变式训练1计算下列各式的值:
有利于化简.
2.对于每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等
式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)与log2(-3)均不存在,不能写
成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).
3.法则(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即
lg 9.125≈0.960 2)
解 设经过x年,这台机器的价值为8万元,则
8=20(1-0.087 5)x,即0.912 5x=0.4,
两边取以 10 为底的对数,得
lg0 .4
x=
lg0 .912 5
=
lg4 -1
lg9 .125-1
所以约经过 10 年这台机器的价值为 8 万元.
=
2lg2 -1
分析利用对数的运算法则进行计算.
解 (1)(方法
人教A版高中数学选择性必修第二册4.3.2第二课时数列求和课件
①－②，得(1－q)Sn＝a1b1＋d
－anbn＋1，化简求出 Sn 即可．
[典例 3] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且 an＝ bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝abn＋n＋12n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
当 n 为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)] ＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2－1＋22n－5＋ n214＋24n＋6＝3n2＋2 7n.
当 n＞5 时，Tn－Sn＝3n2＋2 7n－(n2＋4n)＝n2－2 n＝nn2－1＞0，所以 Tn＞Sn. 综上可知，当 n＞5 时，Tn＞Sn.
(2)证明：由(1)知 an＝2n＋3， 所以 Sn＝n[5＋22n＋3]＝n2＋4n. 当 n 为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)] ＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝ n＋2 1－12＋2n－3＋n－2 1142＋4n＋2＝3n2＋52n－10. 当 n＞5 时，Tn－Sn＝3n2＋52n－10－(n2＋4n)＝n2－32n－10＝n－52n＋2＞ 0，所以 Tn＞Sn.
[方法技巧] 分组转化法求和的常见类型
[提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
[对点练清] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N *.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－n－12＋2 n－1＝n. a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
高中数学 4.3.2空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
点P1（x1,y1,z1）P2（x2,y2,z2）
间的距离公式吗？
请小组合作完成学案上的研究
四人小组讨论完成以下任务
猜想公式 证明猜想 记录过程 交流分享
空间中点P1(X1,Y1,Z1),P2(X2,Y2,Z2)之间的距离
P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
P(x,y,z)与原点间的距离 OP x2 y2 z2
问题1
空间内一点P(x, y, z),如果OP 是定长r， 那么x2 y2 z2 r 2表示什么图形？
问题2.在z轴上求一点P，使点P到两定
点A(2,3,1)，B(5,1,0)距离相等.
变式1.空间一点P到两定点A(2,3,0)， B(5,1,0)距离相等，求其坐标满足的条件.
尝试推广——将其他平面坐标 中的公式推广到空间坐标中
我珍视类比胜于任何别的 东西,它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密,它应 该是最不容忽视的.
——开普勒(J·Kepler)
变式2.空间一点P到两定点A(2,3,1)， B(5,1,0)距离相等，求其坐标满足的条件.
课堂小结 |P1P2|=？
x1 x2
x1 x2 2
x1 x2 2 y1 y2 2
x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
课后作业
回顾体会——空间坐标在解决 问题时与平面坐标的相似性
高中数学第四章定积分4.3.2简单几何体的体积课件1北师大版选修22
0
＝ πa3－π3y3a0＝πa3－3πa3＝23πa3.
题型二 求组合型几何体的体积
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组 合体分开来求体积．
解 解方程yx2＋＝y8－x6y＝>00，， 得yx＝＝42.， 所以 y2＝8x 与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
a
题型一 求简单几何体的体积
【例1】 给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周， 得到一个几何体，求它的体积． [思路探索] 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐 标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下 限，确定被积函数即可求出体积．
解 以正方形的一个顶点为原点，两边
所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的
Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底 面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为V i＝πf2(xi)Δxi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
所求几何体的体积 V＝2π( 8x)2dx＋6π(6－x)2dx
0
2
＝8π2xdx＋π6(x－6)2dx
0
2
＝8π·12x2
20＋π·13x－6362＝16π＋643π＝1132π. 解决组合体的体积问题，关键是对其构造进
行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分
平面直角坐标系，如图 BC：y＝a.则该
人教A版高中数学必修2课件4.3.2空间中点的对称问题课件
2 B．(2,2， 3) 4 D．(2,2， ) 3
解析：∵|EB|＝2|EB1|，
2 4 ∴|EB|＝ ，|BB1|＝ . 3 3
4 又E在B1B上，∴E的坐标为(2,2， ). 3
答案：D.
空间中点的对称问题
【典型例题】 4、已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)两点 ，当|AB|取最小值时，x的值为( ) 8 A．19 B． 7 8 19 C. D.
解析：关于谁对称，谁的坐标不变，其它是相反数， ∴A(－3,1,－4)关于x轴对称的点为(－3,－1,4)． 答案：B
空间中点的对称问题
【典型例题】 3、如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长 为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的 坐标为( )
A．(2,2,1)
1 C．(2,2, ) 3
知识点—— 空间中点的对称问题
空间中点的对称问题
【公式】 1、已知两点的中点坐标： 平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设
Ａ（ x1，y1， z1），Ｂ（ x2，y2， z2），
x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则AB中点的坐标为 ( 2 2 2
2、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 点P（x，y，ｚ）关于坐标原点的对称点为 P1（-x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为 P2 (x，-y，-z)； 点P（x，y，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为 P3(-x，y，-z)
空间中点的对称问题
【变形训练】
解：设正方体的棱长为a.
a a a (1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是 , , . 2 2 2
∵点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．
高中教育数学必修第二册《4.3.2 半角公式》教学课件
答案：54
3．已知 sin α＝－45，π<α<32π，则 sinα2＝________，cosα2＝________.
解析：∵π<α<32π，sin α＝－54，∴cos α＝－35，且2π<α2<34π，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
55.
答案：2
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝sin2x＋2 3sin xcos x＋3cos2x，x∈R， (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间－π6，π3上的值域．
解析：(1)f(x)＝1－c2os 2x＋ 3sin 2x＋31＋c2os 2x＝2＋ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6＋2，
＋
1＋2cos2α2－1－ 1－1－2sin2α2
sin2α2＋cos2α2－2sinα2cosα2
＝
1＋2cos2α2－1＋
1－1－2sin2α2
sinα2＋cosα22 2cosα2－sinα2
＋
2sicnoα2s－α2＋cossα2in2α2因
为
π<α<32π，所以π2<α2<34π，所以
α
α
∵tan α＝－34，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
5 5.
答案：A
2．已知 tanα2＝13，则 cos α＝________.
解析：∵tanα2＝±
1－cos 1＋cos
αα，∴tan2α2＝11－＋ccooss
αα，
∴11－＋ccooss αα＝91，解得 cos α＝45.
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栏 目
的距离公式吗？
开 关
答 如 图 ， 在 Rt△OMP 中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， |OP| ＝
|OM|2＋|PM|2＝ x2＋y2＋z2.
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4.3.2
探究点二 空间两点间的距离公式
导引 在空间中，设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求点
4.3.2
跟踪训练 1 在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1， －3,1)的距离相等． 本 解 设点 M 的坐标是(0,0，z)．依题意，
课
时 得 0－12＋0＋z－22＝ 0－12＋0＋32＋z－12.
栏
目 解得 z＝－3.即 M 点坐标为(0,0，－3)．
开 关
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4.3.2
例 2 已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD⊥
平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若
CM＝BN＝a(0＜a＜ 2)．
(1)求 MN 的长；
本 (2)当 a 为何值时，MN 的长最小．
时 栏
的距离公式|AB|＝ x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两
目 开
点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？
关
本节我们就来探讨这个问题．
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4.3.2
探究点一 空间中点 P 与坐标原点的距离公式
问题 1 在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A(x,0,0)，B(0，
4.3.2
欢迎来到数学课堂
4.3.2
4.3.2 空间两点间的距离公式
[学习要求]
1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程；
本 2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．
课
时
[学法指导]
栏 目
通过由平面上两点间的距离公式，猜想空间两点距离公式，
开 关
然后由空间特殊的两点距离向一般的两点距离过渡，从而推
导出空间两点间距离公式，经历从易到难，从特殊到一般的
认识过程.
填一填·知识要点、记下疑难点
4.3.2
1．在空间直角坐标系中，给定两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
本 课
特别地：设点 A(x，y，z)，则 A 点到原点的距离为：|OA|＝
答 如图，在 Rt△P1HP2 中，|P1H|＝|MN|
本 课
＝ x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2| ＝ |P1H|2＋|HP2|2
时 栏
＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
目
开
关
小结 空间中点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2| ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
栏
目
开 关
又|AN|＝2|CN|，所以 NF 平行 AB，所以|NF|＝|FC|＝13|AB|＝a3，
同理|MF|＝23|CC′|＝23a，
因此，得点 N 的坐标为a3，23a，0，点 M 的坐标为a3，a，23a，
于是|MN|＝
a3－a32＋23a－a2＋0－23a2＝
y,0)，C(0,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？
本
答 |OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|.
课
时 问题 2 在空，
栏 目
z)，C(x,0，z)，与坐标原点 O 的距离分别是什么？
开 关
答 |OA|＝ x2＋y2，|OB|＝ y2＋z2，|OC|＝ x2＋z2.
P1、P2 之间的距离|P1P2|?
问题 1 设点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在 xOy 平面上的射影分
本 课
别为 M，N.那么 M，N 的坐标是什么？点 M、N 之间的距离
时 栏
如何？
目 开
答 M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
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探究点三 空间中两点间的距离公式的应用 例 1 如图，正方体 OABC－D′A′B′C′的棱长 为 a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求 MN 的长．
4.3.2
本 解 过 M 作 MF 垂直 BC 于 F，连接 NF，显然 MF
课 时
因垂为直|平BM面|＝A2B|CMOC，′所|，以所M以F|B垂F直|＝N2F|F，C|，
5 3 a.
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4.3.2
小结 在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些
本
性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐
课 时
标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间
栏
中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不
目
开
适用．
关
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关 问题 2 若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1，P2 之间的距离如
何？若直线 P1P2 平行于 xOy 平面，则点 P1、P2 之间的距离如何？
答 |P1P2|＝|z1－z2|；|P1P2|＝|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
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4.3.2
问题 3 若直线 P1P2 是 xOy 平面的一条斜线，则点 P1，P2 的距 离如何计算？
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4.3.2
问题 3 如图，在空间直角坐标系中，设
点 P(x，y，z)在 xOy 平面上的射影为 M，
则点 M 的坐标是什么？|PM|，|OM|的值
分别是什么？
本
答 M(x，y,0)，|PM|＝|z|，|OM|＝ x2＋y2.
课 时
问题 4 基于上述分析，你能求出点 P(x，y，z)与坐标原点 O
时 栏
x2＋y2＋z2 .
目 开
2．若点 P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)，
关
则|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22 .
3．若点 P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)，
则|P1P2|＝ |x1－x2| .
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4.3.2
[问题情境]
本 课
我们已经学习了平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间