2020年2020届江苏省宝应县安宜高级中学2017级高三高考冲刺卷数学试卷及答案(含附加题)
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十四) Word版含解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,直线AB 与圆O 相切于点B ,直线AO 交圆O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C ,且AD =3DC ,BC =2,求圆O 的直径.B. (选修4-2:矩阵与变换)设M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002,N =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001,试求曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+12t ,y =32t(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.设P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.D. (选修4-5:不等式选讲)已知函数f(x)=3x+6,g(x)=14-x,若存在实数x使f(x)+g(x)>a成立,求实数a 的取值范围.【必做题】第22、23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2AD=2,E为AB的中点,F为D1E上的一点,D1F=2FE.(1) 证明:平面DFC⊥平面D1EC;(2) 求二面角ADFC的大小.23. 在杨辉三角形中,从第3行开始,除1以外,其他每一个数值是它上面的二个数值之和,这三角形数阵开头几行如下图所示.(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行,且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5?若存在,试求出是第几行;若不存在,请说明理由;(2) 已知n,r为正整数,且n≥r+3.求证:任何四个相邻的组合数C r n,C r+1n,C r+2n ,C r+3n不能构成等差数列.(十四)21. A. 解:因为DE 是圆O 的直径,则∠BED +∠EDB =90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD +∠EDB =90°.(3分)又AB 切圆O 于点B ,得∠ABD =∠BED ,所以∠CBD =∠DBA.(5分)即BD 平分∠CBA ,则BA BC =AD CD=3. 又BC =2,从而AB =32,所以AC =AB 2-BC 2=4,所以AD =3.(8分)由切割线定理得AB 2=AD·AE ,即AE =AB 2AD =6, 故DE =AE -AD =3,即圆O 的直径为3.(10分)B. 解:MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002,(4分) 设(x ,y)是曲线y =sinx 上的任意一点,在矩阵MN 变换下对应的点为(x′,y ′). 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,(6分) 所以x′=12x ,y ′=2y ,则x =2x′,y =12y ′,(8分) 代入y =sinx ,得12y ′=sin2x ′,即y′=2sin2x ′. 即曲线y =sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y =2sin2x.(10分)C. 解:由ρ=23sin θ,得ρ2=23ρsin θ,从而有x 2+y 2=23y ,(3分)所以x 2+(y -3)2=3.(5分)设P ⎝⎛⎭⎫3+12t ,32t ,C(0,3), PC =⎝⎛⎭⎫3+12t 2+⎝⎛⎭⎫32t -32=t 2+12.(8分) 故当t =0时,PC 取得最小值,此时P 点的坐标为(3,0).(10分)D. 解:存在实数x 使f(x)+g(x)>a 成立,等价于f(x)+g(x)的最大值大于a ,(2分)因为f(x)+g(x)=3x +6+14-x =3×x +2+1×14-x ,(4分)由柯西不等式:(3×x +2+1×14-x)2≤(3+1)(x +2+14-x)=64,(7分) 所以f(x)+g(x)=3x +6+14-x ≤8,当且仅当x =10时取“=”,(9分) 故常数a 的取值范围是(-∞,8).(10分)22. (1) 证明:以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D 1(0,0,2).∵ E 为AB 的中点,∴ E 点坐标为E(1,1,0).∵ D 1F =2FE ,∴ D 1F →=23D 1E →=23(1,1,-2)=⎝⎛⎭⎫23,23,-43, DF →=DD 1→+D 1F →=(0,0,2)+⎝⎛⎭⎫23,23,-43=⎝⎛⎭⎫23,23,23.(2分) 设n =(x ,y ,z)是平面DFC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →=0,n ·DC →=0,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x +23y +23z =0,2y =0.取x =1得平面FDC 的一个法向量n =(1,0,-1).(3分)设p =(x ,y ,z)是平面ED 1C 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →=0,p ·D 1C →=0,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x +23y -43z =0,2y -2z =0.取y =1得平面D 1EC 的一个法向量p =(1,1,1).(4分)∵ n ·p =(1,0,-1)·(1,1,1)=0,∴ 平面DFC ⊥平面D 1EC.(5分)(2) 解:设q =(x ,y ,z)是平面ADF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →=0,q ·DA →=0,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧23x +23y +23z =0,x =0.取y =1得平面ADF 的一个法向量q =(0,1,-1).(7分) 设二面角ADFC 的平面角为θ,由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2,π, 则cos θ=-⎪⎪⎪⎪n·q |n||q|=-0+0+12×2=-12,(9分) ∴ 二面角ADFC 的大小为120°.(10分)23. (1) 解:杨辉三角形的第n 行由二项式系数C k n ,k =0,1,2,…,n 组成.如果第n 行中有C k -1n C k n =k n -k +1=34,C k n C k +1n =k +1n -k =45, 那么3n -7k =-3,4n -9k =5,(2分)解这个联立方程组,得k =27,n =62.(3分)即第62行有三个相邻的数C 2662,C 2762,C 2862的比为3∶4∶5.(4分)(2) 证明:若有n ,r(n ≥r +3),使得C r n ,C r +1n ,C r +2n ,C r +3n 成等差数列,则2C r +1n =C r n +C r +2n ,2C r +2n =C r +1n +C r +3n ,即2·n !(r +1)!(n -r -1)!=n !r !(n -r )!+n !(r +2)!(n -r -2)!,2·n !(r +2)!(n -r -2)!=n !(r +1)!(n -r -1)!+n !(r +3)!(n -r -3)!.(6分)所以有2(r +1)(n -r -1)=1(n -r -1)(n -r )+1(r +1)(r +2), 2(r +2)(n -r -2)=1(n -r -2)(n -r -1)+1(r +2)(r +3), 经整理得到n 2-(4r +5)n +4r(r +2)+2=0,n 2-(4r +9)n +4(r +1)(r +3)+2=0. 两式相减可得n =2r +3,于是C r 2r +3,C r +12r +3,C r +22r +3,C r +32r +3成等差数列,(8分)而由二项式系数的性质可知C r 2r +3=C r +32r +3<C r +12r +3=C r +22r +3,这与等差数列性质矛盾,从而要证明的结论成立.(10分)。
江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷试卷(含答案)
江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷班级 姓名 学号 成绩 一、填空题1、已知集合{}0,1,2,7A =,{}7,B y y x x A ==∈,则A B =I . 2、已知复数3iz =+ (i 为虚数单位),复数的共轭复数为z ,则z z ⋅= . 3、一组数据共40个,分为6组,第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6,第5组的频率 为0.1,则第6组的频数为 .4、阅读下列程序,输出的结果S 的值为 .(第4题图) (第11题图)5、某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们 在同一个食堂用餐的概率为 .6、已知函数()2cos(),[,]323f x x x πππ=+∈-,则函数()f x 的值域是 .7、已知函数ln(4)y x =-的定义域为A ,集合{}B x x a =>,若x A ∈是x B ∈的充分 不必要条件,则实数a 的取值范围为 .8、已知实数,x y 满足2035000x y x y x y -⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥,则2z x y =+的最大值为 .9、若一圆锥的底面半径为3,体积为12π,则该圆锥的侧面积为 . 10、在ABC △中,若tan tan 1A B =,则sin()3C π+= .11、已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1CC 的中点,则三棱锥0S ←For I From 1 To 10 Step 3S S I ←+ End For Pr int S1A ABM -的体积为 .12、已知正实数,a b 满足47a b +=,则1412a b+++的最小值为 . 13、已知函数21,1,()(),1,a x x f x x a x ⎧-+=⎨->⎩≤函数()2()g x f x =-,若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点,则实数a 的取值范围为 .14、在平面直角坐标系xOy 中,圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:(2)(23)M x y -+-4=相交于,A B 两点,若对于直线AB 上任意一点P ,均有0PO PM ⋅>u u u r u u u u r成立,则r 的取值范围为 .二、解答题15、(本小题满分14分:6分+8分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,AB CD ∥,1AB BC ⊥,且1AA AB =.(1)求证:AB ∥平面11D CCC ; (2)求证:1AB ⊥平面1A BC .(第15题图) 16、(本小题满分14分:6分+8分)在ABC △中,已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且tan 2B =,tan 3C =. (1)求角A 的大小; (2)若3c =,求边b 的长.A 1B 1C 1CD A B D 117、(本小题满分14分:6分+8分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,PA ⊥平面ABCD ,M 是AD 中点,N 是PC 中点.(1)求证:MN ∥平面PAB ;(2)若平面PMC ⊥平面PAD ,求证:CM AD ⊥.(第17题图) 18、(本小题满分16分:6分+10分)将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分. (1)在图甲的方式下,剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面,求该圆锥的母线长及底面半径;(2)在图乙的方式下,剩余部分恰能完全覆盖一个长方体的表面,求长方体体积的最大值.(第18题图)19、(本小题满分16分:6分+10分)CABDMPN甲乙如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2,过右焦点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点.当直线l 与x 轴垂直时,AB 长为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上存在一点P ,使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,求直线l 的斜率.20、(本小题满分16分:4分+6分+6分)已知函数21()22ln 2f x ax x x =-++,R a ∈. (1)当3-=a 时,求函数()f x 的单调增区间;(2)当1a ≥时,对于任意12,(0,1]x x ∈,且12x x ≠都有1212()()x x f x f x -<-,求实数a 的取值范围;(3)若函数()f x 的图象始终在直线23+-=x y 的下方,求实数a 的取值范围.江苏省宝应县高中2017-2018学年度高三数学月考试卷参考答案一、填空题1、{}0,7;2、14;3、8;4、22;5、14;6、[1,2]-;7、(,4)-∞;8、4;9、15π; 10、12;11、16;12、2516;13、(2,3];14、(25,6).二、解答题15、(1)证明:在四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,又因为AB ⊄平面11D DCC ,CD ⊂平面11D DCC ,所以//AB 平面11D DCC .6分 (2)证明:在四棱柱1111ABCD A B C D -中,四边形11A ABB 为平行四边形,又1AA AB =,故四边形11A ABB 为菱形.从而11AB A B ⊥.……………………………… 9分 又1AB BC ⊥,而1A B I BC B =,1 A B ,BC ⊂平面1A BC ,所以1AB ⊥平面1A BC . …………………………………………………… 14分16、解:(1)因为tan 2B =,tan 3C =,πA B C ++=,所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+ tan tan 1tan tan B C B C+=--231123+=-=-⨯,…4分 又(0,π)A ∈,所以π4A =.……………………………………………………6分 (2)因为sin tan 2cos BB B==,且22sin cos 1B B +=, 又(0,π)B ∈,所以25sin 5B =, 同理可得,310sin 10C =. …………10分 由正弦定理,得253sin 522sin 310c B b C ==14分 17、证明:(1)取PB 中点E ,连EA ,EN ,PBC ∆中,//EN BC 且12EN BC =, 又12AM AD =,//AD BC ,AD BC =得//EN =AM ,四边形ENMA 是平行四边形,得//MN AE ,MN ⊄平面PAB ,AE ⊂平面PAB ,//MN ∴平面PAB (2)在平面PAD 内过点A 作直线PM 的垂线,垂足为H ,Q 平面PMC ⊥平面PAD ,平面PMC I 平面PAD PM =,AH PM ⊥,AH ⊂平面PADAH ∴⊥平面PMC ,CM ⊂平面PMC ,AH ∴⊥CM ,Q PA ⊥平面ABCD ,CM ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥CM , Q PA AH A =I ,PA 、AH ⊂平面PAD ,CM ⊥平面PAD ,AD ⊂Q 平面PAD ,CM AD ∴⊥.18、解:(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为l r ,,则12π2π422l r l r r ⎧⨯=⎪⎨⎪++=⎩,,…… 4分解得522232028.r l ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, …… 6分(2)设被完全覆盖的长方体底面边长为x ,宽为y ,高为z , 则1221x z y z +=⎧⎨+=⎩,,解得11.2z x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩, …… 8分 则长方体的体积: ()()321311222V xyz x x x x x x ==--=-+-,1 1.2x << …… 10分所以21()332V x x x '=-+-.令()0V x '=得,3126x =+或3126x =-(舍去).列表: …… 12分所以,当3126x =+时,max 336V =. …… 14分答:(1)圆锥的母线长及底面半径分别为522-分米,2028-分米.x ()311226+, 3126+ ()31126+, ()V x '+ 0 -()V x ↗ 极大值 ↘z y 乙x2z2z y x zy yx 甲lx r x(2立方分米. …… 16分19、解:(1)由题意可知1c =,当l 与x 轴垂直时,22b AB a==……3分 因为222,a b c =+所以a =22b = 故椭圆的标准方程是:22132x y +=. ……6分(2)设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程:(1)y k x =-,设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)P x y . 由221,32(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2222(32)6360.k x k x k +-+-= ……8分 则2122632k x x k +=+,21223632k x x k -=+. (*)因OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ,则312312x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,代入椭圆方程有221212()()132x x y y +++=,又2211132x y +=,2222132x y +=,化简得12122330x x y y ++=,即2221212(32)3()330k x x k x x k +-+++=, ……12分将(*)代入得22222363633032k k k k k ⨯--++=+,22k =,即k =故直线l的斜率为 ……16分 20、解:(1)当3-=a 时,xx x f 123)(+--=', 令0)(>'x f ,解出:310<<x ,所以()f x 的单调增区间为⎪⎭⎫⎝⎛31,0…………4分 (2) 当1a ≥时,22'11()121()a x ax x a a f x x x --+-+==, 1(0,1],(0,1]x a∈∈Q ∴2111()110a x a a a --+-≥≥,得到'()0f x ≥,即()f x 在(0,1]上单调递增.对于任意12,(0,1]x x ∈,不放设12x x <,则有12()()f x f x <,且21x x >代入不等式1212|||()()|x x f x f x -<-⇔2121()()f x f x x x ->-⇔2211()()f x x f x x ->-,引入新函数:21()()()32ln 2h x f x x f x ax x x =-==-++,……………6分 2'131()3ax x h x ax x x-+=-+=,所以问题转化为'()0,(0,1]h x x ≥∈上恒成立⇔2310ax x -+≥⇔231x a x -≥⇔max 231()x a x-≥……………8分 令231()x l x x -=,通过求导或配方都可以: '323()x l x x -=,当'20,()03x l x <<>;'21,()03x l x <<<, 所以当max 229,()()334x l x l ===,所以94a ≥.……………10分 (3)由题可得23ln 22212+-<++-x x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 即0ln 212<++x x ax 在),0(+∞∈x 上恒成立 整理可得2ln 21x x x a +>-在),0(+∞∈x 上恒成立……………11分令2ln )(x x x x h +=3ln 21)(x x x x h --='∴……………12分 ()()()010)(,ln 21=∞+--=g x g x x x g 单调递减,,在令'……………14分所以12a ->,即2a <-……………16分。
2020届江苏省“百校大联考”2017级高三上学期第二次考试数学试卷及解析
2020届江苏省“百校大联考”2017级高三上学期第二次考试数学试卷★祝考试顺利★一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+,,若{2}A B =I ,则实数a 的值为____________.【答案】2【解析】【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.【详解】解:由{}2A B ⋂=,得212a a =+=或经检验,当2a =时,}{2A B ⋂=,符合题意,当12a +=时,}{1,2A B ⋂=,不符合题意,故a 的值为2.2.已知函数()f x =______.【答案】(1,2] .【解析】【分析】根据函数的解析式有意义,得到不等式组0.5log (1)010x x -≥⎧⎨->⎩,即可求解,得到答案.【详解】由题意,要使得函数()f x =,则满足0.5log (1)010x x -≥⎧⎨->⎩, 解得12x <≤,故函数定义域为(1,2].3.“实数1m =-”是“向量(,1)a m =r 与向量(2,3)b m =-r 平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) .【答案】充分必要【解析】【分析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解.【详解】解:当1m =-时,(1,1),(3,3)a b =-=-r r ,即3b a =r r ,所以a b r r P ;当a b r r P 时,31(2)0m m ⨯-⨯-=,解得1m =-,故“1m =-”是“a b r r P ”的充分必要条件.4.已知幂函数22()m m f x x -=在区间(0,)+∞上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________.【答案】1【解析】【分析】由幂函数的单调性可得:220m m -<,运算可得解.【详解】解:由题意,得220m m -<,解得02m <<,故整数m 的值为1.5.已知2sin()sin()2p a p a -=+ ,则tan()πα-的值是____________. 【答案】2-【解析】【分析】由诱导公式可得tan 2α=,再运算可得解.【详解】解:由题意可得2cos sin αα-=-,所以tan 2α=,故tan()tan 2παα-=-=-.6.设向量,,a b c r r r 均为单位向量,且|||a b c +=r r r ,则向量,a b r r 的夹角等于____________.【答案】90o。
2020年江苏省扬州市宝应县中学高三数学文模拟试题含解析
2020年江苏省扬州市宝应县中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列说法正确的是命题都是假命题,则命题“”为真命题.,函数都不是奇函数.函数的图像关于对称.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到参考答案:C2. 将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2.考察每行中五个数之和,记这五个和的最小值为m,则m的最大值为A.8B.9C.10D.11参考答案:C3. 对于任意两个实数a,b定义运算“”如下:则函数的最大值为 ( )A、25B、16C、9D、4参考答案:C略4. 已知sin2α=-,α∈(-,0),则sinα+cosα=A.- B.C.- D.参考答案:B5. 执行如图所示的程序框图,则输出的S值是( )A.﹣1 B.C.D.4参考答案:D【考点】程序框图.【专题】图表型;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=9时不满足条件i<9,退出循环,输出S的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=4,i=1满足条件i<9,S=﹣1,i=2满足条件i<9,S=,i=3满足条件i<9,S=,i=4满足条件i<9,S=4,i=5满足条件i<9,S=﹣1,i=6满足条件i<9,S=,i=7满足条件i<9,S=,i=8满足条件i<9,S=4,i=9不满足条件i<9,退出循环,输出S的值为4.故选:D.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的S,i的值是解题的关键,属于基础题.6. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A. B. C. D.参考答案:A略7. 已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为()A. B.1 C. D.2参考答案:B8. 已知为单位向量,当的夹角为时,在上的投影为()A. B. C. D.参考答案:D略9. 已知命题:若,则函数是偶函数.下列四种说法:①命题是真命题;②命题的逆命题是真命题;③命题的否命题是真命题;④命题的逆否命题是真命题。
2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (9)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.过点(12)A ,的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为() A .10x y -+=B .30x y +-=C .20x y -=或+30x y -=D .20x y -=或10x y -+=2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .-10B .6C .14D .183.我国的刺绣有着悠久的历史,如图,(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含()f n 个小正方形,则()f n 的表达式为()A .()21f n n =-B .2()2f n n =C .2()22f n n n =-D .2()221f n n n =-+4.将5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少1个球,至多2个球,则不同的放法种数有( ) A .30种B .90种C .180种D .270种5.如果复数z 满足21z i -=,i 为虚数单位,那么1z i ++的最小值是() A .101- B .21-C .101+D .21+6.若二面角为56π,直线m α⊥,直线n β⊂,则直线,m n 所成角的取值范围是() A .(0,)2πB .[,]62ππC .[,]32ππD .[,]63ππ7.已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +=>⎧⎨⎩≤,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是()A .4B .3C .2D .18.数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当nS 取最大值时n 为() A .11B .12C .11或13D .12或139.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=(1+cos 22n π)a n +sin 22n π,则该数列的前10项和为( ) A .2101 B .1067 C .1012D .201210.已知()10a a +≠,若函数()()2log 1f x ax =-在()3,2--上为减函数,且函数()14,21log ,2xax g x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩在R 上有最大值,则a 的取值范围为()A.122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B .11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.10,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪⎢ ⎥⎪⎝⎦⎣⎭ 11.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=r r r r r r 点Q满足)OQ a b =+u u u r rr .曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤u u u r rr ,区域{0,}P r PQ R r R Ω=≤≤<u u u r .若C ⋂Ω为两段分离的曲线,则()A .13r R <<<B .13r R <<≤C .13r R ≤<<D .13r R <<<12.若集合012|),{(},2,1,0{≥+-==y x y x N M 且M y x y x ∈≤--,,012},则N 中元素的个数为 A .9 B .6C .4D .2二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年江苏省扬州市宝应县中学高三数学文测试题含解析
2020年江苏省扬州市宝应县中学高三数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知集合,则A. B. C. D.参考答案:C2. 如图所示的方格纸中有定点,则()A.B.C.D.参考答案:C3. 函数的定义域为().参考答案:B略4. 设复数满足,则复数的共轭复数是().A. B. C. D.参考答案:B略5. 已知,,且与垂直,则与的夹角是()A. B.C.D.参考答案:D6. 函数,,设函数,且函数的零点均在区间内,则的最小值为()(A)8 (B)9 (C)10(D)11参考答案:C略7. 使函数是奇函数,且在上是减函数的θ的一个值是()A.B.C.D.参考答案:B【考点】正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性.【专题】计算题.【分析】利用两角和正弦公式化简函数的解析式为2sin(2x+θ+),由于它是奇函数,故θ+=kπ,k∈z,当k为奇数时,f(x)=﹣2sin2x,满足在上是减函数,此时,θ=2nπ﹣,n∈z,当k为偶数时,经检验不满足条件.【解答】解:∵函数=2sin(2x+θ+)是奇函数,故θ+=kπ,k∈Z,θ=kπ﹣.当k为奇数时,令k=2n﹣1,f(x)=﹣2sin2x,满足在上是减函数,此时,θ=2nπ﹣,n∈Z,选项B满足条件.当k为偶数时,令k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在上是减函数.综上,只有选项B满足条件.故选 B.【点评】本题考查两角和正弦公式,正弦函数的单调性,奇偶性,体现了分类讨论的数学思想,化简函数的解析式是解题的突破口.8. 下列有关命题说法正确的是A. 命题p:“”,则 p是真命题B.的必要不充分条件C.命题的否定是:“”D.“”是“上为增函数”的充要条件参考答案:DA项的命题中若取时,则,可见,命题是真命题,因此A项说法错误;B项的方程的根是6与-1,因此,是成立的充分不必要条件,B项说法错误;C项的特称命题的否定是“” ,C项说法错误;对于对数函数当底数大于1时在它的定义域上是单调递增的,因此,D项是正确的。
江苏省扬州市宝应县2020-2021学年高三上学期初调研测试数学试题(wd无答案)
江苏省扬州市宝应县2020-2021学年高三上学期初调研测试数学试题一、单选题(★★) 1. 已知集合,,则集合中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0(★★★) 2. 有四个关于三角函数的命题:;;;;其中真命题是()A.B.C.D.(★★★) 3. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为 O),地球上一点 A的纬度是指 OA与地球赤道所在平面所成角,点 A处的水平面是指过点 A且与 OA垂直的平面.在点 A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点 A处的纬度为北纬43°,则晷针与点 A处的水平面所成角为()A.137°B.47°C.43°D.21.5°(★★★) 4. 函数的图象大致为()A.B.C.D.(★★) 5. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(★★) 6. 从编号分别为的八个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为()A.B.C.D.(★★★) 7. 已知函数在区间上有最小值,则函数在区间上一定()A.是减函数B.是增函数C.有最小值D.有最大值(★★★★) 8. 已知函数(,且)在上单调递增,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是()A.B.C.D.二、多选题(★★★)9. 设集合,,则下列关系正确的是()A.B.C.D.(★★) 10. 已知两个命题:对任意,总有;:“ ”是“ ”的充分不必要条件.则下列说法正确的是()A.为真命题B.为假命题C.为真命题D.为假命题(★★★) 11. 如图,在三棱锥 C- ABD中,△ ABD与△ CBD是全等的等腰直角三角形, O为斜边 BD的中点, AB=4,二面角 A- BD- C的大小为60°,以下结论正确的是()A.AC⊥BDB.△AOC为正三角形C.四面体A-BCD外接球的表面积为32πD.(★★★★) 12. 在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔( L. E. J. Brouwer),简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是()A.B.C.D.三、填空题(★★) 13. 已知函数,则的值域是________.(★★★) 14. 若函数在区间上是单调增函数,则实数的取值范围是_________.(★★) 15. 四棱锥 P- ABCD的底面是一个正方形,PA⊥平面 ABCD,, E是棱 PA 的中点,则异面直线 BE与 AC所成角的余弦值是_________(★★★) 16. 设,则的最小值为_______.四、解答题(★★★) 17. 已知集合,.(1)当时,求 A B;(2)设,,若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围.(★★★★) 18. 已知函数.(1)当时,求函数的值域;(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.(★★★) 19. 设函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的最大值为,正实数满足,求的最小值.(★★) 20. 如图,在四面体 ABCD中,△ ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面 ABD,点 M为棱 AB的中点, AB=2, AD= ,∠ BAD=90°,AD⊥ BC.(1)求异面直线 BC与 MD所成角的余弦值;(2)求直线 CD与平面 ABD所成角的余弦值.(★★★) 21. (本小题满分12分)某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:)进行测量,得出这批钢管的直径服从正态分布.(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数的分布列和数学期望.(参考数据:若,则;.(★★★★) 22. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求证:存在唯一的,使得曲线在点处的切线的斜率为;(3)比较与的大小,并加以证明.。
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案
2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23},A={2.3},则U-A={-1.0.1.4.5.23}。
2.已知复数z=a+bi是纯虚数,则a=0.3.若输出y的值为4,则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时,视角θ最大。
13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中,已知$a$,$b$,$c$分别为角$A$,$B$,$C$所对边的长度,且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。
1)求角$C$的值;2)若$a=4b$,求$\sin B$的值。
16.如图,在四棱锥$P-ABCD$中,底面$ABCD$是平行四边形,平面$BPC$⊥平面$DPC$,$BP=BC$,$E$,$F$分别是$PC$,$AD$的中点。
证明:(1)$BE\perp CD$;(2)$EF\parallel$平面$PAB$。
17.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知椭圆$C$:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,经过点$M(0,1)$。
1)求椭圆$C$的方程;2)过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$,$Q$两点,过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。
若$\triangle PQN$的面积为$3$,求直线$l_1$的斜率。
18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。
现用一张长$2$米,宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面,裁剪方法如下:分别在边$AB$,$AD$上取点$E$,$F$,将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处,点$A'$落在牛皮纸上,沿$A'E$,$A'F$裁剪并展开,得到风筝面$AEA'F$,如图$1$。
专题07 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(江苏卷)(解析版)
数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解析题(第15题~第20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将答题卡交回.2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作答一律无效. 4.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式:球体的体积公式:V =334R π,其中为球体的半径.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合{1,2,3}A =-,{|23}B x x =-<<,则A B =I __________.【答案】{}12-,【解析】因为集合{}1,2,3A =-,{}23B x x =-<<,所以由交集的定义可得{}12A B ⋂=-,, 故答案为{}12-,2.已知复数z 满足13iz i =+(i 为虚数单位),则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】22133331i i i i z i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为:3i +3.下图是一个算法流程图,则输出S 的值是_______.【答案】25 【解析】S 的初值为0,n 的初值为1,满足进行循环的条件,经过第一次循环得到的结果为S =1,n =3,满足进行循环的条件, 经过第二次循环得到的结果为S =4,n =5,满足进行循环的条件, 经过第三次循环得到的结果为S =9,n =7,满足进行循环的条件, 经过第四次循环得到的结果为S =16,n =9,满足进行循环的条件, 经过第五次循环得到的结果为S =25,n =11,不满足进行循环的条件, 退出循环,故输出的S 值为25 故答案为:25 4.函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为_________________________ 【答案】(-1,2) . 【解析】由1020x x +⎧⎨-⎩>>,解得﹣1<x <2.∴函数f (x )2x-+ln (x+1)的定义域为(﹣1,2).故答案为:(﹣1,2).5.已知一组数据7、9、8、11、10、9,那么这组数据的平均数为__________. 【答案】9 【解析】由题意可知,数据7、9、8、11、10、9的平均数为7981110996+++++=.故答案为:9.6.从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务,则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________. 【答案】23【解析】将2名男同学分别记为,x y ,1名女同学分别记为a .所有可能情况有:{},x y ,{},x a ,{},y a ,共3种.合题意的有{},x a ,{},y a ,2种.所以23p =. 故答案为:237.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .【答案】223144x y -=【解析】 由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为223144x y -=.8.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,73673S S -=,则5a =__________. 【答案】13 【解析】设2n S an bn =+,则nS an b n=+,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,设其公差是d ,其中111,1a S == 由73673S S -=知,346,2d d == 所以()33111222n n n n S =+-⨯=-553157,35522S S =⨯-==,4431114,224222S S =⨯-== 554352213a S S =-=-= 故答案为:139.已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上,且2AB BC ==,2AC =,若该三棱锥体积的最大值为43,则这个球的表面积为__________. 【答案】28916π【解析】设ABC V 的外接圆的半径为r , 因为2AB BC ==,2AC =,所以222AB BC AC +=,AB BC ⊥.112ABC S AB BC =⨯⨯=V .设D 到平面ABC 的距离为h , 因为三棱锥体积的最大值为43,即max max 14133V h =⨯⨯= 所以max 4h =.设球体的半径为R ,则222(4)1R R -+=,解得178R =. 221728944()816S R πππ==⨯=.故答案为:28916π10.若函数f (x )=﹣x ﹣cos2x+m (sinx ﹣cosx )在(﹣∞,+∞)上单调递减,则m 的取值范围是____________. 【答案】[,]【解析】函数f (x )=﹣x ﹣cos2x +m (sin x ﹣cos x ),则f ′(x )=﹣+sin2x +m (sin x +cos x ),令sin x +cos x =t ,()则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1,因为f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递减,则h (t )=+ m t -1≤0在t ∈[,]恒成立.可得,即解得:,故答案为:[,].11.若函数()21x f x e mx =-+的图象为曲线C ,若曲线C 存在与直线1ey x =平行的切线,则实数m 的取值范围为__________. 【答案】1,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭【解析】()2x f x e m '=-,若曲线C 存在与直线1y x e=平行的切线, 即12xe m e -=有解,所以12xm e e =-,因为0x e >,所以1,m e ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.12.已知1AB AC ==u u u r u u u r ,AB u u u r 与AC u u u r 所成角为60︒,点P 满足1AP AC -≤u u u r u u u r ,若AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,则x y+的最大值为______. 【答案】231+ 【解析】由题,如图建系,()0,0A ,()10B ,,13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则()1,0AB =u u ur ,13,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,因为1AP AC CP -=≤u u u r u u u r u u u r,则点P 在以点C 为圆心,半径为1的圆内(包括边界),则设1cos sin 2P θθ⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭, 因为AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以11cos 22sin x y y θθ⎧+=+⎪⎪=,所以()cos 1133x y θθθϕ+=++=++, 因为R θ∈,所以()max sin 1θϕ+=, 所以x y +的最大值为1+, 故答案为:1+13.若(,)612ππθ∈-,且212sin 25θθ+=-,则tan(2)12πθ+=__________.【答案】17【解析】212sin 1cos212sin 2?65πθθθθθ⎛⎫+=-=+-=- ⎪⎝⎭,3sin 2?65πθ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭.又θ2θ061262ππππ-∴--,,,,òò4cos 2θ65π∴-=,3tan 2θ64π-=-, tan 2tan 2θ1264πππθ⎛⎫⎡⎤∴+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=314314+---()()=17,故答案为17.14.函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(1)(1)f x f x +=-+.当01x <≤时,2020()log f x x =-,则1()(2019)(2020)2020f f f ++=__________. 【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,且(0)0f =.又因为(1)(1)f x f x +=-+,所以(2)()f x f x +=-,所以(2)()f x f x +=-, 可得(4)()f x f x +=,所以奇函数()f x 的周期为4, 所以202011()(2019)(2020)log (1)(0)20202020f f f f f ++=-+-+ 20201(1)(0)1log 101f f =-+=++=.故答案为:1.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解析应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内)15.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求角B 的大小;(2)若2a =,3c =,求()sin A C -的值. 【答案】(1)3π (2)53【解析】(1)2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ,∴由正弦定理得:2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ()0,A π∈Q ,sin 0A ∴≠,2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭, 31sin sin 2B B B ∴=+,即31cos sin 22B B =,tan 3B ∴=, ()0,B π∈Q ,3B π∴=.(2)由余弦定理得:2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=,7b ∴=,由正弦定理得:sin 21sin a B A b ==a c<Q ,A ∴为锐角,7cos 7A ∴=,43sin 22sin cos 7A A A ∴==,21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=Q ,233C A A πππ∴=--=-, ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 16.在三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB BB =,且160ABB ∠=︒,D 为AC 的中点.(1)求证:1//B C 平面1A BD ; (2)求证:1AB B C ⊥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)连接1AB ,交1AB 于点E ,连接DE .在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11ABB A 是平行四边形, 因为11AB A B E =I ,所以E 是1AB 的中点,所以1//DE B C . 又DE ⊂面1A BD ,面1B C ⊄面1A BD . 所以1//B C 平面1A BD .(2)取AB 的中点Q ,连接QC 、1QB .囚为1AB BB =,160ABB ∠=︒.所以1ABB △是正三角形,11BB B A =. 因为Q 是AB 的中点,所以1AB B Q ⊥.因为CA CB =,Q 是AB 的中点,所以AB CQ ⊥. 又1B Q CQ Q =I ,1B Q ,CQ ⊂面1CQB , 所以AB ⊥面1CQB . 因为1B C ⊂面1CQB , 所以1AB B C ⊥.17.如图,曲线C 由左半椭圆()2222:10,0,0x y M a b x a b+=>>≤和圆()22:25N x y -+=在y 轴右侧的部分连接而成,A ,B 是M 与N 的公共点,点P ,Q (均异于点A ,B )分别是M ,N 上的动点. (Ⅰ)若PQ 的最大值为45+,求半椭圆M 的方程;(Ⅱ)若直线PQ 过点A ,且0AQ AP +=u u u v u u u v v ,BP BQ ⊥u u u v u u u v,求半椭圆M 的离心率.【答案】(Ⅰ)()22104x y x +=≤;(Ⅱ)104. 【解析】(Ⅰ)由已知得:当P 为半椭圆与x 轴的左交点,Q 为圆与x 轴的右交点时,PQ 会取得最大值,即5245a +=+解得2a =,由图像可得()0,1A ,即1b =,故半椭圆M 的方程为()22104x y x +=≤. (Ⅱ)设直线PQ 方程为1y kx =+,(),P P P x y ,(),Q Q Q x y ,联立()22125y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()()221240k x k x ++-=,故2421A Q k x x k -+=+,2421Q k x k -∴=+,22411Q k k y k -++=+,又0AQ AP u u u v u u u v v +=, 且(),1Q Q AQ x y =-u u u v ,(),1P P AP x y =-u u u v ,故02Q P QP x x y y +=⎧⎨+=⎩,2241P k x k -∴=+,223411P k k y k -+=+, 又BP BQ ⊥u u u v u u u v,且(),1Q Q BQ x y =+u u u v ,(),1P P BP x y u u u v =+,()()()()()()()()()222222224134124112111612011P Q P Q k k k k k x x y y kk kk-++-+--+++=+++=+-=++,解得34k =,故81,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,代入2221x y a +=解得283a =,故22101b e a =-=. 18.为建设美丽新农村,某村对本村布局重新进行了规划,其平面规划图如图所示,其中平行四边形ABCD 区域为生活区,AC 为横穿村庄的一条道路,ADE V 区域为休闲公园,200BC m =,60ACB AED ∠=∠=︒,ABC V 的外接圆直径为20057m .(1)求道路AC 的长;(2)该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏,以防村中的家畜破坏公园中的绿化,试求栅栏总长的最大值. 【答案】(1)500m ;(2)600m . 【解析】(1)解:设三角形的外接圆半径为R ,由正弦定理可知,2sin ABR ACB=∠,即20057sin 60100193m AB ⨯︒==,由余弦定理知,2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠,则22001500000AC AC --=,解得,500AC m =.(2)解:由题意知,200AD BC m ==,在AED V 中,设周长为l ,其外接圆半径为R ', 则20040032sin sin 60AD R E '===︒,则40032sin ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin EA R EDA EDA '=∠=∠,则l EA ED AD =++()()sin sin 200sin sin 12020033EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎡⎤⎣⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭, 则当30EAD =∠°时,周长最大,为600m . 19.已知函数()ln f x x x =.(1)若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>,试研究函数()g x 的极值情况;(2)记函数()()x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ,记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <,证明:1202x x x +>. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】(1)由题意,得()'ln 1f x x =+, 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++,故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=, 0,0x a >>.令()'0g x =,得1211,2x x a == ①当02a <<时,112a >,()1'002g x x >⇐<<或1x a>;()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时,112a =,()'0g x ≥恒成立,所以不存在极值; ③当2a >时,112a <,()1'00g x x a >⇐<<或12x >;()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上,当02a <<时,()g x 在12x =处取极大值ln24a --,在1x a =处取极小值1ln a a --;当2a =时,不存在极值;2a >时,()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --,在12x =处取极小值ln24a--.(2)()ln x xF x x x e =-,定义域为()0,x ∈+∞,()1'1ln x x F x x e-=++,而()1,2x ∈,故()'0F x >,即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<,()2222ln20F e=->, 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断,故根据零点存在性定理,有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈,使得()()0000x x F x f x e=-=, 且当01x x <<时,()x x f x e<; 当0x x >时,()x x f x e>, 所以()00,1,xxlnx x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 当01x x <<时,()ln m x x x =,由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增; 当当0x x >时,()x x m x e=, 由()1'0x xm x e-=<得()m x 单调递减; 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x (12x x <) 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞.要证1202x x x +>,即证2012x x x >-又0102x x x ->,而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减, 故可证()()2012m x m x x <-, 又由()()12m x m x =, 即证()()1012m x m x x <-,即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<,其中()00h x =记()t t t e φ=,则()1't tt eφ-=,当()0,1t ∈时,()'0t φ>; 当()1,t ∈+∞时,()'0t φ<, 故()max 1t eφ=而()0t φ>,故()10t eφ<<, 而021x x ->,所以002210x x x x e e---<-<, 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->,即()h x 单调递增,故当01x x <<时,()()00h x h x <=, 即01011122ln x x x x x x e --<,故1202x x x +>,得证.20.已知由n (n ∈N *)个正整数构成的集合A ={a 1,a 2,…,a n }(a 1<a 2<…<a n ,n ≥3),记S A =a 1+a 2+…+a n ,对于任意不大于S A 的正整数m ,均存在集合A 的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m . (1)求a 1,a 2的值;(2)求证:“a 1,a 2,…,a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”;(3)若S A =2020,求n 的最小值,并指出n 取最小值时a n 的最大值.【答案】(1)a 1=1,a 2=2;(2)证明见解析;(3)n 最小值为11,a n 的最大值1010 【解析】(1)由条件知1≤S A ,必有1∈A ,又a 1<a 2<…<a n 均为整数,a 1=1, 2≤S A ,由S A 的定义及a 1<a 2<…<a n 均为整数,必有2∈A ,a 2=2; (2)证明:必要性:由“a 1,a 2,…,a n 成等差数列”及a 1=1,a 2=2, 得a i =i (i =1,2,…,n )此时A ={1,2,3,…,n }满足题目要求, 从而()112312A S n n n =++++=+L ; 充分性:由条件知a 1<a 2<…<a n ,且均为正整数,可得a i ≥i (i =1,2,3,…,n ), 故()112312A S n n n ≥++++=+L ,当且仅当a i =i (i =1,2,3,…,n )时,上式等号成立. 于是当()112A S n n =+时,a i =i (i =1,2,3,…,n ),从而a 1,a 2,…,a n 成等差数列. 所以“a 1,a 2,…,a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”;(Ⅲ)由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1,故当n =10时,210﹣1=1023, 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ,不符合要求.而用11个元素的集合A ={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}的非空子集的元素之和 可以表示1,2,3,…,2046,2047共2047个正整数. 因此当S A =2020时,n 的最小值为11.记S 10=a 1+a 2+…+a 10,则S 10+a 11=2020并且S 10+1≥a 11.事实上若S 10+1<a 11,2020=S 10+a 11<2a 11,则a 11>1010,S 10<a 11<1010, 所以m =1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示,与题意不符. 于是2020=S 10+a 11≥2a 11﹣1,得1120212a ≤,*11a N ∈,所以a 11≤1010. 当a 11=1010时,A ={1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010}满足题意,所以当S A =2020时,n 的最小值为11,此时a n 的最大值1010.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.请在答题卡指定区域内........作答.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修4-2:矩阵与变换] 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ,求矩阵A 的逆矩阵1-A . 【答案】12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.【解析】由题意:11Ae e λ=u v u v ,∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦, ∴30A =-≠,∴11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B. [选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π,且圆C 经过极点,求圆C 的极坐标方程.【答案】4cos()4πρθ=- 【解析】因为2,4C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为,半径2r =,所以圆C的直角坐标方程为22((4x y -+=,即220x y +--=,故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=,即4cos()4πρθ=-. C. [选修4-5:不等式选讲]解关于x 的不等式:(1)2123x x -+-≤.(2)242x k <+. 【答案】(1){}02x x ≤≤.(2)答案见解析 【解析】(1)解:由2123x x -+-≤,可得12333x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩,或12213x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≤⎩,或2333x x ≥⎧⎨-≤⎩, 解求得102x ≤<,解求得122x ≤<,解求得2x =,综上可得,不等式的解集为{}02x x ≤≤.(2)当420k +>,即12k >-时,原不等式化为:()42242k x k -+<<+, 解得:2121k x k --<<+, 当420k +≤,即12k ≤-时,原不等式无解, 综上所述,当12k >-当时,原不等式的解集为{}2121x k x k --<<+,当12k ≤-时,原不等式的解集为∅. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷卡指定区域内........作答.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L(1)求122018a a a +++L 的值;(2)求20181k ka =∑的值. 【答案】(1)1-;(2)20191010【解析】 (1)由2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L令0x =,得01a =,令1x =,得01220180a a a a ++++=L , 所以1220181a a a +++=-L .(2)由二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=L所以()()201820182018020120080181111k k k k k k kk C C a ===--==∑∑∑ ()2018123201820182018201820182018111111C C C C C =-+-++-L ,因为()()()2018!2018!!2018!20182120192018!20202019!k k k k k C --⨯+==⨯()()()120192019!2019!1!2018!201911120202019!2019!2k k k k k k n n C C +-+-⎡⎤⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦, 所以20181k k a =∑()2018011220182019201920192019201920192019111201920201111C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦L 0201920192019210191201910102020C C ⎛⎫+= ⎝⎭=⨯⎪ 23.在学习强国活动中,某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源,现对已借阅了科技类图书的市民(以下简称为“问卷市民”)进行随机问卷调查,若不借阅时政类图书记1分,若借阅时政类图书记2分,每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为12,市民之间选择意愿相互独立.(1)从问卷市民中随机抽取4人,记总得分为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;(2)(i )若从问卷市民中随机抽取(N )m m +∈人,记总分恰为m 分的概率为m A ,求数列{}m A 的前10项和;(ⅱ)在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如:1B 表示累计得分为1分的概率,2B 表示累计得分为2分的概率,N n +∈),试探求n B 与1n B -之间的关系,并求数列{}n B 的通项公式.【答案】(1)分布列见解析,6;(2)(i )10231024;(ⅱ)1112n n B B -=-+,211()332n n B =+-. 【解析】(1)ξ的可能取值为4,5,6,7,8,04411(4)C (),216P ξ=== 1134111(5)C (),24(2)P ξ=== 2224113(6)C ,2()()28P ξ===,3314111(7)C ,2()()24P ξ===4404111(8)C 2()()216P ξ=== 所有ξ的分布列为所以数学期望1()4567861648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)(i )总分恰为m 分的概率为1()2mm A =,所以数列{}m A 是首项为12,公比为12的等比数列,前10项和101011(1)1023221102412S -==-. (ii )已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ,得不到n 分的情况只有先得1n -分,再得2分,概率为1111,22n B B -=. 因为1112n n B B -+=,即1112n n B B -=-+,所以1212()323n n B B --=--,则{23}n B -是首项为12136B -=-,公比为12-的等比数列,所以1211()362n n B --=--, 所以211()332nn B =+-.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试2017级高三(猜想卷)数学(文)参考答案
cos∠F1 F2 M =
(2c) 2 2
+ (2c - 2a)2 - (2c)2 × 2c × (2c - 2a)
=
c 2-caꎬ
在△NF1 F2 中ꎬ由余弦定理的推论可得
3. A
【命题意图】 本题考查三角函数、对数、不等式的运算.
( ) ( ) 【解题思路】 a =
tan
2π 5
0. 1
>
tan
2π 5
0
= 1ꎬb = log32∈(0ꎬ1)ꎬ
( ) c = log2
cos
3π 7
< 0. 故选 A.
4. B
【命题意图】 本题以数学文化为背景ꎬ 考查数列知识及运算
能力.
【解题思路】
“ 三角形数” 的通项公式
an
=
n(n + 2
1) ꎬ前
n
项和公
式为: Sn
=1
+3
+6
+
������
+
n(n + 1) 2
=
12
+ 22
+ 2
������
+ n2
+
1
+2
+ ������ 2
+
n
=
n(n + 1)(2n + 1) 12
+
n(
n+ 4
1)
ꎬ
当
n
= 10
时ꎬ
S10
= 10
×
| F2 M | = | F1 M | - 2a = 2c - 2aꎬ
1
由 2 F2→M + F→2 N = 0 知 | F2 N | = 2 | F2 M | ꎬ
所以 | F2 N | = 4c - 4aꎬ由双曲线的定义
宝应安宜高级中学高三数学冲刺练习
宝应安宜高级中学(西)高三数学冲刺练习(1)1、已知曲线C 的方程是:1||2+=x x y ,则曲线C 的大致图形是2)3()(+-=x f x f 且)(x f 的图象关于原点对称,若当]1,0[∈x 时,x x f =)(,则)5.11(f 的值为A 、21B 、21-C 、211D 、211-3、已知两定点A (-2,1),B (2,-1),若动点P 在抛物线22-=x y 上移动,则ABP ∆的面积的最大值为A 、4B 、8C 、814 D 、不存在4、设26,214cos 22,13cos 13sin 2=-︒=︒+︒=c b a ,则c b a ,,之间的大小关系是 A 、a c b >> B 、b a c >> C 、b c a >> D 、a b c >> 5、如果),()1(*23N n bx ax x x n n ∈++++=+ 且1:3:=b a ,那么=b A 、55 B 、60 C 、66 D 、706、已知定义域为R 的函数)(x f y =在1=x 处的导数为)1(f ',若)1(f 为函数)(x f 的极大值,则A 、)()1(x f f ≥B 、)()1(x f f >C 、0)1(='fD 、0)1(≠'f7、已知),3,2(+-=y x 直线032=--y x 与曲线92=交于P 、Q 两点,则POQ ∆(O 是原点)的面积等于 A 、23 B 、43 C 、553 D 、556 8 、正方体有8个顶点,过每两个顶点作一直线,在这些直线中,成︒45角的异面直线的对数为A 、24B 、36C 、48D 、609、已知函数f(x )=3x -b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象过点(2,1),则F(x )=[f -1(x )]2-f -1(x 2)的值域为 A .[2,5] B .[1,+∞)C .[2,10]D .[2,13]10、曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是11、1ABC ∆和2ABC ∆是两个腰长为1的等腰直角三角形,二面角21C AB C -- 的大小为︒60,则C 1和C 2两点的距离是 (注:写出所有可能的值)。
2020届江苏省南通市2017级高三高考考前模拟考试数学试卷(十)及答案(含附加题)
2020届江苏省南通市2017级高三高考考前模拟考试数学试卷(十)★祝考试顺利★数 学Ⅰ(南通数学学科基地命题)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1.若集合{|24},{|}A x x B x x a =<=>≤,若{|34}A B x x =<<,则实数a = ▲ . 2.设复数z +1z -1=-i ,其中i 为虚数单位,则||z = ▲. 3. 根据如图所示的伪代码,当输出y 的值为1时,则输入的x 的值为 ▲ .4. 在等比数列{a n }中,a 1+a 2=1,a 5+a 6=16,则a 9+a 10= ▲ .5. 已知双曲线x 2-y 2=1,则其两条渐近线的夹角为 ▲ .6.设实数x ,y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ .7.若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示,则ω的值为 ▲ .8. 设集合B 是集合A =(1,2,3,4}的子集,若记事件M 为:“集合B 中的元素之和为5”,则事件M 发生的概率为 ▲ . 9. 若函数f (x )=2cos(x +2θ)+ cos2x (0<θ<π2)的图象过点M (0,1),则f (x )的值城为 ▲ . 10. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个零点x 1,x 2,x 3是公差为1的等差数列,则f (x )的极小值为 ▲ .(第3题图)11. 在△ABC 中,AB =8,AC =6,A =60°,M 为△ABC 的外心,若AM →=λAB →+μAC →,λ、μ∈R,则4λ+3μ= ▲ .12. 已知△ABC 的面积等于1,若BC =1,当三边之积取得最小值时,则sin A = ▲ .13. 已知F 是椭圆C : x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个集点,P 是椭圆C 上的任意一点,则PF 称为椭圆C 的焦半径.设椭圆C 的左顶点与上顶点分别为A ,B ,若存在以A 为圆心,PF 长为半径的圆经过点B ,则椭圆C 的离心率的最小值为 ▲ .14. 已知f (x ) = a cos x -4cos 3x ,若对任意的x ∈R ,都有|f (x )|≤1,则a = ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数f (x ) = sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x =π6对称,两个相邻的最高点之间的距离为2π. (1) 求函数f (x )的解析式;(2) 在△ABC 中,若f (A )=一35,求sin A 的值.16.(本小题满分14分)如图在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,E 为CC 1的中点, 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1D 1, 证明: (1) A 1C ∥平面B 1D 1E ;(2) 平面AA 1C 1C ⊥平面B 1D 1E(第16题图)A CA 1B 1C 1D 1DEB。
2020年江苏省扬州市宝应职业高级中学高三数学理测试题含解析
2020年江苏省扬州市宝应职业高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)的图象与函数的图象关于x轴对称,则f(x)=()A. B. C. D.参考答案:A【分析】由点是函数上任意一点,则点在函数的图像上,列出方程,即可得到正确答案.【详解】设点是函数上任意一点,则点在函数的图像上即所以函数的解析式为:故选:A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性,属于中档题.2. 函数的最小正周期是()A. B. C. D.参考答案:B略3. 如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f()的值为( )A. 1B. 2 C.0 D.参考答案:B略4. 设集合A={x|x2﹣3x+2<0},B={x|1<x<3},则()A.A=B B.A?B C.A?B D.A∩B=?参考答案:C【考点】15:集合的表示法.【分析】化简集合A,即可得出集合A,B的关系.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣3x+2<0}=(1,2),B={x|1<x<3},∴A?B.故选:C.5. 已知函数,若a,b,c互不相等,且,则的取值范围是()A. (1,2020)B.(1,2019)C. (2,2020)D. (2,2019)参考答案:C【分析】画出函数图像,根据对称得到,再得到,最后得到答案.【详解】画出函数图像:,设则即故答案选C【点睛】本题考查了函数交点的取值范围问题,画出图像是解题的关键,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.6. 设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(A)若(B)若(C)若(D)若参考答案:B7. 命题:“若,则”的逆否命题为()A. 若,则或B. 若,则或C. 若,则且D. 若,则且参考答案:C8. 对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )A.若,则B.若,则C.若则D.若,则参考答案:C9. 函数的图像可能是参考答案:10. 如图,I是全集,M、P、S是I的子集,则阴影部分所表示的集合是A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(C I S) D.(M∩P)∪(C I S)参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于直线与平面,有以下四个命题:① 若且,则;② 若且,则;③若且,则;④ 若且,则;其中正确命题的序号是。
江苏省安宜高级中学2020学年高三数学第三次周测试卷 新课标 人教版
江苏省安宜高级中学2020学年高三数学第三次周测试卷第一卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设A={1,2},B={1,2,3},C={z|z=x+y,x∈A,y∈B},则集合C 的元素个数为A .3个 B.4个 C .5个 D .6个2、命题P :α、β为第一象限角且α>β,命题q :tanα>tan β,则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3、已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=18,a 4=1,则a n 通项公式为A .a n =2n-7B .a n =2n-3C .a n =n+5D .a n =2n+14.如果ax 2+bx+c>0的解集为﹛x ︱x<-2或x>4﹜,那么对于函数f(x)= ax 2+bx+c 应有A .f(5)<f(2)<f(-1) B. f(2)< f(5)<f(-1) C. f(-1)<f(2)< f(5) D. f(2)<f(-1)<f(5)5、已知)40sin ,40(cosa ,)20cos ,20(sinb ,则b a 的值为A .22 B.21C.23D.1 6、函数y=xxx 2cos 12cos 2sin 1 的最小正周期为A .π B.π+1 C.2π D.2π+1 7、已知不等式1()()9ax y xy对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 A .8 B .6 C .4 D .28、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=3a 3,则其公比q 的值是A .-21 B .21 C .1或-21 D .-1或21 9、若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,21)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 A .(-∞,41) B .(-41,+∞) C .(0,+∞) D .(-∞,-21) 10、已知把函数y=sin2x 图象向左平移a 单位与把y=sin2x 图象向右平移b 单位后,所得函数图象重合,(a >0,b >0),则a 、b 关系为 A .a+b=2B .a+b=πC .a+b=kπ,k∈N +D .a+b=2 k , k∈N +第二卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在答题卡相应的位置上.11、已知f(x)=1+log 2x ,设数列{a n }满足a n =f -1(n)(n∈N +),则数列{a n }的前n 项和S n 为 △ .12、函数f(x)=)34(log 231x x +2的单调递增区间 △ .13、已知函数y=sin2x+acos2x 的一条对称轴方程为x=12,则函数y=sin2x+acos2x 的位于对称轴x=12右边的第一个对称中心为 △ . 14、数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,已知a 3=12,S 10>0,S 11<0,则S n 的最大值为 △ .15、函数f(x)满足f(-x)=f(x)且f(1-x)=f(1+x),当x ∈[0,1]时,f(x)=2x ,则方程f(x)=1在区间[0,5]上的解集为 △ .16、已知ABC 中 ,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,AH 为BC 边上有高,以下结论:①B A H A C B B A H A)(②2H A C A H A ③B c H A H A C A sin ||④A bc c b B A C A C B cos 2)(22 ,其中正确的是 △ .(写出所有你认为正确的结论的序号)三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(12分).已知向量,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x c ===v v v (I )若//a c v v,求x x cos sin 的值;(II) 若0<x 3,求函数b a x f • )(的值域.18、(14分)某公司计划投资A、B两种产品,根据市场调查预测,A产品的利润与投资是成正比例,其关系如图1所示,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图2所示.(注:利润与投资量单位:万元)(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式;(2)该公司已有10万元资金,现全部投入A、B两种产品中;问:怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润是多少万元?(图1)(图2)19、(14分)已知函数y=sin2x+2a(cosx-sinx)+a2+1①若设cosx-sinx=t,试将y表示成t的函数f(t)②求f(t)的最大值g(a)的表达式.20、(14分)已知数列{a n }满足:若n=2k-1(k∈N +),a n =n ;若n=2k (k∈N +),a n =a k①填空:a 2+a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14+a 16= ,a n 2= . ②记T n =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 12 n + a n 2,求证:T n =4n-1+T n-1 ③证明11T +21T +…+nT 1<1.21、(16分)已知函数1163)(23 ax x ax x f ,1263)(2 x x x g ,和直线m :9 kx y .又0)1( f .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)是否存在k 的值,使直线m 既是曲线y =f (x )的切线,又是y =g (x ) 的切线;如果存在,求出k 的值;如果不存在,说明理由.(Ⅲ)如果对于所有2 x 的x ,都有)(9)(x g kx x f 成立,求k 的取值范围.[参考答案]一、选择题1、B2、D3、A4、D5、C6、A7、C8、C9、D 10、C 二、填空题11、2 n 1 12、0,41或 0,41 13、0,3 14、60 15、29,27,25,23,21 16、①②③④ 三、解答题17.解:(I ),,tan 23a c x x x r rQ L L ∥分222sin cos tan 2sin cos 7sin cos 1tan 5x x x x x x x xL L 分(II)21(cos cos 2(1cos 2)2f x a b x x x x x r r )= 1sin(2)1126xL L 分 50,2,3666x xQ 则13sin(2)1,1(262x f x 于是:),故函数(f x )的值域为31142L L ,分 18、解:(1)设y 1=k 1x 由图一可求得k 1=51y 1=x 51…………2分 设y 2=k 2x 由图二可求得k 2=54 ∴y 2=x 54…………4分 (2)设投入A 产品的资金为x 万元则投入B 产品的资金为(10-x )万元设总利润为y (万元)则 y=51x+54x 10 (0≤x ≤10)…………8分y=5104xx 令x 10=t 0≤t ≤10x=10-t 2∴y=54102tt …………10分=516)2(2 t …………12分∴当t=2时 y max =516此时 x=6 故投入A 产品6万元,B 产品4万元可获最大利润516万元…………14分 19、解:① y=1-t 2+2at+a 2+1=-t 2+2at+a 2+2 ……4分∵t=cosx -sinx=2cos(x+4) ∴t∈2,2………2分② f(t)=-(t -a )2+2a 2+2 ∵t∈2,2∴当a≥2时 g(a)=a 2+2a 2 ……2分 当-2<a <2时 g(a)=2a 2+2 ……2分当a ≤-2时 g (a )=a 2-22a 2分综上 g(a)= 2222222222222a aa a a a a a ……2分 20、解:①22 , 1 …………每空2分,共4分 ②T n =a 1+a 2+…+a 2n=(a 1+a 3+…+a 12 n )+(a 2+a 4+a 6+…+a n 2)=(a 1+a 3+…+a 12 n )+(a 1+a 2+a 3+…+a 12 n )=(1+3+5+ (2)-1)+T n-1=1122)12( n n n T =41 n +T 1 n∴T n =41 n +T n-1③∵T n - T n-1=41 n ∴T 2-T 1=4T 3-T 2=42……T n - T n-1=41n∴T n -T 1=41)41(41 n又T 1=2∴T n =324 n ∴11T =243 n <n 43∴11T +21T +…+n T 1<43+243…+n 43=411)411(43 n <1 ∴2111T T +…+nT 1<1 21、解:(Ⅰ)因为a x ax x f 663)(2 ,所以0)1( f 即0663 a a ,所以a =-2.(Ⅱ)因为直线m 恒过点(0,9).先求直线m 是y =g (x ) 的切线.设切点为)1263,(020 x x x ,因为66)(00 x x g . 所以切线方程为))(66()1263(00020x x x x x y ,将点(0,9)代入得10 x .当10 x 时,切线方程为y =9, 当10 x 时,切线方程为y =12x +9.由0)(/x f 得012662x x ,即有2,1 x x当1 x 时,)(x f y 的切线18 y ,当2 x 时, )(x f y 的切线方程为9 y 9 y 是公切线,又由12)(/x f 得1212662x x 0 x 或1 x ,当0 x 时)(x f y 的切线为1112 x y ,当1 x 时)(x f y 的切线为1012 x y , 912 x y ,不是公切线 综上所述 0 k 时9 y 是两曲线的公切线(Ⅲ).(1))(9x g kx 得3632x x kx ,当0 x ,不等式恒成立,R k .当02 x 时,不等式为6)1(3 xx k , 而6])(1)[(36)1(3x x x x 0623 0 k 当0 x 时,不等式为6)1(3 x x k , 126)1(3 xx 12 k当2 x 时,)(9x g kx 恒成立,则120 k(2)由9)( kx x f 得111232923 x x x kx当0 x 时,119 恒成立,R k ,当02 x 时有xx x k 2012322设x x x x h 201232)(2=x x 208105)43(22 , 当02 x 时8105)43(22 x 为增函数,x20也为增函数 8)2()( h x h要使9)( kx x f 在02 x 上恒成立,则8 k由上述过程只要考虑80 k ,则当0 x 时12166)(2/ x x x f =)2)(1(6 x x在]2,0( x 时0)(/ x f ,在),2( 时0)(/x f )(x f 在2 x 时有极大值即)(x f 在),0( 上的最大值,又9)2( f ,即9)( x f 而当0 x ,0 k 时99 kx , 9)( kx x f 一定成立 综上所述80 k .。
宝应高考数学试卷真题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$,则$f(0)$的值为()A. 1B. 0C. -1D. -32. 下列命题中正确的是()A. 若$a > b$,则$ac > bc$($c$为任意实数)B. 若$a > b$,则$a^2 > b^2$C. 若$a > b$,则$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$D. 若$a > b$,则$a - c > b - c$($c$为任意实数)3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$,若$a_1 + a_5 = 12$,$a_2 + a_4 = 14$,则$a_3$的值为()A. 13B. 12C. 11D. 104. 已知等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$,若$b_1 = 2$,$b_3 = 16$,则$q$的值为()A. 2B. 4C. 8D. 165. 函数$y = x^2 - 4x + 4$的图像与x轴的交点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 06. 若$a, b, c$是等差数列,$a, b, c$也是等比数列,则$b$的值为()A. 0B. 1C. 2D. 无法确定7. 已知直线$l$的方程为$2x - y + 1 = 0$,则直线$l$在坐标系中的截距为()A. 1B. -1C. $\frac{1}{2}$D. $-\frac{1}{2}$8. 函数$y = \frac{1}{x}$在定义域内的极值点为()A. $x = 0$B. $x = 1$C. $x = -1$D. $x$不存在9. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$,$\vec{b} = (1, 2)$,则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为()A. 7B. 5C. 3D. 110. 已知复数$z = 3 + 4i$,则$|z|$的值为()A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。
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2020年2020届江苏省宝应县安宜高级中学2017级高三高考冲刺卷
数学试卷
★祝考试顺利★
(含答案)
数学Ⅰ试题
一、填空题:不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}1A x x =>,{}1,2,3B =,则A B =________.
2.已知复数2i z =+(其中i 为虚数单位),若()i ,i
z a b a b =+∈R ,则ab 的值为________.
3.已知一组数据4,a ,7,5,8的平均数为6,则该组数据的标准差是________.
4.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线1C :()2210x y m m -=>的一条准线与抛物线2C :22x y =的准线重合,则正数的值是________.
5.运行如图的程序框图,则输出的结果是________.
6.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为________.
7.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若2552a a +=,则15S 的值是________.
8.圆柱形容器的内壁底面半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了5cm 3
,则这个铁球的表面积为________2cm .
9.若直线1y kx =+与曲线y x =相切,则实数k 的值为________.
10()tan123︒-=________. 11.已知向量a ,b ,满足3b =,a b a ⋅=,则a b -的最小值为________.
12.在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C :()()22
24x m y -+-=上两个动点,且23AB =l :2y x =-上存在点P ,使得OC PA PB =+,则实数m 的取值范围为________.
13.已知函数()31111,1,3442111,0,3
62x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤()()e 2x g x ax a =+-∈R ,若存在1x ,[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围是________. 14.已知在锐角三角形ABC 中,AH BC ⊥于点H ,且()22
9449BA CA AH CA BA -=⋅-,若2BC =,则sin sin sin B C A
的取值范围是________. 二、解答题:请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3
B π=.
(1)若23b =2a =,求c 的值;
(2)若13cos A =,求cos C 的值. 16.已知直三棱柱111ABC A B C -,E ,F 分别是BC ,1AA 的中点,1CB CC =,AC BC ⊥.。