2020年河北省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年全国卷Ⅰ文科数学高考真题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．若312i i z =++，则||=z A ．0B ．1CD ．23．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14-B ．12-C ．14D ．12+4．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e xy a b =+D ．ln y a b x=+6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π28．设3log 42a =，则4a -=A ．116B ．19C ．18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n=A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．3211．设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A ．72B ．3C ．52D ．212．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷(文科)(A卷)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷(文科)(A卷)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x−1>0}，集合B={x|x2−2x−3<0}，则()A. A⋂B={x|12<x<3} B. A⋂B={x|12<x<1}C. A∪B={x|−1<x<3}D. A⋃B={x|x>12}2.i为虚数单位，复数2ii+1的共轭复数为()A. 1−iB. 1+iC. 1−12i D. 1+12i3.新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是()A. 每天新增疑似病例的中位数为2B. 4月30日以后，疫情逐渐减缓C. 每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D. 在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日4.在等差数列{a n}中，若S n为{a n}的前n项和，2a3+a12=15，则S11的值是()A. 55B. 11C. 50D. 605.从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 456.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x−2)，且当x∈(−2,0)时，f(x)=log2(x+3)+a，若f(13)=2f(7)+1，则a=()A. −43B. −34C. 43D. 347.某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是()A. 8B. 6C. 4D. 28.已知双曲线x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线与圆(x−3)2+y2=8相交于M，N两点且|MN|=4，则此双曲线的离心率为()A. √5B. 3√55C. 5√53D. 59.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,4)，(a⃗+2b⃗ )⊥(λa⃗−b⃗ )，则λ=()A. −6127B. 6127C. −12D. 1210.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为()A. 1B. −1C. √22D. −√2211.已知关于x的方程为(x2−3)2e x =3e x−2+2e(x2−3)，则其实根的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 512.将半径为3、圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()A. √2π3B. √3π3C. 4π3D. 2π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知抛物线C：x2=2y，过其焦点F作斜率为12的直线l交C于A，B两点，则弦长|AB|=______．14.若变量x，y满足约束条件{y≤0,x−2y≥1,x−4y≤3.，则z=x+y的最小值是________．15.设函数f(x)=x−1x ，若对于∀x∈[1,32]，f(ax−1)>f(2)恒成立，则实数a的取值范围是______________．16.已知数列{a n}的前n项中所有不同两项乘积之和记为T n(n⩾2)，比如T3=a1a2+a1a3+a2a3；若a n=2n−1(n∈N∗)，则满足T n+1>2T n+2018中所有n中的最小整数为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知2sinBcosA=sin(A+C)．(1)求角A的大小;(2)若BC=2，△ABC的面积是√3，求边AB的长．18.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，BC=2√3，AC=2√6，D为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若∠PAB=π4，求点B到平面PAC的距离．19.已知椭圆E：x2a2+y23=1(a>√3)的离心率e=12．(1)求椭圆E的方程；(2)斜率k=1的直线交椭圆于A、B，交y轴于T(0,t)，当弦|AB|=247，求t的值．20.下表数据为某地区某基地某种农产品的年产量x(单位：吨)及对应销售价格y(单位：万元/吨)．(1)若y与x有较强的线性相关关系，请用最小二乘法求出y关与x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)若每吨该农产品的成本为1万元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润z最大？最大利润是多少？参考公式：b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=∑(ni=1x i y i)−nxy∑x i2ni=1−nx2，â=y−b̂x．21.设函数f(x)=(x2−1)lnx−x2+2x．(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)证明：f(x)≥1．22.已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=2t+1y=2t2+2t+12(t为参数，t∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，(0≤θ≤2π)．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)射线l的极方程为θ=α(0≤α≤π,ρ≥0)，若射线l与曲线C1，C2分别交于异于原点的A,B两点，且|OA|=4|OB|，求α的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+a|x+2|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥5的解集；(Ⅱ)当a<−1时，若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．先化简集合A、B，再根据补集、交集的定义进行计算即可．解：集合A={x|2x−1>0}={x|x>12}，集合B={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，则A∩B={x|12<x<3}，A∪B={x|x>−1}，故A正确．2.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1+i得到代数形式，则可求其共轭复数．解：2i1+i =2i(1−i)(1−i)(1+i)=1+i，其共轭复数为1−i．故选A．3.答案：D解析：解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计图可知4月30日之后相对于4月30日之前新增确诊和新增疑似整体呈现下降趋势，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案本题考查图表识别能力，统计相关知识，属于中档题．4.答案：A解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：等差数列{a n}的公差为d，由题意可得2(a1+2d)+a1+11d=15，得a1+5d=5，则S11=11a1+11×102d=11(a1+5d)=11×5=55，故选A．5.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查了古典概型，属于基础题．分别写出从5个数中随机抽取2个不同的数的所有情况，再写出这两个数的和为偶数的所有情况，利用古典概型公式求解即可．解：从5个数中任取2个不同的数有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共有10种．其中两个数的和为偶数有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，故所求概率为P=410=25．故选B．6.答案：A解析：【试题解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x+2)=f(x−2)，则有f(x+4)=f(x)，即函数的周期为4，故f(13)=f(1)，f(7)=f(−1)，若f(13)=2f(7)+1，则有f(1)=2f(−1)+1，，又由函数f(x)为奇函数，则有−f(−1)=2f(−1)+1，变形可得f(−1)=−13，又由当x∈(−2,0)时，f(x)=log2(x+3)+a，则有log22+a=a+1=−13；解可得a=−43故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得f(13)=f(1)，f(7)=f(−1)，据此可得f(13)= 2f(7)+1，则有f(1)=2f(−1)+1，结合函数的周期性可得f(−1)=−1，结合函数的解析式可得3答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查三视图，确定该几何体的形状是解题的关键．解：由题意得，该几何体如图所示：×1×2×2=6，是一个长方体截掉一个三棱柱，该几何体的体积为2×2×2−12故选B．8.答案：B解析：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为y=2ax，即2x−ay=0，∵|MN|=4，圆的半径为2√2∴圆心到渐近线的距离为2，即√4+a2=2，解得a=√5∴c=√5+4=3，∴双曲线的离心率为e=ca =5=3√55．故选：B．先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，则c可得，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．9.答案：B解析：本题考查向量的数量积，向量的坐标运算，比较基础．根据题意可得(a⃗+2b⃗ )⊥(λa⃗−b⃗ )，利用坐标运算即可．解：因为a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,4)，则a⃗+2b⃗ =(7,10)，λa→−b→=(λ−3,2λ−4)，因为(a⃗+2b⃗ )⊥(λa⃗−b⃗ )，所以7(λ−3)+10(2λ−4)=0，解得λ=6127．故选B．10.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1， 故，又|φ|<π2， ∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x −π4)，∴f(π2)=sin 5π4=−√22， 故选D ．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．11.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数单调性及极值，函数与方程根的关系，由题意，(x 2−3)2e x=3e x−2+2e(x 2−3)⇒(x 2−3)2e 2x=3e−2+2e ·x 2−3e x，设f(x)=x 2−3e x，利用导数大致得出函数f(x)的图象，再令f(x)=t ，则方程t 2−2e t −3e 2=0必有两根t 1，t 2(t 1<t 2)且t 1t 2=−3e 2，分类讨论根的个数．解：由题意，(x 2−3)2e x=3e x−2+2e (x 2−3)⇒(x 2−3)2e 2x=3e −2+2e·x 2−3e x，设f (x )=x 2−3e x，则f′(x )=(x+1)(3−x )e x，∴f(x)在(−∞,−1)和(3,+∞)上单调递减，在(−1,3)上单调递增． 又当x →−∞时，f(x)→+∞，x →+∞时，f(x)→0，令f(x)=t ，则方程t 2−2e t −3e 2=0必有两根t 1，t 2(t 1<t 2)且t 1t 2=−3e 2，当t 1=−1e 时，恰有t 2=3e ，此时f(x)=t 1有1个根，f(x)=t 2有2个根； 当t 1<−1e 时，必有0<t 2<3e ，此时f(x)=t 1无根，f(x)=t 2有3个根； 当−1e <t 1<0时，必有t 2>3e ，此时f(x)=t 1有2个根，f(x)=t 2有1个根； 综上，方程有3个根． 故选B ．12.答案：A解析：本题主要考查圆锥的性质、球的体积，考查圆锥的侧面展开图的性质，属于中档题．先由圆锥的侧面展开图的属性求出圆锥的底面半径和高，再由等面积法可求出内切球的半径，从而得解．解：由题意得：扇形的弧长为l =2π3×3=2π，∴折成一个圆锥，则这个圆锥的底面周长为2π，底面半径r =1， 圆锥的高ℎ=√32−12=2√2， 作出圆锥的轴截面， 如下图，其中圆为球的大圆， 设圆锥内切球的半径为R ，则由等面积有12R(3+3+2)=12×2√2×2， 解得内切球的半径为R =√22，所以球的体积=43π(√22)3=√23π．故选A．13.答案：52解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，注意运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点，可得直线l的方程，代入抛物线方程，消去x，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求值．解：抛物线C：x2=2y的焦点F(0,12)，可得直线l的方程为y=12x+12，即x=2y−1，代入抛物线方程可得：4y2−6y+1=0，设A(x1,y1)，B，(x2,y2)，可得y1+y2=32，由抛物线的定义可得|AB|=y1+y2+p=32+1=52，故答案为：52．14.答案：−2解析：本题主要考查了简单的线性规划，属于中等题.先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，属于中等题．解：设变量x、y满足约束条件{y≤0,x−2y≥1, x−4y≤3.,将z=x+y整理得到y=−x+z，要求z=x+y的最小值即是求直线y=−x+z的纵截距的最小值，当平移直线x+y=0经过点(−1,−1)时，x+y最小，且最小值为−2，则目标函数z=x+y的最小值为−2.故答案为−2．15.答案：(12,23)⋃(3,+∞)解析：本题考查函数单调性解决恒成立问题，难度一般．解：函数f(x)=x−1x ，对任意∀x∈[1,32]，单调递增，f(ax−1)>f(2)恒成立，即ax−1>2恒成立，化为a>3x 恒成立，则实数a的取值范围是(12,23)⋃(3,+∞)．故答案为(12,23)⋃(3,+∞)．16.答案：6解析：本题考查了数列综合知识，属于中档题.由题意得，2T n+(a12+a22+⋯+a n2)=(a1+a2+⋯+ a n)2，根据a n=2n−1(n∈N∗)，可得T n，代入T n+1>2T n+2018求解即可得结果．解：由题意得，2T n+(a12+a22+⋯+a n2)=(a1+a2+⋯+a n)2，因为a n=2n−1(n∈N∗)，a n2=4n−1(n∈N∗)，所以S n=1−2n1−2=2n−1，S n′=1−4n1−4=13(4n−1)，所以T n=4n3−2n+23，即T n+1−2T n=2⋅4n3−23>2018，所以4n>3028，解得最小整数为n=6．故答案为6．17.答案：解：(1)由A+B+C=π，得sin(A+C)=sinB；所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，解得cosA=12，又因为A∈(0,π)，所以A=π3；(2)由余弦定理，得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=22，①因为△ABC的面积为S△ABC=12AB·ACsinπ3=√3，所以AB⋅AC=4，②由①、②组成方程组，解得AB=BC=2．解析：(1)根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求出A的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组即可求出AB的值．本题考查了三角形内角和定理与正弦、余弦定理、三角形面积公式的应用问题，是综合性题目．18.答案：证明：(1)连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos∠ABC=2√36=√33，∴CD2=4+12−2×2×2√3cos∠ABC=8，∴CD=2√2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面PAB，PD⊂平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，CD，AC⊂平面ABC，∴PD⊥平面ABC．(2)解：∵∠PAB=π4，∴PD=AD=4，∴PA=4√2，在Rt△PCD中，PC=2+CD2=2√6，∴△PAC是等腰三角形，∴S△PAC=8√2，设点B到平面PAC的距离为d，由V B−PAC=V P−ABC，得13S△PAC×d=13S△ABC×PD，∴d=S△ABC×PDS△PAC=3，故点B到平面PAC的距离为3．解析：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)连接CD，推导出CD⊥AB，CD⊥PD，由此能证明PD⊥平面ABC．(2)设点B到平面PAC的距离为d，由V B−PAC=V P−ABC，能求出点B到平面PAC的距离．19.答案：解：(1)由e=12=√a2−3a得：a=2则椭圆方程为x24+y23=1；(2)设直线为y=x+t，代入椭圆方程得：x24+(x+t)23=1，化简得：7x2+8tx+4t2−12=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=−8t7，x1⋅x2=4t2−127∴|AB|=√1+k2|x1−x2|=√2⋅4√21−3t27=247，解得t2=1，则t=±1解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)直接利用椭圆的方程以及离心率，求出a.即可求椭圆E 的方程； (2)设出斜率k =1的直线方程与椭圆联立，通过弦长公式|AB|=247，即可求t 的值．20.答案：解：(1)由表格得，x =1+2+33=2，y =5+4+33=4，b ̂=1×5+2×4+3×3−3×2×412+22+32−3×22=−1，a ̂=4−(−1)×2=6， 故所求的线性回归方程为ŷ=−x +6． (2)由题意得，年利润z =x(−x +6)−x =−x 2+5x =−(x −52)2+254，所以，预测当年产量为2.5吨时，年利润最大，最大利润为6.25万元．解析：(1)求出样本中心，通过求解b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑(ni=1x i y i )−nxy ∑x i2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ，然后求解直线方程．(2)利用回归直线方程求解即可．本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．21.答案：(1)解：f′(x)=x 2−1x+2xlnx −2x +2=2xlnx −x −1x +2．f′(2)=4ln2−12，f(2)=3ln2．∴曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为：y −3ln2=(4ln2−12)(x −2)， 化为：(4ln2−12)x −y −5ln2+1=0．(2)证明：f(x)≥1⇔(x 2−1)lnx −(x −1)2≥0． 当x =1时，不等式成立．所以只需证明：x >1时，lnx ≥x−1x+1；0<x <1时，lnx ≤x−1x+1． 令ℎ(x)=lnx −x−1x+1． 则ℎ′(x)=1x −x+1−(x−1)(x+1)2=x 2+1x(x+1)2>0．∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数． ∴x >1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0； 0<x <1时，ℎ(x)<ℎ(1)=0．综上可得：f(x)≥1．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题． (1)f′(x)=x 2−1x+2xlnx −2x +2=2xlnx −x −1x+2.可得f′(2)，f(2)=3ln2.利用点斜式即可得出切线方程．(2)f(x)≥1⇔(x 2−1)lnx −(x −1)2≥0.当x =1时，不等式成立．所以只需证明：x >1时，lnx ≥x−1x+1；0<x <1时，lnx ≤x−1x+1.利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出． 22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2t +1y =2t 2+2t +12(t 为参数，t ∈R)，转换为和直角坐标方程为：x 2=2y ，转换为极坐标方程为ρ2cos 2θ=2ρsinθ． (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于异于原点的A,B 两点， 设A,B 的极坐标方程为(ρA ,α),B(ρB ,α),ρA ≠0,ρB ≠0， 则ρA cos 2 α=2sin α,ρB =2sin α,α∈(0,π)， 依题意cos α≠0,ρA =4ρB ,∴2sin αcos 2 α=4×2sin α， 又∵sin α≠0,∴cos α=±12,∵α∈(0,π)， ∴α=π3或α=2π3．解析：(1)直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)a =1时，f(x)≥5化为：|x −1|+|x +2|≥5①，当x ≤−2时，①式化为−2x −6≥0，解得：x ≤−3； 当−2<x <1时，①式化为3>5，不成立； 当x ≥1时，①式化为2x +1≥5，解得x ≥2 综上，f(x)≥5的解集是{x|x ≤−3或x ≥2}； (Ⅱ)当x ≤−2时，f(x)=−(a +1)x −2a +1； 当−2<x <1时，f(x)=(a −1)x +2a +1； 当x ≥1时，f(x)=(a +1)x +2a −1， 综上，f(x)={−(a +1)x −2a +1,x ≤−2(a −1)x +2a +1,−2<x <1(a +1)x +2a −1,x ≥1；画出函数f(x)的图象如图所示；则f(x)与x 轴围成的△ABC 三个顶点分别为： A(−2,3)，B(−−2a+1a+1,0)，C(2a+1−a+1,0)由题设可得：S =12⋅(2a+1−a+1−−2a+1a+1)⋅3=6，化简得2a 2+3a −2=0，解得a =−2或a =12(不合题意，舍去)； 故a 的值是−2．解析：(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 解集，取并集即可； (Ⅱ)求出f(x)的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标， 表示出三角形面积，得到关于a 的方程，解出即可．本题考查了绝对值不等式问题，也考查分类讨论思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．。
2020年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(附答案)
2020年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(附答案)2020年英语高分策略专业省时高效2022/4/25注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
1. 已知集合A={x|x^2-3x-4<0}, B={-4,1,3,5}，则AA. {-4,1}B. {1,5}C. {3,5}2. 若z=1+2i+i^3，则|z|=A. 2B. 1C. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。
以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A. (5-1)/4B. (5-1)/2C. (5+1)/44. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A. 1/5B. 2/5C. 1/25. 某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi, yi)(i=1,2,...,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A. y=a+bxB. y=a+bx^2C. y=a+bex6. 已知圆x^2+y^2-6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A. 1B. 2C. 37. 设函数f(x)=co s(ωx+θ)在[-π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A. 6B. 9C. 10π/38. 设alog3 4=2，则4-a=A. 1/16B. 1/9C. 8D. 1/6甲分厂产品等级的频数分布表：等级频数A 28B 17C 34乙分厂产品等级的频数分布表：等级频数A 40B 2018. (8分)19. (10分)20. (10分)21. (20分)D18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；（2）若sinA+3sinC=1，求∠C.19．（12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；20．（12分）已知函数f(x)=e^(-a(x+2)).（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；21．（12分）已知A、B分别为椭圆E：x^2/a^2+y^2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（二）选考题：共10分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)含答案
2020年全国统一高考数学试卷（文科）含答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}，则A∩B＝（）A．∅B．{﹣3，﹣2，2，3}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．（1﹣i）4＝（）A．﹣4B．4C．﹣4i D．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A．B．2+C．﹣2D．2﹣6．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．执行如图的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数f（x）＝x3﹣，则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．12．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．
2020年高考真题——数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(解析版)
绝密★启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A.∅B. {–3，–2，2，3）C. {–2，0，2}D. {–2，2}【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合A, B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为A ={x x < 3, x ∈Z}={-2, -1, 0,1, 2}，B ={x x >1, x ∈Z}={x x >1或x <-1, x ∈Z}，所以A B ={2, -2}.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i）4=（）A. –4B. 4C. –4iD. 4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】(1-i)4= [(1-i)2 ]2= (1- 2i +i2 )2= (-2i)2=-4 .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12 个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3 且j–i=4，则称a i，a j，a k 为原位大三和弦；若k–j=4 且j–i=3，则称a i，a j，a k 为原位小三和弦．用这12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A. 5B. 8C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】根据原位大三和弦满足k -j = 3, j -i = 4 ，原位小三和弦满足k -j = 4, j -i = 3从i = 1 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k -j = 3, j -i = 4 ．∴i =1, j = 5, k = 8 ；i = 2, j = 6, k = 9 ；i = 3, j = 7, k =10 ；i = 4, j = 8, k =11；i = 5, j = 9, k =12 ．原位小三和弦满足：k -j = 4, j -i = 3 ．∴i =1, j = 4, k = 8 ；i = 2, j = 5, k = 9 ；i = 3, j = 6, k =10 ；i = 4, j = 7, k =11 ；i = 5, j = 8, k =12 ．故个数之和为10．故选：C．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600 份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 +1600 -1200 = 900 ，故需要志愿者900= 18 名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A. a+2bB. 2a+bC. a–2bD. 2a–b 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：a ⋅b=a ⋅b ⋅cos 60︒=1⨯1⨯1=1. 22A：因为(a + 2b) ⋅b =a ⋅b + 2b2 =1+ 2⨯1 =5≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22B：因为(2a +b) ⋅b = 2a ⋅b+b2 = 2⨯1+1 = 2 ≠ 0 ，所以本选项不符合题意；2C：因(a - 2b) ⋅b =a ⋅b - 2b 2=1- 2⨯1 =-3≠ 0 ，所以本选项不符合题意；22D：因为(2a -b) ⋅b = 2a ⋅b -b2= 2⨯1-1 = 0 ，所以本选项符合题意. 2故选：D.a 1 1n【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.S n 6. 记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和．若 a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=（ ）nA. 2n –1B. 2–21–nC. 2–2n –1D. 21–n –1【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，⎧⎪a q 4 - a q 2 = 12⎧q = 2 由 a - a = 12, a - a = 24 可得： ⎨1 1 ⇒ ⎨ ， 5 3 6 4 ⎪⎩a q 5- a q 3 = 24 ⎩a 1 = 1 n -1n -1a (1- q n ) 1- 2n n 所以a n = a 1q= 2 , S n = 1= = 2 -1，S 2n -1 因此 n = =2 - 21-n .1- q 1- 2a 2n -1故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7. 执行右面的程序框图，若输入的 k =0，a =0，则输出的 k 为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程k = 0, a = 0第1 次循环，a = 2 ⨯ 0 +1 =1 , k = 0 +1 = 1，2 > 10 为否第2 次循环，a = 2 ⨯1+1 = 3 , k =1+1 = 2 ，3 >10 为否第3 次循环，a = 2 ⨯3 +1 = 7 , k = 2 +1 = 3 ，7 > 10 为否第4 次循环，a = 2 ⨯7 +1 =15 , k = 3 +1 = 4 ，15 >10 为是退出循环输出k = 4 .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考-2 5查了分析能力和计算能力，属于基础题.8. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为（）A.55B. 2 55C. 3 55D. 4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ), a > 0 ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1) 在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离.【详解】由于圆上的点(2,1) 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a , a ) ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为( x - a )2+ ( y - a )2= a 2 . 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2 ， 可得a 2 - 6a + 5 = 0 ，解得a = 1 或a = 5 ，所以圆心的坐标为(1,1) 或(5, 5) ，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离均为d = =2 5 ； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为 2 5. 5 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 设O 为坐标原点，直线x = a 与双曲线 x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2 的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若 ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为（）16 2 0)2 0)A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 -y2= > >y =± bxx = a因为C : a21(a b 20,b 0) ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 a联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED | ，根据 的面积为 8 ，可得 ab 值，根据2c = 2 ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】 C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴双曲线的渐近线方程是 y =± bxa x = a x 2 y 2 C : - = 1(a > 0,b >直线与双曲线a2b20) 的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a ⎪ ⎧x = a 联立⎨y = b x ，解得⎨y = b⎪⎩ a ⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a 联立⎨ y =- b x ，解得⎨y = -b⎪⎩ a ⎩故 E (a , -b )∴| ED |= 2b∴ ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82双曲线C : x a 2 - y 2= 1(a > 0,b > b∴其焦距为2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8ODE a 2 + b 2 a 2 + b 2 2ab 2 2 2【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数f (x) =x3-1x3,则f (x) （）A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{x x ≠ 0}，利用定义可得出函数f (x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数f (x)=x3-1 x3所以函数f (x)为奇函数．定义域为{x x ≠ 0}，其关于原点对称，而f (-x)=-f (x)，又因为函数y =x3在( 0, +? ) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增，而y =1x3=x-3在( 0, +?) 上单调递减，在( -? , 0) 上单调递减，所以函数f (x)=x3-1x3在( 0, +?) 上单调递增，在( -? , 0) 上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为9 3 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为416π，则O 到平面ABC 的距离为（）A. B.3C. 1D.3 2 2【答案】C 【解析】3R 2 - r 2 3 9 3 a - 2 a 2 4 9 - 9 4 3 根据球O 的表面积和 ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和 ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4π R 2 = 16π ，解得： R = 2 . 设 ABC 外接圆半径为 r ，边长为a ，ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，41 2 2 ∴ a 2 ⨯ = ，解得： a = 3 ，∴r = ⨯ = ⨯ = ，2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离d = 3 = 3= 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12. 若2x - 2y < 3-x - 3- y ，则（）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D.ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】将不等式变为 2x - 3-x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3-x - 3- y 得： 2x - 3-x < 2y - 3- y ，令 f (t ) = 2t- 3-t，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3-x 为 R 上的减函数，∴ f (t ) 为 R 上的增函数， ∴ x < y ，Q y - x > 0 ，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0 ，则A 正确，B 错误；R 2 - r 2 4 - 32Q x - y 与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函 数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若sin x =- ，则cos 2x =．31 【答案】 9【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】cos 2x = 1- 2sin 2 x = 1- 2⨯(- 2)2 = 1- 8 = 1. 3 9 9故答案为： 1.9【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14. 记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若a 1 = -2,【答案】25 【解析】a 2 + a 6 = 2 ，则 S 10 =．【分析】因为{a n } 是等差数列，根据已知条件 a 2 + a 6 = 2 ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 {a n } 是等差数列，且a 1 = -2 ， a 2 + a 6 = 2 设{a n } 等差数列的公差 d根据等差数列通项公式： a n = a 1 + (n -1)d 可得a 1 + d + a 1 + 5d = 2 即： -2 + d + (-2) + 5d = 2 整理可得： 6d = 6⎨ ⎩ 解得： d = 1根据等差数列前n 项和公式： S n= na 1+ n (n -1) d , n ∈ N *2可得： S 10= 10(-2) + 10⨯ (10 -1)= -20 + 45 = 252∴ S 10 = 25 .故答案为： 25 .【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.⎧x + y ≥ -1 15. 若 x ，y 满足约束条件⎪x - y ≥ -1，则z = x + 2 y 的最大值是 ．⎪2x - y ≤ 1,【答案】8 【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线 y =- 1x ，在平面区域内2找到一点使得直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.22【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线 y =- 1 x ，当直线经过点 A 时，直线 y = - 1 x + 1z 在纵轴上的截距最大，2⎧x - y = -1 2 2⎧x = 2此时点 A 的坐标是方程组⎨2x - y = 1 的解，解得： ⎨ y = 3 ，⎩ ⎩因此 z = x + 2 y 的最大值为： 2 + 2 ⨯ 3 = 8 .故答案为：8 .【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是.①p1∧p4②p1∧p2③⌝p2∨p3④⌝p3∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3 与l1 相交，则交点A 在平面α内，同理，l3 与l2 的交点B 也在平面α内，所以，AB ⊂α，即l3⊂α，命题p1真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 p 3 为假命题；对于命题 p 4 ，若直线m ⊥ 平面α ，则 m 垂直于平面α 内所有直线， 直线l ⊂ 平面α ，∴直线m ⊥ 直线l ，命题 p 4 为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4 为真命题， p 1 ∧ p 2 为假命题，⌝p 2 ∨ p 3 为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知cos2( π + A ) + cos A = 5． 2 4（1）求 A ；（2）若b - c =3a ，证明：△ABC 是直角三角形． 3π【答案】（1）A = ；（2）证明见解析3【解析】【分析】（ 1 ） 根据诱导公式和同角三角函数平方关系， cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5可化为 2 ⎪ 41- cos 2 A + cos A = 5，即可解出；4（2）根据余弦定理可得b 2 + c 2 - a 2 = bc ，将b - c =⎝ ⎭3 a 代入可找到a , b , c 关系，3再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为cos 2⎛ π + A ⎫+ cos A = 5 ，所以sin 2 A + cos A = 5 ，2 ⎪ 4 4⎝⎭即1- cos 2 A + cos A = 5，4解得cos A = 1，又0 < A < π ， 2所以 A = π；3πb 2 +c 2 - a 21 （2） 因为 A =，所以cos A ==，3即b 2 + c 2 - a 2 = bc ①，2bc2又b - c =3 a ②， 将②代入①得， b 2 + c 2 - 3(b - c )2= bc ，3即2b 2 + 2c 2 - 5bc = 0 ，而b > c ，解得b = 2c ， 所以a = 3c ，故b 2 = a 2 + c 2 ，即 ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中 x i 和 y i 分别表示第 i 个样区2020的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑ x i = 60 ， ∑ y i = 1200 ，i =1i =1202020∑（x - x )2 = 80 ， ∑（y - y )2 = 9000 ， ∑（x - x （) y - y ) = 800 . ii =1ii =1iii =1（1） 求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2） 求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）；（3） 根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区∑i =12020(x - x ) ( y - y ) 2∑ 2iii =180 ⨯ 90002 ∑ i =1∑y 这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数 r =∑（x i - x （) i =1y i - y )，=1.414.【答案】（1）12000 ；（2） 0.94 ；（3）详见解析【解析】【分析】（1） 利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2） 利用公式r =20(xi- x )( y i - y )i =1计算即可；（3） 各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i = 20⨯1200 = 60 ，地块数为 200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i ) 的相关系数为20(x i- x )( y i- y )800 2r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19. 已知椭圆 C 1：x a 2 2+ = 1(a >b >0)的右焦点 F 与抛物线 C 2 的焦点重合，C 1 的中心与 C 2 的 b 2n ∑ in （x - x ) （y - y )i =12∑ in2i =12 ∑ i =12020(x - x ) ( y - y )2∑ 2iii =12顶点重合．过 F 且与 x 轴重直的直线交 C 1 于 A ，B 两点，交 C 2 于 C ，D 两点，且|CD |= 4|AB |．3（1） 求 C 1 的离心率；（2） 若 C 1 的四个顶点到 C 2 的准线距离之和为 12，求 C 1 与 C 2 的标准方程．1Cx 2 y 2C 2【答案】（1） 2 ；（2） 1 ： += 1， 2 ： y 16 12= 8x .【解析】【分析】（1） 根据题意求出C 2 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设 A , C 在第一象限，运用代入法求出 A , B , C , D 点的纵坐标，根据| CD |= 4| AB | ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；3（2） 由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆C 1 的右焦点坐标为： F (c, 0) ,所以抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，其中c =.A , CC x 2 y2不妨设 在第一象限，因为椭圆 1 的方程为： a 2 + b2 = 1，x = cc 2 y 2 b 2A ,B b 2 b 2所以当时，有 + = 1 ⇒ y = ± ，因此 的纵坐标分别为 ， - ； a 2 b 2 a a a又因为抛物线C 2 的方程为 y 2 = 4cx ，所以当 x = c 时，有 y 2 = 4c ⋅ c ⇒ y = ±2c ，所以C , D 的纵坐标分别为2c ， -2c ，故| AB |=2b 2 ，| CD |= 4c . a48b 2cc 2 c c 1由| CD |= | AB |得4c = ，即3⋅ = 2 - 2( ) ，解得 = -2 （舍去）， = .3 3aa a a a 2 所以C 的离心率为 1.1 2x 2 y 2C （2）由（1）知a = 2c ， b = 3c ，故C 1 : 4c 2 + 3c2 = 1，所以1 的四个顶点坐标分别为(2c , 0) ， (-2c , 0) ， (0, 3c ) ， (0, - 由已知得3c + c + c + c = 12 ，即c = 2 .3c ) ， C 2 的准线为 x = -c . a 2 - b 21 11 1 Cx 2 y 2C 2所以 1 的标准方程为+ = 1， 2 的标准方程为 y 16 12= 8x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20. 如图，已知三棱柱 ABC –A 1B 1C 1 的底面是正三角形，侧面 BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，P 为 AM 上一点．过 B 1C 1 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．（1） 证明：AA 1//MN ，且平面 A 1AMN ⊥平面 EB 1C 1F ；（2） 设 O 为△A 1B 1C 1 的中心，若 AO =AB =6，AO //平面 EB 1C 1F ，且∠MPN =π，求四棱锥3B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2） 24 . 【解析】【分析】（1）由M , N 分别为 BC ，B 1C 1 的中点，MN //CC 1 ，根据条件可得 AA 1 / / BB 1 ，可证 MN //AA 1 ，要证平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN ，只需证明 EF ⊥ 平面 A 1 AMN 即可；（2）根据已知条件求得 S 四边形EB C F 和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得V B - E B C F .【详解】（1）∴ MN //BB 1M , N 分别为 BC ， B 1C 1 的中点，又 AA 1 / / BB 1∴ M N //AA 1MN //BB 1在等边 ABC 中， M 为 BC 中点，则 BC ⊥ AM 又 侧面 BB 1C 1C 为矩形，∴ BC ⊥ BB 1MN ⊥ BC由 MN ⋂ AM = M ， MN , AM ⊂ 平面 A 1 A MN∴ BC ⊥ 平面 A 1 A MN又 B 1C 1 //BC ，且 B 1C 1 ⊄ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，∴ B 1C 1 // 平面 ABC又 B 1C 1 ⊂ 平面 EB 1C 1F ，且平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 ABC = EF∴ B 1C 1 / / E F∴ EF //BC又 BC ⊥ 平面 A 1 AMN∴ EF ⊥ 平面 A 1 AMNEF ⊂ 平面 EB 1C 1F∴平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 AMN（2）过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，画出图形，如图3 3 3 ⨯ 63 3AO // 平面 EB 1C 1FAO ⊂ 平面 A 1 A MN ，平面 A 1AMN ⋂ 平面 EB 1C 1F = NP∴ AO //NP又NO //AP∴ AO = NP = 6O 为△A 1B 1C 1 的中心.∴ ON = 1 AC sin 60︒ = 1⨯ 6⨯sin 60︒ =3 1 1 3故： ON = AP = ，则 AM = 3AP = 3 ，平面 EB 1C 1F ⊥ 平面 A 1 A MN ，平面 EB 1C 1F ⋂ 平面 A 1 A MN = NP ，MH ⊂ 平面 A 1 AMN∴ MH ⊥ 平面 EB 1C 1F又 在等边 ABC 中EF =APBCAMAP ⋅ BC 即 EF === 2 AM由（1）知，四边形 EB 1C 1F 为梯形∴四边形 EB C F 的面积为： S=EF + B 1C 1⋅ NP = 2 + 6 ⨯ 6 = 241 1∴V= 1 S 四边形EB 1C 1F22⋅ h ， B -EB 1C 1F3 四边形EB 1C 1Fh 为 M 到 PN 的距离 MH = 2 3 ⋅sin 60︒= 3 ，∴ V = 1⨯ 24⨯ 3 = 24 .3【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21. 已知函数 f （x ）=2ln x +1．3（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；f (x) -f (a)（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=x -a的单调性．【答案】（1）c ≥-1 ；（2）g(x) 在区间(0, a) 和(a, +∞) 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式f (x) ≤ 2x +c 转化为f (x) - 2x -c ≤ 0 ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数g(x) 求导，把导函数g'(x)分子构成一个新函数m(x) ，再求导得到m'( x) ，根据m'( x) 的正负，判断m(x) 的单调性，进而确定g'(x) 的正负性，最后求出函数g(x) 的单调性.【详解】（1）函数f (x) 的定义域为：(0, +∞)f (x) ≤ 2x +c ⇒f (x) - 2x -c ≤ 0 ⇒ 2 ln x +1- 2x -c ≤ 0(*) ，设h(x) = 2 ln x +1- 2x -c(x > 0) ，则有h'(x) =2- 2 =2(1-x)，x x当x > 1 时，h' (x) < 0, h(x) 单调递减，当0 <x < 1时，h' (x) > 0, h(x) 单调递增，所以当x = 1 时，函数h(x) 有最大值，即h(x)max=h(1) = 2 ln1+1- 2 ⨯1-c =-1-c ，要想不等式(*) 在(0, +∞) 上恒成立，只需h(x)max≤ 0 ⇒-1-c ≤ 0 ⇒c ≥-1 ；（2）g(x) =2 ln x +1- (2 ln a -1)=2(ln x - ln a)(x > 0 且x ≠a) x -a x -a因此g'(x) =2(x -a -x ln x +x ln a)，设m(x) = 2(x -a -x ln x +x ln a) ，x(x -a)2则有m'(x) = 2(ln a - ln x) ，当x >a 时，ln x > ln a ，所以m' (x) < 0 ，m(x) 单调递减，因此有m(x) <m(a) = 0 ，即⎩ g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减；当0 < x < a 时， ln x < ln a ，所以m ' (x ) > 0 ， m (x ) 单调递增，因此有m (x ) < m (a ) = 0 ，即g '(x ) < 0 ，所以 g (x ) 单调递减，所以函数 g (x ) 在区间(0, a ) 和(a , +∞) 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在 答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修 4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 cos 2 θ 22. 已知曲线 C 1，C 2 的参数方程分别为 C 1： ⎨ y = 4sin 2 θ⎪ t （θ 为参数），C 2： ⎨ （t ⎪ y = t - 1 ⎩ t为参数）.（1） 将 C 1，C 2 的参数方程化为普通方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C 1，C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程.【答案】（1） C 1 : x + y = 4 ； C 2 : x 2 - y 2 = 4 ；（2） ρ = 17 cos θ . 5【解析】【分析】（1） 分别消去参数θ 和t 即可得到所求普通方程；（2） 两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 θ + sin 2 θ = 1 得C 1 的普通方程为： x + y = 4 ；⎪⎩ 2 2 2 2 2 ⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2 由⎨ 1 得： ⎨ 1 ，两式作差可得 2 的普通方程为： x - y = 4 . ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎪⎩ t ⎪⎩t 2 ⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2 = 4 ⎨ ⎪ ⎪ y = 3⎝ ⎭ ⎪⎩ 2设所求圆圆心的直角坐标为(a ,0) ，其中a > 0 ，⎛ 5 ⎫2 ⎛ 3 ⎫2 17 ∴ 17 则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a = ， 10 所求圆的半径r = ， 10 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴⎛ 17 ⎫2 ⎛ 17 ⎫2 2 2 17 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ， 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴所求圆的极坐标方程为 ρ = 17 cos θ .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. [选修 4—5：不等式选讲]23. 已知函数 f (x ) = x - a 2 + | x - 2a +1|.（1） 当a = 2 时，求不等式 f (x )…4 的解集；（2） 若 f (x )…4 ，求 a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3 或 x ≥ 11⎫ ；（2） (-∞, -1] [3, +∞) .⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 【解析】【分析】（1） 分别在 x ≤ 3 、3 < x < 4 和 x ≥ 4 三种情况下解不等式求得结果；（2） 利用绝对值三角不等式可得到 f( x ) ≥ (a -1)2 ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当a = 2 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 . 22 2 当 x ≤3 时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4 ，解得： x ≤ 3 ； 2当3 < x < 4 时， f (x ) = 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4 ，无解； 当 x ≥ 4 时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4 ，解得： x ≥ 11 ；2 综上所述： f ( x ) ≥ 4 的解集为⎧x x ≤3 或 x ≥ 11⎫ . ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ （2） f (x ) = x - a 2 + x - 2a +1 ≥ (x - a 2 ) - ( x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且 仅当2a -1 ≤ x ≤ a 2 时取等号），∴(a -1)2 ≥ 4 ，解得： a ≤ -1 或 a ≥ 3 ，∴a 的取值范围为(-∞, -1] [3, +∞) .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
打开导航窗口（书签），可以直接找到各个题目.
第 8 页 共 27 页
2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
第 6 页 共 27 页
2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
打开导航窗口（书签），可以直接找到各个题目.
第 7 页 共 27 页
2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
打开导航窗口（书签），可以直接找到各个题目.
第 4 页 共 27 页
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）班级:___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos (ωx+π6)在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+ 3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│−2│x−1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1.D解：由不等式x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A∩B={1,3}，2.C解：z=1+2i−i=1+i，则|z|=√12+12=√2，3.C解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′，则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0,ℎ′a>0，解得ℎ′a =√5+14．4.A解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，AOB，AOD，BOC，DOC，ABC，ADC，DBC，DAB，AOC，BOD，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．5.D用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．6.B解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3−1)2+(0−2)2=√8，弦长2√r2−OA2=2，7.C解：由图可知f(−4π9)=cos (−4π9ω+π6)=0，所以−4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得ω=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|ω|<2π<4π|ω|，所以1<|ω|<2，则当且仅当k=−1时，1<|ω|<2，所以|ω|=32，故最小正周期T=2π|ω|=4π3．8.B解：由alog34=log34a=2，可得4a=32=9，∴4−a=(4a)−1=9−1=1，99.C解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．10.D解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，11.B解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(−2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，所以||PF1|−|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=4，所以|PF1|⋅|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为12|PF1|⋅|PF2|=3，12.B解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径r=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.5解：∵a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，因为a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+1,2m−4)，所以m+1−(2m−4)=0，故m=5．15.2x−y=0解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x+1=2，故x0=1，此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y−2=2(x−1)所以切线方程为2x−y=0．16.7解：因为a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8=17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540−(5+17+ 29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2−a n=3n−1，所以a3−a1=2，a5−a3=8，a7−a5=14⋯a n+2−a n=3n−1，累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13=102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．17.解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90−25)+0.2×(50−25)+0.2×(20−25)+0.2×(−50−25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90−20)+0.17×(50−20)+0.34×(20−20)+0.21×(−50−20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．18.解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即28=3c2+c2−2√3c2cos150∘，解得c=2，所以a=2√3，所以S△ABC=12acsin B=12×2√3×2×12=√3．(2)因为A=180∘−B−C=30∘−C，所以sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30∘+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．19.解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32−1=√22，所以三棱锥P−ABC的体积V=13SΔABC⋅PO=13×12×√3×√3×√32×√22=√68．20.解：(1)当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，则f′(x)=e x−1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x−a(x+2)=0，显然x≠−2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<−2或−2<x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(−1)=1e ，当x <−2时，g(x)<0，当x >−2时，g(x)>0，所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点， 所以a 的取值范围为(1e ,+∞)．21. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m9(x +3)得，y C =6m9+m ，即C(−3m 2+279+m ,6m9+m )，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．22.(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)当k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23. (1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,x >15x −1,−13≤x ≤1−x −3,x <−13，图象如图所示：(2)函数f(x +1)的图象即将函数f(x)的图象向左平移一个单位所得，如图， 联立{y =−x −3y =5x +4可得交点横坐标为x =−76， 所以f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}．。
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷(文科)(A卷)(全国Ⅰ卷)
2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷（文科）（A卷）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合A＝{x|1−x≤0}，集合B＝{y|y＝2x+1, x∈R}，则A∩B＝（）A.(1, +∞)B.[1, +∞)C.(0, +∞)D.⌀2. 复数3i−2ii+1的共轭复数是（）A.−1+2iB.−1−2iC.2i+1D.−2i+13. 如图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（）A.2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数B.武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低C.2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天D.2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人4. 等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S10−S7＝27，则√a9=()A.±3√3B.3√3C.±3D.35. 角谷猜想，也叫3n+1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取n＝6，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若n＝5，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（）A.3 7B.715C.25D.356. 已知函数f(x)是偶函数，f(x+1)为奇函数，并且当x∈[1, 2]时，f(x)＝1−|x−2|，则下列选项正确的是（）A.f(x)在(−3, −2)上为减函数，且f(x)>0B.f(x)在(−3, −2)上为减函数，且f(x)<0C.f(x)在(−3, −2)上为增函数，且f(x)>0D.f(x)在(−3, −2)上为增函数，且f(x)<07. 如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（）A.16B.163C.32D.88. 双曲x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2＝a2在第一、二象限分别交于M，N两点，且|MN|＝a，则双曲线的离心率为（）A.12B.2√33C.√3D.29. 已知AB→=(1,0)，BC→=(−2,2)．若(λAB→+μAC→)⊥BC→，且|μAC→|=√10，则λ+μ的值为（）A.4√2B.±4√2C.6√2D.±6√210. 如图是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，设x0是函数f(x)在[−π4,π4]上的极小值点，则f(x0)+f(−x0)的值为（）A.0B.−3C.−2−√3D.−2+√311. 函数f(x)＝x tan x −e x 在(−π2,π2)上的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.412. 把圆心角为120∘的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ） A.38B.83C.827D.278二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，过F 作与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|＝3，则p ＝________．已知变量x ，y 满足{|x +y|≤1y +1≥02y ≤x ，则2x −y 的最小值为________．若函数f(x)={log 2(1−12x),x ≤11x +a,x >1 有最小值，则实数a 的取值范围为________．已知等比数列{a n }的公比为q(q >0)，前n 项和为S n ，且满足a 1＝q ，a 5＝a 1+S 4．若对一切正整数n ，不等式15−2n −2m +ma n >mS n ，恒成立，则实数m 的取值范围为________m <−3512 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分．在△ABC 中，有√3sin B +cos B =2． （1）求B ；（2）若A ＝45∘，角B 的角平分线BD 交AC 于D ，DC =3−√3，求边AD 的长．如图，在三棱锥P −ABC 中，PB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ，PB ＝BC ＝2，AC ＝1．（1）证明：AC ⊥平面PBC ；（2）求点C 到平面PBA 的距离．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4．且过点(−1,√142)． （1）求椭圆E 的方程；（2）设A(0, b)，B(0, −b)，C(a, b)，过B 点且斜率为k(k >0)的直线l 交椭圆E 于另一点M ，交x 轴于点Q ，直线AM 与直线x ＝a 相交于点P ．证明：PQ // OC （O 为坐标原点）．2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图：（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x ¯（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：(Ⅰ)根据数据求m 关于n 的线性回归方程；(Ⅱ)若m −x ¯≥4（x ¯是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y =b x +a 中，b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．已知函数f(x)＝ln x −ax 2．（1）判断函数f(x)在点x ＝1处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．（2）若f(x)有最大值g(a)，证明：g(a)≥−a ．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2＝ax(a <0)，曲线C 2:{x =2cos θy =2+2sin θ （θ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=3π4(ρ∈R)，l 与C 1，C 2分别交于异于极点的A ，B 两点且2|OB|＝|OA|．（1）写出曲线C 2的极坐标方程；（2）求实数a 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x −a|+2|x|(a >0)． （1）解不等式f(x)≥2a ；（2）若函数f(x)的图象与直线y ＝2a 围成的图形的面积为6，求实数a 的值．参考答案与试题解析2020年河北省张家口市高考数学模拟试卷（文科）（A卷）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A＝{x|1−x≤0}＝{x|x≥1}＝[1, +∞)，集合B＝{y|y＝2x+1, x∈R}＝{y|y>1}＝(1, +∞)，则A∩B＝(1, +∞)．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】∵3i−2ii+1=3i−2i(1−i)(1+i)(1−i)=3i−1−i=−1+2i，∴复数3i−2ii+1的共轭复数是−1−2i．3.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】直接利用折线图以及统计的相关知识逐一分析即可【解答】对于A，由图可知18日病例1660人，19日615人，大幅下降至三位数，故A正确；对于B，很明显，病例人数呈大幅下降趋势，故防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，故B正确；对于C，由图得到，病例低于400人的有2月20日、21日、23日、25日、26日、27日、3月1日、2日，共8天，故C正确；对于D，由图病例最多一天人数1690人比最少一天人数111人多了1579人，故D错误．4.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵S10−S7＝27，∴3a1+10×92d−7×62d＝27，化为：a1+8d＝9，∴a9＝9．则√a9=3．5.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据上述过程得出所有的整数，从而随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C62=15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m=C42=6，由此能求出这两个数都是偶数的概率．【解答】若n＝5，根据上述过程得出的整数有：5，16，8，4，2，1，随机选取两个不同的数，基本事件总数n=C62=15，这两个数都是偶数包含的基本事件个数m=C42=6，则这两个数都是偶数的概率为p=mn=615=25．6.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，分析可得f(x+4)＝f(x)，结合函数的解析式可得当x∈(−3, −2)时函数的解析式，据此分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x+1)为奇函数，则有f(x+1)＝−f(−x+1)，即f(x+2)＝−f(−x)，又由f(x)为偶函数，则f(−x)＝f(x)，则有f(x+2)＝−f(x)，即有f(x+4)＝f(x)，当x∈[1, 2]时，f(x)＝1−|x−2|＝x−1，若x∈(−3, −2)，则x+4∈(1, 2)，则f(x+4)＝(x+4)−1＝x+3，则当x ∈(−3, −2)时，有f(x)＝x +3，则f(x)为增函数且f(x)>f(−3)＝0； 故f(x)在(−3, −2)上为增函数，且f(x)>0； 7.【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体是三棱柱AD 1E −BC 1F ，底面三角形的面积为：12×2×4=4，三棱柱的高为4， 所以三棱锥的体积为：4×4＝16． 8. 【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的渐近线的方程代入圆x 2+y 2＝a 2中，解出x 的值，进而求出|MN|的值，由题意可得a ，c 的关系，求出离心率． 【解答】由双曲线的方程可得y ＝±ba x ，代入圆x 2+y 2＝a 2中可得b 2+a 2a 2x 2＝a 2，所以x 2=a 4c 2，即x ＝±a 2c ，所以|MN|＝2x =2a 2c=a ，可得e =c a=2，9.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得μAC →的坐标，由向量模的公式可得(−μ)2+(2μ)2＝5μ2＝10，解可得μ的值，又由向量垂直与数量积的关系可得(λAB →+μAC →)⋅BC →=0，变形分析可得λ＝3μ，进而可得λ+μ＝4μ，计算可得答案． 【解答】根据题意，AB →=(1,0)，BC →=(−2,2)，则AC →=AB →+BC →=(−1, 2)，则μAC →=(−μ, 2μ)， 若|μAC →|=√10，则有(−μ)2+(2μ)2＝5μ2＝10，解可得μ＝±√2，λAB →+μAC →=(λ−μ, 2μ)，若(λAB →+μAC →)⊥BC →，则(λAB →+μAC →)⋅BC →=(−2)(λ−μ)+(2μ)(2)＝−2λ+3μ＝0，则λ＝3μ， 则λ+μ＝4μ＝±4√2； 10. 【答案】 B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的最小值， 【解答】根据函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A ＝2，14⋅2πω=5π12−π6，∴ ω＝2．再根据五点法作图可得2×π6+φ＝0，∴ φ=−π3，故f(x)＝2sin (2x −π3)． 设x 0是函数f(x)在[−π4,π4]上的极小值点，2x −π3∈[−5π6, π6]，故2x 0−π3=−π2，∴ x 0=−π12，则f(x 0)+f(−x 0)＝−2+2sin (π6−π3)＝−2−1＝−3， 11. 【答案】 B【考点】函数的零点与方程根的关系 利用导数研究函数的极值 【解析】函数f(x)＝x tan x −e x在(−π2,π2)上的零点，显然x ＝0不是零点，所以问题即为tan x =e x x的根，也就是y ＝tan x 与y =e x x在(−π2,π2)上图象交点的个数，y ＝tan x 的图象容易画出，研究y =e x x在(−π2,π2)上的单调性，极值情况，做出图象，即可解决问题． 【解答】由已知得f(x)＝x tan x −e x在(−π2,π2)上的零点，由于x ＝0不是零点，所以问题即转化为tan x =e x x的根，也就是y ＝tan x 与y =e xx在(−π2,π2)上图象交点的横坐标． y ＝tan x 的图象容易画出． 令g(x)=e xx ，∴ g ′(x)=e x (1x −1x2)=e x⋅x−1x 2，显然x ∈(−π2,0)(0,1)时，g′(x)<0，故g(x)在(−π2,0),(0,1)上是减函数；当x ∈(1,π2)时，g′(x)>0，故g(x)在(1, π2)上是增函数． 且g(−π2)=−2πe π2<0，x →0(x <0)时，e xx →−∞；x →0(x >0)时，e xx →+∞；g(1)＝e >√3=tan π3>tan 1，g(π2)=2πe π2．同一坐标系画出y ＝tan x ，g(x)=e xx在(−π2,π2)上的图象：可见，y ＝tan x 与y ＝g(x)有且只有两个交点，故f(x)＝x tan x −e x 在(−π2,π2)上的零点个数为2个． 故选：B ． 12.【答案】 C【考点】 球内接多面体 【解析】由扇形围成一个圆锥，可得圆锥的底面半径的关系，可得圆锥的侧面积，求出圆锥的高，底面半径，外接球的半径之间的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．进而求出面积之比． 【解答】设圆锥的半径为l ，围成的圆锥的底面半径为r ，底面的圆心为O ′，圆锥的外接球的半径为R ，外接球的球心为O ，如图所示，由题意可得2πr ＝l ⋅23π，所以r =l3，所以圆锥的高PO ′=√PA 2−r 2=√l 2−l 29=2√23l ， 在△AOO ′中，OA 2＝r 2+(PO ′−OP)2，而OA ＝OP ＝R ，所以R 2=l 29+(2√23l−R)2，解得R =4√2所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π⋅932l 2=98πl 2，圆锥的侧面积S =122πr ⋅l =l 23π所以圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为l 23π9πl 28=827，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】 32【考点】 抛物线的性质 【解析】由题可知，x A =x B =p2，再结合抛物线的定义可知，|AB|＝x A +x B +p ，代入数据进行运算即可得解．【解答】由题可知，x A =x B =p2，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A +x B +p ＝2p ＝3， ∴ p =32．【答案】−1【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可． 【解答】变量x ，y 满足{|x +y|≤1y +1≥02y ≤x的可行域如图阴影部分，目标函数z ＝2x −y ，点A(−23, −13)，B(23, 13)，C(2, −1)，D(0, −1)． 直线在A 处的纵截距取得最大值，此时z 有最小值，z 的最小值：z ＝2×(−23)−(−13)＝−1，【答案】 [−1, +∞) 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】求出当x ≤1时函数的值域，当x >1时函数的值域，结合题意即可得出a 的取值范围． 【解答】当x ≤1时，函数f(x)=log 2(1−12x)，由复合函数的单调性可知，此时函数f(x)为减函数，故f(x)∈[−1, +∞)，当x >1时，函数f(x)=1x +a 为减函数，此时无最小值，但当x →+∞时，f(x)→a ，故f(x)∈(a, a +1)， 则依题意，需a ≥−1， 【答案】m <−3512【考点】数列与不等式的综合 【解析】先由已知条件求出等比数列的通项公式和前n 项和，代入不等式中，进行参变分离，转化为求f(n)的最值，作差判断数列的单调性，进而可以得到最小值，即可求出m 的取值范围． 【解答】 若q ≠1，由a 5＝a 1+S 4，可得a 1q 4＝a 1+a 1(1−q 4)1−q，即a 1(1−q 4)+a 1(1−q 4)1−q =0，a 1(1−q 4)(1+11−q )＝0解得q ＝a 1＝2，则a n ＝2n ，S n ＝2(2n −1)(1)对一切正整数n ，不等式15−2n −2m +m ⋅2n >2m(2n −1)恒成立， 化简得15−2n >m ⋅2n ， 分离可得m <15−2n 2n，设f(n)=15−2n 2n，则f(n +1)=13−2n 2n+1，f(n +1)−f(n)=2n−172n+1，当1≤n ≤8时，f(n +1)<f(n)，即f(9)<f(8)<...<f(1)(2)当n ≥9时，f(n +1)>f(n)，即f(9)<f(10)<…（3）所以f(n)的最小值为f(9)=−3512， 故答案为：m <−3512．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：共60分． 【答案】由√3sin B +cos B =2，知√32sin B +12cos B =1，可得：sin (B +30∘)＝1，∵ 0∘<B <180∘，∴ 30∘<B +30∘<210∘， ∴ B +30∘＝90∘，即B ＝60∘． ∵ A ＝45∘，B ＝60∘， ∴ C ＝75∘，∵ BD 为角平分线， ∴ ∠ABD ＝30∘，从而∠BDC ＝75∘＝∠C ， ∴ BD ＝BC ，设BD ＝BC ＝x ，在△BDC 中，根据余弦定理得(3−√3)2=x 2+x 2−2⋅x ⋅x ⋅cos 30，求得x =√6， 在△BAD 中，根据正弦定理得ADsin 30=√6sin 45，可得：AD =√3． 【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】（1）由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin (B +30∘)＝1，结合范围30∘<B +30∘<210∘，即可求解B 的值．（2）根据三角形的内角和定理可求C ＝75∘，又∠ABD ＝30∘，从而可求∠BDC ＝75∘＝∠C ，设BD ＝BC ＝x ，在△BDC 中，根据余弦定理求得x =√6，在△BAD 中，根据正弦定理即可求解AD 的值． 【解答】由√3sin B +cos B =2，知√32sin B +12cos B =1，可得：sin (B +30∘)＝1， ∵ 0∘<B <180∘，∴ 30∘<B +30∘<210∘， ∴ B +30∘＝90∘，即B ＝60∘． ∵ A ＝45∘，B ＝60∘， ∴ C ＝75∘，∵ BD 为角平分线， ∴ ∠ABD ＝30∘，从而∠BDC ＝75∘＝∠C ， ∴ BD ＝BC ，设BD ＝BC ＝x ，在△BDC 中，根据余弦定理得(3−√3)2=x 2+x 2−2⋅x ⋅x ⋅cos 30，求得x =√6，在△BAD 中，根据正弦定理得ADsin 30=√6sin 45，可得：AD =√3． 【答案】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴ PB ⊥AC ． 取PC 的中点D ，连接BD ， ∵ PB ＝BC ，∴ BD ⊥PC ．又∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，BD ⊂平面PBC ， ∴ BD ⊥平面PAC ．又AC ⊂平面PAC ，∴ BD ⊥AC ．∵ PB ∩BD ＝B ，∴ AC ⊥平面PBC ．由题意知平面PBA ⊥平面ABC ，AB 为交线，在Rt △ABC 中，过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于M ，则CM ⊥平面PBA ． 又AC ⋅BC ＝AB ⋅CM ，∴ CM =√5=2√55，∴ 点C 到平面PBA 的距离为2√55．【考点】点、线、面间的距离计算 直线与平面垂直【解析】（1）推导出PB ⊥AC ． 取PC 的中点D ，连接BD ，推导出BD ⊥PC ，从而BD ⊥平面PAC ．进而BD ⊥AC ．由此能证明AC ⊥平面PBC ．（2）过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于M ，则CM ⊥平面PBA ． 由AC ⋅BC ＝AB ⋅CM ，能求出点C 到平面PBA 的距离． 【解答】证明：∵ PB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴ PB ⊥AC ． 取PC 的中点D ，连接BD ， ∵ PB ＝BC ，∴ BD ⊥PC ．又∵ 平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，BD ⊂平面PBC ， ∴ BD ⊥平面PAC ．又AC ⊂平面PAC ，∴ BD ⊥AC ．∵ PB ∩BD ＝B ，∴ AC ⊥平面PBC ．由题意知平面PBA ⊥平面ABC ，AB 为交线，在Rt △ABC 中，过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于M ，则CM ⊥平面PBA ． 又AC ⋅BC ＝AB ⋅CM ，∴ CM =√5=2√55，∴点C 到平面PBA 的距离为2√55．【答案】由题可知，2c ＝4，c ＝2，∴ 椭圆的左，右焦点分别为(−2, 0)，(2, 0)． 由椭圆的定义知2a =√(−1+2)2+(√142)2+√(−1−2)2+(√142)2=4√2，∴ a =2√2，b 2＝a 2−c 2＝4，∴ 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．（另由题可知{1a 2+72b 2=1a 2−b 2=4，解得{b 2=4a 2=8 ）．证明：易得A(0, 2)，B(0, −2)，C(2√2,2)，直线l:y ＝kx −2与椭圆x 2+2y 2＝8联立，得(2k 2+1)x 2−8kx ＝0，∴ x M =8k2k 2+1，从而M(8k2k 2+1,4k 2−22k 2+1)，Q(2k,0)．∴ 直线AM 的斜率为4k 2−22k 2+1−28k 2k 2+1=−12，直线AM 的方程为y =−12k x +2．令x =2√2得P(2√2,−√2k+2)，∴ 直线PQ 的斜率k PQ =−√2k+22√2−2k=√2+2k 2√2k−2=√2(√2k−1)2(√2k−1)=√22． ∵ 直线OC 的斜率k OC =2√2=√22， ∴ k PQ ＝k OC ，从而PQ // OC ． 【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】（1）求出c ＝2，由椭圆的定义求出a ，然后求解b ，即可得到椭圆E 的方程．（另解：由题可知{1a 2+72b 2=1a 2−b 2=4，解得{b 2=4a 2=8）． （2）直线l:y ＝kx −2与椭圆x 2+2y 2＝8联立，求出MQ 的坐标，直线AM 的斜率，直线AM 的方程，然后求解直线PQ 的斜率．推出直线OC 的斜率，即可证明PQ // OC ． 【解答】由题可知，2c ＝4，c ＝2，∴ 椭圆的左，右焦点分别为(−2, 0)，(2, 0)．由椭圆的定义知2a =√(−1+2)2+(√142)2+√(−1−2)2+(√142)2=4√2，∴ a =2√2，b 2＝a 2−c 2＝4，∴ 椭圆E 的方程为x 28+y 24=1．（另由题可知{1a +72b =1a 2−b 2=4，解得{b 2=4a 2=8 ）．证明：易得A(0, 2)，B(0, −2)，C(2√2,2)，直线l:y ＝kx −2与椭圆x 2+2y 2＝8联立，得(2k 2+1)x 2−8kx ＝0，∴ x M =8k2k 2+1，从而M(8k 2k 2+1,4k 2−22k 2+1)，Q(2k,0)．∴ 直线AM 的斜率为4k 2−22k 2+1−28k 2k 2+1=−12，直线AM 的方程为y =−12kx +2．令x =2√2得P(2√2,−√2k+2)，∴ 直线PQ 的斜率k PQ =−√2k+22√2−2k=√2+2k 2√2k−2=√2(√2k−1)2(√2k−1)=√22． ∵ 直线OC 的斜率k OC =2√2=√22， ∴ k PQ ＝k OC ，从而PQ // OC ．【答案】∵ (0.005+0.012+a +0.035+0.015+0.003)×10＝1，∴ a ＝0.03．x ¯=5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2． (Ⅰ)∵ n ¯=1+2+3+4+5+6+77=4，m ¯=10+15+12+20+30+25+357=21，∑ 7i=1(n i −n ¯)(m i −m ¯)=(1−4)×(10−21)+(2−4)×(15−21)+(3−4)×(12−21)+(4−4)×(20−21)+(5−4)×(30−21)+(6−4)×(25−21)+(7−4)×(35−21)＝113， ∴ b =11328，a =21−11328×4=347， ∴ m 关于n 的线性回归方程为m =11328n +347．（1）当n ＝8时，m =11328×8+347=2607．∵2607−30.2>4，∴ 估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）利用频率分布直方图的面积为1，求出a ，求出这100位居民锻炼时间的平均值x ¯即可． (2)(Ⅰ)求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，得到截距，然后求解回归直线方程． (Ⅱ)当n ＝8时，求出m ．利用“有效运动日”的定义．估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【解答】∵ (0.005+0.012+a +0.035+0.015+0.003)×10＝1，∴ a ＝0.03．x ¯=5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2． (Ⅰ)∵ n ¯=1+2+3+4+5+6+77=4，m ¯=10+15+12+20+30+25+357=21，∑ 7i=1(n i −n ¯)(m i −m ¯)=(1−4)×(10−21)+(2−4)×(15−21)+(3−4)×(12−21)+(4−4)×(20−21)+(5−4)×(30−21)+(6−4)×(25−21)+(7−4)×(35−21)＝113， ∴ b =11328，a =21−11328×4=347，∴ m 关于n 的线性回归方程为m =11328n +347．（1）当n ＝8时，m =11328×8+347=2607．∵2607−30.2>4，∴ 估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【答案】∵ f ′(x)=1x −2ax ，f ′(1)＝1−2a ，切点坐标为(1, −a)，∴ f(x)在x ＝1处的切线方程为y +a ＝(1−2a)(x −1)， 即y ＝(x −1)+a(1−2x)，令1−2x ＝0，得x =12，y =−12． ∴ f(x)在x ＝1处的切线过定点．其坐标为(12,−12)． 证明：由题知，f(x)的定义域为(0, +∞)． f ′(x)=1x−2ax =1−2ax 2x．若a ≤0，则f ′(x)>0恒成立，f(x)在(0, +∞)上单调递增，f(x)无最大值． 若a >0，令f ′(x)＝0，得x =−√12a（舍）或x =√12a，当x ∈(0,√12a )，f ′(x)>0；当x ∈(√12a ,+∞)时，f ′(x)<0， 故f(x)在(0,√12a )上单调递增，在(√12a ,+∞)上单调递减， 故f(x)max =f(√12a )=ln √12a−a(√12a)2=−12ln 2a −12，即g(a)=−12ln 2a −12．若证g(a)≥−a ，可证a −12ln 2a −12≥0，令2a ＝t ，a =t2，则有t 2−12ln t −12≥0，即证t −ln t −1≥0． 设p(t)＝t −ln t −1(t >0)，则p ′(t)=1−1t ．当t ∈(0, 1)时，p ′(t)<0，p(t)单调递减；当t ∈(1, +∞)时，p ′(t)>0，p(t)单调递增， 故p(t)min ＝p(1)＝0．∴ p(t)≥0，即g(a)≥−a ． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）f ′(x)=1x −2ax ，f ′(1)＝1−2a ，切点坐标为(1, −a)，可得f(x)在x ＝1处的切线方程为y +a ＝(1−2a)(x −1)，化简y ＝(x −1)+a(1−2x)，进而得出结论． （2）由题知，f(x)的定义域为(0, +∞)．f ′(x)=1x −2ax =1−2ax 2x．对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性可得极值最值，进而证明结论． 【解答】∵ f ′(x)=1x −2ax ，f ′(1)＝1−2a ，切点坐标为(1, −a)， ∴ f(x)在x ＝1处的切线方程为y +a ＝(1−2a)(x −1)， 即y ＝(x −1)+a(1−2x)，令1−2x ＝0，得x =12，y =−12． ∴ f(x)在x ＝1处的切线过定点．其坐标为(12,−12)． 证明：由题知，f(x)的定义域为(0, +∞)． f ′(x)=1x−2ax =1−2ax 2x．若a ≤0，则f ′(x)>0恒成立，f(x)在(0, +∞)上单调递增，f(x)无最大值． 若a >0，令f ′(x)＝0，得x =−√12a（舍）或x =√12a ，当x ∈(0,√12a)，f ′(x)>0；当x ∈(√12a,+∞)时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,√12a)上单调递增，在(√12a,+∞)上单调递减， 故f(x)max =f(√12a )=ln √12a −a(√12a )2=−12ln 2a −12，即g(a)=−12ln 2a −12．若证g(a)≥−a ，可证a −12ln 2a −12≥0，令2a ＝t ，a =t2， 则有t2−12ln t −12≥0，即证t −ln t −1≥0．设p(t)＝t −ln t −1(t >0)，则p ′(t)=1−1t ．当t ∈(0, 1)时，p ′(t)<0，p(t)单调递减；当t ∈(1, +∞)时，p ′(t)>0，p(t)单调递增， 故p(t)min ＝p(1)＝0．∴ p(t)≥0，即g(a)≥−a ．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 【答案】曲线C 2:{x =2cos θy =2+2sin θ （θ为参数）转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2＝4，转换为极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ．曲线C 1:y 2＝ax(a <0)，转换为极坐标方程为ρ2sin 2θ＝aρcos θ，整理得ρsin 2θ＝a cos θ．所以{ρsin 2θ=a cos θθ=3π4，解得ρA =−√2a ，同理{ρ=4sin θθ=3π4，解得ρB =2√2，由于2|OB|＝|OA|，整理得4√2=−√2a ，解得a ＝−4． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，求出参数a 的值． 【解答】曲线C 2:{x =2cos θy =2+2sin θ （θ为参数）转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2＝4，转换为极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ．曲线C 1:y 2＝ax(a <0)，转换为极坐标方程为ρ2sin 2θ＝aρcos θ，整理得ρsin 2θ＝a cos θ． 所以{ρsin 2θ=a cos θθ=3π4，解得ρA =−√2a ，同理{ρ=4sin θθ=3π4 ，解得ρB =2√2，由于2|OB|＝|OA|，整理得4√2=−√2a ，解得a ＝−4． [选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】若x ≥a ，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝x −a +2x ＝3x −a ， 由f(x)≥2a ，得3x −a ≥2a ，即x ≥a ，则x ≥a ；若0≤x <a ，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝−x +a +2x ＝x +a ， 由f(x)≥2a ，得x +a ≥2a ，即x ≥a ，此时x ∈⌀；若x <0，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝−x +a −2x ＝−3x +a ，由f(x)≥2a ，得−3x +a ≥2a ，即x ≤−a 3，则x ≤−a3．∴ 不等式f(x)≥2a 的解集为{x|x ≤−a3或x ≥a}；由（1）知，f(x)={3x −a,x ≥ax +a,0≤x <a −3x +a,x <0 ，作出函数的图象如图：第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页则S △ABC =12×|a −(−a3)|×|2a −a|=2a 23=6，解得a ＝3(a >0)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）分类写出分段函数解析式，代入f(x)≥2a ，求解后取并集得答案；（2）作出分段函数的图象，画出图形，由函数f(x)的图象与直线y ＝2a 围成的图形的面积为6列式求解a 值．【解答】若x ≥a ，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝x −a +2x ＝3x −a ，由f(x)≥2a ，得3x −a ≥2a ，即x ≥a ，则x ≥a ；若0≤x <a ，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝−x +a +2x ＝x +a ，由f(x)≥2a ，得x +a ≥2a ，即x ≥a ，此时x ∈⌀；若x <0，则f(x)＝|x −a|+2|x|＝−x +a −2x ＝−3x +a ，由f(x)≥2a ，得−3x +a ≥2a ，即x ≤−a 3，则x ≤−a3．∴ 不等式f(x)≥2a 的解集为{x|x ≤−a3或x ≥a}；由（1）知，f(x)={3x −a,x ≥ax +a,0≤x <a −3x +a,x <0， 作出函数的图象如图：则S △ABC =12×|a −(−a3)|×|2a −a|=2a 23=6，解得a ＝3(a >0)．。
2020年全国高考新课标1卷文科数学试题(word文档完整版小题也有详解)
2020年全国高考新课标1卷文科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-3x -4≤0}，B ={-4,1,3,5}，且A ∩B =( )A ．{-4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 2．若z =1+2i +i 3，则|z |=( )A ．0B ．1C 2D ．2 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．5124．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A ．15B ．25C ．12D ．455．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (x i . y i )(i =1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之 间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是( ) A ．y=a+bx B ．y=a+bx 2 C ．y=a+be xD ．y=a+b ln x6．已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．设a log 34=2，则4-a =( )A ．116B ．19C ．18D ．169．执行下面的程序框图，则输出的n =( )A ．17B ．19C ．21D ．2310．设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( ) A．12 B．24 C．30 D．3211．设F1, F2是双曲线C：2213yx-=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则∆PF1F2的面积为( )A．72B．3 C．52D．212．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )AA．64πB．48πC．36πD．32π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．若x,y满足约束条件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y的最大值为.14．设为(1,1)(1,24),a b m m a b-=+-⊥=，若，则m= .15．曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.16．数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年河北省高考数学试卷（文科）（新课标I ）一、选择题：本题共22小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集={x\x 2 - 3x - 4 < 0}, B={-4, 1, 3, 5},贝）］A H B=（） A.{-4, 1}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3}【答案】D【考点】 交集及其运算 【解析】求解一元二次不等式得到集合止再由交集运算得答案. 【解答】集合/1 = {%|%2-3%-4<0} = （-1, 4）, B ={-4, 1,3,5}, 则AHB={l t 3},2. 若z = l + 2i + 卢，贝lj|z |=（） A.OB.lC.V2D.2【答案】C【考点】 复数的模 【解析】根据复数的左义化简原式，并通过模长公式求解即可. 【解答】z = l + 2i+ i 3=l + 2i- i = l + i,|z | = Vl 2 + l 2 = V2.3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四 棱锥的高为边长的正方形而枳等于该四棱锥一个侧而三角形的而积，则苴侧而三角形 底边上的高与底而正方形的边长的比值为（）Vs+i 2【答案】B.竽C.空4c【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧而积和表而积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.【解答】设正四棱锥的髙为比底而边长为a,侧而三角形底边上的髙为卅，h2 = ^ah2 庆2十_（护则依题意有:因此有屮一02 =扣卅n 4（护_ 2（》_ 1=0 => ?=警（负值舍去）;4•设O为正方形&3CD的中心，在0,力，3, C, D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【考点】古典概型及其概率讣算公式【解析】根据古典概率公式即可求出.【解答】o. A, B, C, D中任取3点，共有= 10种, 其中共线为4，O, C和3, O, D两种，故取到的3点共线的概率为5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度兀（单位：。
C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（SX）a・ = b 2―20）得到下而的散点图：由此散点图，在1CTC至4（TC之间，下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是（）A・y=a + bx B.y=a + bx2 C.y=a + be x D.y=a + b\r\x【答案】D【考点】求解线性回归方程【解析】直接由散点图结合给岀的选项得答案.【解答】由散点图可知，在10弋至4(TC之间，发芽率y和温度x所对应的点(x,刃在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y=a +blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型.6.已知圆x2+y2-6x = 0,过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.lB.2C.3D.4【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】由相交弦长|朋|和圆的半径r及圆心C到过D(l, 2)的直线的距离d之间的勾股关系，求岀弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d 的最大值，进而求出弦长的最小值.【解答】由圆的方程可得圆心坐标C(3,0),半径r = 3；设圆心到直线的距离为d,则过D(l, 2)的直线与圆的相交弦长\AB\=2>/^d^, 当d最大时弦长最小，当直线与CD所在的直线垂宜时d最大，这时d = \CD\ = V(3-l)2 + (2-0)2 = 2V2,所以最小的弦长|的=2」32 — (2返严=2,7.设函数/•(X)=COS(3X+9在［―TT, 7T］的图象大致如图，则n>)的最小正周期为()【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】由图象观察可得最小正周期小于罟，大于罟，排除4, D：再由f(—¥)=0,求得s 对照选项B, C,代入汁算，即可得到结论.【解答】由图象可得最小正周期小于兀一(—却=罟，大于2X(—手)=乎排除4, D：由图象可得几一手尸cos(-手3 + £) = 0,即为一—60 + - = kn + -, k E Z, (*)9 6 2 、'若选即有3 =筹=刍由一夢X乎+ £=航+ £可得k不为整数，排除&—7 9 7 6 26若选C,即冇3 =券=专，由一¥ X寸+ & =炽+扌，可得k = —1,成立.8.设alog34=2,贝!|4"a=()A•估 B.f C-i D'i【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】直接根拯对数和指数的运算性质即可求出.【解答】因为alog34 = 2,则log34a = 2,则4a = 32=9则/a =右=g9.执行如图的程序框图，则输出的71=()A.17B.19C.21D.23【答案】c【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变虽:九的值，分析 循环中各变量值的变化情况， 【解答】n=l, 5 = 0,第一次执行循环体后，S = l, 第二次执行循环体后，S=4, 第三次执行循环体后，S=9, 第四次执行循环体后，S = 16, 第五次执行循环体后，S = 25, 第六次执行循环体后，S = 36, 第七次执行循环体后，S=49, 第八次执行循环体后，S = 64, 第九次执行循环体后，S = 81. 第十次执行循环体后，S = 100,不满足退岀循环的条件，n=21：第十一次执行循环体后，S = 121,满足退岀循环的条件， 故输出n 值为21,10. 设｛a”｝是等比数列，且a ± + a 2 + «3 =1 ♦ ^2 + ^3+ a 4 = 2,则6^ +07 +08=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【考点】 等比数列的性质 【解析】根据等比数列的性质即可求出. 【解答】｛a”｝是等比数列,」La 】+ a 2 + a 3 = l »则a? + § + CI4 =q(cii + a? + 勿)，即q = 2,+ a? + Qg = Q 5(a i + 如 + ^3)= 2' X 1 = 32,11. 设F],尸2是双曲线C ：x 2-^-= 1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP| = 2,S则A PF^z 的而枳为()A.-B.32【答案】B【考点】 双曲线的离心率可得答案.n=3 ； 71 = 5； n=7； n=9； n = ll ： n =13； n = 15：不满足退出循环的条件， 不满足退出循环的条件， 不满足退出循环的条件， 不满足退出循环的条件, 不满足退出循环的条件, 不满足退出循环的条件, 不满足退出循环的条件, 不满足退出循环的条件, 不满足退岀循环的条件,【解析】先判断NPFR为直角三角形，再根据双曲线的左义和直角三角形的性质即可求岀.【解答】由题意可得a = l，b = V3, c = 2,/. \F L F2\=2C=4,•: |0P|=2,•••\OP\=^\F L F2\,:.A PF±F2为直角三角形，・•・PF】丄PF2,・•・\PF L\2+\PF2\2=4C2=16.••• ||PEITPF2||=2a = 2,••• |PF1|2 + |PF2|2-2|PF1|-|PF2|=4,••• |昭|・|阴|=6,・・• N PF\F2的面积为S = ||PF1| ・ |PF2|=3,12.已知4, B, C为球O的球而上的三个点，G)Oi为'ABC的外接圆.若O 0】的而积为4兀,AB= BC=AC=OO L,则球0的表而积为()A.647TB.487TC.367TD.32/T【答案】A【考点】球的表而积和体积【解析】画岀图形，利用已知条件求出00丄，然后求解球的半径，即可求解球的表而积.【解答】由题意可知图形如图：O 01的而枳为47T，可得0±A=2,贝I」讦Msin60。
,・•・ AB = BC=AC = OO1=2\r39外接球的半径为：R = J AO/+00±2 = 4,球0的表而积：4 X 7T X 42=647T・二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(2x + y - 2 < 0,若a y满足约束条件兀一y-lNO,贝iJz=x + 7y的最大值为____________________ ・(y + 1 > 0,【答案】1【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可. 【解答】(2x + y - 2 < 0,X, y满足约束条件x-y-1 >0,,(y+l>0,不等式组表示的平而区域如图所示，^x-y-l = 0 *可得心°)时’目标函数z=x+7y‘可得歹=_钗+討, 当直线y = -# +扌z过点4时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1 +7X0 = 1.设向虽a=(l, —1), b = (m + 1, 2m — 4),若a 丄b,则m= ________________ .【答案】5【考点】向量的概念与向量的模【解析】根据向量垂直的条件可得关于TH的方程，解之可得结果.【解答】向星a = (1, —1), b = (m + 1, 2m — 4),若a 丄b,T T则a - b = m + 1 —(2m — 4)=—m + 5 = 0,则m=5,曲线y=lnx + x+ 1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为___________________ •【答案】y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得函数y = lnx+x + l的导数，设切点为(m, n),可得切线的斜率，解方程可得切点, 进而得到所求切线的方程.【解答】y = lnx + x + 1的导数为y，=扌+ 1,设切点为(m, n),可得k = l + ^= 2,解得m = l,即有切点(1, 2),则切线的方程为y-2 = 2(兀一1),即y=2x,数列｛aj满足％+2 + (~l)"a n=3n 一1,前16项和为540,则勺= ___________________ .【答案】【考点】数列递推式【解析】在已知数列递推式中，分别取71为奇数与偶数，可得a n-a n_2=3(n-2)- 1与a n+2+ a n=3n-l,利用累加法得到九为奇数时“与a】的关系，求出偶数项的和，然后列式求解a—【解答】由a n+2 + (_1)Wa n =3n - 1，当为奇数时,有a“+2 —a“=3n—1,可得a” —a“-2 = 3@ — 2) —1»• • •口3 —a l =3 • 1 ~ 1 ♦累加可得ttn —=3[1 + 3+・・・+(n — 2)] —_ [l+(n-2)J n-1 (n-l)(3n-S)=3 • —■ — = —4:当九为偶数时,a”+2 + a” =3n — I,可们。