单位载荷法--莫尔积分
莫尔定理在钢板弹簧刚度计算中的应用
２Ｐ ｒ、一
—
２Ｐ
一 — ｆ—一 ｆＪ＋ｆ＿２＋…＋ｆ ＋ｆ８
（２０）
一 ｘｌ 玎３ ｘ２ ６Ｅ露噩３ ｈ ｘ８ （２１）
将式 （１７）代人式 （２１），即可求 出板簧在载
z z z PsgiolePfrp
轻型 汽 车技 术 ２０１６（４）
ｄ ｐ
＝
，●●●ｆ●』
Ｐ
技 术 纵横 ７
荷 Ｐ下 的刚度 。
在副簧接触后 ，由于作用力的增大 ，板簧刚度
也 随之 增大 ，其变 形量 ：
而其变形量 ：
Ｖ ２＝单 ‘
（２５）
８ ２＝ 粤
（２２）
●ｌ ８ ３＝
。
（２６）
将 式 （２１）代 人式 （２２）得 ：
其 中 一 副簧长度之半 ；
Ｃ ——主、副簧完全接触后 ，板簧刚度。
受 的弯矩 ；
注 ：钢板 弹簧总共十片 ，其中主片三片 。
Ｍ ）＿一 在单位载荷 Ｐ＝ＩＮ的作用下 ，截面 不相同，故需对钢板弹簧分八段进行计算。
戈所 承受 的弯 矩 ；
ｘｌ段 ：
现通过 以下几种钢板弹簧的计算推导 ，来介
Ｍ ）＝ｐ×
（２）
绍莫 尔定 理在 钢板 弹簧 刚度计 算 中的应 用 。
丧） ＥＩｍ（１
·
一
ｆｍ 、
（１６）
５：
其中 Ｉ 一主簧总惯性矩 ；
四架 板 簧 刚 度 的 实 测 结 果 为 ９３～９３．５Ｎ／ｍｍ，
ｚ 一主簧长度之半 ；
与理论 计算 结果基 本相 符 。
Ｒ 一主簧在 自由状态下的曲率半径 ；
４ 渐 变 刚度 板 簧
莫尔积分法计算公式推导
莫尔积分法计算公式推导莫尔积分法的公式推导。
莫尔积分法是一种常见的数值积分方法，它通过将被积函数展开为一组基函数的线性组合，然后利用基函数的正交性质来进行积分计算。
在本文中，我们将详细推导莫尔积分法的公式，以便更好地理解这一数值积分方法的原理和应用。
1. 基函数展开。
首先，我们假设被积函数f(x)可以展开为一组基函数φi(x)的线性组合，即。
f(x) = Σi=1n ciφi(x)。
其中ci为展开系数，φi(x)为基函数。
我们要求基函数φi(x)在积分区间[a, b]上是正交的，即。
∫a^b φi(x)φj(x) dx = 0, i ≠ j。
这样，我们就可以利用基函数的正交性质来简化积分计算。
2. 莫尔积分公式。
根据莫尔积分法的原理，我们可以将被积函数f(x)在积分区间[a, b]上进行展开，得到。
f(x) = Σi=1n ciφi(x)。
然后，我们将被积函数f(x)乘以基函数φj(x)，并在积分区间[a, b]上进行积分，得到。
∫a^b f(x)φj(x) dx = Σi=1n ci∫a^b φi(x)φj(x) dx。
由于基函数φi(x)在积分区间[a, b]上是正交的，即∫a^b φi(x)φj(x) dx = 0, i ≠j，因此上式右边的求和只有在i = j时才会有非零项，即。
∫a^b f(x)φj(x) dx = cj∫a^b φj(x)φj(x) dx。
这样，我们就得到了莫尔积分法的公式：cj = ∫a^b f(x)φj(x) dx / ∫a^b φj(x)φj(x) dx。
3. 数值计算。
莫尔积分法的公式可以用于数值计算被积函数f(x)在积分区间[a, b]上的积分值。
具体地，我们可以选择一组合适的基函数φi(x)，计算出展开系数ci，然后利用展开系数ci和基函数φi(x)的正交性质来进行积分计算。
常见的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式、Hermite多项式等，它们在不同的积分区间和被积函数下有不同的适用性。
单位载荷法--莫尔积分
M 2 ( x) = M ( x) + M ( x) ∴ U 2 = ∫
l
[ M 2 ( x )]
2 EI
2
dx
[ M 2 ( x )]
2 EI
2
M 2 ( x) + M 2 ( x) + 2 M ( x) M ( x) dx dx = ∫ 2 EI l
M ( x)M ( x) dx ∴δ = ∫ EI l
=∫ T ( x)T ( x) dx GI P l
4、计算杆发生轴向拉压变形的位移： ： n N . N .l i 5、计算桁架节点位移： 桁 ： δ =∑ i =1 E i Ai 6、计算结构组合变形的位移： ：
N ( x) N ( x) δ =∫ dx EA l
δ =∫
M(x)M(x) T(x)T(x) N(x)N(x) dx+ ∫ dx+ ∫ dx EI EA l l GI l P
x1
q
l 2
x2
A
ql 2
C
B
l 2
解: 求 δC 1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象 1)求约束反力: 为此取AB 2)列原载荷引起的内力方程: 2)列原载荷引起的内力方程 列原载荷引起的内力方程:
x1
P0 = 1
l 2
ql 2
x2
A
1 2CB1 2ql q 2 M ( x1 ) = x1 − x1 2 2
a
B
x2 EI 1
x1
P 例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A 图示刚架，各段刚度已标出， 点的铅垂位移与B 点的铅垂位移与B点的转角 A
1)列原载荷引起的内力方程: 1)列原载荷引起的内力方程 解： 列原载荷引起的内力方程:
材料力学莫尔定理
中的正负号所表示的含义：
“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。
“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。
为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符 号…标明实际位移方向。
注意：
上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两 个板面左右，以提高“讲”的效果。
五.莫尔定理在平面曲杆的应用：
〈对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲 正应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将 计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆〉挠度和转角的近 似计算公式：
f
S
M
sM
0
s
ds
EIZ
S
M sM
EI
0
s
ds
（10-12）
式中：S
M s
M 0s 矩
不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产
生影响，剪力也要产生影响，但当
L H
4
时，剪力的影响相对
于弯矩的影响来说是很小的， 故可略而不计，而近似地认为梁的
变形都是由于 M x 的影响而产生的。
在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学 习两种能量方法：1，莫尔定理。2，卡氏定理。其中莫尔定理是 今天这节课的内容。并且，在变形能概念的基础上来研究莫尔定 理。
c
L
M
x
M
0
x
dx
EI Z
U1
——计算转角的莫尔定理
EI 2
M0
x 三.总结：
1.莫尔定理——单位力法 2.适用范围——线弹性结构
C
北京科技大学—材料力学—13章7-8莫尔积分汇编
3、计算桁架节点位移：
B
N i N i li Ei Ai i 1
n
P
A
1
4 3
C 5
P
例3：图示简单桁架，各杆 长度均为a ，且EA相同， 试求B、D两节点的相对位 移。
2
D
解： 1)列原载荷引起的内力方程:
B
1 A 3 2 D
1
4 C 5
N1
P
N3
N1 N2 N4 N5 P P o A N2 3 B 03 soc 2 N4 N P 3 3
解: 求 C
1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象
2)列原载荷引起的内力方程:
A
1 2
x1
l 2
P0 1
ql 2
x2
C
B
1 2
ql q 2 M ( x1 ) x1 x1 2 2
3)施加单位载荷:
l x 0, 1 x l 1 0, 2
l 2
4)列单位载荷引起的内力方程:
N1
2)施加单位载荷:
1
3)列单位载荷引起的内力方程:
1
B 1 A 3 2 D
1
4 C 5
N1
A
B
N2
N1 N2 N4 N5 0
A
1 d ds
解： 1)列原载荷引起的内力方程:
M ( ) PR(1 cos )
M ( ) R(1 cos )
R
2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:
3)由莫尔积分求 Ay :
Ay
1 EI
3 PR 3 3 PR 2 M ( ) M ( ) Rd (1 cos ) d EI 0 2 EI 0
莫尔定理
(Energy methods)
例5
• 求活塞环在P力 作用下切口的张 开量
φ A B P P
M(φ )= -PR(1-cosφ ) PR(1-
(Energy methods)
施加单位力如下
M(φ )= -R(1-cosφ ) (1最后用莫尔 积分可得
3πPR3 δ AB= ————
EI φ A B 1 1
P
A
1
a
2 3
B a
4
例4
• 桁架各杆EA相 同,求AC间的相 对位移
F
5 7
C a
8
6
E
9
D
(Energy methods)
A
1
a
2 3
B a
4
1
欲求AC间的相 欲求AC间的相 对位移,可在AC 对位移,可在AC 间施加一对单位 力,求出这时的内 力,再应用莫尔积 分求解
F
5 7
C a
8
6
E
9
D
(Energy methods)
三、使用莫尔定理的注意事项
（1）M(x)：结构在原载荷下的内力; 结构在原载荷下的内力; （2） M ——去掉主动力,在所求 广义位移点,沿所求广义位 ——去掉主动力 去掉主动力, 广义位移点,沿所求广义位 移的方向加广义单位力时,结构产生的内力; 移的方向加广义单位力时,结构产生的内力; （3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲; 所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲; （4）M(x)与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由 的坐标系必须一致, 建立; 建立; （5）莫尔积分必须遍及整个结构. 莫尔积分必须遍及整个结构.
单位载荷法-莫尔积分
1
A
B
C
在单位力的作用下，梁的应变能为
M 2(x)dx
V0 L 2EI
再将原来一组载荷作用于梁上 。
F1 Fi
A
Fn
C
1
B
wc
由于材料服从胡克定律,且变形很小, 外载的作用，在C点发生的挠度即为所求wC 。
外载在梁上作的功仍等于 V M 2 (x) d x
L 2EI
单位力F0=1在外载下产生wC的过程中一直保持为常量，
M(x) ：实际载荷引起的弯矩； M (x) ：单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
c
M (x)M (x)d x
L
EI
求挠度，在欲求截面处沿挠度方向施加一单位力，
求转角，在欲求截面处施加一单位力偶。
拉压杆或桁架的莫尔积分
n FNi FNi li
i1 Ei Ai
扭转变形的莫尔积分
n Ti Ti li
例：平面刚架受力如图示，试求A截面的垂直位移及转角。
q
B
A
l
l
C
B x
2
l
q
A x
1
l
B x
2
l
1 A
x
l1
C
C
解：求A截面铅垂位移（在A点加竖向单位力）
AB段：M
(
x1
)
qx12 2
M (x1) x1
BC段：M
(
x2
)
ql 2 2
M (x2 ) l
Cy
1( EI
l 0
qx13 2
dx1
FN (x)FN (x) d x M (x)M (x) d x T (x)T (x) d x
材料力学( 最新 )能量法
U W
• 10-2
杆件变形能的计算
P P
•轴向拉压 •轴力P与轴向变形成正比 •当轴力N沿轴向为变量时
N 2 ( x)dx dU udV dV Pl 2 2 EA N 2 ( x)dx dU 2 EA N 2 ( x)dx U dU l l 2 EA
' 4
1 1 U b P 3 P4 4 3 2 2
P3
P 4
A
B
1'
' 2
3
4
• 10-4
P 1
互等定理
P 2
A
P3
P 4
B
' 4 4
1
' 1
2
' 2
3
' 3
1 1 1 1 ' U1 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 1' P2 2 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ' ' U 2 P 1 P2 2 P 3 P4 4 P 3 P4 4 1 3 3 2 2 2 2
U1 U 2
P 1' P2 2' P3 3' P4 4' 1
•功的互等定理
P P P P
' 1 1 ' 2 2 ' 3 3 ' 4 4
•第一组力在第二组力引起的位移上做的功，等 于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功
' 当P2和P4等于零时 P 1' P3 3 1
V wA ε FP
FP2l 3 x 2dx 0 6 EI
l
FP l 3 wA () 3EI
摩尔积分的图形互乘法
利用叠加法画。
m2 m2
m1 m1 m1 m1
利用画梁的弯矩图。
m2 m2
利用叠加法画。
m2 m2
A
ql 2
A
q
ql
2 利用叠加法画弯矩图。 xB l
非顶点
q
B
（方法1）分开画。
0.5ql 2
ql
2
A
B
0.5ql 2
利用叠加法画弯矩图。
A
ql 2
q
ql 2
M x ql x 1 qx2
xB
2
l
A
l
1 2
ql
2
1 2
ql
2
解：
1 yC
1 EI
1 3
l
ql 2 2
3l 4
ql 2 l
2
l 1 l ql2 l 22
5ql 4 8EI
1 ql2
1
xC
EI
2
l
l 2
1l 2
ql 2 2
2l 3
ql 4
12EI
例 求图示刚架C点的水平位移x C和转角 C。 EI已知。
Fl
a D 解 ：（1）叠加法作载荷弯矩图
qa2/2 1
（2）作单位力弯矩图
C1 2
C3
C2
qa2/2
3 1
（3）进行图乘
1
qa 2
a
1 2 2a 2 M0C1 2
1
qa 2
2 2 2a 2
2a M0C2 3
M 0CM1 0C 2
a M0C 3
3
a 3
qa 2 2
yD
1 EI
1
1025_26_能量 虚功原理 单位载荷法
服从胡克定律，有dxV EI x) (轴向拉压扭转22C P =311)P 2ni ii δ==∑对于线弹性体，比例加载的情况是正确的。
弹性体力学的普遍定理之一。
对于线弹性体，第一力系在第二力系所引起的相应位移上所做的功，等于第二力系在第一力系引起的相应位移上的所作的功。
)n 3）互等定理也是弹性体力学的普遍kkCF V ∆=∂∂克劳迪—恩格赛定理将弹性体的余应变能V C 表示为广义力{F}的函数时，余应变能V C 对任一广义力F k 的偏导数等于该力作用点处、沿力方向的位移Δk 。
kkF V ∆=∂∂ε卡氏第二定理将线弹性体的应变能V Ɛ表示为广义力{F}的函数时，应变能V Ɛ对任一广义力F k 的偏导数等于该力作用点处、沿力方向的位移Δk 。
例14－4 图示刚架ABC ，AB 、BC 各段的弯曲刚度均为EI ，试求自由端A 处承受铅垂集中力P 作用时，A 端截面的转角θ。
BAP aaC例14－12 悬壁梁受分布力q 作用，求B 点挠度。
ABql例14－11 刚架两杆抗弯刚度为EI ，试求C 点水平位移ΔHC 。
BAPba C参考书1.S.T. Timoshenko, James.M. Gere (Stanford University), “Mechanics ofMaterials”,Van Nostrand Reinhold Company Ltd., London.1972, 1984, 1990, 1997, 20012.孙训方《材料力学》（四版），高等教育出版社，2002年。
3.[美]R.C.Hibbeler, 汪越胜译，《材料力学》2003，电子工业出版社，20064.苏翼林《材料力学》（二版，上、下册），高等教育出版社，1987年。
三版，天津大学出版社，2001年5月。
5.刘鸿文《材料力学》（四版），高等教育出版社，2003年。
6.清华大学《材料力学习题集》北京：人民教育出版社，1978年。
第21十讲：_第十一章能量法-莫尔积分
能量法
§11.2
卡氏定理
已知：弹性体受一组相互独立的广义力F1、F2、…、Fi、…作用 求：任一广义力Fi的作用点沿Fi方向的广义位移i ， 例如：
F1 A F2 Fi
i
B
一、推导 U U F1 , F2 ,, Fi ,
F1 A
F2
Fi
1 W Fi i i 2
一、推导 U U F1 , F2 ,, Fi ,
F1 A
F2
Fi
1 W Fi i i 2 U U1 U dFi Fi 1 U 2 dFi d i U dFi i 2 由 U 1 U 2 得到 U 卡氏定理： i Fi
i
F1 F2 dFi i Fi d i
A x
A x
C
C F0=1
B (a)
B (b)
图(c)： U1 U 0 1 U 图(d)：
U2
l
A x
F1
F2
C F0 =1
B (c)
F1 F2 F0 =1 C B (d)
M x M x dx
2
A x
2 EI
l
U U0
M x M x dx EI
l
M x M x dx EI Fi
2.桁架
2 FNi l i U i 1 2 EAi n
U n FNi l i FNi i Fi i 1 EAi Fi
3.求没有集中力作用的点的位移 在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力F0(附加力)，
三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系 以弯曲为例说明两者之间的关系 卡氏定理：
[理学]材料力学复习
![[理学]材料力学复习](https://img.taocdn.com/s3/m/490d26fb0c22590102029d43.png)
最复杂的是介于上述两种情况之间的中
等柔度杆，它既有强度破坏的性质又有较 明显的失稳现象。通常是根据实验数据来 处理这类问题，有各种不同的经验公式， 直线经验公式是最简单实用的一种。必须 注意，上述三种不同柔度杆的划分，其分 界点的λ值对不同材料是不同的，直线公式 的系数也因材料不同而异，详见相关教材。
一般来说,某一根构件达到许可载荷, 其它构件不一定也达到各自自的许可 载荷,因为各构件并不同时达到危险状 态,结构的许可载荷是由最小许可载荷 的结构确定的,即整个结构的安全由最 薄弱的构件所控制。
2.构件的基本变形
1)拉、压变形
截面的几何性质: A
刚
度: EA
应 力 公 式: σ=FN/A 变 形 公 式:∆l=FNL/(EA)
载荷;构件在动载荷作用下产生的应力 为动应力。
动荷系数kd:以Fd,σd,Δd分别表示动载荷,动 应力和动位移;以Fs,σs,Δs分别表示静载荷, 静应力和静位移,则动荷系数kd可表示为:
kd= Fd/Fs=σd/σs=Δd/ Δs
1.构件以等加速度运动时的动应力 依据达朗贝尔原理将惯性力作为静载处理, 根据静力平衡求内力。
圆截面杆同时受到弯曲与扭转作用时,通常 横截面上有弯矩My、Mz和扭矩T,将弯矩合 成为M=(My2+Mz2)1/2,危险点处的最大正应 力和最大剪应力分别为:
σ=M/W, τ=T/Wn 该点处于平面应力状态,对于塑性材料其强度
条件为:
按笫三强度理论: σ=(M2+T2)1/2/W≤[σ]
按笫四强度理论: σ=(M2+0.75xT2)1/2/W≤[σ]
C 60MPa
解出: [P2]=6.52KN
最终确定[P]= [P2]= 6.52KN
中南大学948《材料力学》2021年考研专业课初试大纲
中南大学2021年全国硕士研究生入学考试948《材料力学》考试大纲本考试大纲由土木工程学院教授委员会于2020年7月 9日通过。
I.考试性质材料力学是工科院校工程力学、土木工程、机电工程、交通运输、地质采矿和材料科学等各专业的一门重要技术基础课。
材料力学考试是为高等院校和科研院所招收硕士研究生而设置的具有选拔性质的全国统一入学考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试学生掌握大学本科阶段材料力学课程的基本知识、基本理论，分析方法和实验能力，要求考生能熟练掌握材料力学的基础理论，具有分析和处理杆件的强度、刚度和稳定性等问题的能力，保证被录取者具有较好的分析和解决工程问题的基本素质，有利于各高等院校和科研院所在专业上的择优选拔。
II.考查目标要求考生明确材料力学的研究对象、基本假设，掌握材料力学的基本理论、分析和解决问题的基本方法，具有熟练应用材料力学的分析方法、解决简单工程实际问题的综合能力。
具体要求考生：1、对材料力学的基本概念、基础理论和基本分析方法有明确的认识。
2、能熟练地绘出杆件在基本变形下的内力图，并进行应力、强度、变形和刚度计算。
3、掌握应力状态分析和强度理论，掌握组合变形下杆件的强度的计算。
4、掌握简单超静定问题的求解方法。
5、熟悉能量法的基本原理，掌握计算位移的能量方法。
6、了解压杆的稳定性概念，掌握轴向受压杆的临界力与临界应力的计算方法。
7、掌握构件作等加速运动、匀速转动及受冲击作用时的应力和变形计算方法。
Ⅲ.考试形式和试卷结构1、试卷满分及考试时间本试卷满分为150 分，考试时间为180 分钟2、答题方式答题方式为闭卷，笔试。
3、试卷内容轴向拉伸与压缩、剪切与扭转约15 %截面几何性质约 5 %弯曲内力、弯曲应力、弯曲变约30 %组合变形、应力和应变状态分析、强度理论约20 %能量方法、静不定结构约10 %动载荷约10 %压杆稳定约10 %Ⅳ.试卷题型结构证明题和计算题。
Ⅴ.考查内容（一）材料力学概述材料力学的任务与该课程同相关学科的关系，变形固体的基本假设，截面法和内力，应力、变形、应变的概念。
材料力学 莫尔积分
——单位力作用引起的内力 d(⊿l ), dθ,dφ ——原结构在真实载荷作用下产生的变 形 适用：线性、非线性结构。
二、莫尔积分（Mohr 1874）
对线弹性结构，取微段dx计算
M
图中 FN , M , T 为真实 载荷引起的内力
T
FN
dx
FN
T
FN
dφ
dx d(⊿l )
dx
Tdx GI P
解：写梁的弯矩方程 写单位力的弯矩方程
wA
MM dx EI
EI
0
1
l
F
0 l
Fx x d x EI
0
1
3
l
x dx
2
Fl
3EI
F
A B C
x
1
l/2 l/2
线弹性材料悬臂梁受力如 图，若F，EI(常数），l 等均 为已知，试用单位力法求： 加力点 A 处的转角A；
FN , M , T
K α Δ
原问题: 求Δ
1
K α Δ
虚力状态： 加单位力
实际位移状态作为虚位移
第二步
给虚力状态一个虚位移，这个虚 位移取原结构的实际位移状态。
1
K α Δ
虚力状态
实际位移状态作为虚位移
据虚功原理
1 Δ FN d Δl M d T d
FN , M , T
A 2a
a
1 2 2 2a qa 2 3 1 2 a qa 1 2
5qa C 6 EI
3
M
1/2 2/3
1
例题3
F B
C
单位荷载法
根据虚功原理计算结构位移的一种方法，因用到虚设的单位载荷而得名，又称虚功法。
单位载荷法的最大方便之处在于，如果要求构件任意位置、任意方向上的位移，只要将单位虚力取成与位移相一致的方向并加到该点上就可以了。
如果要求两点之间的相对变形，只有在这两点上加相对单位载荷，然后采用单位载荷法求解。
单位载荷法是英国的J．C．麦克斯韦于1864年、德国的O．莫尔干1874年分别独立提出，故又称麦克斯韦－莫尔法。
它常用于解决杆、杆系结构和薄壁结构的问题，对静定结构和静不定结构都适用。
单位载荷法的原理如下：设结构上作用一个真实的广义力系(见广义力)Pi(i=1，2…，n)，并产生变形(图1)，欲求结构上j点在Pi作用下的位移，可在j点处加一虚设的单位载荷Pj=1。
该虚设载荷的形式必须同所求位移相对应。
求线位移时，虚设载荷取单位力；求角位移时，虚设载荷取单位力矩。
根据虚功原理，Pj=1在实际力系Pi引起的沿Pj方向的位移△ji上所作的外虚功△ji，在数值上等于Pj引起的内力在实际变形过程中所作的内虚功(包括弯曲的内虚功、拉伸或压缩的内虚功和剪切内虚功) ，即上式右端有两组广义内力：M、N、Q分别为实际载荷引起的弯矩、轴力和剪力；，，分别为虚设单位载荷引起的弯矩，轴力和剪力；K是与结构截面形状有关的系数；ds为结构跨度微元；为求和号，表示对所有构件求和；E、G分别为材料的杨氏模量和剪切模量；A为构件的截面积；I为构件截面的惯性矩。
关于内力的正负号有如下规定：轴力N以拉为正；剪力Q以使结构微段顺时针转动为正；弯矩M只规定乘积的正负号，当M和使杆件同侧纤维受拉时，取正号。
根据各类结构的特点，位移计算公式可作相应简化：①桁架位移计算公式：式中l为桁架中所考虑杆件的长度。
材料力学第10章-材料力学中的能量法
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
A
FP FP B
V 1
A B
V 2
A
V 3 V 1 V 2
FP FP
M
V 3
BM
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
F A
C
B
l
M
A
l C l
F
B
V 3 V 1 V 2 ?
l
M
A
C l
B
l
第10章 材料力学中的能量方法
ห้องสมุดไป่ตู้
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN dx 2
dx+dx
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
dVε
FN
FN
Vε＝
dx+dx
…
P S1 P S2
P Sn
FP 系统
FS2 FS1
FSn
…
FS 系统
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPS m
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例:变截面梁如图所示, 已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.
x1
x3
x2
A
P 3
EI1 EI 2
解: 1)求约束反力 2)列原载荷引起的内力方程:
EI1 B
C
a
x1
D
a
x3
P
a
x2
2P 3
P x1 x1 0, a 3 2P M ( x2 ) x2 x2 0, a 3 2 Pa P M ( x3 ) x3 x3 0, a 3 3 M ( x1 )
M (x ) 为原载荷引起 的弯矩，
M ( x) 为单位载荷引起的弯矩，
注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。
莫尔积分的应用范围：
线弹性结构
六、莫尔积分的例题
T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx , dx GI P EA l l
1、计算梁发生弯曲变形的位移：
x1
A
x2
x1
A
a
C
EI 2
M ( x1 ) Px1 M ( x2 ) Pa
a
a
C
EI 2
M ( x1 ) 0 M ( x2 ) 1
1 Pa 2 B ( Pa ) 1 dx2 EI 2 EI 2 0
例5: 轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点 的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直 位移. 1)列原载荷引起的内力方程:
) soc 1(R ) ( M
3、计算桁架节点位移：
N i N i li Ei Ai i 1
n
B
P
A
1
4 3
C
P
5
例3：图示简单桁架，各杆 长度均为a ，且EA相同， 试求B、D两节点的相对位 移。
2 D
解： 1)列原载荷引起的内力方程:
B
1 3 A 2 D
1
4 C 5
M ( ) PRsin T ( ) PR(1 cos )
d
P
2)施加单位载荷:
d
1
3)列单位载荷引起的内力方程: 4)积分计算位移
M ( ) Rsin T ( ) R(1 cos )
yB
0
T ( )T ( ) PR 3 3 PR 3 M ( ) M ( ) Rd Rd 0 2 EI 2GI P EI GI P
x1
q
l 2
求 B :
A
ql 2
C
B
l 2
M ( x1 )
x1
l 2
M0 1
C
l 2
ql 2
ql q x1 x12 2 2
x1 0, l
1 M ( x1 ) x1 l
l
x1 0, l
A
1 l
B
1 l
的正、负号的含义：
1 B M ( x1 ) M ( x1 )dx1 EI 0 l 1 ql q 2 1 ( 2 x1 2 x1 ) ( l x1 )dx1 EI 0 ql 3 24 EI
3)施加单位载荷:
l x1 0, l x1 0, 2
l 2
4)列单位载荷引起的内力方程:
5) 同一段的同一种内力相乘积分
l 2 l 2
1 M ( x1 ) x1 2
l x1 0, 2
2 1 ql q 2 1 5ql 4 C M ( x1 ) M ( x1 )dx1 EI ( 2 x1 2 x1 ) ( 2 x1 )dx1 384 EI EI 0 0
1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同 2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反
2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移： 例2：试求P力作用下，A点的竖直位移
M ( s)M ( s) ds EI s
P d ds R B
分析： 因为力与轴线位于同一平面 所以在P力作用下，只考虑弯 曲变形，即只考虑弯矩
BD
N i N i li EA i 1 1 Pa ( ) EA 3
5
0 0
Pa 0.577 EABiblioteka 4、计算结构组合变形的位移：
M ( x)M ( x) T ( x )T ( x ) N ( x)N ( x) dx dx dx EI GI P EA l l l
3)列单位载荷引起的内力方程:
A
2 3
EI1
EI 2
EI1 B
C
a
D
1
a
a
1 3
2 M ( x1 ) x1 x1 0, a 3 1 M ( x2 ) x2 x2 0, a 3 a 2 M ( x3 ) x3 x3 0, a 3 3
3)列单位载荷引起的内力方程:
y2 3I 3 i 2 ( ) 2 y1 4 Aa 4 a
若横截面是边长为b的正方形，a 10b 时，上述比值为：
y2 b 1 3I 3 i 2 3 2 ) ( ) ( 2 4 2 3 10b 1600 y1 4 Aa 4 a
a
B
P
a
1
B
EI1
x2 EI1
l
P P2 1
U0 再加 P , P2 Pn 1
P0
P0
U
P Pn 0
U1 U 0 U P0
A
c
B
方式二： 同时加 P0 , P , P2 Pn 1
l
U1 U 2
U 0 U P0
l
M 2 ( x) M ( x) M ( x) U 2
3) 同一段的同一种内力相乘积分
Ay
1 1 ( P )( 1)a ( Px1 )( x1 )dx1 EI 2 ( Pa )(a )dx2 EA2 EI1 0 0
a a
Pa 3 1 1 Pa ( ) y1 y 2 E 3 I1 I 2 EA2 4 Pa 3 Pa y1 , y 2 设 I1 I 2 I , A1 A2 A 3EI EA
P 2P x1 x1 0, a M ( x2 ) x2 x2 0, a 3 3 2 Pa P M ( x3 ) x3 x3 0, a 3 3 2 1 a 1 M ( x1 ) x1 x1 0, a M ( x2 ) x2 x2 0, a M ( x3 ) x3 x3 0, a 3 3 3 3 M ( x1 )
l
M 2 ( x )
2 EI
2
dx
M 2 ( x )
2 EI
2
M 2 ( x) M 2 ( x) 2M ( x) M ( x) dx dx 2 EI l
M ( x)M ( x) dx EI l
M ( x)M ( x) 同理： dx EI l
二、莫尔积分的应用： M ( x) M ( x) dx EI 1、计算梁发生弯曲变形的位移： l
注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证 内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同
x1
A
x2
C P0 1 C
P
D
x3
B
求C点铅垂位移
yC
x1
A
x3
D B
x2
思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?
其中:
M ( x)M ( x) 所以： dx EI l
M ( x2 ) a N ( x2 ) 1
a
B
P
a
B
1
x2 EI1
x1
A
x2 EI1
x1
A
a
C
EI 2
M ( x1 ) Px1 M ( x2 ) Pa N ( x2 ) P
a
C
EI 2 M ( x1 ) x1
M ( x2 ) a N ( x2 ) 1
q
A
l 2
C
B
l 2
例1: 已知 q, l , EI , 求:C点铅垂方向的位移 C 和B点转角 B
x1
q
l 2
x2
A
ql 2
C
B
l 2
解: 求 C
1)求约束反力: 为此取AB 为研究对象
2)列原载荷引起的内力方程:
x1
P0 1
l 2
ql 2
x2
A
1 2
C
B
1 2
ql q 2 M ( x1 ) x1 x1 2 2
Ni
li
N i N i li
1
1 2
0 0
3 4
5
1
0 0
a a a a a
0 0
Pa 3
0 0
B
4)由莫尔积分求 BD :
P
A D C
P
杆号
Ni
P 3 P 3 P P 3 P 3 3
Ni
li
N i N i li
1 2
0 0
3 4
5
1
0 0
a a a a a
0 0
Pa 3
a 1 P 2 Pa 1 a Pa 3 8 13 3 x3 3 3 x3 3 dx3 54 E I1 I 2 EI 2 0 a a