物理-刚体运动学
刚体运动学的基本原理与公式
刚体运动学的基本原理与公式引言刚体运动学是物理学中一个重要的分支，研究物体在空间中的运动规律。
通过分析刚体的运动，我们可以揭示物体在空间中的位置、速度和加速度等关键信息。
本文将介绍刚体运动学的基本原理和公式，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、刚体的定义与特性刚体是指在运动过程中形状和大小不发生变化的物体。
与之相对，我们称之为非刚体的物体在运动过程中可能发生形变。
刚体的特性包括质量、形状、大小和位置等。
在刚体运动学中，我们主要关注刚体的位置、速度和加速度等运动参数。
二、刚体的运动描述为了描述刚体在运动中的位置和运动状态，我们引入了坐标系和参考点的概念。
坐标系用于确定刚体的位置，而参考点则是确定刚体位置的基准点。
在刚体运动学中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述刚体的运动。
通过选择合适的参考点，我们可以确定刚体的位置矢量。
三、刚体的位移、速度和加速度刚体的位移是指刚体在运动过程中，由一个位置变换到另一个位置的变化量。
刚体的速度是指刚体在单位时间内所发生的位移。
刚体的加速度是指刚体速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。
在刚体运动学中，我们可以通过求导数的方法来计算刚体的速度和加速度。
四、刚体运动的基本公式刚体运动学中有一些基本的公式，可以帮助我们计算刚体的运动参数。
其中，最基本的公式是位移公式，即s = v * t，其中s表示位移，v表示速度，t表示时间。
通过这个公式，我们可以计算刚体在给定时间内的位移量。
另外，我们还可以使用速度公式和加速度公式来计算刚体的速度和加速度。
五、刚体运动的特殊情况在刚体运动学中，存在一些特殊的情况，需要特别注意。
例如，当刚体做匀速直线运动时，速度和加速度都是常量。
当刚体做匀加速直线运动时，速度是随时间线性增加的，而加速度是常量。
此外，当刚体做曲线运动时，速度和加速度的方向可能随时间变化。
六、刚体运动学的应用刚体运动学在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用刚体运动学的原理来设计机械装置和机器人。
物理刚体知识点总结
物理刚体知识点总结一、刚体的概念和性质刚体是指物体的形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的性质包括：刚体的各部分之间的相对位置关系在运动时不发生变化；刚体的各点在一个时间内不发生相对位移；刚体是不可压缩的；刚体的形状和大小在外力作用下不发生变化。
在学习刚体的物理知识时，需要掌握刚体的这些概念和性质。
二、刚体的平动和转动运动刚体的运动包括平动和转动两种。
平动是指刚体的各点在任一时刻都有同样的速度和同样的加速度，而转动是指刚体的各点在任一时刻都有不同的速度和不同的加速度。
在学习刚体的物理知识时，需要了解平动和转动的特点，以及刚体在这两种运动中的表现和规律。
三、刚体的运动方程和刚体的运动规律刚体的运动方程描述了刚体在平动和转动中的运动规律。
对于平动，刚体的平动方程是牛顿第二定律的推广和应用，即F=ma；对于转动，刚体的转动方程涉及力矩和角加速度的关系，即τ=Iα。
刚体的运动规律包括牛顿定律、动量定理和角动量定理。
在学习刚体的物理知识时，需要掌握刚体的运动方程和运动规律，并能够应用它们解决实际问题。
四、刚体的静力学刚体的静力学研究了刚体在平衡状态下的性质和规律。
刚体在平衡状态下，外力矩的和为零，即Στ=0；刚体的平衡方程是ΣF=0。
刚体的静力学还包括平衡条件和平衡的稳定性条件。
在学习刚体的物理知识时，需要了解刚体的静力学和平衡状态的相关概念和定律，并能够应用这些知识解决实际问题。
五、刚体的运动学刚体的运动学研究了刚体的位移、速度和加速度等运动参数的关系。
刚体的平动和转动运动都涉及位置、速度和加速度的关系。
刚体的平动运动参数包括位移、速度和加速度；刚体的转动运动参数包括角位移、角速度和角加速度。
在学习刚体的物理知识时，需要了解刚体的运动学，并能够应用它们描述和分析刚体的运动。
六、刚体的动力学刚体的动力学研究了刚体的运动与外力之间的关系。
刚体在运动中受到的外力包括平动受力和转动受力。
平动受力包括牛顿定律描述的作用在质点上的力，而转动受力则是力矩的概念。
刚体运动学
1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化
的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质 点组） 说明：⑴ 刚体是理想模型
⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动．
平动：刚体中所有 点的运动轨迹都保持完 全相同．
态一特样点，：如各：v点、运a动 状等
(a)
1
2 < 1
2
<0
(b)
定轴转动的特点
(1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动
平面；
(2)
任一质点运动
v, a 不同；
,,
均相同，但
(3) 运动描述仅需一个坐标．
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的 =常量时，刚体做匀变
速转动．
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
. r P’(t+dt) . d P(t)
x
角速度矢量
lim d
t t0
dt
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z
<0
刚体定轴转动(一 维转动)的转动方向可 以用角速度的正、负 来表示.
角加速度 d
dt
2
1 2 > 1
>0
2 2 (π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6
6)rad
s1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
第4章刚体的运动学和动力学
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
L x
J
1 x dx ML2 3
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚 体 运 动 学 知 识
刚
体运动学知识
定义
通常情况下，当物体说到外力作用下时，会或多或少发生形变，在有些情况下这些形变可以忽略不计，此时就把此物体成为刚体。
由此得到刚体的定义:在力的作用下物体内部之间的距离不发生变化，则该物体称为刚体(理想状态下)
一．刚体的运动学
1.刚体在运动时，刚体内所有的直线都始终
保持和自身平行，这种运动称为刚体的平动。
例，一辆货车拉一重物在平直的公路上行驶，此时物体就可称为刚体。
2.做平动运动的刚体的个点的运动轨迹相
同，在任一瞬间的速度和加速度相同。
即
V1=V2
dv1/dt=dv2/dt a1=a2
综上所述，在刚体做平动时，只要知道任意一点的运动就可确定整个刚体的运动。
3.刚体绕定轴转动
通常用角速度和加速度来描述刚体绕定轴转动这一过程。
刚体运动时如果刚体内个点都同一直线做圆周运动，这种运动称为刚体的转动。
我们可以用一个角来完全确定这一运动在空间的位置即a=f(t)
与质点做圆周运动一样，对a=f(t)的一阶导数就是缸体运动的角速度，用w表示，再对w做导数就是角加速度В。
W和B 都用来描述刚体转动快慢和方向的物理
量。
当B>0时，角加速度与角速度方向相同，当B<0时，角加速度与角速度方向相反。
通常情况下，V=rw d^=Rb dn=rww
注意，
1.当w与B的符号相同时，刚体做加速运动，W的绝对值与V的绝对值增大，d^与V方向相反
2.当w与B的符号不同时，刚体做减速运动，W的绝对值与V的据对最减小，d^与V方向相反。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
刚体运动学
刚体的运动方程表示
2 角位移
f (t )
O' R
----刚体的角位移 d 3 角速度 lim t 0 t dt
角速度矢量
O
P
v
x
方向由右手螺旋法则确定
----角速度方向在转轴上
v r v r sin r
例1 已知一刚体以角速度 =5沿Z轴转动，试 求刚体上某一点
r 10i 3 j 4k
的速度
பைடு நூலகம்
§5.1 刚体的运动及其描述
一.刚体模型 刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物 体 ----物体内任意两点的相对位置和距离不变
1）理想的物理模型； 2）特殊的质点系（组）。
二.刚体的运动一般概念 1.平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，
在运动中方向始终不变
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视 为质点。
2
4角加速度
与速度的关系：以转轴上任一点O 为参考点
O R
P
O
v
方向符合右手螺旋关系即矢量积的定义
d d lim 2 t 0 t dt dt
2
方向：沿转轴方向
d dt
dv d a ( r ) dt dt d dr r dt dt d r ( r ) dt 或 2 a e a e a R et R en n n
刚体质心的运动代表了刚体平动中每一
质元的运动。
转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作 圆周运动 定轴转动:转轴固定不动的转动
刚体运动学
刚体运动学一、定义与基本概念刚体是指形状不变的物体，其质点之间的相对位置不随时间而改变。
刚体运动学是研究刚体在空间中的运动规律和运动状态，不考虑受力和能量转化的影响。
二、刚体运动学基本量1. 位置：用坐标系表示刚体在空间中的位置，包括平移和旋转两个方面。
2. 速度：刚体上任意一点的速度是该点在各个方向上速度分量的矢量和。
3. 加速度：刚体上任意一点的加速度是该点在各个方向上加速度分量的矢量和。
4. 角速度：绕固定轴旋转时，角位移与时间之比称为角速度，通常用符号ω表示。
5. 角加速度：绕固定轴旋转时，角速度随时间变化率称为角加速度，通常用符号α表示。
三、平面运动学1. 平面直线运动：物体沿着直线做匀加速或匀减速直线运动时，可以通过位移-时间关系式、速度-时间关系式、加速度-时间关系式等来描述其运动规律。
2. 平面曲线运动：物体沿着曲线做匀速或变速曲线运动时，可以通过切线方向、切线加速度、法向加速度等来描述其运动规律。
3. 平面旋转运动：物体绕固定轴旋转时，可以通过角位移、角速度、角加速度等来描述其运动规律。
四、空间运动学1. 空间直线运动：物体沿着直线做匀加速或匀减速直线运动时，可以通过位移-时间关系式、速度-时间关系式、加速度-时间关系式等来描述其运动规律。
2. 空间曲线运动：物体沿着曲线做匀速或变速曲线运动时，可以通过切平面方向、切平面加速度、法向加速度等来描述其运动规律。
3. 空间旋转运动：物体绕固定轴旋转时，可以通过角位移、角速度、角加速度等来描述其运动规律。
五、刚体相对静止1. 两个刚体相对静止：两个刚体相对静止是指它们在同一坐标系下的位置不发生变化。
此时可以利用质心坐标系和自由度分析求解问题。
2. 多个刚体相对静止：多个刚体相对静止是指它们在同一坐标系下的位置不发生变化。
此时可以利用虚功原理和牛顿定律求解问题。
六、刚体运动学的应用1. 机械设计：刚体运动学是机械设计中必不可少的基础知识，可以用于机构设计、传动设计等方面。
刚体运动学解析
将矢量OA和OB按平行四边形法则合成矢量OC
• 两个转动在C点产生速度的大小分别为：
v1 r11 v1 2SOCA
v2 r22
v2 2SOCB
r2 r1
v1 v2 S□OBCA
• 两个转动在C点产生速度的方向分别为： ω1 v1 垂直平面向外 ω2 v2 垂直平面向里
v1 和 v2 抵消 C 点不动
OC 即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
刚体定轴转动
定轴转动的动力学 与质点动力学相对应
角动量和角速度的关系
v ωr
把刚体看成质点组
J mi ri vi mi ri ω ri
i
i
A B C A C B A BC
mi ri ri ω ri ωri
i
i
令 miri2 I 叫做刚体绕定轴的转动惯量
i
• I 反映刚体质量相对于转轴的分布情况 • 同样质量的刚体，由于形状不同，其转动惯量因而不同
J// = Iω
p = mv
I 对应于m，二者都是惯性大小的量度
如何计算转动惯量？
对于质量连续分布的物体
m d m
若密度为ρ
I r2 d m r2 dV
v1 =ω1×(P到OA的垂直距离) = 2SΔPOA v2 =ω2×(P到OB的垂直距离) = 2SΔPOB
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离)
比较 v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v =OC×(P到OC的垂直距离)
矢量不仅有大小和方 向，还需服从平行四 边形合成法则
刚体的知识点总结
刚体的知识点总结一、刚体的概念刚体是物理学中的一个重要概念，它是指在运动或静止过程中，形状和大小不发生改变的物体。
刚体具有以下特点：1. 刚体的分子结构相对固定，对外力的变形能力非常小。
2. 刚体受到外力作用时，其内部分子之间的相对位置发生微小变化，但整体上保持不变。
3. 刚体在变形后会恢复原状，即使外力作用消失后也会保持所受外力时的状态。
刚体的概念在物理学中有重要的应用，在力学、动力学、静力学等领域都有广泛的应用。
二、刚体的基本性质1. 自由度刚体在运动过程中具有自由度的概念，即刚体在空间中的自由度是指其可以围绕固定坐标系的运动方式。
2. 平移运动刚体在空间中可以进行平移运动，即整个刚体的位置随时间发生变化，但其形状和大小保持不变。
3. 旋转运动刚体在空间中也可以进行旋转运动，即围绕某一固定点或者固定轴进行旋转运动，这种运动称为刚体的自由旋转。
4. 刚体的定点定轴运动刚体在空间中也可以进行以某一固定点为中心或者以某一固定轴为旋转轴的运动，这种运动称为刚体的定点定轴运动。
5. 定点定轴自由度刚体在空间中具有三个定点定轴自由度，即刚体的位置可以变化，且可以绕三个固定轴进行旋转运动。
6. 刚体的平移自由度刚体在空间中具有三个平移自由度，即刚体在空间中可以相对于三个坐标轴进行平移运动。
7. 刚体的旋转自由度刚体在空间中具有三个旋转自由度，即刚体在空间中可以绕三个坐标轴进行旋转运动。
以上是刚体的基本性质，了解这些性质有助于我们在物理学研究中更深入地理解刚体的运动规律。
三、刚体的运动学分析1. 刚体的速度刚体在空间中的运动状态可以用速度来描述，刚体的速度分为线速度和角速度。
线速度是描述刚体中任一点的速度，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
角速度则是描述刚体的旋转运动状态，通常用矢量来表示，可以用向量表示。
2. 刚体的加速度刚体在运动中会受到外力的影响，导致其速度发生变化，这种速度变化的率就是刚体的加速度。
刚体运动学
平行轴定理 立方体绕棱边的转动惯量
1 2 l 2 2 I D I C m d km l m k m l 2 2
2
将立方体等分成 8 个小立方体 每个小立方体质量为m/8，边长为 l/2 每个小立方体绕棱边的转动惯量为 2 1 m l 1 1 2 k k ml ID 2 8 2 32 2 大立方体绕中心轴的转动惯量等于 8 个小 立方体绕棱边的转动惯量之和
J mi ri ω ri mr 1 ω m-r1 ω -r1 2mr1 ω r1
i
ω 与r1 夹角为α 大小 ω r1 l sin 方向垂直平面向外
转动
刚体中有某根确定的直线始终保持不动，整个刚体绕这根直线 转动－刚体的定轴转动；这根直线称为转动轴
• 定轴转动情况下，轴上所有各点都保持不动 • 刚体各点的速度、加速度一般是各各不同的 根本谈不上“刚体的速度、加速度” 应当将“刚体的运动”与“刚体内各点的运动”区分 开来 刚体转动时，尽管单位时间内各点的位移各各不同，但各 点所转过的角度却是全都一样的 在转动中，应当用角度来描述刚体的运动 通过一个共同的角位移、角速度、角加速度来描述刚体 的转动
方向：v1 与 v2 反向
v v1 v2 2SPOA 2SPOB 2SPOC
= OC×(P到OC的垂直距离) 比较
v＝ω×(P到OC的垂直距离)
v = OC×(P到OC的垂直距离)
OC
即，OC轴长等于ω大小
两步证明 角速度的合成服从平行四边形法则
§3
一般运动 刚体的一般运动可分解为平动与转动
刚体的一般运动＝平动＋转动
6.1 刚体运动学(大学物理)
1、转动惯量
刚体转动时，刚 体内的各质点作圆周 运动，刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容：
6－1 刚体的运动 6－2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6－3 力矩
刚体定轴转动定律
6－4 定轴转动的动能定理 6－5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6－6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念，掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点，理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri ：相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义：
单位：kg ·m2
J m r
i 1
刚体的自由度及其运动学表述
刚体的自由度及其运动学表述刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在空间中形状和大小保持不变的物体。
相对于柔软的物体而言，刚体的自由度更为有限。
本文将探讨刚体的自由度以及其运动学表述。
一、刚体的自由度刚体的自由度指的是其能自由移动的独立参数个数。
我们知道，一个物体在三维空间中可以沿着三个轴向（x、y、z轴）进行平移运动，每个轴向上的平移都可以看作是一个独立的自由度。
因此，对于一个刚体而言，它的平动（平移）自由度为3。
除了平动自由度，刚体还可以发生绕轴旋转的运动。
根据欧拉定理，三维空间中的任意刚体运动可以分解为一个平动运动和一个绕固定轴的旋转运动。
在旋转运动中，刚体围绕着一个旋转轴旋转，其中旋转轴可以由两个参数确定：旋转轴上一点的坐标和旋转角度。
因此，绕轴旋转的自由度为2。
综上所述，刚体的总自由度为平动自由度加上绕轴旋转的自由度，即3+2=5。
二、刚体的运动学表述刚体的运动学主要包括位置、速度和加速度等方面的描述。
对于一个刚体的位置，通常可以用其质心位置来表示。
质心是刚体所有质点质量加权平均的位置，其坐标可用以表示刚体在空间中的位置。
若刚体的质心在某一时刻的坐标为(x, y, z)，则我们可以用矢量r=(x, y, z)来表示刚体的位置。
刚体的速度可以通过对其位置矢量进行微分得到。
设刚体质心的速度为v，其可表示为v=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)，其中t为时刻。
速度矢量的大小表示刚体运动的快慢，而方向表示刚体运动的方向。
同样地，刚体的加速度可以通过对速度矢量进行微分得到。
设刚体质心的加速度为a，其可表示为a=(dvx/dt, dvy/dt, dvz/dt)。
加速度矢量的大小表示刚体运动的加速度大小，而方向表示加速度的方向。
除了位置、速度和加速度外，刚体的运动学还可以通过角位移、角速度和角加速度等来描述。
角位移用来描述刚体绕旋转轴的旋转角度变化，角速度用来描述刚体绕旋转轴的旋转速度，角加速度用来描述刚体绕旋转轴的旋转加速度。
刚体运动学、转动惯量、定轴转动
02
转动惯量
转动惯量的定义与计算
转动惯量的定义
转动惯量是描述刚体绕某轴转动惯性的物理量，其大小与刚体的质量分布和转 轴的位置有关。
转动惯量的计算
对于给定的刚体，可以计算出其绕不同轴的转动惯量。常用的计算方法有平行 轴定理、垂直轴定理和惯性积定理等。
角速度
描述刚体转动快慢的物理量，方向与转动轴线一致，单位为 弧度/秒。
角加速度
描述刚体转动角速度变化快慢的物理量，单位为弧度/秒²。
定轴转动的动力学方程
动力学方程
刚体的转动惯量与所受外 力矩之间的关系，表示刚 体转动状态变化的规律。
转动惯量
描述刚体转动惯性的物理 量，与刚体的质量分布和 转轴位置有关。
HANKS
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刚体的运动形式
平动
刚体的整体相对于某参考系作平行于 某一直线的运动。
转动
刚体绕某一直线或某一固定点作圆周 运动。
刚体运动学的基本定理
牛顿第一定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 除非有外力作用于它迫使它改变这种状态。
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成 反比。
牛顿第三定律
转动惯量的性质
01
02
03
转动惯量是标量
转动惯量只有大小，没有 方向，是一个标量。
转动惯量的正定性
转动惯量总是大于等于零， 即 J ≥ 0。
转动惯量的对称性
对于质量均匀分布的刚体， 其绕主轴的转动惯量最小。
转动惯量在动力学中的应用
1 2
刚体定轴转动的角动量守恒
对于不受外力矩作用的刚体，其绕定轴转动的角 动量是守恒的，即 L = Jω = 常数。
刚体运动学转动惯量定轴转动
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
一、刚体、刚体的运动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物 体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动(Translation )、转动( rotation)
➢ 平动：若刚体中所有点的运 动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平 行于它们的初始位置间的连线
dm
面密 ,度 面： 元 dS ：
dV 体密 ,度 体： 元 dV ： dm
注意
刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
解：取半径为r宽为dr的薄圆环柱为微元
dmdV2rdrl
OR
d Ir2dm 2lr3dr
Id I0 R2 lr 3d r1 2R 4l转动惯量与l无关，
R m 2lI1 2m2 R
实心圆柱对其轴的转 动惯量也是mR2/2
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动 练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量
ct，即
d
ct ，积分
dc
t
tdt
得
dt 1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时
18r0 m 0 1 i6 0 nπ 0 r0 a s 1 d
所以
c2 t22 3 62 0 π 0r0 0 a s d 37 πr5a s d 3
（4）刚体运动学、转动惯量、定轴转动
《刚体运动学》课件
理解定轴转动的定义和性质是掌握刚体运动学的基础。
详细描述
定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋转的刚体运动，具有角速度和角加速度两个重要的物理量。刚体在定轴转动 时，其上任意一点都以相同的角速度和角加速度绕轴线旋转。
定轴转动的合成与分解
总结词
掌握定轴转动的合成与分解是解决刚体动力学问题的关键。
详细描述
合成与分解的方法
通过选择合适的参考系和坐标系，利用矢量合成 和分解的方法进行计算。
刚体的定点平面运动
定义：刚体绕某一固定点在平 面内作圆周运动或椭圆运动。
描述参数：刚体的位置、速度 和加速度可以用定点、角位移 、角速度和角加速度等参数描
述。
动力学方程：根据牛顿第二定 律和刚体的转动定理，建立定 点平面运动的动力学方程。
在物理学中的应用
01
力学
刚体运动学是力学的一个重要分支，用于研究刚体的运动规律和力学性
质。通过刚体运动学分析，可以了解物体在不同力场作用下的运动状态
和变化规律。
02
天体物理学
在天体物理学中，刚体运动学用于研究天体的运动和演化。通过对天体
的刚体运动进行分析，可以了解天体的轨道、速度和加速度等运动参数
要点二
分解
空间运动的分解是指将一个复杂的运动分解为若干个简单 的运动。
刚体的定点空间运动
定义
刚体的定点空间运动是指刚体绕一个固定点在空间中的 旋转运动。
性质
定点空间运动具有旋转轴、旋转角速度和旋转中心等物 理量，其运动状态可以通过这些物理量来描述。
06
刚体运动学的应用
在工程中的应用
机械工程
刚体运动学在机械工程中广泛应用于机构分析和设计，如连杆机构、凸轮机构和齿轮机构等。通过刚体运动学分析， 可以确定机构的运动轨迹、速度和加速度，优化机构设计。
刚体运动学
i (
= x
3+2+1= ,y,z)
确6 定物体的位置所需要的独立坐标数
—— 物体的自由度数
(x,y,z)
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 1 刚体和自由度的概念
z
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。
z
( x , y , z ) 刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。 s 刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。
(x,y,z)
O 轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。
轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述? 确定物体的位置所需要的独立坐标数
O
yO
y
1 刚体和自由度的概念
x
轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
i = 1 i = 2 i = 3 刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。
(x,y,z)
x i = 3+2+1= 6
在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
当刚体受到某些限制 ——自由度减少
Hale Waihona Puke 特殊的质点系，形状和体积不变化 1 刚体和自由度的概念
轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
——
理想化模型
轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?
1 刚体和自在由度力的概作念 用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
i = 3+2+1= 6
二. 自由度 i = 3+2+1= 6
天津理工大学大学物理：刚体
17
质点的转动惯量： mr2
记住
质量为m，长为L的均匀细棒的转动惯量，假定
转轴通过棒的中心与棒垂直
I 1 mL2 12
Firi sini firi sini miri2
i
i
i
因为内力总是成对出现的，彼
此大小相等、方向相反，即内力的
作用和反作用是沿着同一直线等值
而反向，所以内力对转轴的力矩的
总和等于零，即
firi sini 0
i
因此上式变为 Firi sini miri2
所以上式可写成 M Frsin
F
0r
d
6
0
r
F2
F
d
F1
M Frsin
如果外力不在垂直于转轴的平面 内，可以把外力F分解成两个分力：一 个与转轴平行F2；另一个F1在转动平 面内， F2对刚体绕定轴转动不起作用， 只有F1能使物体转动。因此我们把F理
解为外力在转动平面内的分力。 7
m1 m2
m2g m1g
这就是质点动力学问题了。
22
2 如图所示，Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为 3m、2m和1m的三个质点，QR=RS=l，则系统对00’轴的转动 惯量为____________。
I mr2
I 3m(2l)2 2m(l)2
12ml2 2ml2 14ml2
其中 ait ri
等式两边分别乘上ri ，得到
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C• R
•
•
A S=2R
随堂练习
[例1]: 在高速旋转的微型电机里，有一圆
柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴 转动。 开始时其角速度为0，经300s 后， 其转速达到 18000r/min。已知转子的角 加速度与时间成正比。 问在这段时间内， 转子转过多少转？
随堂练习
[例2]: 一圆柱体在地面 上沿直线作无滑纯滚动。已
引言：刚体的概念
刚体 (rigid body)
形变可以忽略的固体 各质元相对位置固定的质点系 一种理想化模型
p
C
钢锭
力学第十五讲
刚体运动学
一、刚体运动的概述
1、刚体运动的几种形式
【平动】刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同。
刚体平动
质点运动
一、刚体运动的概述
【转动】刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定点转动：刚体转动时转轴上仅有一点固定不动。 定轴转动：刚体转动时转轴上至少有两点固定不动。
3个转动自由度。 x
C (x,y,z) y
二、刚体的定轴转动
刚体定轴转动 质心坐标——固定 转轴的方向角——固定 p点绕轴转动的角度：θ
刚体定轴转动只有 一个转动自由度！
刚体中任 一点 P
(t)
x
O
参考
方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
1、角位置
刚体定轴转动的运动方程
2、角位移 t dt d
知质心 C 的速度为，υC 圆柱体半径为R ，求边缘
上 A、B、E、D 四点的速度.
υD
υA
υC B
υB
E
瞬心
定点转动
定轴转动
一、刚体运动的概述
刚体的一般运动= 质心的平动 + 绕质心的转动
一、刚体运动的概述 【自由度】确定某系统的位置所需要的独立坐标数目。
一、刚体运动的概述
2、刚体运动的自由度
质心坐标：C (x,y,z)
z
转轴的方向角： (, )
各点绕轴转动的角位置：
刚体共有6个自由度：
o
3个平动自由度，
3、角速度
静止 常量 匀角速 变角速
O
刚体中任
一点 P
转动平面
(t)
x
参考 方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
4、角加速度
d 2 dt 2
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
匀角加速转动的运动学公式
(t) 0 (t t0)
(t)
0
0
(t
t0
)
1 2
(t
t0
)2
O
刚体中任
一点 P
转动平面基面 基面上各来自的二维运动基点(轴)的平动 C
绕基点(轴)的转动
三、刚体的平面运动 • 刚体平面运动的速度公式:
选质心为基点:
瞬心: 瞬 0
选瞬心为基点:
p rp瞬
z
o x
ω
rp
p rp基
C
基点 r基
三、刚体的平面运动 特例： 纯滚动 =质心平动 +绕质心轴（定轴）转动
A
A
ω υc Rω
(t)
x
参考 方向
定轴转动 的刚体
二、刚体的定轴转动
5、角量与线量的关系
p Rp
p R p
rp
ap Rp
anp 2Rp
ω
O
υp
Rp p
rp
O
三、刚体的平面运动
【平面运动】刚体上各点均在平面内运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
三、刚体的平面运动 刚体平面运动的简化 ——可以简化为平面图形C 在其自身平面内的运动