三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用

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三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用

1.（2019全国1卷文科第16题）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到

∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．

【解析】如上图，由对称性知45o OCD ∠=，由三余弦定理得

cos cos cos PCD PCO OCD ∠=∠∠，即

1cos 22PCO =∠，所以cos 2PCO ∠=。

则PO OC ==。

2.（2017全国3卷理科第16题）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC

的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；

②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；

④直线AB 与a 所称角的最大值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

【解析】过M 作b 的垂线，则AM 与MN 所成的角为AM 与a 所成的角，由三余弦公式得CMN CMN AMC AMN ∠⨯=∠⋅∠=∠cos 2

2cos cos cos ，若所成角为60°，则有CMN ∠⨯=cos 2

221，则CMN ∠045=，CM 平分角BCE ∠，所以此时AM 与两直线所成的角都为60°。