空间直线方程ppt课件
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高等数学 第5讲 空间直线及其方程
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn sn
Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
高中数学(人教版)空间直线及其方程课件
x x0 y y0 z z0 设 t m n p
x x0 m t y y0 n t z z0 p t
参数式方程
例1 用对称式及参数式表示直线
空间直线及其方程
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
三、杂例
空间直线及其方程
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
三、杂例
1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常指锐角或直角)
设直线 L1 ,
L2 的方向向量分别为
L1
s1
则两直线夹角满足
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1 s2 cos s1 s2
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m2 2 n 2 2 p 2 2
特殊情况
(1) L (2) L //
垂直的直线方程.
s // n
A B C m n p
sn
Am B n C p 0
例3 求过点(1,－2,4)且与平面
n
空间直线及其方程
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
三、杂例
空间直线及其方程
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
特殊情况:
(1) L1 L2 (2) L1 // L2
s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0 s1 // s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
x y 2 0 L2 : x 2z 0
例2 求以下两直线的夹角
2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线 所夹锐角称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线L的方向向量为 s 平面的法向量为 则直线与平面夹角满足
空间直线方程PPT课件
空间直线的一般方程25直线的点向式方程其中方向向量26两直线的夹角公式求上半球与圆柱体的公共部分在2121xoy公共部分体在坐标面的投影为圆面xoz公共部分体在坐标面的投影为37页习题84282121axxoyxoz求上半球与圆柱体的公共部分在2121消去参数xoz消去参数30定义直线和它在平面上的投影直线的夹cpbnamsincos32直线与平面的位置关系
i
j k
3i 4 j k
2 1 3 1 3 2
ijk
s2 n3 n4 2 2 1
38 1
2 1 2 1 2 2
i 8
j 13
k 13
8 10i 5 j 10k
第22页/共64页
s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
y3
z4
1
1
2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
第39页/共64页
设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
第5页/共64页
下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s
i
j k
3i 4 j k
2 1 3 1 3 2
ijk
s2 n3 n4 2 2 1
38 1
2 1 2 1 2 2
i 8
j 13
k 13
8 10i 5 j 10k
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s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
y3
z4
1
1
2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
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设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
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下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s
9.2 空间直线方程
x 3 y 2 z 5 ． 4 3 1
高等数学(下册)
例5
x2 y 3 z4 求直线 与平面 2 x 1 1 2
y z 6 0
的交点. 解 所给直线的参数方程为 x2t，y3t，z42t， 代入平面方程中，得 2(2t)(3t)(42t)60． 解上列方程，得t1． 将 t 1 代入直线的参数方程，得所求交 点的坐标为 x1，y2，z2．
x 1 y z 2 ． 所给直线的标准式方程为 4 1 3
x y z 1 0, 例3 用标准式方程及参数方程表示直线 2 x y 3z 4 0.
所求直线的方向向量可取为 s n1 n2 (4, 1, 3)
令
x 1 y z 2 t， 4 1 3 x 1 4t ,
得所给直线的参数方程为 y t , z 2 3t.
练习
求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
提示: 所求直线的方向向量可取为
s n1 n2
利用点向式可得方程
(4 , 3 , 1)
x3 y 2 z 5 4 3 1
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练习 求直线
与平面
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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高等数学(下册)
三、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 设直线 L1 , L2 的方向向量分别为 则两直线夹角 满足
直线与直线方程ppt课件
02
直线方程的表示
点斜式方程
总结词
通过直线上的一点和直线的斜率来表示直线方程。
详细描述
点斜式方程是直线方程的一种表示形式，它通过直线上的一点和直线的斜率来 表示直线方程。具体地，如果直线经过点 $(x_1, y_1)$ 且斜率为 $m$，则点斜 式方程为 $y - y_1 = m(x - x_1)$。
斜截式方程
总结词
通过直线的斜率和直线在y轴上的截距来表示直线方程。
详细描述
斜截式方程也是直线方程的一种表示形式，它通过直线的斜率和直线在y轴上的截距来表示直线方程。具体地， 如果直线的斜率为 $m$ 且在y轴上的截距为 $b$，则斜截式方程为 $y = mx + b$。
两点式方程
总结词
通过直线上的两个点来表示直线方程。
直线与直线方程ppt课件
目录
• 直线的基本概念 • 直线方程的表示 • 直线方程的应用 • 直线方程的特殊形式 • 直线方程的扩展知识
01
直线的基本概念
直线的定义
01
直线是由无数个点组成的几何图 形，这些点沿着同一直线排列， 没有中断或弯曲。
02
直线是二维空间中最基本的几何 元素之一，具有无限长和无限延 伸的特性。
平行线方程的一般形式为 (y = mx + b) ，其中 (m) 是斜率，(b) 是截距。当两直 线平行时，它们的斜率相等，截距不相等 。
垂直线方程
总结词
表示垂直于某一直线的直线方程。
详细描述
垂直线方程的一般形式为 (x = k)，其中 (k) 是常数。当两直线垂直时，它们的斜率互 为相反数的倒数。
求两直线的交点
总结词
通过联立两直线的方程，解方程 组得到两直线的交点坐标。
《直线与方程》课件
《直线与方程》PPT课件
欢迎来到《直线与方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索直线和方程 的基础概念、方程的各种形式和应用。让我们开始这个充满趣味和深入的旅 程吧！
基础概念
直线的定义和性质
我们将探索直线的定义，了解直线的性质以 及直线与其他几何概念的关系。
直线的一般式和点斜式
探索直线的一般式和点斜式表示法，学习如 何根据已知条件写出直线的方程。
直线的斜率和截距的概念
学习直线的斜率和截距的概念以及它们在方 程中的作用和应用。
直线的垂线、平行线和夹角定理
了解直线之间的垂线、平行线关系以及夹角 定理的概念和性质。
直线的方程
点斜式的推用点斜式解决 问题。
一般式的推导和使 用
推导直线的一般式，了解一 般式的特点和应用场景。
拓展知识和应用场景
提供一些拓展知识和应用场景，让你了解直线与 方程的更多应用领域。
截距式的推导和使 用
学习使用截距式表示直线的 方程，探索截距在几何和实 际问题中的作用。
直线的应用
1 两点距离公式的推导和应用
了解如何使用两点距离公式计算直线上两点之间的距离，以及它在几何和实际问题中的 应用。
2 直线与圆的交点和切点
研究直线与圆相交的情况，探索交点和切点的性质以及它们的几何意义。
3 直线和平面的交点和夹角
学习直线与平面相交的情况，研究交点和夹角的概念，并探索它们的应用。
练习题
1
练习题和解答
通过练习题加深对直线与方程的理解，并提供详细的解答，帮助你巩固所学知识。
2
自主思考题
通过自主思考题，激发你的思考能力，挑战你的直线与方程的理解。
总结
直线与方程的重点概括
总结直线与方程的核心概念和重要知识点，帮助 你回顾和复习所学内容。
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基础概念
直线的定义和性质
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探索直线的一般式和点斜式表示法，学习如 何根据已知条件写出直线的方程。
直线的斜率和截距的概念
学习直线的斜率和截距的概念以及它们在方 程中的作用和应用。
直线的垂线、平行线和夹角定理
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直线的方程
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截距式的推导和使 用
学习使用截距式表示直线的 方程，探索截距在几何和实 际问题中的作用。
直线的应用
1 两点距离公式的推导和应用
了解如何使用两点距离公式计算直线上两点之间的距离，以及它在几何和实际问题中的 应用。
2 直线与圆的交点和切点
研究直线与圆相交的情况，探索交点和切点的性质以及它们的几何意义。
3 直线和平面的交点和夹角
学习直线与平面相交的情况，研究交点和夹角的概念，并探索它们的应用。
练习题
1
练习题和解答
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2
自主思考题
通过自主思考题，激发你的思考能力，挑战你的直线与方程的理解。
总结
直线与方程的重点概括
总结直线与方程的核心概念和重要知识点，帮助 你回顾和复习所学内容。
第七章空间解析几何第7节直线及其方程
投影直线为
小结
空间平面
一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 法点式 n M 0 M 0
x y z 1. 截距式 p q r
空间直线
交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. x x0 y y 0 z z 0 对称式: s M 0 M 0, 即 m n p 参数形式:
x3 y 3 z 故直线方程为 . 2 2 2
例6. 求直线 l1: x+y1=0, y+z+1=0, 在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程. 解：直线l1的方向
s1 1 1 0 i j k =(1, 1, 1). 0 1 1
i
j
k
再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解
即
x 1 y z 1 . 1 4 1
l1
M1
n
M0
思想：
求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ；
求过M0，M2 的投影直线方程.
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式 两点式
x 0 y 1 z 2 t. 2 1 2
设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足
22t +1+t+2(2+2t )=0 1 t 3 2 4 4 ). 得交点 M2(x2, y2, z2) ( , , 3 3 3 所求直线方程为 x 1 y 0 z 1 , 2 4 4 1 0 1 3 3 3
7-6第六节 空间直线及其方程
学 数
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
所求平面和已知平面夹角为π/3,则(n·n1)= π/3或2 π/3 因为n·n1=|n||n1|cos(n·n1),n1=2i+j-√5k,我们得到
高 等 数 学 电 子 教 案
2A + B − 5C A2 + B2 + C2
2
1 C=0 2A + B 1 = → = 22 +1+ 5 2 10( A2 + B2 ) 2
两直线的方向向量分别为S1和S2
i S1 = 1
j 2
k i j k −1 = i − 2 j − 3k .S2 = 2 −1 1 = − j − k 1 1 −1 1
1 −1
学 数
S1 = {1, −2, −3}, S 2 = {0, −1, −1}
于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直
5 2 7
=
5 2 7
ϕ = cos −1 故两直线的夹角为
高 等 数 学 电 子 教 案 四 直线与平面的夹角
n L φ θ π 1,定义: 直线与它在平面上的投影直线的夹角 θ(0≤θ≤π/2)叫做直线与平面的夹角. 设直线L的方程是 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
学 数
和直线 L2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 . m2 n2 p2
高 等 数 学 电 子 教 案
它们的方向向量为
n1 = {m1, n1, p1}; n2 = {m2 , n2 , p2}
根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦
公式
cosϕ =
m1m2 + n1n2 + p1 p2 m +n + p
《空间直线的方程》课件
3
总结
总结不同表达方式，及其转换关系和平面与直线的关系。
参
《线性代数》第二版
《空间直线的方程》PPT 课件
学习空间直线的方程，在三维坐标系中计算直线的参数方程、一般式和对称 式等形式。
空间直线的定义与表示
空间直线的定义
描述了空间中无限延申的直线，由无数个点组 成。
参数式与点向式的转换
通过转换公式可以互相转换参数式和点向式的 表示。
空间直线的表示
可以用点向式、参数式、对称式和一般式等多 种形式来表示。
直线的一般式及其性质
一般式是直线及其性质
直线的对称式
对称式是直线的一种表示形式， 便于求解直线与平面的关系。
对称式与参数式的相互转化 平面与直线的关系
通过转换公式可以互相转换对称 式和参数式的表示。
直线可在平面内或平面外，与平 面有不同的相交关系。
基础知识回顾
1 三维坐标系
空间直线的表示依赖于三维坐标系的概念与运算。
2 向量的表示和运算
向量在计算空间直线的方程中起到了重要的作用。
3 两点之间的距离公式
计算直线参数方程和一般式时需要用到两点之间的距离公式。
实例解析与练习
1
实例解析
通过具体实例来深入理解空间直线的方程。
2
练习题
进行一些练习题，加深对空间直线方程的掌握。
高等数学：第十讲 空间直线的参数方程
解 设所求直线的方向向量为 s
n1
s
n1
,
s
n2
,
ij
取
s n1 n2 1
0
k
4 {4,3,1},
2 1 5
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
n2
• s
谢谢
11ຫໍສະໝຸດ 2与平面 2x y z 6 的交点.
解
令 x2 y3 z4 t
1
1
2
•
x 2 t
y
3
t
z 4 2t
代入平面方程,得
2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 t 1 再代入
得
x 1, y 2, z 2.
各类直线方程的互换
x x0 y y0 z z0
空间直线的 参数式方程
空间直线的参数式方程
在点向式方程中
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 m t
故
y
y0
nt
t 为参数
•
z z0 p t
——直线的参数式方程
方向向量 s {m, n, p}
求直线与平面的交点时常用参数式方程。
例题讲解
例1. 求直线
x2 y3 z4
m
n
p
可将直线的点向式方程化为一般式方程吗
注
可将点向式方程拆为一般式方程
如点向式方程为 x 1 y 1 z 1
0
1
1
x1 0 可写成一般方程
y 1 z 1 (即y z 0)
例题讲解
例2. 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1 都平行的直线方程.
2-3 空间直线的方程
练习
化直线l的参数方程: x 2 3t , y 3 z 1 t 为标准方程. t为参数
2. 标准式化一般式：
x x0 y y0 z z0 X Y Z
揪 揪 揪 ? ? 求向取点
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
x x0 y y0 z z0 直线的标准方程 X Y Z
以上的直线方程都由直线上一点与方向向量 所确定，都称为点向式方程。
例2. 求通过两点P1 (x1, y1, z1 )和P2 (x2, y2, z2 )的直线 l 的方程。
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
直线l对两个坐标面xOy, yOz的射影平面都是y－2=0.
小结
§1直线的方程
1.直线的参数方程(向量式、坐标式) 点向式 2.直线的标准方程(对称式)(两点式) 3.直线的一般式方程 4.直线的射影式方程(特殊的一般式)
练习
P88 1（1）（2），5（2）
作业
P88 1（3）（4）
4.2 各式直线方程的互化
揪 揪 井 1. 参数式 ? 令公比t
x x0 Xt y y0 Yt z z Zt 0
消去t
标准式
x x0 y y0 z z0 X Y Z
例7 化下述直线的标准方程为参数方程：
x 1 y 2 z 1 . 2 1 0
例11 将下述直线的一般式方程化为参数方程.
5x y z 4 0 x y z 6 0
(1) (2)
解法一 先化为标准方程后令公比t 解法二 取x为t，解关于x的方程组
《高等数学》第七章 6空间直线及其方程
1,3,10.
4,1,1
131,3,1.
在L1上任取一点(3,0,-6),
则1： ( x 3) 3( y 0) (z 6) 0
即 x 3 y z 9 0,
L1
1
x 3y z 9 0
L:
4
x
y
z
1
. 0
L
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x 3y z 9 0
4 x
y
z
1
. 0
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L
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例7
求直线
2x L1 3x
4y z 0 y90
在平面 : 4x y z 1 内的投影直线L的方程.
解法取二s1：n先12求,s14,11的n方3程1,,31,1,00
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二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
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i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
直线的方程ppt课件
详细描述
斜截式方程的一般形式为y=kx+b，其中k为该直线的斜率，b为截 距。
求解步骤
根据已知的斜率k和截距b，代入斜截式方程中即可求得直线方程 。
两点式方程的求解
总结词
两点式方程是直线方程的一种形式，它表示了直线上任意一点与两 个已知点之间的位置关系。
详细描述
两点式方程的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上两个已知点。
求直线的截距
1 2
截距定义
直线的截距是指直线与x轴或y轴的交点坐标，反 映了直线在x轴或y轴上的位置。
截距计算
根据已知直线方程，可以分别计算出直线与x轴 和y轴交点的横坐标和纵坐标。
3
截距与直线斜率
截距为0表示直线与y轴平行，截距不为0表示直 线与x轴垂直。
解决相关问题
01
直线方程的应用范围广泛，包括但不限于解决几何问
05
直线方程的转化
点斜式方程与斜截式方程的转化
01
总结词：点斜式方程是直线方程的一种表示形式，它包含 了直线的斜率和通过的一个点。斜截式方程表示直线与y 轴的交点（截距）和直线的斜率。两者可以通过以下步骤 相互转化
02
给出点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)
03
斜截式方程 y = kx + b
向量形式
向量方向
直线的方向向量可以表示为$\overrightarrow{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，其 中(x1, y1)和(x2, y2)为已知的直线上的两点。
向量法
直线可以表示为$\overrightarrow{P_1P_2} = \lambda\overrightarrow{v}$， 其中$\overrightarrow{P_1P_2}$是从点P1到点P2的向量，$\lambda$为比例系 数。
斜截式方程的一般形式为y=kx+b，其中k为该直线的斜率，b为截 距。
求解步骤
根据已知的斜率k和截距b，代入斜截式方程中即可求得直线方程 。
两点式方程的求解
总结词
两点式方程是直线方程的一种形式，它表示了直线上任意一点与两 个已知点之间的位置关系。
详细描述
两点式方程的一般形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上两个已知点。
求直线的截距
1 2
截距定义
直线的截距是指直线与x轴或y轴的交点坐标，反 映了直线在x轴或y轴上的位置。
截距计算
根据已知直线方程，可以分别计算出直线与x轴 和y轴交点的横坐标和纵坐标。
3
截距与直线斜率
截距为0表示直线与y轴平行，截距不为0表示直 线与x轴垂直。
解决相关问题
01
直线方程的应用范围广泛，包括但不限于解决几何问
05
直线方程的转化
点斜式方程与斜截式方程的转化
01
总结词：点斜式方程是直线方程的一种表示形式，它包含 了直线的斜率和通过的一个点。斜截式方程表示直线与y 轴的交点（截距）和直线的斜率。两者可以通过以下步骤 相互转化
02
给出点斜式方程 y - y1 = k(x - x1)
03
斜截式方程 y = kx + b
向量形式
向量方向
直线的方向向量可以表示为$\overrightarrow{v} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，其 中(x1, y1)和(x2, y2)为已知的直线上的两点。
向量法
直线可以表示为$\overrightarrow{P_1P_2} = \lambda\overrightarrow{v}$， 其中$\overrightarrow{P_1P_2}$是从点P1到点P2的向量，$\lambda$为比例系 数。
第二节空间直线及其方程
0
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k
s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零
证得.《提示》
小结 空间直线方程：（用三元一次方程表示） 向量式 r=r0st
A1xB1yC1zD1 =0 一般式 A2xB2yC2zD2 =0
L:x1= y =z2 4 1 3
解 （2） 求一般方程，
由
x y
=
=y
z 2
？？？
x y = z y = 2
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y = z y = 2,
=cos( )=sin
2
两个结论：
1.若直线 L与平面π 平行，则n⊥s，于是
L // m n A B p= C 0
L // π图示
L：
xx0 =yy0 =zz0
m
n
p
s={m,n,p}
πAx+By+Cz+D=0
π
s={m,n,p}
n={A,B,C}
2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是
代入第四个平面方程检 验，满足该方程。
提示 任取三个平面方 程联立，解出交 点后代入并满足 第四个平面方程， 则两直线共面
4.证明两条直线 L1,L2
相互垂直.其中
x 2 y = ,
L
:
2
y
= 2i
jk
2
0
2
j 2k
ij
k
s2 = 0
0 2
= 2 i 先2求出j 两条k
直线的方向向量，
再由两个方向向 s s =0 量2 的数量积2为零
证得.《提示》
小结 空间直线方程：（用三元一次方程表示） 向量式 r=r0st
A1xB1yC1zD1 =0 一般式 A2xB2yC2zD2 =0
L:x1= y =z2 4 1 3
解 （2） 求一般方程，
由
x y
=
=y
z 2
？？？
x y = z y = 2
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y = z y = 2,
=cos( )=sin
2
两个结论：
1.若直线 L与平面π 平行，则n⊥s，于是
L // m n A B p= C 0
L // π图示
L：
xx0 =yy0 =zz0
m
n
p
s={m,n,p}
πAx+By+Cz+D=0
π
s={m,n,p}
n={A,B,C}
2.若直线 L与平面π 垂直，则则n∥s，于是
代入第四个平面方程检 验，满足该方程。
提示 任取三个平面方 程联立，解出交 点后代入并满足 第四个平面方程， 则两直线共面
4.证明两条直线 L1,L2
相互垂直.其中
x 2 y = ,
L
:
2
y
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x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
x x0
m y y0
y y0 n
z z0
n( x x0 ) m( p( y y0 ) n(
y z
y0 ) 0 z0 ) 0
n
p
直线的一般方程
9
从空间直线的一般方程到对称式方程
L
:
A1 A2
x x
直线的参数方程
x x0 mt
y
y0
nt
t为参数
z z0 pt
3
两直线的夹角公式 ；
ur ur
cos(L1, L2 )
s1 s2 ur ur s1 s2
直线与平面的夹角公式。
rr
r r ns
sin cos(n, s) r r
ns
4
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
L2 : 2
2
1
的夹角。
解 从ur题意可得：两ur直线的方向向量为
s1 (1, 4,1), s2 (2, 2, 1)
于是，代入两直线ur 的ur夹角公式
s1 s2
cos(L1, L2 ) ur ur
s1 s2
20
281
2
cos(L1 , L2 )
有单位向量，还有一般的向量。
6
下面导出直线的点向式方程
z
M0( x0 , y0 , z0 ), sr (m, n, p),
M L, M( x, y, z),
s
L
M
M0
M0M// s
o
y
x
uuuuuur
M0M (x x0, y y0, z z0 )
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
15
练习
求过点(1,
2,
1), 且平行于直线
x x
y 2z 2y z
1 1
0 0
的直线方程。
uur
uur
解 由题意有：nr1 r(1,1ur, 2), n2 (1, 2, 1)
r uur uur i j k
s n1 n2 1 1 2
1 2 1
r1 i
2 r 1 2 ur 1 1
B1 y B2 y
C1z C2z
D1 D2
0 0
先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。 uur
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 nuu1r (A1, B1,C1) 2 : A2 x B2 y C2z D2 0 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
r uur uur s n1 n2
r r ur
sr
nr1 nr2
i 1
j 1
k 1
2 1 3
r 1 1 r 1 1 ur 1 1 r r ur
i
j k
4i j 3k
1 3 2 3 2 1
用点向式写出直线方程
x4 y2 z 4 1 3
13
方法二： 消元法求直线方程
将方程
x y z2 0 2x y 3z 10 0
(1) (2)
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
x 空间直线的一般方程
5
二、空间直线的点向式方程与参数方程
方向向量的定义：
z s
L
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称
为这条直线的方向向量．
o
y
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
分别消去x，y得到 3x 4z 12 0 (3) 3 y z 6 0 (4)
z
3x 12 4
z 3 y 6
x x0 y y0 z z0
m
n
p
z
1
z
x4 43 y2
1
1 3
14
于是直线方程为
x4 43
y 1
2
3
z 1
化简整理得直线方程为
x4 y2 z 4 1 3
ur urm2
n2
p2
cos(L1, L2 )
s1 s2 ur ur
s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
18
两直线的位置关系：
ur ur (1)L1 L2 s1 s2 0 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
m
n
p
7
下面得出直线的参数方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的方向余弦 称为直线的方向余弦.
在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的 参数方程求解更加简便
8
下面从对称式方程得出直线的一般方程
(2)
L1 //L2
ur ur s1 // s2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
r s1 (1, 4, 0),
直线 L2 :
r s2 (0, 0,1),
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1L2 .
19
x1 y z3
例 2 求直线 L1 :
1
4
1
和
x y2 z
注：直线方程的表示形式均不唯一。
10
举例说明如何将直线的一般方程转化为 点向式方程。
例1 用点向式方程表示直线
x y z2 0 2x y 3z 10 0.
方法一：用点向式表示直线方程 方法二：用消元法求直线方程
11
解 方法一： 点向式
先找直线上的一点，在直线方程中令z=0
x y2 0 2x y 10 0
1
主要内容
直线方程的三种表示法：一般式、点 向式、参数式；
空间直线的一般方程
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
2
直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
其中方向向量 sr (m, n, p), 已知点 ( x0 , y0 , z0 ).
j
k
r r ur 3i j k
2 1 1 1 1 2
16
又直线经过点(1, 2,1)， 于是，由点向式写出直线方程为
x1 y2 z1 3 1 1
17
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
直线L2 : x x2 y y2 z z2 ,
x 4
y
2
于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。
下找所求直线的方向向量，由已知可知r r r r uur
uur
Q s n1 , s n2 , n1 (1,1,1), n2 (2, 1, 3)
rrr s n1 n2
x y z 2 0 12 2x y 3z 10 0.