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固体物理第二章
原子无时无刻不在其平衡位置作微小振动。原子间存在相互作用， 它们的振动相互关联，在晶体中形成了格波。在简谐近似下，格波 是由简正振动模式所构成，各简正振动是独立的。简正振动可用简 谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子，晶格振动可用声子系 统来概括。晶格振动决定了晶体的宏观热学性质。晶格振动理论也 是研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。
2.1 历史简述
晶格振动的研究始于固体热容研究。
p 19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律 CV 3R ，认识
到热容量是原子热运动在宏观上的最直接的表现。
p 1907年Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容随 温度降低而下降的现象，推动了固体原子振动的研究。
p 1912年玻恩（Born，1954年Nobel物理学奖获得者） 和冯卡门（Von-Karman）发表了论晶体点阵振动的论 文，首次使用了周期性边界条件。但他们的研究当时被 忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论已 经可以很好地说明当时的实验结果了。但后来更为精确 的测量却表明了Debye模型的不足。
2.3 简谐近似
p 以一维单原子链为例。把势能U(r)在平衡位置r=a作泰勒级数展开：
U r U a
U a
dU d r
a
平衡位置时的相互作用 能，为常数。在讨论动 力学问题时可略去
位移线性项，由于原子 处在平衡位置对应于相 互作用能的极值而消失
1 d 2U
2
dr2
2
a
1 d 3U
由（2）式得到
S Y e Y 2u
(4)
x x x2
把（4）式代入（3）后简化得到，
2u 2u
0
(5)
x2 Y t2
方程的解
uAeiqxt
(6)
其中，q=2/称为波数；为 波的频率；A为波的振幅
p 色散关系（Dispersion Relation）
将（6）式代入（5）式得到
q2 2 Y
Y
q
s
q
（7）式称为色散关系
sq
(7)
0
q
Fra Baidu bibliotek
弹性波的色散关系
• 色散关系描述波在传播过程中波长、频率、速度等的关系（Dispersion relations describe the interrelations of wave properties like wavelength, frequency, velocities et. Al）
• 利用色散关系计算弹性模量：固体中的典型值s = 5 105 cm/s， = 5 g/cm3，Y = 1.25 1012 g/cms2
• 按照波动理论，波速等于/q，故s 等于波速；
• s
Y
是用描述介质性质的量来表示
的波速；
• 在真空中传播的光波具有色散关系=cq， c为光速；液体和气体中的声波也满足类 似的关系；
p 1935年Blakman重新利用Born和Von-Karman近似讨论 晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。
p 1954年黄昆和玻恩共同出版了《晶格动力学》一书， 成为该领域公认的权威著作。
Born
我国科学家黄昆先生在晶格振动理论上做出了重要贡献
p 1945-1947：在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位。发表《稀固溶体的X光漫反射》 论文，理论上预言“黄散射”。
I、简谐晶体的经典运动 II、简谐晶体的量子理论 III、声子比热容 IV、非简谐效应
V、晶格振动谱的实验测定 VI、长波近似（离子晶体的红外光学性质）
第二章（I）简谐晶体的经典运动
2.1 历史简述 2.2 弹性波 2.3 简谐近似 2.4 一维单原子链——声学支 2.5 一维双原子链——光学支 2.6 三维晶格振动
p 1948-1951：任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的 概念，并与李爱扶（A. Rhys）建立了多声子跃迁理论。
p 1947-1952：与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社（1954），2006年中文版）。
黄先生对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名 字与多声子跃迁理论、X光漫反射理论、晶格振动长波唯象方程、二维 体系光学声子模联系在一起，他还是“极化激元”概念的最早阐述者。
真空中的电磁波
cq
真空中的电子
k2 2m
水波
• 色散关系可能是由几何边界条件引起的， 也可能是波与传播介质相互作用引起的。 即使在没有边界条件限制或者传播介质 时，基本粒子（物质波）的色散关系也 不一定是线性的
gq
驻波
Tq u
Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interaction of the waves with the transmitting medium. Elementary particles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation even in the absence of geometric constraints and other media.
• 应变（e）：每单位长度的长度改变
e du
(1)
dx
• 应力（S）：每单位面积上所受的力，
它是x的函数，由胡克定律，应力与
应变成正比，即：
S Ye
(2)
• 杨氏模量（Y）：上式中的弹性常数
p 波动方程
A dx 2 tu 2 SxdxSx A
A d x 2 tu 2 S x d x S x A S xd x A (3)
2.2 弹性波
p 固体是由分立的原子构成的，这种不连续性在晶格振动的讨论中 必须要考虑。
p 但是当波长非常长时，可以不考虑原子的性质而把固体当作连续 介质。这种振动的传播称为弹性波。
p 研究弹性波在棒状样品中的传播，假设弹性波为纵波。定义如下 物理量：
x x dx
棒中的弹性波
u(x)：点x处的弹性位移 ：棒的质量密度 A：棒的横截面积
3
!
dr3
3
a
1 d 2U
原子无时无刻不在其平衡位置作微小振动。原子间存在相互作用， 它们的振动相互关联，在晶体中形成了格波。在简谐近似下，格波 是由简正振动模式所构成，各简正振动是独立的。简正振动可用简 谐振子来描述，谐振子的能量量子称为声子，晶格振动可用声子系 统来概括。晶格振动决定了晶体的宏观热学性质。晶格振动理论也 是研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。
2.1 历史简述
晶格振动的研究始于固体热容研究。
p 19世纪初人们就通过Dulong-Petit定律 CV 3R ，认识
到热容量是原子热运动在宏观上的最直接的表现。
p 1907年Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容随 温度降低而下降的现象，推动了固体原子振动的研究。
p 1912年玻恩（Born，1954年Nobel物理学奖获得者） 和冯卡门（Von-Karman）发表了论晶体点阵振动的论 文，首次使用了周期性边界条件。但他们的研究当时被 忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论已 经可以很好地说明当时的实验结果了。但后来更为精确 的测量却表明了Debye模型的不足。
2.3 简谐近似
p 以一维单原子链为例。把势能U(r)在平衡位置r=a作泰勒级数展开：
U r U a
U a
dU d r
a
平衡位置时的相互作用 能，为常数。在讨论动 力学问题时可略去
位移线性项，由于原子 处在平衡位置对应于相 互作用能的极值而消失
1 d 2U
2
dr2
2
a
1 d 3U
由（2）式得到
S Y e Y 2u
(4)
x x x2
把（4）式代入（3）后简化得到，
2u 2u
0
(5)
x2 Y t2
方程的解
uAeiqxt
(6)
其中，q=2/称为波数；为 波的频率；A为波的振幅
p 色散关系（Dispersion Relation）
将（6）式代入（5）式得到
q2 2 Y
Y
q
s
q
（7）式称为色散关系
sq
(7)
0
q
Fra Baidu bibliotek
弹性波的色散关系
• 色散关系描述波在传播过程中波长、频率、速度等的关系（Dispersion relations describe the interrelations of wave properties like wavelength, frequency, velocities et. Al）
• 利用色散关系计算弹性模量：固体中的典型值s = 5 105 cm/s， = 5 g/cm3，Y = 1.25 1012 g/cms2
• 按照波动理论，波速等于/q，故s 等于波速；
• s
Y
是用描述介质性质的量来表示
的波速；
• 在真空中传播的光波具有色散关系=cq， c为光速；液体和气体中的声波也满足类 似的关系；
p 1935年Blakman重新利用Born和Von-Karman近似讨论 晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。
p 1954年黄昆和玻恩共同出版了《晶格动力学》一书， 成为该领域公认的权威著作。
Born
我国科学家黄昆先生在晶格振动理论上做出了重要贡献
p 1945-1947：在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位。发表《稀固溶体的X光漫反射》 论文，理论上预言“黄散射”。
I、简谐晶体的经典运动 II、简谐晶体的量子理论 III、声子比热容 IV、非简谐效应
V、晶格振动谱的实验测定 VI、长波近似（离子晶体的红外光学性质）
第二章（I）简谐晶体的经典运动
2.1 历史简述 2.2 弹性波 2.3 简谐近似 2.4 一维单原子链——声学支 2.5 一维双原子链——光学支 2.6 三维晶格振动
p 1948-1951：任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的 概念，并与李爱扶（A. Rhys）建立了多声子跃迁理论。
p 1947-1952：与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社（1954），2006年中文版）。
黄先生对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名 字与多声子跃迁理论、X光漫反射理论、晶格振动长波唯象方程、二维 体系光学声子模联系在一起，他还是“极化激元”概念的最早阐述者。
真空中的电磁波
cq
真空中的电子
k2 2m
水波
• 色散关系可能是由几何边界条件引起的， 也可能是波与传播介质相互作用引起的。 即使在没有边界条件限制或者传播介质 时，基本粒子（物质波）的色散关系也 不一定是线性的
gq
驻波
Tq u
Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interaction of the waves with the transmitting medium. Elementary particles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation even in the absence of geometric constraints and other media.
• 应变（e）：每单位长度的长度改变
e du
(1)
dx
• 应力（S）：每单位面积上所受的力，
它是x的函数，由胡克定律，应力与
应变成正比，即：
S Ye
(2)
• 杨氏模量（Y）：上式中的弹性常数
p 波动方程
A dx 2 tu 2 SxdxSx A
A d x 2 tu 2 S x d x S x A S xd x A (3)
2.2 弹性波
p 固体是由分立的原子构成的，这种不连续性在晶格振动的讨论中 必须要考虑。
p 但是当波长非常长时，可以不考虑原子的性质而把固体当作连续 介质。这种振动的传播称为弹性波。
p 研究弹性波在棒状样品中的传播，假设弹性波为纵波。定义如下 物理量：
x x dx
棒中的弹性波
u(x)：点x处的弹性位移 ：棒的质量密度 A：棒的横截面积
3
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dr3
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1 d 2U