用复数证明代数问题

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复数的代数形式的四则运算

五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信号的合成与分解，例如在频谱分析和滤波器设计中。通过加减运算，可以将信号分解为不同的频率分量，便于分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减运算用于信号的调制和解调过程。通过加减运算，可以实现信号的相位和幅度调整，从而实现信号的传输和接收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法运算。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。

代数基本定理的证明

代数基本定理的证明基本思路数学归纳法替推也就是假设n 次方程至少有n个复数解推出n+1 次方程至少有n+1 个复数解（包括相同的解）。

对于函数f z=z-a0z为复数，作为矢量，f(z)也为矢量。

如下图，左图为变量z的变化轨迹，右图为f(z)的变化轨迹。

当z在左图圆上旋转一圈，a0在圆内一点，可知f(z)为矢量箭头也旋转一周，f(z)反映在右图的圆周轨迹也是一个圆周。

原点在f(z)轨迹内部。

考虑f(z)=(z-a0)(z-a1)由复数定理可知f(z)的辐角等于z-a0的辐角与z-a1的辐角的和。

Z的变化轨迹是一个圆，a0，a1在圆内。

Z变化一周，z−a0变化一周，z−a1也变化一周。

f(z)为连续变化，f(z)的辐角也连续变化。

看下图：从辐角和的公式Arg f z=Arg(z-a0)+Arg(z-a1)，z在圆周上逆时针旋转，辐角逐渐变大z-a0， z-a1的辐角也逐渐变大，所以f(z)的辐角逐渐变大，所以f(z)绕原点旋转如右图。

当z-a0， z-a1的辐角和变化2π，f(z)的辐角也变化2π，这个时候z的辐角继续变大直到2π，f(z)的辐角继续变大，最终变化量为2∗2π，首尾连接（因为f(z)可以转化为实数是单值的）。

由此可以推出f z=z−a0z−a1…(z−a n)当a0，a1…a n在z旋转轨迹圆内时，z旋转一圈，f(z)将绕原点旋转n+1圈，最终形成封闭曲线。

1次方程z+b0=0有一个根。

假设n次方程有n个复数解则n+1次方程可写成z z−a1)z−a2…(z−a n+a0=0。

令f z=z z−a1)z−a2…(z−a n，可以z变化的圆轨迹足够大时，z变化一圈，f(z)将沿原点旋转n+1圈，最终形成封闭曲线。

关注最外围的封闭曲线。

第一种情况−a0在f(z)最外围封闭曲线外。

先任意固定z的辐角，增大z的模，也就是增大z轨道圆的半径，逐渐变化到无穷大f(z)的模将变化到无穷大，f z=z×|z−a1)|×|z−a2|…|(z−a n|，因为z的辐角是任意的，所以f(z)最外围封闭曲线上f(z)的模都将变化到无穷大。

最大模原理证明代数学基本定理

最大模原理证明代数学基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最大模原理是解析函数论中的一个重要定理，它直接证明了代数学基本定理。

代数学基本定理是复数论中的一个基本结果，它说的是每一个非常数的多项式都有至少一个根。

为了理解最大模原理对代数学基本定理的证明，首先我们需要了解一些基本的概念和定义。

对于复数域上的多项式P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0，其中a_n不等于零且n\geq1，我们称它的度为n，a_n为首项系数，a_0为常数项。

一个复数a称为多项式P(z)的根，如果P(a)=0。

代数学基本定理说的就是对于任意非常数的多项式P(z)，它至少有一个根。

接下来我们来阐述最大模原理的内容。

最大模原理：设D是一个有界开区域，f(z)是D上的解析函数且在\overline{D}上连续。

如果|f(z)|在D上取得了最大值M，那么f(z)是一个常数。

证明如下：假设|f(z)|在D上取得了最大值M，则存在z_0\in D使得|f(z_0)|=M。

我们可以根据f(z_0)在z_0处的泰勒展开得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n，其中c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}。

由于f(z)是一个解析函数，所以它在D上能够被泰勒展开。

由泰勒展开的收敛性，我们知道存在一个小圆盘B(z_0,r)，使得f(z)在B(z_0,r)上能够被泰勒展开并且收敛。

我们可以得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n在B(z_0,r)上成立。

结合以上两个不等式，我们得到了|f(z)|=M。

由于f(z)在D上连续，并且在z_0处取得了最大值M，所以根据最大模原理，f(z)必须是一个常数。

最大模原理证明了在有界开区域上的解析函数如果在区域内能取得一个最大值，那么它必须是一个常数。

通过这个原理，我们可以证明代数学基本定理。

高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

的值。

解：解：，∴由的表示形式得k=2 即所求k=2 点评：点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。

均为实数。

比较大小，更无正负之分，因此，（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

的取值范围。

解：设，。

由得①对应点在第二象限，故有对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得，即于是由②，④得再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。

此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。

4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；的实部与虚部都是整数。

（2）z的实部与虚部都是整数。

，则解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由得①∴由注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。

此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

特征。

解：解：（1）解法一：解法一：由于∴由解：由题意得1z的两个方程R∴=122ab2|=2∴4=4=1=41515i151zz z=02z，下同解法一这些都是解决复数问题的常用方法2的最小值|=11)i133=1时，上式取等号zz 2200220001452225x x x x x æö+++++ç÷èø455225+222z 224(4)4z a -+132(4)413a -+222AC ABz z w ()(03313333z z yi y x x - 33333x )33设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b Þ-=++Þ-+=-+当0b ¹时，方程组()3113k k kì-+=ïíï-=î无解无解当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=Þ+-=Þ=-Þ存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==-16, 判断下列命题是否正确 (1) (1)若若C z Î, , 则则02³z (2) (2)若若,,21C z z Î且021>-z z，则21z z > (3) (3)若若b a >，则i b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（的点的轨迹是（））A.A.椭圆椭圆椭圆B. B. B.直线直线直线C. C. C.线段线段线段D. D. D.圆圆 18,.211<<-+=w w 是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z 解析解析是虚数z yix yi x z z +++=+=\1)(1w 可设 i yx y y y x x x y x yi x yix)()(222222+-+++=+-++=,0¹y 是实数，且w 1,0112222=+=+-\y x y x 即 ,1=\zx 2=w 此时22121<<-<<-x 得由w)1,21(,121-<<-\的实部的范围是即z x圆锥曲线圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11,11}} 中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||1111,,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（内的椭圆的个数是（）A 、43B 43 B、、72C 72 C、、86D 、90解：解：根据题意，根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．的正整数．但是当但是当m n =时22221x y m n +=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972´=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=______________．．解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++== 例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．的方程．解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221xb =±-，，所以1212S b x x =- 2222111b b b b =-£+-= ．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．（Ⅱ）由2214y kx bx y =+ìïí+=ïî，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b D =-+① 2121AB k x x =+- 2222411214k b k k -+=+=+．②．②AyxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为21b d k=+，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得212k =，232b =，代入①式检验，0D >，故直线AB 的方程是的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAFD 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（，则两条渐近线的夹角为（）A ．30º．30ºB ．45º．45ºC ．60º．60ºD ．90º．90º解：解：D D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x abc-=>>=的焦点右准线方程，x ab y =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c ab c S OAF =´´=D ，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90°，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，本题考查双曲线中焦距，准线方程，准线方程，准线方程，渐近线方程，渐近线方程，渐近线方程，三角形面积，三角形面积，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（的最大值为（））A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例例6．已知双曲线222x y -=的左、的左、右焦点分别为右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．点．（Ⅰ）若动点M 满足1111F M F A F B FO=++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+= ，，，，由1111F M F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++ìí=+î，即12124x x x y y y +=-ìí+=î，，于是AB 的中点坐标为422x y -æöç÷èø，．当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y yxx x x-==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB为常数．为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-¹±．代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k mm m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（的纵坐标是（）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)l >．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB为定值；为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f l =的表达式，并求S 的最小值．的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0l >．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →，即得1122(,1)(,1)x y x y l --=-，îïíïì－x 1＝λx 2 ①①1－y 1＝λ(y 2－1) 1) ②② 将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－＝－44λy 2＝－＝－44，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x (x－－x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x (x－－x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为的坐标为((x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－，－1)1)1)．．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－，－2)2)2)··(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM ABM 中，中，FM FM FM⊥⊥AB AB，因而，因而S ＝12|AB||FM||AB||FM|．．|FM||FM|＝＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)4)＋＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．＋＋λ＋λ)＝|AB||FM||AB||FM|＝(λ＋λ)λ＋1λ≥2m ÷ø，m+=m +=2my -，2my -，211-+122y y +-24m - Oyx1 1- l FP B QMFO Axyyy P BOA 1d 2d2q解：（Ⅰ）在P AB △中，2AB =，即222121222cos2d d d d q =+-，2212124()4sin d d d d q =-+，即2121244sin 212d d d d q l -=-=-<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a l =-的双曲线．方程为：2211x y l l -=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即21115110112l l ll l -±-=Þ+-=Þ=-，因为01l <<，所以512l -=．②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x l l ì-=ï-íï=-î得：2222(1)2(1)(1)()k x k x k l l l l l éù--+---+=ëû，由题意知：2(1)0k l l éù--¹ëû，所以21222(1)(1)k x x k l l l --+=--，2122(1)()(1)k x x k l l l l --+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k l l l =--=--．因为0OM ON = ，且M N ，在双曲线右支上，所以在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x x y y k x x k x x l l l l l l l l l l l l l l l -ì+=ì-ì=ï>-ïïï+-+>ÞÞÞ<<+--íííïïï>+->>îîï-î．由①②知，51223l -£<．。

如何利用复数解决代数方程组

如何利用复数解决代数方程组在代数学中，方程组是指由多个方程组成的集合。

解决方程组的过程中，复数可以发挥重要作用。

本文将介绍如何利用复数解决代数方程组。

一、复数的定义和性质复数是由实部和虚部构成的数，常用形式为a+bi（其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1）。

复数有多种表示形式，如极坐标形式、指数形式等。

复数具有加法、减法、乘法、除法等运算法则。

此外，复数还有共轭复数的概念，即实部相等虚部互为相反数的复数。

复数的模表示复数到原点的距离，与实数性质相似。

二、利用复数解决线性方程组考虑一个二元线性方程组：{ax + bx = c{dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知实数。

可以利用复数的方法解决此类方程组。

首先，将实数转化为复数形式。

例如，将x和y分别表示为x+iy和y+ix，然后将方程组转化为复数形式：{(a+b)i(x+iy) = c{(d+e)i(x+iy) = f进一步化简得：{(a+b)i²(x+iy) = c{(d+e)i²(x+iy) = f由于i²=-1，上述方程组可以化简为：{(-a-b)(x+iy) = c{(-d-e)(x+iy) = f将复数形式展开，可得：(-a-b)x + (-a-b)iy = c(-d-e)x + (-d-e)iy = f将实部和虚部分开，可得：[(-a-b)x + (-a-b)iy] = c[(-d-e)x + (-d-e)iy] = f利用复数的加法法则合并同类项，可得：[(-a-b)x + (-a-b)y] + [(-a-b)ix + (-a-b)i²y] = c [(-d-e)x + (-d-e)y] + [(-d-e)ix + (-d-e)i²y] = f由于i²=-1，上述方程组可以进一步化简为：[(-a-b)x + (-a-b)y] + [(-a-b)ix - (-a-b)y] = c [(-d-e)x + (-d-e)y] + [(-d-e)ix - (-d-e)y] = f合并同类项，最终可以得到：(-a-b)x + (-a-b)y + (-a-b)ix + (-a-b)i²y = c(-d-e)x + (-d-e)y + (-d-e)ix + (-d-e)i²y = f进一步整理可得：(-a-b)x - [(-a-b)y] + i[(-a-b)x - [(-a-b)y]] = c(-d-e)x - [(-d-e)y] + i[(-d-e)x - [(-d-e)y]] = f此时，可以看到左边的两个式子可以表示为同一个复数。

复数代数形式的四则运算(4课时)

问题探究
z1 | z1 | 7、怎样理解 | |= ？ z2 | z2 |
典例讲评
例1 设z＝(1＋2i)÷(3－4i)×(1＋i)2 求z. 4 2
z= -
5
+
5
i
3 + mi 例2 设复数 z = ，若z为纯虚 3 + 3i
数，求实数m的值. m＝－3
课堂小结
1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i2换成－1，并将实部与虚部分别合并.若求几个复数的连乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘.
复数的概念与运算题型分析第一课时
题型一：复数的混合运算
3 - 4i 15 8 例1 计算： + i - (1 + i ) 1 + 2i
－17－3i 3 2z + (4z + 6)i 例2 设复数z＝1－i，求 - 3z 的值. 1－i
题型二：复数的变式运算
求
1 例3 已知复数z满足 z + - i = 0 ， 2 z z - z + 1 2 3 2 互称为有理化因式，在复数中，a＋bi 与a－bi互称为共轭复数，一般地，共轭复数的定义是什么？实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
问题探究
4、复数z的共轭复数记作 z，虚部不为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数，那么z与 z 在复平面内所对应的点的位置关系如何？z ×z 等于什么？y 关于实轴对称
2
题型五：证明复数的有关性质
例10 已知复数z满足|z|＝1，求证： 1 z+ R. z
例11 已知复数z1，z2满足z1·2＝0， z 求证：z1＝0或z2＝0.
题型五：证明复数的有关性质例12 求证：复数z为纯虚数的充要条件是z2＜0.

复数的代数形式及其运算

复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。

二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。

三．教学过程：（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nArgz（n∈N）...，n1。

或z∈R。

要条件是|z|＝|a|。

（6）z・z≠0，则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。

5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z||z||≤|z±z|≤|z|+|z|的运用。

即|z±z|≤|z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。

|z±z|≥|z||z|等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。

（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数，则实数t=( )A．B．C．?D．?2.(2004年北京春季卷，2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C )A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。

反之亦然。

这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。

【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。

如何利用复数解决代数方程组的根

如何利用复数解决代数方程组的根代数方程组是数学中常见的问题，解决方程组的根对于数学研究以及实际应用具有重要意义。

在某些情况下，方程组的根可能是复数，而不仅仅是实数。

本文将介绍如何利用复数来解决代数方程组的根，并探讨其在实际问题中的应用。

一、复数的定义和性质复数是由实数部分和虚数部分组成的数。

复数的一般形式可以表示为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。

虚数单位i具有性质i²=-1。

复数具有许多有用的性质，其中之一是共轭性。

对于复数a+bi，它的共轭复数可以表示为a-bi。

共轭复数有以下性质：两个复数的和的共轭等于它们的共轭之和，两个复数的积的共轭等于它们的共轭之积。

二、利用复数解决代数方程组的根的步骤对于给定的代数方程组，利用复数解决其根可以按照以下步骤进行：1. 把方程组转化为复数形式将方程组中的实数系数替换为复数形式，即转换为a+bi的形式。

2. 使用复数运算解决方程组利用复数的性质，将方程组转化为复数运算的形式。

对于方程组中的每一个等式，将左右两边分别转化为复数形式，然后进行复数的加减乘除等运算。

3. 计算方程组的根根据复数运算的结果，得到方程组的解。

如果方程组有解，则它的解将是一个或多个复数。

如果方程组无解，那么根将是一个虚数。

三、复数方程组的实际应用利用复数解决代数方程组的根不仅仅是数学理论，它在实际问题中也有广泛应用。

以下是一些例子：1. 电路分析在电路分析中，复数方程组可用于计算电路中的电流和电压。

通过将电阻、电容和电感等元件的阻抗表示为复数形式，可以使用复数解来计算电路中各个节点的电流和电压。

2. 振动系统复数方程组在振动系统中的应用十分重要。

比如，对于阻尼振动系统，可以使用复数解来计算系统的固有频率和阻尼比。

3. 信号处理复数方程组可以应用于信号处理领域，如数字滤波器的设计和实现。

复数解可以用来计算滤波器的频率响应和相位延迟等参数。

总结：本文介绍了如何利用复数解决代数方程组的根，并探讨了其在实际应用中的重要性。

代数基本定理的几种证明

代数基本定理的几种证明代数基本定理是说：任何一个非常数的单项式方程（或者说任何一个非常数的多项式方程）都有至少一个复数根。

下面我将给出几种代数基本定理的证明。

1.代入法证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。

我们可以将f(x)表示为多个一次项的乘积形式：f(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)其中a_n是多项式的首项系数，r_1，r_2，…，r_n是复数根。

现在我们考虑当x趋近于无穷大时，f(x)的变化情况。

由于f(x)是非常数的多项式方程，所以当x趋近无穷大时，f(x)也趋近于无穷大。

根据这一点，我们可以找到一个实数M，使得当，x，>M时，f(x)，>1现在我们来考虑f(x)在半径为R的圆盘区域内的情况，其中R足够大，使得，z，>R时，f(z)，>1、根据开球覆盖定理，我们可以在这个圆盘区域中选择有限个半径为1的开球，覆盖整个圆盘区域。

由于f(x)的复系数，所以对于每个开球中的根r_i，其共轭根也在开球中，并且开球中的根是有限个。

于是我们可以在这个圆盘区域中找到一个开球，使得其中的根全部在这个开球内。

我们定义了这样一个开球，那么其中的根都被包含在这个开球内。

那么这个开球的半径就是R的一个上界，但这是不可能的，因为我们假设了所有的复数根都在这个开球内。

所以假设不成立，这意味着任何一个非常数的多项式方程都至少有一个复数根。

2.复数代换证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。

我们假设f(x)不具有任何复数根，也就是不存在任何复数r，使得f(r)=0。

现在我们考虑f(x)的次数。

假设f(x)的次数为n，也就是说f(x)可以表示为：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_n不等于0。

根据复数代换原理，我们可以将f(x)转化为一个次数为n的多项式方程g(z) = b_nz^n + b_{n-1}z^{n-1} + ... + b_1z + b_0，其中z是复数，b_i是复数系数。

高中数学复数方程求解与代数性质解题方法

高中数学复数方程求解与代数性质解题方法在高中数学中，复数方程是一个重要的内容，它涉及到复数的性质和运算，也是解析几何和函数的基础。

本文将介绍一些常见的复数方程求解方法，并结合具体题目来说明解题的技巧和考点，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。

一、一元复数方程的求解1. 一次方程：一元复数方程中，一次方程是最简单的形式。

例如，我们考虑求解方程z + 3 = 5，其中z为复数。

解这个方程的关键是找到z的实部和虚部。

对于这个方程，实部为Re(z) + 3 = 5，虚部为Im(z) = 0。

因此，我们可以得到z = 2 + 0i。

2. 二次方程：一元复数方程中，二次方程是较为复杂的形式。

例如，我们考虑求解方程z^2 + 2z + 3 = 0。

解这个方程的一种方法是利用求根公式，即z = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)。

将方程中的系数代入公式，我们可以得到z = (-2 ± √(-8))/(2)。

由于√(-8) = 2i√2，因此解为z = -1 ± i√2。

二、复数方程的代数性质解题方法1. 复数的共轭性质：复数的共轭性质是解复数方程的重要工具。

例如，我们考虑求解方程z + conj(z) = 8，其中z为复数，conj(z)表示z的共轭复数。

根据共轭性质，我们知道conj(z + conj(z)) = 2Re(z)，即方程可以化简为2Re(z) = 8。

因此，我们可以得到Re(z) = 4，即z的实部为4。

由于方程没有虚部，因此z为实数4。

2. 复数的模性质：复数的模性质也是解复数方程的重要工具。

例如，我们考虑求解方程|z - 2| = |z + 2|，其中z为复数。

根据模的定义，我们知道|z - 2|表示z与2之间的距离，|z + 2|表示z与-2之间的距离。

因此，方程的解是在与2和-2的距离相等的点上。

根据几何直观，我们可以得到解为x轴上的点，即z为实数。

习题一

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数.①解②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy)R );① ： ∵设z =x +iy则∴,．②解：设z =x +iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z 才是实数．证明：若，设，则有，从而有，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则．∴．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明：证明∵∴．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设.证明：证明：∵ ∴，即．∴又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而11.设是圆周令,其中.求出在a 切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z: =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA ⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z =．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Im z．解：表示直线y=x的右下半平面5、Im z>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。

复数的代数运算公式

复数的代数运算公式一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

二、复数的加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法运算可以用以下公式表示：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i三、复数的减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的减法运算可以用以下公式表示：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i四、复数的乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i五、复数的除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的除法运算可以用以下公式表示：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i六、复数的共轭对于一个复数 a+bi，它的共轭可以用以下公式表示：(a+bi)的共轭 = (a-bi)七、复数的模对于一个复数 a+bi，它的模可以用以下公式表示：|a+bi| = √(a^2+b^2)八、复数的幂运算对于一个复数 a+bi 和一个整数 n，它们的幂运算可以用以下公式表示：(a+bi)^n = (a^2+b^2)^(n/2) * cos(nθ) + (a^2+b^2)^(n/2) * sin(nθ)i九、复数的指数函数对于一个复数 a+bi，它的指数函数可以用以下公式表示：e^(a+bi) = e^a * cos(b) + e^a * sin(b)i十、复数的对数函数对于一个复数 a+bi，它的对数函数可以用以下公式表示：ln(a+bi) = ln|a+bi| + i * arg(a+bi)复数的代数运算公式包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模、幂运算、指数函数和对数函数等。

如何利用复数解决三角函数方程

如何利用复数解决三角函数方程三角函数方程是数学中常见的问题之一，求解三角函数方程的一种方法是利用复数。

本文将介绍如何利用复数解决三角函数方程的步骤和方法，以及相关的例题和应用。

一、利用复数解决三角函数方程的步骤和方法在解决三角函数方程时，可以考虑使用复数来进行求解。

下面是具体的步骤和方法：1. 将三角函数方程转化为复数形式：根据欧拉公式，三角函数可以用复数表示。

通常有以下等式：- $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$- $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$- $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$2. 将三角函数方程转化为关于复数的代数方程：将原方程中的三角函数用复数等式替代，得到关于复数的代数方程。

3. 求解代数方程：将代数方程进行化简，并求解出复数解。

4. 还原为三角函数方程的解：将代数方程的复数解转化为三角函数的解。

根据欧拉公式的逆公式，可以得到以下结果：- 对于正弦函数：$\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \frac{e^{i\theta}}{i}-\frac{e^{-i\theta}}{i} = -i(e^{i\theta})+i(e^{-i\theta}) = \frac{e^{i(\theta+\pi/2)}}{2}-\frac{e^{-i(\theta+\pi/2)}}{2}$- 对于余弦函数：$\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = \frac{e^{i\theta}}{2}+\frac{e^{-i\theta}}{2} =\frac{e^{i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}+\frac{e^{-i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}$ - 对于正切函数：$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$通过以上步骤和方法，可以利用复数解决三角函数方程。

代数基本定理证明

代数基本定理证明代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）是数学中一个重要的定理，它说明了任何一个非常数的复系数多项式在复数域上必有根。

它的证明是一个经典的数学难题，下面我们来看一下代数基本定理的证明过程。

为了证明代数基本定理，我们需要先引入一个引理：任何一个复系数多项式都可以分解成一些一次多项式和二次多项式的乘积。

这个引理我们不做详细的证明，它的正确性可以通过考虑复系数多项式的根来得到。

接下来我们使用反证法来证明代数基本定理。

设$f(z)$是一个次数为$n$的复系数多项式，假设它没有根。

则我们可以写成以下形式：$f(z) = a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z + a_0$其中$a_n \neq 0$。

我们可以将$f(z)$表示为$f(z) = |f(z)| \exp(i\theta)$的形式，其中$\theta$是一个常数，$|f(z)|$表示$f(z)$的模长。

由于$f(z)$没有根，因此对任意复数$z$，我们有$|f(z)| \neq 0$。

我们知道，对于任意复数$z$，有如下两个不等式成立：$|a_0 + a_1z + \cdots + a_nz^n| \leq |a_0| + |a_1|\cdot|z| + \cdots +|a_n|\cdot|z|^n$$|f(z)| = |a_n|\cdot|z|^n\cdot|1 + \frac{a_{n-1}}{a_nz} + \cdots +\frac{a_0}{a_nz^n}| \geq |a_n|\cdot|z|^n - |a_{n-1}|\cdot|z|^{n-1} - \cdots -|a_0|$考虑第一个不等式，如果我们取$|z|$趋近于无穷大，不等式右侧趋近于无穷大，但不等式左侧是一个有限值。

因此第一个不等式不可能对所有$z$都成立。

对于第二个不等式，由于多项式$f(z)$没有根，它在复平面上没有任何一个点的模长为$0$。

复数域是代数封闭域的证明

复数域是代数封闭域的证明我们知道，代数封闭域是指任何代数方程都能在其中有解的域。

如果我们考虑一个复数域，也就是由实数和虚数构成的域，那么它满足以下条件：1. 对于任何a,b\in\mathbb{C}，a+b和ab都是复数；2. 复数域是有序域，也就是说，任何两个复数都可以比较大小；3. 复数域存在无理数，也就是说，存在实数x，使得x^2<0。

由以上条件，我们可以证明复数域是代数封闭的：首先，对于任何代数方程P(x)=0，其中P(x)是一个多项式，我们可以将x表示为实部和虚部的形式：x=a+bi，其中a,b\in\mathbb{R}。

因为我们知道实数域是代数封闭的，所以P(a+bi)=0一定有解。

接着，我们考虑当b\neq 0时，a+bi与a-bi都是方程P(x)=0的解，因为它们互为共轭复数，即P(a+bi)=0时，P(a-bi)=0一定成立。

因此，我们可以把多项式P(x)表示成以下形式：P(x)=(x-(a_1+b_1i))(x-(a_1-b_1i))\cdots(x-(a_n+b_ni))(x-(a_n-b_ni))Q(x)其中a_i,b_i\in\mathbb{R}，Q(x)是一个没有实数零点的多项式。

因为x= a+bi 可以满足方程P(x)=0，所以至少存在一个括号(x-(a_i+b_i))或(x-(a_i-b_i))满足(a_i+b_i)x+(a_i-b_i)\overline{x}=C，其中C\in\mathbb{R}是一个常数。

因此，我们可以令x=\frac{C-(a_i-b_i)\overline{x}}{a_i+b_i}，得到一个实数解。

最后，由于Q(x)没有实数零点，所以Q(x)本身就在复数域中有解，因此我们可以得到，任何代数方程在复数域中都有解。

因此，我们可以证明复数域是代数封闭的。

如何利用复数解决代数方程组的实根

如何利用复数解决代数方程组的实根在代数学中，解决代数方程组常常是一个有挑战的任务。

尤其是当方程组的解不限于实数时，解题难度就更大了。

在这种情况下，使用复数可以帮助我们得到这个方程组的所有实根。

本文将探讨如何利用复数来解决代数方程组的实根问题。

为了更好地理解本文的内容，我们需要回顾一些基本的数学概念。

在实数系统中，负数的平方是不可能存在的，因此在实数系中，无法对负数的平方根进行定义。

为了解决这个问题，数学家们引入了复数。

复数定义为具有形式(a+bi)的数，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

一个实数可以看作是复数的特殊情况，当b=0时，a+bi就变成了a。

因此，我们可以说，复数扩展了实数系统。

考虑一个简单的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f其中a、b、c、d、e、f是实数。

如果我们要找到该方程组的解，需要求解x和y的值，使得上述等式都成立。

当a、b、c、d、e、f 都是实数时，这个方程组的解受到某些限制，例如，x和y需要满足某些特定的关系。

在这种情况下，我们可以使用相关的解方程技巧（如消元法或用矩阵表示），来找到这个方程组的实根。

然而，当出现某些系数为负数的情况时，这个方程组可能没有实根。

例如，如果a=d=1，b=1，c=e=0且f=-2，那么此方程组就没有实根，它的两个解将是两个虚数：x=1+i，y=1-i在这种情况下，我们需要考虑使用复数来解决方程组的实数解问题。

实际上，我们可以将实数x和y见为实部和虚部，其中虚部乘以虚数单位i。

在这种情况下，方程组就可以重写为：(a+bi)x+(c+di)y=e+fi(g+hi)x+(j+ki)y=l+mi其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l和m都是实数。

将x和y写成复数格式，则就变成：z1=(a+bi)x+(c+di)yz2=(g+hi)x+(j+ki)y注意到z1和z2都是实数，可以写成z1=x1和z2=x2形式的实部和虚部。