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《向量概念》课件
混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合 积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无 关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为 向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量 的空间关系。具体来说，当三个向量 构成一个右手坐标系时，它们的混合 积为正；如果构成左手坐标系，则混 合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换 律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺 序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具 有重要的作用。
向量的概念-课件ppt
速度 …
向量
教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
10N
教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线段来表示. (1) : 有向线段的长度表示向量的大小 (2)箭头所指的方向表示向量的方向.
类比矢量的表示方法，获得向量的几何表示
符号表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表示,
教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系
向量与物理的矢量有什么区别和联系？ 向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系？
类比直线的基本关系，获得向量的基本关系。
教学过程（四）辨析概念，例题互动
例1 判断下面的说法是否正确
（1）向量的模的取值范围 (0 ，+)。 ( × )
rr
rr
（2）若a 与 b都是单位向量，则 a b。 ( √)
如： uuuuuur
AB
在印刷时,常用粗黑体小r写字r 母r a , b , c 来表示; 手写时则可
用带箭头的小写字母 a, b, c 来表示.
类比直线、线段的符号表示，获得向量的符号表示
教学过程（二）问题引领，逐步探究
3、就是向量
uuur AB
的长度(或称
模).
记作 . uuuuuuur AB
uur ur
uur ur
思考：1、AB与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？
2、两个向量可以比较大小吗？（例如是否可以说
uur
a
uur
b
?）
类比数的绝对值几何意义，得出向量模的定义。
教学过程（二）问题引领，逐步探究
4、特殊的向量
零向量：长度为 0 的向量，记作 0.
向量
教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
10N
教学过程（二）问题引领，逐步探究
2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线段来表示. (1) : 有向线段的长度表示向量的大小 (2)箭头所指的方向表示向量的方向.
类比矢量的表示方法，获得向量的几何表示
符号表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表示,
教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系
向量与物理的矢量有什么区别和联系？ 向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系？
类比直线的基本关系，获得向量的基本关系。
教学过程（四）辨析概念，例题互动
例1 判断下面的说法是否正确
（1）向量的模的取值范围 (0 ，+)。 ( × )
rr
rr
（2）若a 与 b都是单位向量，则 a b。 ( √)
如： uuuuuur
AB
在印刷时,常用粗黑体小r写字r 母r a , b , c 来表示; 手写时则可
用带箭头的小写字母 a, b, c 来表示.
类比直线、线段的符号表示，获得向量的符号表示
教学过程（二）问题引领，逐步探究
3、就是向量
uuur AB
的长度(或称
模).
记作 . uuuuuuur AB
uur ur
uur ur
思考：1、AB与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？
2、两个向量可以比较大小吗？（例如是否可以说
uur
a
uur
b
?）
类比数的绝对值几何意义，得出向量模的定义。
教学过程（二）问题引领，逐步探究
4、特殊的向量
零向量：长度为 0 的向量，记作 0.
《高一数学向量》课件
总结词
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
THANKS
感谢您的观看。
高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。
向量混合积具有分配律、结合律和交换律等性质。
详细描述
向量混合积具有以下性质
向量混合积在物理和工程领域有广泛的应用，如力矩、速度和加速度的计算等。
向量混合积在物理和工程领域中有许多应用，例如计算力矩、速度和加速度等。在三维空间中，力矩可以通过三个向量的混合积来计算，即力矩等于向量与向量的叉乘的点乘。此外，向量混合积还可以用于计算速度和加速度的合成，以及解决一些物理问题，如刚体的运动学和动力学问题等。
总结词
3. 交换律
$vec{A} cdot vec{B} = vec{B} cdot vec{A}$。
2. 结合律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$；
1. 分配律
$vec{A} cdot (vec{B} + vec{C}) = vec{A} cdot vec{B} + vec{A} cdot vec{C}$；
总结词
详细描述
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高一数学向量
目录
向量的基本概念向量的运算向量的数量积向量的向量积向量的外积向量的混合积
01
CHAPTER
向量的基本概念
向量的定义是指既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
总结词
向量是数学中一个基本的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在物理学和工程学中，向量被广泛应用于描述速度、加速度、力等物理量。在数学中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
向量的模长可以通过点乘来计算，即|a|=sqrt(a·a)，向量的方向可以通过点乘来确定，即当a·b>0时，向量a和b同向，当a·b<0时，向量a和b反向。
高中数学人教B版必修4课件：2.1.1-向量的概念(共26张PPT)
O
F
EO,DC.
与OC相等的向量有D
E
FA,ED.AB.
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
模相等且方向相同
（7）共线向量一定在同一直线上． ×
练习2:如图
问题:(1) OA 与 FE
相等吗?
B
A
(2) OB 与 AF
相等吗?
O
(3) 与 OA 长度相等 C
F
的向量有几个? 12 (4) 与 OA 共线的
向量有哪几个?
D
E
有 CB,FE,DO.
练习3:
1、下列命题正确的是 ( D )
（A）共线向量都相等 （B）单位向量都相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）零向量与任一向量平行
▪ 3.理解零向量、相等向量、共线向量的意 义。
向量的基本概念(201912)PPT课件
a
l
b
C 0 B A
c a c OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
平行向量也叫做共线向量。 规定：0与任一向量平行。
.
7
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确，
请简述理由.
①向量 AB与CD是共线向量，则A、B、C、
D四点必在一直 线上。
②单位向量都 相等。
3
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念 ：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0 0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不
向量
.
1
引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量， 其中一些量在取定单位后用一个实数就可 以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量，如我们在物理中所学习 的位移，是一个既有大小又有方向的量， 这种量就是我们本章所要研究的向量。
.
2
新课：
1、向量的概念：
我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
2、下面我们来学习向量的表示方法：
.
5
5、相等向量：
长①度向相量等a 与且 方b相向等相，同记的作向a量叫相b等向量。 ②0 0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有说小法，是对错于误向的量。a
、b
,
.
6
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
一般的，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假 设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有 方向的线段叫做有向线段。
中职教育数学《向量的概念》课件
解：OA CB DO
OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中 11
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在与向量
OA
长度相等，
方向相反的向量？
FE
（3）与向量OA 共线的向量有哪些？
单击动画演示 CB DO FE
课堂 小结
向量
向量的定义 向量的表示
字母表示 几何表示
B
a
AB
三、与向量有关的基本概念
1、向量的大小（长度）叫向量的模: 向量 AB 的模
表示： | AB | 模可以比较大小
2、零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
表示：0或 0, | 0 | 0 a a
3、单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
P26例1
3、向量之间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
注意：数量与向量的区别：
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小.
2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 不能比较大小. 向量不能比较大小.
问题:温度是不是向量? 重量呢？身高？海拔？速度？
向量的表示
a
1.几何法：用有向线段表示
A
2.字母法：用小写字母表示
3.用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示
等.
表示平面上的六个平行四边形，问图中
哪些向量分别与向量 AB、AD、AE 相等？
那些向量与它们互为相反向量？
A
B
D
C
E
F
H
G
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
《向量的概念及运算》课件
THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的 向量积是一个向量C，记作C=A×B， 其长度和方向可以通过外积法则来确 定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直 交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向 量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的 向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配 律、结合律、交换律等。此外，向量的数量 积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为 零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和 结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向 量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示 ，如A、B、C等。同时，向量也可以 用有向线段表示，起点在原点，终点 在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关 系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时， 向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形 时，向量混合积的值为负。
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
6 向量的概念课件下载
例3如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后, 共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与 平行且长度为2 的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这 些向量)
分析:所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在 直线与AC平行或重合;(2)长度是边长为2的正方形的对角线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测Fra bibliotek变式训练1有下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;
课堂篇探究学习
③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
3.下列命题正确的是( )
A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的两个 顶点
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 答案:C
课堂篇探究学习
探究一
探究二
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟1.向量的两种表示方法 (1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据 向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面 几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母 表示向量, 2.两种向量表示方法的作用 (1)用几何表示法表示向量,便于用几何方法研究向量运算,为用 向量处理几何问题打下基础. (2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.
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A
B
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与 AO相等的向量为 （2）与AO 共线的向量为 （3）与 AO 的模相等的向量为
；A
B
E；
F
O
D
C
；
（4）向量 AO 与 CO 是否相等？答
．
AO
例2： 在4 5达 到 方 格 中 有 一 个 向 量AB,以 图 中
高中数学必修 4 第二章 平面向量
思考？
老鼠由A向东北逃窜，猫在 B处向东追去。猫能否追到 老鼠？
嘻嘻!大笨 猫!
A
唉, 哪儿去了?
A B
不能，因为方B向错了。
问题情境
请同学们到我家 来做客!
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到老 师家的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
的 格 点 为 起 点 和 终 点 作向 量 ， 其 中 与AB相 等 的
向 量 有 多 少 个 ？ 与AB长 度 相 等 的 共 线 向 量 有多
少 个？（ AB 除外 ）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可
以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
相反向量 ： 长度相等 且方向相反Biblioteka 向量叫做相反向量。 记作： a
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点 分别重合吗？
• 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上吗？
• 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
• ４、若四边形ABCD是平行四边形，则有
AB ＝ DC 吗?
数学历史
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
建构数学 2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线Ｎ 段来表示.
i: ii:
有箭向头线所段指的的长方度向表表示示向向f 量量的的大方小向..
Ｇ
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c
来表示; 手写时则可用带箭头的小写字
思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向
量,它们终点的轨迹是什么图形?
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作：a // b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作：a b. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
母 a, b, c 来表示.
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的
长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考：AB与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作 0 .
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量．