第3章 信号的采样与重构(4)
实验三 信号采样与重建(实验报告)
《信号与系统》实验报告学院 专业 班级姓名 学号 时间实验三 信号采样与重建一、实验目的1、进一步学习MATLAB 的函数及其表示。
2、掌握及验证信号的SHANNON 采样定理。
3、由采样序列重构恢复原信号。
二、实验内容1、对连续时间信号y(t)＝sin(24πt)+ sin(40πt)，它有12Hz 和20Hz 两个等幅度分量。
用MATLAB 作图求出Nyquist 频率2fmax 。
t in 1/4sec.y (t )Analog Signalt in 1/12sec.s i n (24*p i *t )t in 1/20sec.s i n (40*p i *t )作图法判断频谱法判断2、设连续信号x(t)=exp（－1000|t|）时A、求傅利叶变换X（jw）。
（先书面求出变换公式，可判断出在2000Hz以上，其频谱幅度已经很小，因此，该处频率就可近似当成信号的最高频率）。
B、现在取采样频率fs＝5000Hz，可得到信号序列x1[n],求离散DFT频谱X1（e jw）C、减小采样频率至fs＝1000Hz，则可得到序列x2[n],求频谱X2（e jw）D、分别针对x1[n]与x2[n],试重建恢复（用三次样条函数或sinc函数）出对应的连续信号x1（t）与x2（t）,并与原信号x（t）作对比。
最后根据抽样定理的知识，简单说明采样频率的大小对信号重建质量的影响。
5000Hz采样序列的重构情况 1000Hz采样序列的重构情况三、思考题：①连续时间信号的傅利叶变换matlab求法，这里采用的近似公式是什么？②从序列重构连续信号所采用的matlab函数是什么？采用三次样条内插函数，即利用Xa=spline(nTs,X,t)来实现。
其中X和nTs分包含在nTs 时刻和样本X(n)的数组，但存在一些误差。
③shannon采样定理中的信号Nyquist频率是指什么？与采样频率有什么不同？Nyquist频率是指是指最低允许的抽样率，是带限信号频率宽度的2倍，并且Nyquist 频率信号带宽是采样频率的一半。
第3章 信号的采样与重构(1-2)
虽然自然界中存在离散时间信号，但是最 常见的还是连续时间信号。
采样
连续时间信号的处理分析往往经由对之采 样后的离散时间序列处理完成的。
计算机
利用离散处理后的结果往往需要在连续域 表达出来，便于接收和理解
重构
本章要解决的问题
采样后信号是否包含了连续信号的所有信息？ 如何无失真恢复原始信号？ 时域采样导致了信号频域发生了何种变化？ 采样的信号是否包含冗余信息？是否可以进行 速率的变化？ 离散处理如何用于实际连续信号的处理应用？ 如何提高信号处理的性能？
xc (nT ) (t nT )e
j ( T ) n
j t
dt
X ( j) | T X s ( j) X ( j) X s ( j) | / T
1 2k X ( j ) X c ( j j ) | / T T n T 1 ( 2k ) Xc( j ) T n T
跟踪滤波器
xn (t )
采样
xn (n)
f 0n
2n 1 B 2
f S 2B
当需要对某一个中心频率的带通信号进行采样时，就 先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所 感兴趣的带通信号，然后再进行采样，以防止信号混 叠，亦称之为抗混叠滤波器。 如果滤波器理想的话，采用同一采样速率就能实现对 全频域信号进行数字化，然后用软件方法进行解调分 析，这正是软件无线电的根本出发点。
( n
0
)
1 Xs() Xc() * S () 2 1 Xc() * ( n 0 ) T 1 T
第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
数字信号的采样与重建理论
数字信号的采样与重建理论数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识之一，无论在通信领域还是在音频视频处理中都有着重要的应用。
本文将详细介绍数字信号的采样与重建理论，并分点列出其步骤。
一、数字信号的采样理论：1. 什么是采样：采样是将连续时间下的模拟信号转换为离散时间下的数字信号的过程。
可以理解为在一段时间内，对模拟信号进行快照，记录下每个时刻的值。
2. 采样的基本原理：根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，才能完全还原原始信号。
这是为了避免采样信号中出现混叠现象。
3. 采样过程的步骤：a. 确定采样频率：根据信号的最高频率，确定合适的采样频率。
b. 选择采样方法：常见的采样方法有单值采样和多值采样两种。
c. 采样信号：按照确定的采样频率和方法，对模拟信号进行采样。
d. 采样定理检验：检验采样频率是否满足奈奎斯特采样定理。
4. 采样的影响：采样会引入一些错误，如抽取样本的时间不准确、量化误差等。
这些误差在采样频率足够高的情况下可以被忽略，但在低采样率下可能会导致信号失真。
二、数字信号的重建理论：1. 什么是重建：重建是将离散时间下的数字信号恢复为连续时间下的模拟信号的过程。
它是采样的逆过程。
2. 重建的基本原理：通过使用滤波器，将采样信号中的高频成分去除，从而恢复出原始信号。
这里使用的滤波器通常称为插值滤波器。
3. 重建过程的步骤：a. 插值滤波器的设计：根据采样的方式选择合适的插值滤波器。
b. 重建信号：将采样信号通过插值滤波器进行滤波，恢复出原始信号。
4. 重建的影响：重建过程中可能会引入一些误差，如滤波器的失真、重建过程中的噪声等。
这些误差可以通过合理的设计和调整来减小。
总结：数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识，对于保留信号的重要信息和减小误差都起到了重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求和系统特性来选择合适的采样与重建方法，以保证信号的准确性和完整性。
信号采样与重建
1.软件介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。
成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
MTLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
(2)运算符丰富。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。
(5)MATLAB的图形功能强大。
(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。
由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件:(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
自动控制原理--信号的采样与复现
例1 设 e(t) 1(t) ，试求 e* (t) 的拉氏变换。
解：显然，对于给定的 e(t)，其拉式变换
为 E(s) 1 ，根据式(8-6)定义，可得
s
E* (s) e(kT ) ekTs 1 eTs e2Ts k 0
这是一个无穷等比级数，公比为eTs，求
级数和可得闭合形式
E*(s)
例3 xt Asin 0t ，求x t 和 X s 。
解：由拉式变换的一般公式，可得
L[x(t)] xs A0
s 2 02
所以 ，x(s)有两个极点 。t 0时 ，xt 0 ，
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
jT
e2
sin T
T
sin(T
/
2)
e
jT
2
T 2 2
T / 2
• 零阶保持器的频率特性如图所示
Gh j
Gh j
T
0
s
2s
3s
2
Gh j
3
• 零阶除了允许主频谱分量通过之外，还 允许一部分附加高频分量通过。因此复 现出的信号与原信号是有差别的。
4、小结
• 采样控制系统的结构； • 计算机控制的采样系统的优点； • 采样过程和采样定理； • 零阶保持器的传函和特性。
（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律
1、信号的采样过程
et
e* t
e* t
et T e*t
0
0
t
离散控制系统中的信号采样和重构技术
离散控制系统中的信号采样和重构技术离散控制系统是一种控制系统，其输入和输出信号都是离散的。
信号采样和重构技术在离散控制系统中起着至关重要的作用。
本文将详细探讨离散控制系统中的信号采样和重构技术。
一、信号采样技术信号采样是指将连续时间域的信号转换为离散时间域的过程。
在离散控制系统中，常用的信号采样技术有脉冲采样和抽样保持。
1. 脉冲采样脉冲采样是一种基于时间抽样的信号采样技术。
它通过以固定时间间隔来测量信号的值，并将其转换为离散的采样值。
脉冲采样技术广泛应用于离散控制系统中，可以有效地将连续信号转换为离散信号。
2. 抽样保持抽样保持是一种在采样过程中保持信号幅值的技术。
它通过在周期性采样信号上加上保持电压，使采样信号在采样过程中保持不变。
抽样保持技术在离散控制系统中常用于对高频信号进行采样。
二、信号重构技术信号重构是指将离散时间域的采样信号转换为连续时间域的过程。
在离散控制系统中，常用的信号重构技术有插值和重构滤波。
1. 插值插值是一种通过已知采样数据进行推算，从而得到连续信号的技术。
常见的插值方法有线性插值、样条插值和拉格朗日插值等。
插值技术可以有效地将离散信号重构为连续信号，从而满足离散控制系统对连续信号的需求。
2. 重构滤波重构滤波是一种通过滤波器对采样信号进行处理，从而得到连续信号的技术。
重构滤波器可以通过去除采样信号中的高频成分，平滑信号波形。
常见的重构滤波器包括低通滤波器和带通滤波器等。
重构滤波技术能够有效地消除离散信号中的采样误差，使得重构信号更接近于原始连续信号。
三、信号采样和重构技术在离散控制系统中的应用信号采样和重构技术在离散控制系统中应用广泛，可以实现对连续信号进行准确的测量和控制。
以下是信号采样和重构技术在离散控制系统中的应用示例：1. 数字信号处理信号采样和重构技术是数字信号处理的基础。
通过对采样信号进行数学处理，可以实现信号滤波、频谱分析等功能，从而提高系统的抗干扰能力和控制精度。
连续时间信号的采样与重构及其实现
连续时间信号的采样与重构及其实现
信号处理是现代通信系统中至关重要的一环，其中采样与重构是
一种基本的信号处理技术。
在连续时间信号处理中，采样的作用是将
信号从连续时间域转换为离散时间域。
而重构的作用则是将离散时间
域信号重新转换为连续时间信号，以便于信号的处理和传输。
在采样的过程中，需要将连续时间信号按照一定的时间间隔进行
取样，得到一个离散时间序列。
采样过程中最关键的参数是采样频率，也就是每秒采用的样本数，通常用赫兹（Hz）表示。
采样频率越高，
离散时间序列的准确性就越高，但同时也会增加采样处理的复杂度。
重构的过程则是将离散时间信号恢复成连续时间信号。
由于采样
本身会将连续时间信号进行离散化处理，因此需要进行一定的插值和
滤波处理才能够准确地重构信号。
常见的重构算法包括插值算法、直
接复制算法和最小均方误差算法等。
在实现上，采样和重构的算法都需要借助于一定的数学模型和计
算机技术。
在现代通信系统中，基于数字信号处理技术的采样和重构
算法广泛应用于音频信号、视频信号、图像信号等多种信号处理领域。
数学模型包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等等。
总之，采样和重构是现代通信系统中非常重要的信号处理技术，
对于准确传输和处理信号具有至关重要的作用。
采用数字信号处理技
术可以实现高效的采样和重构，为现代通信系统的发展提供重要的支撑。
连续信号的采样与重构
4) 频域过采样
MATLAB 程序： freq=[0 0.45 0.5 1]; mag=[0 1 0 0]; x=fir2(99,freq,mag); [Xz,w]=freqz(x,1,512); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(Xz));axis([0 1 0 1]);grid title('输入谱'); subplot(2,1,2); L=input('过采样因子='); y=zeros(1,L*length(x));
答：混迭频率是 120Hz-5000Hz。因为方波信号除了频率为 200Hz 的基波外，还含
有频率为 200Hz 的奇数倍的各次谐波，这些谐波频率的 2 倍都大于 500Hz，所以取 样后其频谱都会产生混迭现象。
2) 在时域抽样定理中，为什么要求被抽样信号必须是带限信号？如果频带是无限的， 应如何处理？
f=input('f=plot(x1,3*sin(2*pi*f*x1));
%原时域连续信号 y=3sin(2πft)
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title('原时域连续信号 y=3*sin(2*pi*f*t)');
grid
sin1=3*sin(2*pi*f*w);
grid;
Y=fft(y,512);w=(0:255)/256*500;
subplot(2,1,2);plot(20*w,([Y(1:256)]));
%绘制频谱图
xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');
数字信号处理中的采样与重构
数字信号处理中的采样与重构数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门研究数字信号的获取、处理和传输的学科。
在数字信号处理中，采样与重构是两个重要的环节。
本文将探讨数字信号处理中的采样与重构，并介绍其原理和应用。
一、采样采样是指将连续时间域的信号转换为离散时间域的信号的过程。
在数字信号处理中，采样是必不可少的步骤，因为计算机只能处理离散的数据。
采样的过程可以通过模拟采样和数字采样来实现。
模拟采样是指将连续时间域的信号按照一定的时间间隔进行测量，得到一系列的采样点。
这些采样点可以用来表示原始信号。
在模拟采样中，采样频率是一个重要的参数，它决定了采样点的密度。
采样频率过低会导致信号失真，采样频率过高则会浪费存储空间和计算资源。
数字采样是指将模拟信号转换为数字信号的过程。
在数字采样中，模拟信号经过模数转换器（ADC）转换为数字信号，然后存储在计算机中。
数字采样的结果是一系列的数字样本，它们以固定的时间间隔存储在计算机的内存中。
数字采样的精度由ADC的分辨率决定，分辨率越高，数字信号的质量越好。
二、重构重构是指将离散时间域的信号转换为连续时间域的信号的过程。
在数字信号处理中，重构是为了恢复原始信号的连续性，以便进行后续的处理和分析。
重构的过程可以通过模拟重构和数字重构来实现。
模拟重构是指将离散时间域的信号通过模拟滤波器进行滤波，恢复原始信号的连续性。
在模拟重构中，滤波器的设计和参数选择对重构效果有重要影响。
模拟重构可以通过模拟滤波器的频率响应来实现，滤波器的频率响应决定了重构信号的频谱特性。
数字重构是指将离散时间域的信号通过数字滤波器进行滤波，恢复原始信号的连续性。
在数字重构中，滤波器的设计和参数选择同样对重构效果有重要影响。
数字重构可以通过数字滤波器的差分方程来实现，差分方程的系数决定了重构信号的时域特性。
三、应用采样与重构在数字信号处理中有广泛的应用。
其中，音频和视频信号的采样与重构是最常见的应用之一。
信号的采样与恢复(采样定理)
实验六 信号的抽样与恢复实验报告光信二班一、 实验目的（1）了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
（2）验证抽样定理。
二、 实验原理（1）离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f ()s t 可以看成连续信号()f t 和一组开关函数()s t 是一组周期形窄脉冲，见图2-9-1，s T 称为抽样周期，其倒数1s sf T 称抽样频率。
对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于抽样频率f ()s t 及其谐波频率2s f 、3s f ….。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按(sin )x x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
（2）正如测得了足够的实验数据以后，我们 可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率n f 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包括了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
（3）还原信号得以恢复的条件是2s m f f ≥，其中s f 为抽样频率，m f 为原信号的最高频率。
而min 2m f f =为最低抽样频率，又称“奈斯特抽样率”。
当2s m f f <时，抽样信号的频谱会发生混叠，从发生混叠后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的。
因此即使min 2m f f =，回复后的信号失真还是难免的。
图2-9-2画出了当抽样频率2s m f f ≥（不混叠时）及当抽样频率2s m f f <（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
实验中选用2s m f f <，min 2m f f =，2s m f f ≥三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率s f 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
信号采样与重建课程设计
信号采样与重建课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解信号采样的基本概念，掌握采样定理及其在信号处理中的应用。
2. 使学生掌握信号重建的方法和原理，了解不同重建算法的特点和适用场景。
3. 引导学生了解信号采样与重建在实际工程中的应用，培养他们将理论知识与实际应用相结合的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学工具对信号进行采样和重建的能力，提高他们解决实际问题的操作技能。
2. 通过课程实验和案例分析，使学生掌握相关软件和硬件工具的使用，培养他们的实践操作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发他们探索未知、勇于创新的科学精神。
2. 强化学生的团队合作意识，培养他们在学术研究中尊重事实、严谨治学的态度。
3. 通过课程学习，使学生认识到信号采样与重建在通信、电子等领域的广泛应用，增强他们的专业认同感。
课程性质分析：本课程属于电子信息类学科，以信号与系统为基础，重点研究信号采样与重建的理论和实践。
课程旨在使学生掌握信号处理的基本原理，提高他们解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生处于本科阶段，已具备一定的数学基础和信号处理理论知识，但对实际工程应用尚缺乏深入了解。
因此，课程设计应注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
教学要求：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究信号采样与重建的原理和应用。
2. 结合实际案例，提高学生的实践操作能力，培养他们解决实际问题的能力。
3. 强化团队合作，培养学生的沟通能力和团队协作精神。
二、教学内容1. 信号采样基本概念：包括连续信号与离散信号的区别，采样与量化的基本原理，采样定理及其在信号处理中的应用。
教材章节：第一章第二节2. 采样方法与采样频率：介绍等间隔采样、随机采样等不同采样方法，探讨采样频率对信号重建质量的影响。
教材章节：第一章第三节3. 信号重建算法：讲解插值、滤波等信号重建方法，分析不同算法的优缺点和适用场景。
教材章节：第二章第一节4. 信号采样与重建的应用：分析实际工程中信号采样与重建的应用案例，如数字通信、音频信号处理等。
连续信号采样和重构
数字信号处理实验（综合）实验题目：连续信号采样和重构 一、实验目的通过利用MATLAB 实现对信号采样、求频谱、滤波以及时域，域重构熟悉通信系统的整个过程。
二、实验原理奈奎斯特采样定理，连续信号傅立叶变换（CTFT ）、连续信号傅立叶逆变换、sample 函数时域重构原理、巴特沃兹低通滤波器的设计、时域卷积定理等。
三、实验内容（1）绘制原信号及其频谱，采样信号及其频谱510-55幅度(1) 原信号510时间(秒)幅度(3) 采样后信号-10-50510204060幅度(2) 原信号频谱-505204060幅度频率 （赫兹）(4) 采样后频谱搬移图A 连续信号及其采样信号对应频谱图图1 为y= 3*cos(3*pi*t)+2*sin(2*pi*t)+cos(5*pi*t)的信号，时间间隔为0.01秒。
因为CTFT 公式dt e t x j X t j a a Ω-+∞∞-⎰=Ω)()(只适用于求连续信号，但本实验中采用的是MATLAB 数值计算方法，所以将上面的积分式变成以下的求和式为：t e t x j X t j a a ∆=ΩΩ-+∞∞-∑)()(，在程序中采用For 循环和sub 函数实现求解，最后用abs 求出其模值输出。
从原信号时域表达式可以看出，信号角频率为5pi,若要应用奈奎斯特采样定理，则采样角频率必须大于2*5pi,于是我们采用15pi 的采样角频率。
而T f /22ππω==，所以对应到时域，采样周期为2/15秒。
于是在绘制图3时，我们的时间间隔为2/15秒，于是得到许多离散点。
同样，利用t e t x j X t j a a ∆=ΩΩ-+∞∞-∑)()(公式可求的采样信号的频谱图。
从图4可以看出，频谱得到了搬移，又由于满足奈奎斯特采样定理，没有出现混频的现象。
（2）离散信号时域重构幅度(5) 重构分量及合成包络012345678910时间(秒)幅度(6) 重构信号图B 离散信号时域重构过程图重构原理为生成大量自变量点，在每个采样点处，生成一个以该采样点的幅值为中央最大值、s T 为采样时间间隔的sample 函数，最后把所有sample 函数自变量点的函数值相加，及得到了原信号在这些点处的值，从而重构出原信号。
离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第三章
第三章连续时间信号的采样3.1 序列[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π， ∞<<∞-n ， 用采样模拟信号()()t t x c 0cos Ω=， ∞<<∞-t 。
而得到，采样率为1000样本/每秒，问有哪两种可能的0Ω值以同样的采样率能得到该序列[]n x ？解：对模拟信号 ()()()t f t t x c 002cos cos π=Ω=以采样率s f 进行采样产生离散时间序列[]()()n f f nT x n x ss c 02cos π==，又对任意整数k ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±n f kf f n f f s ss 002cos 2cos ππ ∴ 当以采样频率为s kf f f +±=0的正弦波都会产生相同的序列，对于[]⎪⎭⎫⎝⎛=n n x 4cos π∴ 420ππ=s f f ∴ 125810==s f f （样本/秒），π2500=Ω或π2250rad/s 均可。
所以0Ω取π250或π2250都能以同样的采样率得到该序列。
3.2 令()t h c 记作某一线性时不变连续时间滤波器的冲击响应，()n h d 为某一线性时不变离散时间滤波器的冲击响应。
()a 若()⎩⎨⎧<≥=-00t t e t h atc 求该连续时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。
()b 若()()nT Th n h c d =，()t h c 如()a 所给，求该离散时间滤波器的频率响应，并画出它的幅度特性。
()c 若给定a 的值，作为T 的函数，求离散时间滤波器频率响应的最小幅度值。
解：（a ）由连续时间信号的傅氏变换得：()ωωj a j H c +=1()221ωω+=a j H c(b) []()()()∑∞-∞=-==n c c d nT t t Th nT Th n h δ()()∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω*⋅=k c j d T jkj Tj H T eH πδπωπω2221 =∑∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k cT k j T j H πω2 =πωω<⎪⎭⎫ ⎝⎛T jH c=πωω<+Tja 1（c ）若a 为定值，当πω=时，幅度最小为：()22min1Ta e H j d πω+=（它是T 的函数）3.3 图P3.3-1表示一种多径信道的简单模型。
采样定理与信号重构
采样定理与信号重构采样定理是一项重要的数字信号处理原则，它揭示了信号的采样频率要满足一定条件才能确保信号能够被准确地重构。
信号的采样是指将连续时间下的信号转化为离散时间下的信号，而信号的重构则是将离散时间下的信号恢复为连续时间下的信号。
本文将介绍采样定理的原理和应用，并探讨信号重构的相关技术。
一、采样定理的原理采样定理最早由著名的数学家奈奎斯特（Nyquist）提出，后来经过香农（Shannon）的推导和发展而得到完善。
采样定理的核心思想是：若要完全重构一个信号，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，即采样频率要大于信号的奈奎斯特频率。
这样才能确保采样后的信号不会发生混叠现象，从而保证信号能够被准确地还原。
二、采样定理的应用采样定理在现代通信系统、音频处理、图像处理等领域都有着广泛的应用。
以音频处理为例，我们常见的音乐、语音等信号都是连续时间的信号，但为了方便存储和传输，通常会对这些信号进行采样。
在采样过程中，需要根据信号的最高频率成分确定采样频率，以避免信号损失或失真。
通过遵循采样定理，可以保证采样后的信号能够重新还原，使得音频处理效果更加准确和真实。
三、信号重构技术1. 插值算法插值算法是一种常用的信号重构技术，它通过在采样点之间插入新的采样点，以获得更加精确的信号重构结果。
常见的插值算法有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
这些算法能够基于已有的采样点推测出采样点之间未知信号的取值，以实现信号的重构。
2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的信号处理算法，可以将信号从时域（时间域）转换为频域。
在信号重构中，通过对离散采样信号进行傅里叶变换，可以将信号的频域表示转换为时域表示，实现信号的精确重构。
FFT算法的高效性使得信号重构过程更加快速和准确。
四、总结采样定理与信号重构是数字信号处理中的重要概念与技术。
采样定理告诉我们，只有在采样频率充分高于信号的奈奎斯特频率时，才能保证信号的准确重构。
连续信号的采样与重构实验报告
信号与系统上机实验报告学院：电子信息学院班级：08011202姓名：王喜成学号：2012301794上机实验 5 连续信号的采样与重构一、实验目的（1）验证采样定理；（2）熟悉信号的抽样与恢复过程；（3）通过实验观察欠采样时信号频域的混迭现象；（4）掌握采样前后信号频域的变化，加深对采样定理的理解；（5）掌握采样频域的确定方法。
二、实验内容和原理信号的采样与恢复示意图如图2.5-1所示图2.5-1 信号的抽样与恢复示意图抽样定理指出：一个有限频宽的连续时间信号)(t f ，其最高频率为m ω，经过等间隔抽样后，只要抽样频率s ω不小于信号最高频率m ω的二倍，即满足m s ωω2≥，就能从抽样信号)(t f s 中恢复原信号，得到)(0t f 。
)(0t f 与)(t f 相比没有失真，只有幅度和相位的差异。
一般把最低的抽样频率m s ωω2min =称为奈奎斯特抽样频率。
当m s ωω2<时，)(t f s 的频谱将产生混迭现象，此时将无法恢复原信号。
f （t ）的幅度频谱为)(ωF ；开关信号)(t s 为周期矩形脉冲，其脉宽τ相对于周期s T 非常小，故将其视为冲激序列，所以)(t s 的幅度频谱)(ωS 亦为冲激序列；抽样信号)(t f s 的幅度频谱为)(ωs F ；)(0t f 的幅度频谱为)(0ωF 。
观察抽样信号的频谱)(ωs F ，可以发现利用低通滤波器（其截止频率满足m s c m ωωωω-<<）就能恢复原信号。
信号抽样与恢复的原理框图如图2.5-2所示。
图2.5-2 信号抽样与恢复的原理框图由原理框图不难看出，A/D转换环节实现抽样、量化、编码过程；数字信号处理环节对得到的数字信号进行必要的处理；D/A转换环节实现数/模转换，得到连续时间信号；低通滤波器的作f。
用是滤除截止频率以外的信号，恢复出与原信号相比无失真的信号)(0t三、涉及的MATLAB函数subplot(2,1,1)xlabel('时间, msec');ylabel('幅值');title('连续时间信号x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])stem(k,xs);grid;linspace(-0.5,1.5,500)';ones(size(n)freqs(2,[1 2 1],wa);plot(wa/(2*pi),abs(ha)buttord(Wp, Ws, 0.5, 30,'s');[Yz, w] = freqz(y, 1, 512);M= input('欠采样因子= ');length(nn1)y = interp(x,L)[b,a] = butter(N, Wn, 's');get(gfp,'units');set(gfp,'position',[100 100 400 300]);fx1=fft(xs1)abs(fx2(n2+1))如有帮助，欢迎下载支持。
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作业
4.6 4.7 4.24 4.25 4.34 4.43 4.49
27
幅度特性发生畸变； 高频分量仍然能够通过，引入噪声和高频镜像。 采用零阶保持器所得到的复现信号与原始信号相比是 有畸变的。 信号通过采样保持器之后会产生滞后群延迟（T/2）
采样周期越大，滞后越大，相当于引入一个纯滞后环节，这对 系统（尤其是闭环反馈系统）的稳定性是不利的。
23
补偿重构滤波器
24
sin[ (t nT ) / T ] ˆ r (t ) x ˆ[n] x (t nT ) / T n
sin[ (t nT ) / T ] sin[ (t nT ) / T ] x[n] e[n] (t nT ) / T (t nT ) / T n n
x[n]h (t nT )
0 0
X s (e
jT
1 ) X a ( j j 2k / T ) T n
X 0 ( j)
n
x[n]H
0
( j)e jnT
n
e[n]h (t nT )
( x[n]e jTn ) H 0 ( j) X s (e jT ) H 0 ( j)
采样 保持
A/D
转换器
xa (t )
T
xo (t )
T
ˆB[ n] x
8
量化
量化器是一种非线性 系统，能够将输入样 本按照某一规则映射 到幅值的有限集
C/D
量化器
编码器
xa (t )
T
x[n]
2X m X m B 1 B 2 2
ˆ[n] x
3
2
3 2
ˆB[ n] x
ˆ Q( x) x
对于舍入的量化器：
2 e[n] 2
量化器的简化模型如图所示。
在大多数情况下，e(n)是未知的 可用一种统计模型来表示量化效应，在该模型中， 量化误差样本被认为是一种加性噪声信号。
量化器Q( )
x[n]
ˆ[n] x
x[n]
ˆ[n] x[n] e[n] x
e[n]
10
3.4 连续信号离散化处理的若干问题
离散LTI系统能等效为连续LTI系统
xc(t )
C/D
x[n]
离散时间 y[n] 系统
D/C
y r (t )
H (e j )
T
T
Heff ( j) H (e j ) T 等效频率响应为： 实际应用中：
/T
连续时间信号不是真正带限的； 理想锐截止滤波器（数字及模拟)也不能完全实现； 理想C／D和D／C转换器是近似实现，存在畸变和误差
13
均匀量化
均匀舍入量化噪声是均匀分布的随机变量
2 e[n] 2
量化噪声的一阶概率密度如图所示(如果量 化是截尾而不是舍入，那么误差总是负的， 并假设从- 到0为均匀概率密度分布)。
1
Pen (e)
2 B xm
2
2
e
14
量化噪声功率
由于假定噪声样本间是不相关，这样 e[n]为均匀分布的白噪声序列。 e[n]的均值是零，而其方差为： 2 对于一个(B+1)位双极性量化器，其 满幅度值为 X m 。噪声方差或功率是 :
2 B 2 2 X 2 m c 12
15
12
2 c
量化器Q( )
x[n]
ˆ[n] x
x[n]
ˆ[n] x[n] e[n] x
e[n]
信号被加性噪声所污损的一种常用度量是 信噪比，定义为信号方差(功率)对噪声功 率的比，以dB表示 一个(B+1)位量化器的信噪比是：
aa
这种衰减所带来的幅度失真能够部分的在离散 时间系统中补偿
???
πT
5
过采样抗混叠
采用简单的抗混叠滤波器，使得其在 M倍的信号带宽处 M N 有显著的衰减。 采用高的采样率 2M N 实现C/D转换， 转换之后进行M倍抽取。
6
7
二、A/D采样量化噪声
理想C／D转换器将连续时间信号转 换为无限精度的离散时间信号。 实际中利用数字信号进行处理，即 近似为有限精度的序列或量化样本
SNR 6 B 1.25dB
用在高质量的音乐录制和重放系统中，要获得大约 90～96dB的信噪比，就要求有16位的量化 要得到这样一个性能必须在输入信号精心与A／D转换 器的满幅度值匹配之后方有可能。
18
三、D/A转换中的信号失真
利用理想低通滤波从一个样本序列来 重构一个带限信号：
X r ( j) X s (e jT )H r ( j)
容易看出当 x 减半时，SNR下降6dB。 因此，仔细地将信号幅度与A／D换器的满 幅度值匹配是很重要的。
对于像语音和音乐这样的模拟信号，幅度分布 趋向于集中在零附近，并随着幅度的增加很快 地跌落。在这些情况下，样本幅度超过均方根 值三倍或四倍的概率非常小。
17
如果信号幅度是一个高斯型分布，那么仅有 0.064%的样本其幅度才大于 4 x 为了避免峰值箝位(如在统计模型中所假设的)， 可以在A／D转换器之前设置滤波器和放大器增益， 以使得 x X m 4 。
x DA (t )
ˆ[n] x
ˆ B [ n] x
D/A 转换器
补偿重 构滤波
ˆ[n] x
加权
转换 为冲激
零 阶 保持
x DA (t )
xDA (t )
n
ˆ [n]h (t nT ) x ˆ[n]h (t nT ) x
B 0 n 0
ˆ[n] x[n] e[n] x
x a (t )
C/D
x[n]
离散时间 y[n] 系统
D/C
y r (t )
H (e j )
T T
H aa ( j)
限带功能由C／D转换器之前的低通滤波器完成， 称为抗混叠滤波器，要求抗混叠滤波器在有效带 宽处有足够大的衰减。 理想情况下，抗混叠滤波器的频率响应为：
Haa ( j)
0 1
防止因采样而引起的混叠，必须将输入信号强制限带有 用信号的频带之内，然后再根据有用信号的带宽设定采 样率. 如果系统的采样率一定，则要求输入信号强制限带到 低于所要求的采样率一半（又称作系统的处理带宽）。
2
增加抗混叠后
xc(t )
抗混叠 滤波器
Heff ( j) H aa ( j)H (e jT )
T , T H r ( j) 0, T
sin[ (t nT ) / T ] xr (t ) x[n] (t nT ) / T n
19
理想D/C的D/A逼近
可实现系统近似是数字/模拟转换器 (D／A)紧跟着一个补偿重构滤波器。
如何使得离散化处理接近线性时不变特性？
1
一、消除混叠的预滤波
实际应用中，采样率设定总是受到干扰：
1、输入信号不带限 2、信号本身是带限的，加性噪声也可能占据高频区域； 3、信号处理时，仅需占据信号的部分带宽有用信号 语音在0～20kHz内有明显分量，对用户来说 3～4kHz足够
2 2 x 12 22 B x Xm SNR 10lg( 2 ) 10lg( ) 6.02B 10.8 20lg( ) 2 c Xm x
量化样本的字长每增加一位(也即量化电平数 加倍)，信噪比提高6dB。
16
2 2 x 12 22 B x Xm SNR 10lg( 2 ) 10lg( ) 6 . 02 B 10 . 8 20 lg( ) 2 c Xm x
x a (t )
抗混 叠滤 波器 采样 保持
xc (t )
x0 (t )
A/D
x ( n)
转换 器 离散 时间 系统
y ( n)
D/A
y DA (t )
转换 器 补偿重 构滤波 器
y r (t )
H aa ( j)
T
T
T
~ H r ( j)
yr (t ) ya (t ) ea (t )
~ jT Ya ( j) Hr ( j)H0 ( j)H (e )Haa ( j) X c ( j)
c c T
3
问题
期望：抗混叠滤波器有锐截止特性。 利用有源网络和集成电路可以较理想的实 现锐截止滤波器。
锐截止滤波器一般都有很严重的非线性相位， 即相位失真，尤其在通带边缘； 这样高要求的连续域滤波器的实现是困难和昂 贵的。
???
4
幅度预滚降
为了实现在π T 以上的频率响应部分小到可 以忽略不计，就需要对 H ( j) 特性一开始就 进行“滚降”，也即在低于π T 的频率上就 引入衰减。
ˆ r (t ) xa (t ) ea (t ) x
式中ea (t ) 是一个带限白噪声信号。
ˆ[n] x
D/A 转换器
T
x DA (t )
补偿重 构滤波器
~ H r ()
ˆ r (t ) x
25
模拟信号数字处理系统的LTI特性