运动学与动力学答案二册CH6

6－1
解：分析
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AB
G 杆受力，其中惯性力 FIR
=
G −maC
=
G −maC
n
按平面任意力系求解。
6-2. 图示系统由匀质圆盘与匀质细杆铰接而成。已知：圆盘半径为 r、质量为 M，杆长为
L、质量为 m。在图示位置杆的角速度为ω 、角加速度为 ε ，圆盘的角速度、角加速度均为
零，试求系统惯性力系向定轴 O 简化的主矢与主矩。
∑ Fy = 0 ； FOy − FT′ sinθ − m2g = 0 ； FOy = 8.4 × 0.6 + 20 = 25.04 kN
（2）取梁 AO 为研究对象，设梁长为 l，受力如图（c）所示，
∑ M A(F ) = 0 ； M A − FO′xl = 0 ； M A = 6.27 × 2 = 13.44 kN⋅ m
FI1
=
P1 g
a
； FI 2
=
P2 g
aO
=
P2 g
(a
−
rα )
； MIO
=
JOα
=
1 2
⋅
P2 g
r 2α
∑M
A (F )
=
0；
FI 2r
−
MIO
=
0；
P2 g
(a
−
rα )r
=
1 2
⋅
P2 g
r 2α
；a
=
3 2
rα
∑ Fx = 0 ； F − FI1 − FI 2 − Ff = 0 ；其中： Ff = f ⋅ FN = f (P1 + P2 ) = 80 N
解：参见习题 1 分析两杆的惯性力及重力和约束力
ω 2 = 3g b2 cosϕ − a 2 sin ϕ (b3 − a3 ) sin 2ϕ
大半径 R = 2r，对过 C 且垂直于鼓轮平面的轴的回转半径 ρ = 1.5r，重物 A 质量为 2m。试
求（1）鼓轮中心 C 的加速度；（2）AB 段绳与 DE 段绳的张力。
解：设鼓轮的角加速度为α， 在系统上加惯性力如图（a）所示， 则其惯性力分别为：
FIC = mrα ； FI A = 2m ⋅ rα
受力如图（a）所示。
∑ Ft = 0 ； FI + F − FT + m1g sinθ = 0 ； F = f ⋅ FN = 0.1m1g cosθ = 0.8 kN
FT = 6 + 0.8 + m1aB = 6.8 + m1aB
取定滑轮 O 为研究对象，设其质量为 m2，半径为 r，则其惯性力矩为：M IO
=
1 2
m2
r
2
aB r
，
受力如图（b）所示。
∑ M O (F )
=
0
；M
−
MIO
−
FT′r
=
0
；10
−
10 g
aB
−
6.8
−
10 g
aB
=
0
；a B
= 1.57
m/s2
FT = 6.8 + m1aB = 6.8 + 1.6 = 8.4 kN
∑ Fx = 0 ； FT′ cosθ − FOx = 0 ； FOx = 8.4 × 0.8 = 6.72 kN
M IC = JCα = mρ 2α = 1.52 mr 2α
FDE E
FIC
MIC
α
C DB
FAB FIA A aA
∑MD(F) = 0 ；
(mg + FIC + FI A − 2mg)r + M IC = 0
FIA
mg
A
2mg
aC
=
rα
=
g 3 + 1.52
=
4g 21
（a） 2mg
（b）
∑ Fy
的大小为 300N，半径为 20cm 的均质圆柱。圆柱与板之间无相对滑动，滚动摩阻可略去不
计。若平板上作用一水平力 F = 200N，如图所示。求平板的加速度以及圆柱相对于平板滚
动的角加速度。
解：设平板的重力 P1 = 100 N，加速度为 a；圆柱的重力 P2 = 300 N，角加速度为α，质 心的加速度 aO = a – αr，受力如图（a）。
得:Y0 = Q + (P ⋅ sinθ + Pa / g + f ′ ⋅ P cosθ ) ⋅ sinθ 对悬臂梁 AO : ∑ M A = 0 ， M A + X 0 ⋅ 2r = 0
得: M A = − X 0 ⋅ 2r = 13.44 kN⋅ m
由∑Xi = 0， XA − X0 = 0 得: X A = X 0 = −6.72 kN 由 ∑Yi = 0 ， YA − Yo = 0
∑ Fx = 0 ； FO′x − FAx = 0 ； FAx = 6.72 kN
∑ Fy = 0 ； FAy − FO′y = 0 ； FAy = 25.04 kN
对轮与滑块：
由 ∑ M O (Fi ) = 0
M − M g − P ⋅ sinθ ⋅ r − Fg r − F ′ ⋅ r = 0
得: a = (M − Pr sinθ − f ′ ⋅ Pr cosθ )2g /[(Q + 2P)r] = 0.16g ≈ 1.57(m/s2 )
解：∵圆盘作平动，相当一质点作用在 A 点。
FgRτ = ∑ mi aCiτ = (mL / 2 + ML) ⋅ ε
FgR n = ∑ mi aCi n = (mL / 2 + ML) ⋅ ω 2
M g0
=
J 0ε
=
(1 mL2 3
+
ML2 ) ⋅ ε
6－3. 图示系统位于铅直面内，由鼓轮 C 与重物 A 组成。已知鼓轮质量为 m，小半径为 r，
Q=20kN，滑块重 P=10kN，梁长为 2r，斜面的倾角 tgθ = 3 / 4 , 动摩擦系数 f ' = 0.1 。若
在轮 O 上作用一常力偶矩 M = 10 kN⋅ m 。试用动静法求：（1）滑块 B 上升的加速度；（2）
支座 A 处的反力。
解：（1）取滑块 B 为研究对象，设其质量为 m1，加速度为 aB，则其惯性力为：FI = m1aB ，
=
0 ； FDE
−
FI C
+
FI A
−
mg
−
2mg
=
0 ； FDE
=
3mg
−
mrα
=
59 mg 21
取重物 A 为研究对象，受力如图（b）所示，
∑ Fy
=
0
；
FAB
+
FI A
−
2mg
=
0；
FAB
=
2mg
−
2mrα
=
2(1 −
4 )mg 21
=
34 mg 21
6－4 重力的大小为 100N 的平板置于水平面上，其间的摩擦因数 f = 0.20，板上有一重力
FT a
B
FI
FN
Fθ
m1g
（a）
MIO FOy
MO
FT′ FOx
FOy′ FOx′
O
t m2g
（b）
A FAx
FAy
MA
（c）
得:YA = Y0 = 25.04 kN
6－6. 两细长的均质直杆互成直角地固结在一起，其顶点 O 与铅直轴以铰链相连，此轴以等
角速度ω 转动，如图所示。求长为 a 的杆离铅直线的偏角ϕ 与ω 间的关系。
200 − P1 a − P2 (a − rα ) − 80 = 0 ；120 − ( P1 + P2 )a = 0 ；
gg
g 3g
a = 120 g = 5.88 m/s2 ；α = 2 a = 19.6 rad/s2
200
3r
α
MIO
r
FI2 O aO
FI1
A P2
a
F
Ff FN P1 （a）
6－5.图示匀质定滑轮装在铅直的无重悬臂梁上，用绳与滑块相接。已知：轮半径 r=1m, 重
∑ X i = 0 ， X 0 + (P sinθ + Fg + F ′ ) cosθ = 0
得: X 0 = −(P ⋅ sinθ + Pa / g + f ′ ⋅ P cosθ ) ⋅ cosθ ∑Yi = 0 ， Y0 − (P ⋅ sinθ + Fg + F ′ ) ⋅ sinθ − Q = 0