浙教版-数学-九年级上册-拓展延伸：圆周角定理
2022年浙教初中数学九上《圆周角》PPT课件2
所对的圆心角和圆周角
求证：∠BAC= 1 ∠BOC
2
特殊：圆心O落在圆周角的边上！！
A
O
C B
求证：
∠BAC=
1 2
∠BOC
证明：（1）当圆心O在圆周角 ∠BAC的一边AB上时 ∵OA=OC ∴∠BAC=∠C ∵∠BOC是△OAC的外角 ∴∠BOC=∠C+∠BAC
=2∠BAC
1 ∴∠BAC= 2 ∠BOC
A
你好聪明！
E C
O
B D
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
本节课你学到了什么？ 有何收获？
1、圆周角的概念。 2、圆周角的定理及推论。 3、应用定理及推论。
本节课你体会到了哪些数学思想与方法？
本节课涉及：
（1）研究方法：特殊
猜想
—归纳—
一般
应用
——
特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论。
作业： 1、作业本3.4（1） 2、课时训练—基础题
3.5 圆周角（1）
圆周角的定义
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的
角叫圆周角.
A
B
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
.
O C
辨一辨
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
图１
图２
图３
不是
不是
图４
图５
画一画
请画出BC所对的圆心角以及圆周角
思考：
BC所对的圆心角有几个？
B
BC所对的圆周角有几个？
O C
●O
B
C
D
A E
●O
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.5 圆周角
识别圆周角
圆周角与圆心角的区别
圆周角
圆心角
角的顶点在圆上.
角的顶点是圆心.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
在同圆中，一条弧所对的圆心角只有一个.
知识点2 圆周角定理 重点
1.圆周角定理:
内容
数学语言
图示
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
如图，是所对的圆周角，是所对的圆心角，.
第3章 圆的基本性质
3.5 圆周角
学习目标
1.理解圆周角的定义.
2.掌握圆周角定理和它的推论.
3.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.
知识点1 圆周角的定义
定义
图示
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.如图，，等是圆周角.
注意 圆周角必须具备两个条件：（1）角的顶点必须在圆上；（2）角的两边必须与圆相交.
弧的度数是其所对的圆周角度数的2倍
示例2
同弧所对的圆周角与圆心角的关系
2.圆周角定理ห้องสมุดไป่ตู้证明：证明圆周角定理时，需根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况进行讨论，具体证明过程如下表：
分三种情况
证明过程
圆心在圆周角的一边上
,.又是的外角,,.
分三种情况
证明过程
圆心在圆周角的内部
连结并延长交于点，由第一种情况的结果，得,,,即.
是的直径（是半圆所对的圆周角），.
是半圆所对的圆周角，，是的直径.
圆周角定理的推论
文字语言
图示
数学语言
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
，.
，.
2024年浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是浙教版数学九年级上册第三章第五节的内容，主要讲述了圆周角定理及其推论。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦等知识的基础上进行学习的，是进一步研究圆的性质和解决与圆相关问题的重要基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于圆的相关知识也有一定的了解。
但在学习圆周角定理时，需要学生能够理解和证明圆周角定理，并能够运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要关注学生的理解程度和接受能力，引导学生通过观察、思考、推理等方式掌握圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆周角定理，能够运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的证明。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、推理，发现圆周角定理。
2.小组合作法：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.实例讲解法：通过具体实例，讲解圆周角定理的应用。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含圆周角定理内容的教学PPT。
2.实例素材：准备一些与圆周角相关的实例，用于讲解和练习。
3.练习题：准备一些有关圆周角的练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆周角相关的实例，引导学生思考圆周角的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现圆周角定理的内容，让学生观察和思考，引导学生发现圆周角定理。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，运用圆周角定理进行解释。
然后，各组汇报交流，互相评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些有关圆周角的练习题，巩固所学知识。
浙教版初中数学九年级上册35圆周角优质教案
浙教版初中数学九年级上册 35 圆周角优质教案一、教学内容本节课选自浙教版初中数学九年级上册，第十五章圆，第3节“圆周角”。
具体内容包括：圆周角的定义，圆周角定理，圆周角的应用。
通过本节课的学习，让学生掌握圆周角的概念及相关性质，并能运用圆周角定理解决实际问题。
二、教学目标1. 知识目标：理解并掌握圆周角的定义，圆周角定理及推论，能运用圆周角定理进行相关计算。
2. 能力目标：培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学难点与重点重点：圆周角的定义，圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明，运用圆周角定理解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，圆规，量角器。
2. 学具：圆规，量角器，直尺，三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）让学生观察生活中的圆形物体，如车轮、风扇等，引导学生思考：圆周角是什么？（2）通过多媒体课件展示圆周角的动态图像，让学生直观地认识圆周角。
2. 探究新知（1）教师引导学生通过量一量、画一画、比一比等方法，发现圆周角的特点。
（2）学生自主探究圆周角的定义，教师适时进行指导。
3. 例题讲解（1）讲解圆周角定理的证明过程，引导学生理解定理的内涵。
（2）通过例题讲解，让学生学会运用圆周角定理解决实际问题。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）学生互相交流、讨论，共同解决问题。
六、板书设计1. 圆周角的定义2. 圆周角定理3. 圆周角的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知圆的半径为5cm，求圆周角为90°的弧长。
（2）已知圆周角为60°，求所对圆心角的大小。
2. 答案：（1）弧长=半径×圆心角/180°×π=5×90°/180°×π=2.5π cm（2）圆心角=圆周角×2=60°×2=120°八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对圆周角的定义和定理掌握程度如何？哪些环节需要改进？2. 拓展延伸：引导学生探究圆周角与圆心角的关系，为下一节课的学习打下基础。
浙教版数学课件 九上圆周角2ppt
Ｏ. E
B
DC
∴⌒ BD=
D⌒E（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等）.
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过
A,B两点的一个弓形区域内，C表示一个危险临界点，
∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于
“危险角”时，就有可能触礁。
P
课前检测
1.下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D）120º的弧所对的圆周角是60º
2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º， 则∠AOB=__1_0_0_º_。
O B
AC
练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°.
求证：△ABC是等边三角形
A
P
证都明是：A∵⌒C∠所AB对C的和圆∠周A角PC。
· O
C
∴∠ABC=∠APC=60°
B
(同弧所对的圆周角相等）
同理，∵∠BAC和∠CPB都是
⌒
BC
所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
3.一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4
倍，则这弦所对的圆周角度数为 _3_6__º_或___1_4_4__º
问题: 如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么? 周角定理的推论2：
A
C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
D C
A
B
浙教版-数学-九年级上册-圆的知识点小结
圆的知识点小结(1) (2)(3) (4)(4) ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于 它的内对角.几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、扇形、圆锥不、侧面积、全面积 二 定理：1． 不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2. (4)扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)1. (L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径)(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧=LR2四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心. 7．关于圆的常见辅助线：。
九年级数学上册 3.4 圆周角教案(1) 浙教版
3.4圆周角(1)教学目标：1、理解圆周叫得概念2、经历探索圆周角定理的过程3、掌握圆周角定理和它的推论4、会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题教学重点：圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定难度。
教学设计：一、类比联想，引入新课2、提问：∠ACB是圆心角吗？（不是）教师指出：我们把这样的角叫做圆周角，你能模仿圆心角的定义给出圆周角的定义吗？板书：圆周角的定义：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角，练习：（1）练习:判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
(2)、找出图中所有的圆周角二、探索圆周角和圆心角的关系我们学习了与圆有关的两种典型的角–圆心角和圆周角，在同圆中同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系呢？问题1：请同学们任意画一个圆，并选中一段弧，画出这条弧所对的圆心角和圆周角。
问题2、同弧所对的圆心角和圆周角各有几个？（圆心角一个，圆周角无数个）问题3、请你猜测同弧所对的圆周角和圆心角大小由什么关系？（∠BAC=∠BOC）问题4、你能证明你的结论？学生讨论并寻求证明思路，有困难时老师可以适当点拨。
分三类情况讨论、证明;第一种情况：圆心在∠BAC的一边上：∵OA=OC∴∠BAC=∠C∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC∴∠BAC=∠BOC第二种情况：当圆心O在∠BAC的外部时连结A0 并延长，交交⊙O于点D，利用（1）的结果，有∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC，∴∠BAD+∠DAC=（∠BOD+∠DOC）即∠BAC=∠BOC第三种情况：当圆心O在在∠BAC的内部时连结A0 并延长，交交⊙O于点D，利用（1）的结果，有∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC，∴∠DAC-∠DAB=（∠DOC-∠DOB）即∠BAC=∠BOC完成证明过程后，把命题改为定理即圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因此：（板书）推论1：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半通过定理得证明，要使学生明白，要不要分不同情况来证明，主要是看各种情况的证明方法是否相同，相同者不需分，不相同者必须对各种不同情况逐个加以证明，并且做到不重复，不遗漏。
浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质圆周角课件
不是 是
是 不是
不是 是
做一做：找出图中的所有圆周角.
DA
∠D
∠DAC
B
∠DAB
C ∠BAC
∠B
画一画
请画出AB所对的圆心角以及圆周角.
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
画一画
C
O
A
B
⑴
C O
A
B
⑵
C
O
A
B
⑶
1.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,
过点B作直径BD.由此可得:
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
P
O
A
B
C
2. 已知Rt △ABC中，∠ABC＝90°，D是AC 中点，⊙O经过A、D、B三点，CB延长线交 ⊙O于E，求证：CE=AE
3.如图,在△ABC中,以BC边为直径画圆,分别交
AB,AC于点D,E,连结BE,CD.已知BE=CD，
求证:△ABC是等腰三角形.
Ａ ＤE
Ｏ Ｂ
Ｃ
D C
A O1 O
B
今天这节课你有什么收获？
1、圆周角定义 2、圆周角定理及其定理应用
①圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半.
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
③圆内接四边形对角互补
练一练： 1、如图，已知点C是⊙O上一点， ∠AOB=100°,则∠ACB的度数为__________
∴B、O、C三点共线
A
E 即BC是直径 A
B
O
C
图(F1)
B
●O
C
图(2)
推论１：
用于构造角
浙教版数学九年级上册圆周角课件
A
E DC
练习： 如图，P是△ABC的外接圆上的一点，
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
例 船在航行过程中，船长常常通过测定
角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁散布在经过A,B两点的一个圆形 区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就 是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大 于“危险角”时，就有可能触礁。
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2、如图2，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， 你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90º
问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O
吗？为什么？
A
D
A
B
EB
●O
O
C
B
●O
C
A
C
图2
图1
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
用于找相等的 角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
圆周角
一、旧知回放:
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1∠AOC.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
用于找相
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；等的弧
90°的圆周角所对的弦是直径。
浙教版初中数学九年级上册35圆周角教案
浙教版初中数学九年级上册 35 圆周角教案一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学九年级上册第35章“圆周角”。
具体内容包括：圆周角的定义，圆周角定理，圆周角与圆心角的关系，以及圆周角在实际问题中的应用。
主要涉及教材的第五章“圆”中的第3节。
二、教学目标1. 理解并掌握圆周角的定义，能够正确识别圆周角。
2. 掌握圆周角定理，能够运用定理解决相关问题。
3. 了解圆周角与圆心角的关系，能够运用相关知识解决实际问题。
三、教学难点与重点重点：圆周角的定义和圆周角定理。
难点：圆周角与圆心角的关系及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，圆规，直尺，量角器。
学具：圆规，直尺，量角器，练习本。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的圆形物体，引导学生思考圆周角的概念。
2. 基本概念：介绍圆周角的定义，让学生动手操作，识别圆周角。
3. 圆周角定理：讲解圆周角定理，通过例题演示，让学生理解并掌握定理。
4. 实践情景引入：提出问题，让学生运用圆周角定理解决实际问题。
5. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路和方法。
6. 随堂练习：布置练习题，让学生及时巩固所学知识。
六、板书设计1. 圆周角的定义2. 圆周角定理3. 圆周角与圆心角的关系4. 例题及解题步骤5. 课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（2）已知圆的半径为5cm，求圆周角为90°的弧长。
（3）已知圆的直径为10cm，求圆周角为120°的扇形面积。
答案：（1）图形1和图形3的角度为圆周角，因为它们所对的弧相等。
（2）弧长为5π cm。
（3）扇形面积为25π cm²。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对圆周角的概念和定理掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考圆周角与圆心角的关系，为学习圆心角定理打下基础。
同时，让学生了解圆周率π在圆周角计算中的应用，提高学生的数学素养。
浙教版初中数学九年级上册 3.5 圆周角 教案
课题 3.4 圆周角（1）类型新课教学目标知识技能1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征。
2、掌握圆周角定理和它的推论。
3、会运用周角定理和它的推论解决简单的几何问题。
过程方法经历探索圆周角定理的过程，学会与人合作，并获得数学学习的一些常用方法：分类、归纳、转化思想、合情推理、抽象概括等。
进一步加深对特殊与一般的认识。
情感态度通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
重点圆周角的概念及圆周角定理难点由于圆周角定理的证明要分三种情况讨论，体现由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，有一定的难度，是本节教学的难点。
教学过程一、温故而知新复习圆心角定义。
二、创设问题情境，引入新课1、圆周角的概念（1）如图，在⊙O中，∠AOB=80°，求AB弧的度数；②延长AO交⊙O于点C，连结CB则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢?（2）圆周角定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角叫做圆周角。
（3）请同学们考虑两个问题：A、顶点在圆上的角是圆周角吗？B、圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？（4）圆周角的两个特征：A、角的顶点在圆上；B、角的两边都与圆相交，两边在圆内的部分是圆的两条弦。
2、练习：判断下列图示中，各图形中的角是否圆周角，并说明理由。
三、探讨合作，探究新知1.探索圆心与圆周角的位置关系: 一个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？（1）圆心在角的边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？2、（合作学习）研究圆周角和圆心角的关系。
已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆心角和圆周角求证：∠BAC= ∠BOC3、经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？在证明探讨过程中要注意哪三种图形？在书写证明过程中，要注意格式：5、这一结论称为圆周角定理，在上述经历探索圆周角和圆心角的关系过程中，我们学到了什么方法？6、由此，我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情况，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略。
浙教版初中数学九年级上册35圆周角教案
浙教版初中数学九年级上册 35 圆周角教案一、教学内容本节课选自浙教版初中数学九年级上册，第35章“圆周角”。
教学内容包括：圆周角的定义，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，以及圆周角在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握圆周角的定义，能正确判断圆周角。
2. 掌握圆周角定理及推论，能运用其解决相关问题。
3. 理解圆内接四边形的性质，并能应用于解题。
三、教学难点与重点教学难点：圆周角定理的证明和应用。
教学重点：圆周角的定义，圆周角定理及推论，圆内接四边形的性质。
四、教具与学具准备教具：圆规、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：圆规、直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的圆形物体，如车轮、风扇等，引导学生观察并思考：圆的周长和角度之间有什么关系？2. 新课导入（1）讲解圆周角的定义，让学生通过观察和实践，理解圆周角的特点。
（2）引导学生发现圆周角定理，并进行证明。
（3）讲解圆周角的推论，让学生通过实际操作，加深理解。
3. 例题讲解（1）判断下列各题中的角度是否为圆周角，并说明理由。
（2）已知圆的半径和圆周角，求圆心角。
（3）已知圆内接四边形，求其内角和。
4. 随堂练习（1）判断下列各题中的角度是否为圆周角。
（2）已知圆的半径和圆心角，求圆周角。
（3）已知圆内接四边形的对角，求其内角和。
通过本节课的学习，让学生掌握圆周角的定义、定理及推论，并能应用于解题。
六、板书设计1. 圆周角的定义2. 圆周角定理及推论3. 圆内接四边形的性质4. 例题及解答过程七、作业设计1. 作业题目（1）判断下列各题中的角度是否为圆周角。
（2）已知圆的半径和圆心角，求圆周角。
（3）已知圆内接四边形的对角，求其内角和。
2. 答案（1）是圆周角。
（2）圆周角为度。
（3）内角和为度。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学过程中，学生对圆周角的定义和定理掌握程度较高，但在应用方面还有待提高。
浙教版数学九年级上册3 圆周角课件
圆周角定理 的推论
1.同弧或等弧所对的 圆周角相等； 2.半圆（或直径）所 对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的 弦是直径
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段， 我们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （× ） ×
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ） ×
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）
2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，
∠ABD=40°，50°
D 则∠BCD=＿＿＿_.
C
A
O
B
O
随堂即 练
C
A
B
第2题
第3题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°
2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD
为四边形ABCD的对角线. (1)完成下列填空：
∠1=∠4 ，∠2=∠ ，∠3∠= 6 ，
D
∠5=∠7 ； 8
78
A
1 23 4
O6
5
C
B
新课讲 解 2.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD
为四边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=⌒AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
随堂即
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述练理由.
B O·
B
C
A
浙教版初中数学九年级上册35圆周角精品教案
浙教版初中数学九年级上册 35 圆周角精品教案一、教学内容本节课我们将学习浙教版初中数学九年级上册第35章“圆周角”相关知识。
具体包括教材第1节内容，即圆周角定义、性质以及圆周角定理应用。
通过这一节学习，学生将掌握圆周角基本概念，并能运用圆周角定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生理解并掌握圆周角定义及性质。
2. 培养学生运用圆周角定理解决实际问题能力。
3. 培养学生逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：圆周角定理推导和应用。
2. 教学重点：圆周角定义、性质以及圆周角定理。
四、教具与学具准备1. 教具：圆规、直尺、量角器、多媒体设备。
2. 学具：圆规、直尺、量角器、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中圆形物体，如车轮、硬币等，引导学生思考圆周角在生活中应用。
2. 例题讲解：（1）讲解圆周角定义及性质。
（2）推导圆周角定理。
3. 随堂练习：（1）让学生画一个圆，并在圆内画出两个圆周角，测量它们度数，验证圆周角定理。
（2）解决实际问题：如何通过测量圆半径和圆周角来计算圆周长和面积？4. 小组讨论：针对随堂练习中问题，进行小组讨论，分享解题思路和技巧。
六、板书设计1. 圆周角定义、性质。
2. 圆周角定理推导过程。
3. 圆周角在实际问题中应用。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知圆半径为5cm，求圆周角为60°扇形面积和周长。
（2）已知圆周长为31.4cm，求圆周角为90°扇形面积。
2. 答案：（1）扇形面积：$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}\times5^2\times\frac{\pi}{ 3}\approx13.08cm^2$，扇形周长：$C=2r+\thetar=2\times5+5\times\frac{\pi}{3}\approx16.72cm$。
（2）扇形面积：$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}\times\frac{C}{2\pi}^2\times\frac{\pi}{2}\approx12.56cm^2$。
九年级数学上册(浙教版)课件 3.5 圆周角 第2课时 圆周
7．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径， 为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必 须( ) D A．大于60° B．小于60° C．大于30° D．小于30°
8．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量 角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方 向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于E，第24秒， 点E在量角器上对应的读数是__1_4_4___度．
9．如图，在△ABC 中，以 AC 边为直径的⊙O 交 BC 于点 D，在 ︵
劣弧AD上取一点 E 使∠EBC＝∠DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G， 交⊙O 于点 H，求证：AC⊥BH.
解：连结DA，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∠DEC＝ ∠DAC，又∠EBC＝∠DEC，∠DAC＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＋ ∠ACD＝90°，∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH
第3章 圆的基本性质
3．5 圆周角
第2课时 圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的____圆__周__角____相等，相等的圆周 角所对的__弧__也相等．
知识点一：圆周角定理的推论 B
1．下列命题正确的有( ) ①同弧所对的圆周角相等；②等弦所对的圆周角相等；③相等的圆 周角所对的弧相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
︵︵︵ 解：(1)延长 CF 交⊙O 于 Q，证EC＝AC＝AQ， ∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF (2)EF＝121
15．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦 CP 平分△ABC 的外角 ∠ACQ，∠ACB＝90°.
︵︵ (1)求证：PA＝PB； (2)求证：AC－BC＝ 2PC.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拓展延伸：圆周角定理
综合运用
一、利用圆周角定理计算线段的长度，证明线段相等或线段成比例
有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似，这是重要的解题思路．
例如，如图，AB 是半圆的直径，C为弧AE的中
点，CD⊥AB 于D交AE于F，求证：AF＝CF.
方法一：欲证AF＝CF，只需证∠ACD＝∠CAE，所以只需证这两个角所对的弧相等即可．又因为∠CAE 所对的弧为CE，所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可．
如图，延长CD 交⊙O 于H，连接AC，BC.
∵CD⊥AB，AB 是直径，
∴∠ACD＝∠ABC.
=
∴AC AH
∵C为AE的中点
=
∴CE AC
∴CE AH
=
∴∠CAE＝∠ACD.
∴AF＝CF.
方法二：如图，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC后，得到
∠CAO＝∠ACO(因为OC＝OA)，故只需证∠EAO＝∠OCD，
因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为AE的中点，便有
OC⊥AE.
再如：已知△ABC 是圆内接正三角形，M是弧BC上的一点(如图)．求证：
MA=MB ＋MC.
要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和， 可将 MA 分为两段， 其中一段 MD 等于已知线段 MC ，再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB.
如图，在 MA 上取点D ，使 MD ＝MC.
∵△ABC 为正三角形，
∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是正三角形．∴CD ＝MC.
在△ADC 和△BMC 中，
34120AC BC
ADC BMC ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
∴△ADC ≌△BMC.
∴AD ＝BM.∴MA ＝MB ＋MC.
二、圆周角的性质的灵活运用
本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主，有利于培养我们的探索能力，解决这类问题要善于把握住本质，采用各种变通的方式来探索和分析．
例如，如图，已知直线AB 交圆于A 、B 两点，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同侧，∠AMB ＝35°，设∠P ＝x ，当点 P 移动时，求 x 的变换范围，并说明 理由．
0°<x<35°，∵P 在⊙O 外，设 AP 与⊙O 交于点 E ，连接 BE ，则∠AEB ＝ ∠AMB ＝35°.
又∠AEB>∠P ，
∴∠P<35°.∵P 、M 在 AB 的同侧，
∴∠P>0°.∴0°<x<35°.
再如：为了保证船只安全，在暗礁区附近设两个灯塔A 、B(如图)，海港工人把灯 塔 A 、B 对暗礁区所张的角 AMB(称为危险角)的大小通知船只 S ，航行船只只要保证对灯塔 A 、B 所张的视角∠ASB 小于∠AMB ，就可保证安全．这是为什么？
如图，连接 BE ，由圆周角定理的推论可知∠AEB ＝
∠AMB，且由图可得
∠ASB<∠AEB，即∠ASB<∠AMB.所以当船
只到达暗礁区的边缘(圆弧AMB)上时，船只对灯
塔的视角等于∠AMB；当船只进入暗礁区时，由圆
周角定理可推出，船只对灯塔的视角大于
∠AMB.∴当船只对灯塔的视角小于∠AMB 时，船
只必在暗礁区的外面，因而可以保证安全．
思考发现：
1．学习本部分内容时应注意圆周角、弧、弦之间的相互转化．
2．圆心角定理、圆周角定理及其推论，给出了圆心角、圆周角和它们所对的弧以及所对弦之间的关系，可应用于求角、求弦、求弧长等有关问题．
3．应用圆周角定理解题时，在图形中常需添加辅助线，同时要注意数形结合．4．确定点、线的位置关系时，要注意应用分类讨论的思想．
5．圆心角定理、圆周角定理及其推论是进一步推导圆的其他重要性质的理论根据，而且为角的计算，推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中的常见问题提供了十分简便的解决方法，学习中要注意体会．。