递推法解决问题

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递推法解题

1.编写一个通用的求S=1+3+5+……+(2n-1)-1/2-1/4-……-1/2n的值的程序(其中n为100以内的自然数)。

2.某农场引进一对刚出生的新品种兔子，从出生的第二个月后，每月新生一对兔子，新生的兔子也如此繁殖，如果所有的兔子都不死去，问到第12个月时，该农场共有这种兔子多少对？一、综合题：一头母牛每年年初一生一头小母牛，每头小母牛从第四年头起，每年初一生一头小母牛。

若所有母牛，在20年时间内都健在，问第20年时，共有多少头母牛？2.编过程，求出1到100的自然数之和。

3.编过程，求10以内所有奇数的乘积。

4.编过程，求1×2+2×3+3×4+…+9×10的值。

5.编过程，求1+1/2+1/3+1/4+…+1/100的值。

6.一次考试，共有25个问题，答对一题得4分，答错或不答均扣1分，某同学成绩正好60分，问他答对了多少题。

7.某农场引进一对刚出生的新品种兔子，从出生的第二个月后，每月新生一对兔子，新出生兔子也如此繁殖，如果所有的兔子都不死亡，问到12个月时，该农场共有这种兔子多少对？8.根据题意填空：计算：1×1+2×2+3×3+…+20×20+2×4×6×…×20的值。

例3：求1×1+2×2+……+20×20+3×6×9×……×18的值。

方法一：（利用全程变量）TO A1 :XIF :X>20 STOPMAKE "S :S*:X*:XA1 :X+1ENDTO A2 :XIF :X>18 STOPMAKE "S1 :S1*:XA2 :X+3ENDTO A3MAKE "S 0MAKE "S1 1A1 1 A2 3(PR :S+:S1)END执行A3显示：5277502.用循环命令计算1.13+1.23+1.33+……+11.33的程序。

递推法名词解释

递推法名词解释
递推法是一种解决问题的方法，通过从已知的初始条件出发，逐步推导得到后续的结果。

递推法通常应用于需要计算大量重复操作的问题，其中每个操作的结果依赖于之前的操作结果。

在递推过程中，通过将前一步的结果作为输入来计算下一步的结果，从而逐步地推导解决问题。

递推法经常用于解决数学中的数列、逻辑中的推理以及计算机算法中的迭代问题。

通过递推法，可以有效地计算出问题的结果，节省时间和资源。

递推法的基本思路是将问题分解为多个子问题，并通过已知的初始条件和递推关系，依次求解子问题，直到得到最终的结果。

在实际应用中，递推法常常与数学归纳法、循环等方法结合使用，以便更好地分析和解决问题。

递推法解计数问题例析

递推法解计数问题例析发布时间：2021-06-22T11:22:52.897Z 来源：《中小学教育》2021年第2月6期（下）作者：张淑云[导读] 计数问题是学习和生活中经常遇到的一类问题张淑云湖南省冷水江市铎山镇中心小学 417508摘要：计数问题是学习和生活中经常遇到的一类问题，它的表现形式多样,处理方法灵活,其中递推法是处理复杂计数问题的一种重要方法。

本文通过几个典型例子，说明递推法在解计数问题中的应用。

关键词：计数问题，递推法，例析意大利著名数学家斐波那契（约1170—1250）有一部传世之作《算术之法》，其中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子。

设所生一对兔子为一雌一雄，且均无死亡。

问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？对于斐波那契提出的这个“兔子繁殖问题”，我们不妨一个月一个月向后推算：开始时有一对小兔，即a0=1；第1个月，这对小兔长成一对大兔，即a1=1；第2个月，这对大兔产下一对小兔，此时共有两对兔子，即a2=2；第3个月，原来的大兔产下一对小兔，第2个月出生的一对小兔长成大兔，即a3=3；第4个月，原来的和第2个月出生的兔子各产下一对小兔，而第3个月出生的一对小兔长成大兔，此时共有5对兔子，即a4=5；…… 如果按照上述“连锁反应”式地繁殖小兔，来推算出一年（12个月）内可以繁殖成多少对兔子，我们确实要费一番功夫。

因此，我们需要找出一个简捷的“连锁反应关系式”来解出a12。

设第n个月共有an对兔子，则an是由两部分构成的，其中一部分是第（n-1）个月的兔子对数an-1；第二部分是由an-2对兔子所生的小兔，共有an-2对。

所以an=an-1+ an-2。

由于a0=1，a1=1，因此每个月的兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…。

函数方程解题的关键技巧与方法

函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。

解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。

一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。

它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。

二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。

它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。

举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。

三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。

它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。

四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。

an+1+an=f(n)型数列问题的求解策略

an+1+an=f(n)型数列问题的求解策略
对于递推数列an+1+an=f(n)，可以采用以下几种方法求解：
1. 通项公式法：通过求解数列的特征方程，可以得到数列的通项公式。

具体步骤如下：
- 假设数列的通项公式为an=rn，则将an+1+an=f(n)代入得到r^2+r=f(n)。

- 求得特征方程的根为r1和r2，通项公式为an=A*r1^n+B*r2^n。

- 根据数列前几项的值可以求出A和B的值，从而得到数列的通项公式。

2. 递推法：直接利用递推式计算数列的每一项，具体步骤如下：
- 假设已知数列的前两项a1和a2，以及f(n)的值。

- 利用递推式计算出a3、a4、...、an的值。

- 当n很大时，递推法的计算量会增大，因此需要注意选择计算的精度和范围。

3. 数学归纳法：利用数学归纳法证明数列的某些性质，从而求解数列。

具体步骤如下：
- 假设数列的性质P(n)成立，可以推导出性质P(n+1)也成立。

- 利用性质P(1)可以证明性质P(n)对于所有n成立。

- 根据性质P(n)可以求解数列的某些性质，如极限、周期等。

以上是an+1+an=f(n)型数列问题的求解策略，具体方法可以根据实际情况进行选择。

高中数学解题方法

高中数学解题方法高中数学是一门关于数学的高级学科，其内容包含了现代数学的基本知识和理论。

在学习高中数学时，掌握一些解题方法对于提高数学水平非常重要。

本文将介绍一些常用的高中数学解题方法。

一、代数解题方法代数是高中数学的基础，也是解题过程中经常使用的数学工具之一。

在代数解题中，我们常常使用的方法有：1. 方程法：将问题转化为一个或多个方程，通过解方程来求解问题。

例如，已知一个几何图形的面积和周长，可以通过列方程解方程的方法来求解图形的尺寸。

2. 几何解法：有时候在解代数问题时，我们可以绘制几何图形，通过几何图形的性质和关系来解决问题。

例如，通过几何图形的相似性和比例关系来求解两个量之间的比值。

3. 因式分解法：将一个多项式进行因式分解，可以简化问题的计算。

因式分解法在解决方程和不等式问题时特别有用。

4. 递推法：递推法是一种迭代求解的方法，通过逐步推导得到结果。

递推法在解决数列和函数问题时经常使用。

例如，递推求和法可以用于求解等差数列的前n项和。

二、几何解题方法几何是高中数学的另一个重要内容，解题时也常常使用一些几何解题方法。

1. 利用图形的性质：几何图形有许多性质和定理，通过利用这些性质和定理可以解决一些几何问题。

例如，利用三角形的面积公式和相似性定理可以计算三角形的面积。

2. 几何运算：几何运算是指通过计算几何图形的面积、周长、体积等来解决问题。

例如，计算一个多边形的面积可以通过将其分解为若干个简单图形来进行计算。

3. 三角法：三角法是一种运用三角学思想解决几何问题的方法。

例如，可以通过正弦定理和余弦定理来解决三角形的边长和角度问题。

三、概率与统计解题方法概率与统计是数学的一个分支，研究随机现象和数据分析的方法。

在解决概率与统计问题时，我们可以使用以下方法：1. 概率模型：建立一个合适的概率模型，通过计算概率来求解问题。

例如，通过建立一个事件空间模型，可以计算某个事件发生的概率。

2. 统计分析：通过对收集到的数据进行统计分析，可以得到一些有关该数据的特征和规律。

求解差分方程的三种基本方法

求解差分方程的三种基本方法一、引言差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。

求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。

二、递推法递推法是求解差分方程最常用的方法之一。

递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。

具体步骤如下：1. 将差分方程转化为递推关系式。

2. 根据已知条件确定初始值。

3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。

4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。

三、特征根法特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最常用的方法之一。

特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。

具体步骤如下：1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。

2. 求出该微分方程对应的特征方程。

3. 求解特征方程得到其特征根。

4. 根据特征根求出微分方程的通解。

5. 将通解转化为差分方程的通解。

四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。

拉普拉斯变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解积分方程来得到其通解。

具体步骤如下：1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。

2. 求解积分方程得到其通解。

3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。

五、总结本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。

其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。

数字找规律的方法与技巧

数字找规律的方法与技巧在数学中，数字的规律是一个非常有趣的研究领域。

通过寻找数字之间的模式和规律，我们可以更好地理解数字之间的关系，并运用这些规律解决实际问题。

本文将介绍一些以数字找规律的方法与技巧，帮助读者更好地理解和应用数字规律。

一、观察法观察法是最常用的方法之一。

我们可以通过对一组数字进行观察和分析，找出其中的规律。

例如，我们观察以下数字序列：2, 4, 6, 8, 10。

通过观察我们可以发现，这是一个等差数列，公差为2。

因此，下一个数字应该是12。

通过观察法，我们可以找到很多数字序列中隐藏的规律。

二、递推法递推法是一种通过已知的数字推导出下一个数字的方法。

这种方法常用于斐波那契数列等递推数列的求解。

例如，斐波那契数列的规律是每个数字都是前两个数字之和。

通过递推法，我们可以得到斐波那契数列的前几个数字：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...通过不断地递推，我们可以得到更多的数字。

三、数位法数位法是一种通过数字的各个位数之间的关系来找规律的方法。

例如，我们观察以下数字序列：16, 22, 28, 34, 40。

通过观察我们可以发现，这些数字的个位数都是6，十位数依次递增。

因此，下一个数字应该是46。

通过数位法，我们可以找到数字中隐藏的规律。

四、平方与立方法平方与立方法是一种通过数字的平方和立方来找规律的方法。

例如，我们观察以下数字序列：1, 4, 9, 16, 25。

通过观察我们可以发现，这些数字分别是1的平方、2的平方、3的平方、4的平方、5的平方。

因此，下一个数字应该是36，即6的平方。

通过平方与立方法，我们可以找到数字中隐藏的规律。

五、质数法质数法是一种通过质数来找规律的方法。

质数是只能被1和自身整除的数，如2, 3, 5, 7, 11等。

通过观察质数的规律，我们可以发现一些有趣的现象。

例如，质数大多分布在自然数中，但它们的分布并不均匀。

通过研究质数的分布规律，数学家们发现了许多重要的数论问题。

数列找规律题型及解题方法

数列找规律题型及解题方法
数列找规律是数学中的一类题型，通过观察和分析数列中的数字之间的关系，找出其中的规律。

这类题型常见于各类数学竞赛和考试中，考察学生的观察力、逻辑思维能力和数学推理能力。

解决数列找规律题的方法主要有以下几种：
1. 基础运算法：观察数列中的数字之间的运算关系，例如加减乘除等。

可以通过计算前几项的差或比值来找到规律。

2. 递推法：如果数列中的每一项都可以通过前一项得到，那么可以使用递推法。

通过观察数列中的数字之间的关系，写出递推式，然后利用递推式来求解数列中的任意一项。

3. 几何法：如果数列中的数字之间存在几何关系，可以使用几何法来解题。

例如，等比数列中的每一项都等于前一项乘以一个常数，可以利用这个性质来求解数列中的任意一项。

4. 模式法：有些数列中的数字之间可能存在某种模式，例如交替出现的数字、重复出现的数字、循环出现的数字等。

通过观察这些模式并找出规律，可以解决数列找规律题。

5. 数字特征法：有些数列中的数字可能具有特殊的性质，例如平方
数列、立方数列、斐波那契数列等。

通过观察这些数字的特征，可以找到数列中的规律。

在解决数列找规律题时，关键是要仔细观察数列中的数字之间的关系，尝试不同的方法找出规律。

可以通过列出数列的前几项，找出它们之间的关系，然后利用这个关系来推导出后面的项。

此外，还可以通过举例验证自己找到的规律是否正确。

总之，数列找规律是一种培养学生观察力和逻辑思维能力的重要数学题型。

通过不断练习和掌握解题方法，可以提高解决这类题目的能力。

举例说明化归三个方法

举例说明化归三个方法化归是数学中常用的一种方法，用于将问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。

下面举例说明化归的三种常见方法：代换法、递推法和对称法。

一、代换法代换法是指通过引入新的变量或函数，将原问题转化为一个等价的、更易解的问题。

例1：求解方程x^3-4x^2+5x+2=0的根。

解：我们可以使用代换法将该方程转化为一个更简单的形式。

设y=x-2，则有x=y+2、将x的表达式代入原方程，得到(y+2)^3-4(y+2)^2+5(y+2)+2=0。

化简后得到y^3+2y-8=0。

这是一个更易解的方程，我们可以直接求解它得到y的解，再将y的解带回原方程中求得x的解。

例2：证明任意正整数都可以表示为4个整数的平方和。

解：我们可以使用代换法将该问题转化为一个更易证明的形式。

设n=4k+r，其中k为非负整数，r为0、1、2或3、我们可以证明，对于r=0,1,2,3的情况，都存在一组整数a、b、c、d使得n=a^2+b^2+c^2+d^2、进一步地，我们可以利用代换法证明r=0的情况，然后利用模4的性质证明r=1,2,3的情况。

二、递推法递推法是指通过已知的几个或一些特殊情况的解，推导出问题的一般解。

例3：求解斐波那契数列。

解：斐波那契数列是以递推方式定义的数列，其中每一项都等于前两项的和。

已知第一项F(1)=1、第二项F(2)=1，我们可以使用递推法求解其余的项。

根据递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)，可以依次计算出F(3)、F(4)、F(5)等，得到整个数列的解。

例4：求解汉诺塔问题。

解：汉诺塔问题是一个经典的递推问题，要求将n个盘子从一根柱子移动到另一根柱子，且在移动过程中要满足一个规则：任意时刻都不能将较大的盘子放在较小的盘子上。

已知当n=1时，只需要进行一次移动。

根据这个特殊情况的解，我们可以通过递推的方式求解出移动n个盘子的总步数和移动路径。

三、对称法对称法是指通过寻找问题中的其中一种对称关系，将问题转化为一个与之对称的更易解的问题。

集合问题的常用解题方法

集合问题的常用解题方法
集合问题是指用数学的方法来解决涉及集合的问题。

集合问题在许多数学领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、信息论等。

以下是常用的解决集合问题的方法：
1.通过枚举法求解：枚举法是将集合中的所有元素进行枚举，并统
计满足条件的元素个数。

这种方法适用于集合中元素个数较少的情况。

2.利用数学归纳法：数学归纳法是通过证明一个性质在某一类条件
下成立，然后由此推广到所有情况的方法。

这种方法常用于证明某一类集合中的某种性质。

3.利用递推法：递推法是通过对一个问题的答案按照某种递推关系
进行转化，从而求解问题的方法。

这种方法常用于解决一些递推关系的问题。

4.利用构造法：构造法是通过设计特定的构造方法来求解问题的方
法。

这种方法常用于解决构造性问题，例如找出满足某些性质的集合。

5.利用排列组合法：排列组合法是通过统计不同的排列或组合方式
来求解问题的方法。

这种方法常用于解决排列组合问题。

6.利用生成函数法：生成函数法是通过构造特定的生成函数来求解
问题的方法。

这种方法常用于解决组合数学问题。

7.利用计数法：计数法是通过对集合中元素的特征进行计数，从而
求解问题的方法。

这种方法常用于解决计数问题。

上述方法并不是绝对的，在解决集合问题时可能需要结合多种方法，并综合考虑问题的性质、数据规模等因素来选择最适合的方法。

找规律的三种方法

找规律的三种方法
在生活和学习中，我们经常需要找出一些规律来解决问题，无论是数学题、逻
辑推理还是其他方面的问题，找规律都是一个非常重要的方法。

下面我将介绍三种找规律的方法，希望能对大家有所帮助。

第一种方法是逐项比较法。

逐项比较法是通过逐一比较对象的不同之处，找出
规律的一种方法。

例如，当我们面对一组数字时，可以逐个数字进行比较，找出它们之间的关系。

逐项比较法适用于一些简单的规律，通过逐项比较，我们可以找到数字之间的增减关系、倍数关系等规律。

第二种方法是归纳总结法。

归纳总结法是通过总结一系列事实或现象的共同特点，找出规律的一种方法。

例如，当我们面对一组数据时，可以先将它们进行分类，然后找出每个分类中的共同特点，从而找出规律。

归纳总结法适用于一些复杂的规律，通过对数据进行分类和总结，我们可以找到更深层次的规律。

第三种方法是递推推理法。

递推推理法是通过不断推演，找出规律的一种方法。

例如，当我们面对一个数列时，可以通过递推推理，找出每一项与前一项之间的关系，从而找出规律。

递推推理法适用于一些复杂的数学问题，通过递推推理，我们可以找到数列中每一项之间的关系，从而找出规律。

总结一下，找规律的三种方法分别是逐项比较法、归纳总结法和递推推理法。

不同的方法适用于不同的问题，我们可以根据具体情况选择合适的方法来找出规律。

希望大家在遇到问题时能够灵活运用这些方法，找出规律，解决问题。

递推法解决问题

递推方法进行解决问题
类型一：递推解决爬楼梯的方法
第一题：
有10级台阶，每次可以爬1级或2级台阶，那么爬上10级台阶的方法有多少种？
解：
1级：有1种；
2级：有两种，分别为1+1、2；
3级：有三种，分别为1+1+1、1+2、2+1。

因为可以基于第1级、第2级台阶到第3级台阶上，到达第1级有1种，达到第2级有2种，即1+2=3种
4级：有5种，可以通过第2级、第3级到达第4级，到第2级有2种，第3级有3种，即2+3=5种。

5级：基于第3级、第4级到达，3+5=8种。

6级：基于第4级，第5级到达，5+8=13种
7级：基于第5级、第6级到达，8+13=21种
8级：13+21=34种
9级：21+34=55种
10级：34+55=89种
类型二：递推方法解决直线分割平面部分的问题
第二题：
有10条直线可以把同一个平面最多分成多少个部分？
解：
由以上表格可以得出，1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个部分。

得到公式为：1+1+2+3+····+n（n代表一共有多少条直线）
第三题：
20条直线最多可以将同一个平面分成多少个部分？
解：1+1+2+3+4+5+6+7+8+···+20=211个部分。

练习题：
第一题：小明爬楼梯，每步爬1级或2级，则爬上15级台阶有多少种方法？第二题：50条直线最多将同一个平面分割成多少部分？。

高中物理解题方法6[1]递推法

六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。

即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。

具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。

再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。

用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。

塞题精析例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；…；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a ，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程。

解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。

（1）物质在某时刻t末的速度为vt = at2t末的速度为v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at……则nt末的速度为vnt = v(n－)t + nat = at + 2at + 3at + … + nat = at (1 + 2 + 3 + …+ n)= at (n + 1)n = n (n + 1)at（2）同理：可推得nt内通过的总路程s = n (n + 1)(2n + 1)at2例2：小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。

（g取10m/s2）解析：小球从h0高处落地时，速率v0 = = 60m/s第一次跳起时和又落地时的速率v1 =第二次跳起时和又落地时的速率v2 =……第m次跳起时和又落地时的速率vm =每次跳起的高度依次为h1 = = ，h2 = = ，……，通过的总路程Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + …= h0 + (1 + + + … + + …)= h0 + = h0 = h0 = 300m经过的总时间为Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + …= + + … + + …= ［1 + 2 + … + 2 ( )m + …］= = =18s例3：A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。

利用递推法求解期望问题

46
2023 年第 3 期
中学数学教学
利用递推法求解期望问题
浙江省杭州第十四中学
摘
要
楼思远
(邮编:
310006)
某些离散型随机变量与试验的顺序有关,由于无法列举出所有可能值的情形,或者对应
概率的计算比较复杂,导致其期望值很难计算 .文章利用递推的思想,通过建立递推关系将这类期望的
面朝上的概率均相等,当连续出现 n 次正面朝上
时即停止,求抛的次数的期望 .
解
设连续出现 k 次正面朝上时抛的次数
期望为 Ek ,现考虑 Ek+1 与 Ek 的关系,当已经连
续出现 k 次正面朝上的情况下,再进行一次抛
时,会出现下列两种情况:
(
1)正面朝上:概率为 0.
为ξ,则ξ 的数学期望为
.
解设ξ 的数学期望为 E ,现根据第一次与
第二次取出球的颜色(初始状态)进行分类讨论,
有以下四种情况:
(
1)第一次与第二次取出球的颜色均为红,
1 1 1
× = ,此时结束,取了两次;
3 3 9
(
2)第一次与第二次取出球的颜色均不为
对应概率为
n
=n +m ∑
值较小的情形,该法的优点是思路清晰,过程简
2 2 4
× = ,此时这两次作废,重
3 3 9
新回到最初的情形,还需要 E 次;
红,对应概率为
单易懂;倒推法则更适用于较为复杂的情况,该

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法9种解法在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。

在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

1. 直接法直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。

通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。

这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。

2. 间接法间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。

当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。

3. 分类讨论法分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。

通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。

这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。

4. 代入法代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。

通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。

这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。

5. 齐次化法齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。

通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。

6. 几何法几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。

通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。

7. 递推法递推法是一种通过递归关系进行推导的方法。

通过建立递推关系，可以得出不等式的递推解，从而得出恒成立条件。

这种方法通常适用于递推关系较为明显的不等式问题，能够通过递推求解不等式问题。

8. 极限法极限法是一种通过极限的性质进行分析的方法。

鸡兔同笼的十种解法

鸡兔同笼的十种解法鸡兔同笼是一道经典的数学问题，它的解法有很多种。

在这篇文章中，我们将介绍十种不同的解法。

解法一：代数法设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意可得以下两个方程：x + y = n2x + 4y = m其中n表示笼子里的总数量，m表示笼子里的总腿数。

解这个方程组，即可得到鸡和兔的数量。

解法二：图像法将鸡和兔分别用不同的图形表示出来，如圆形和三角形。

然后将它们放在同一个笼子里，根据题意可得到它们的数量。

解法三：枚举法从1开始枚举鸡和兔的数量，直到找到符合题意的解为止。

解法四：递推法根据题意，可以得到以下递推公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中f(n)表示笼子里的总数量，f(n-1)表示上一个状态的数量，f(n-2)表示上上个状态的数量。

通过递推，即可得到鸡和兔的数量。

解法五：二分法将鸡和兔的数量分别设为x和y，然后用二分法逐步逼近符合题意的解。

解法六：贪心法先假设所有的动物都是兔子，然后逐步将一些兔子变成鸡，直到符合题意为止。

解法七：暴力法将所有可能的情况都列出来，然后逐一验证，直到找到符合题意的解为止。

解法八：分治法将笼子分成两个部分，分别放鸡和兔，然后逐步逼近符合题意的解。

解法九：随机法随机生成一些鸡和兔的数量，然后逐步逼近符合题意的解。

解法十：遗传算法将鸡和兔的数量看作基因，然后用遗传算法逐步逼近符合题意的解。

以上就是十种不同的鸡兔同笼问题的解法。

每种解法都有其独特的优点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的解法来解决问题。

高中物理利用递推法求解多次碰撞问题

高中物理利用递推法求解多次碰撞问题在高中物理中，多次碰撞问题是一个常见的力学问题，它涉及到动量守恒、能量守恒等物理原理。

递推法是一种有效的求解多次碰撞问题的方法，它通过将复杂的多次碰撞过程分解为一系列简单的单次碰撞过程，然后依次求解每次碰撞后的状态，最终得到所需的结果。

递推法的基本步骤明确初始条件：首先，需要明确碰撞前的各个物体的速度、质量等初始条件。

应用动量守恒定律：在每次碰撞过程中，应用动量守恒定律来建立方程。

对于一维碰撞问题，如果系统不受外力或所受外力之和为零，则系统动量守恒。

考虑能量变化：如果碰撞过程中存在能量损失（如非弹性碰撞），则需要应用能量守恒定律或动能定理来进一步求解。

对于完全弹性碰撞，动能保持不变；对于非弹性碰撞，动能会减少。

递推求解：从第一次碰撞开始，根据动量守恒（和可能的能量守恒）定律求解碰撞后的速度。

然后，将碰撞后的速度作为下一次碰撞的初始速度，继续求解下一次碰撞后的速度，依此类推，直到求解出所有需要的碰撞后的状态。

验证结果：最后，验证求解结果是否符合物理规律和实际情况。

示例问题假设有两个质量分别为m1和m2的小球，在光滑的水平面上以速度v1和v2（方向相反）发生完全弹性碰撞。

求碰撞后两球的速度。

递推法求解（实际上此问题只需一次递推，但为了说明方法）明确初始条件：m1的初速度为v1，m2的初速度为v2（方向相反，可设为−v2）。

应用动量守恒定律：设碰撞后m1的速度为v1′，m2的速度为v2′，根据动量守恒定律有：m1v1+m2(−v2)=m1v1′+m2v2′应用能量守恒定律（完全弹性碰撞）：动能保持不变，即：联立方程求解：将上述两个方程联立，可以解出v1′和v2′。

注意：这里实际上没有多次碰撞，但递推法的思想在于，如果有多次碰撞，我们可以将每次碰撞后的速度作为下一次碰撞的初始速度，重复上述步骤。

验证结果。

通过递推法，我们可以将复杂的多次碰撞问题简化为一系列简单的单次碰撞问题，从而更容易地求解出所需的结果。

递推法解数列整除问题的常用方法

递推法解数列整除问题的常用方法递推法是解决数列问题的常用方法之一，其核心思想是根据已知的前项推导出后项，直到得到所求的项。

在解决数列整除问题中，递推法同样适用。

首先，我们需要明确题目所给的数列条件。

在数列整除问题中，常见的条件包括等差数列（公差为d的数列）、等比数列（公比为r的数列），以及递推关系。

我们以这些常见的数列为例进行讲解。

1.等差数列的整除问题：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为第一项，d为公差。

例如题目给定的等差数列为1,4,7,10,13,...，其中公差d=3、我们需要找出该数列中可以整除一些特定数的项。

解决方法：（1）首先，我们找到该等差数列的第一项a1和公差d。

（2）观察题目给定的数是否为公差d的倍数。

如果是，说明数列中存在满足题目要求的项；如果不是，说明数列中不存在符合要求的项。

（3）如果题目要求找到满足一些条件的特定项，可以通过递推法得到满足要求的项。

例如，题目要求找到该数列中可以整除6的项：我们首先计算公差d=3，发现6不是3的倍数，所以该数列中不存在可以整除6的项。

2.等比数列的整除问题：等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为第一项，r为公比。

例如题目给定的等比数列为1,2,4,8,16,...，其中公比r=2、我们需要找出该数列中可以整除一些特定数的项。

解决方法：（1）首先，我们找到该等比数列的第一项a1和公比r。

（2）观察题目给定的数是否等于一些项的值。

如果是，说明数列中存在满足题目要求的项；如果不是，说明数列中不存在符合要求的项。

（3）如果题目要求找到满足一些条件的特定项，可以通过递推法得到满足要求的项。

例如，题目要求找到该数列中可以整除32的项：我们首先计算公比r=2，发现32等于第5项的值，即32=2^4、所以该数列中存在可以整除32的项。

3.递推关系的整除问题：有些数列的递推关系不仅包含等差或等比关系，还可能包含其他递推关系，例如斐波那契数列。