随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
3第二章平稳随机过程
例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0
演示文稿三平稳随机过程课件
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
第三十一页，共78页。
数学期望
均方值 方差 协方差
mX RX ()
E[ X 2 (t)] RX (0)
2 X
RX (0) RX ()
CX ( ) RX ( ) RX ()
第三十二页，共78页。
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100
第十页，共78页。
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：
(1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZ t EX sin t Y cost
5.1.3 循环平稳性
第二十四页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第二十五页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第二十六页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
除Guass
SSS
WSS
二阶矩过程
SSCS
二阶矩过程
WSCS
第二十七页，共78页。
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( )。
5.1.3 循环平稳性
第十七页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十八页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十九页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机过程课后题答案
《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介第二章随机信号概论参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。
（3）一维概率密度函数：nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(21)(21),(δδ二维概率密度函数：[][]⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nTt T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 22122112121212121)1(,)1(,)()()()(41,,)1(),()(21)()(21),;,(或δδδδδδδδ参考答案：[][]625.3341683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[][]625.2141283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[]()875.7)13(41)62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ参考答案：Φ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=Φ其它,020,21)(πϕπϕp均值：[][]021)cos()cos()()(2000=Φ⋅Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X ππωω 方差：01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数：[][12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[][][]1010*******01020102111201022201211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-22201)cos ()cos ()22a b ωτωτ=++第三章平稳随机过程参考答案：0)sin(cos )cos(21)(21)(000lim lim lim=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰T T A dt t A T dt t x T t x T TT T T T T ωωω)cos(2)cos()cos(21)()(020002limτωτωωωτA dt t t A T t x t x T T T =Φ++Φ+=+⎰-∞→由于A 和Φ为统计独立的随机变量，于是有[][][][]021)cos()cos()(2000=ΦΦ+⋅=Φ+⋅=⎰ππωωd t A E t E A E t X E[][][][][][])cos(21)22cos()cos(21)cos()cos()()(),(020*******τωτωωτωτωωωττA E t E A E t t E A E t X t X E t t R X =Φ+++⋅=Φ++Φ+⋅=+=+由图3.5可看出，不同样本函数的A 不同，则相应的时间平均自相关函数)()(τ+t x t x 也不同，),()()(ττ+=+t t R t x t x X 不能以概率1成立，因此该随机过程不具有各态历经性。
随机信号分析第三章
§ 3.1
平稳随机过程及其数字特征
一、平稳随机过程的基本概念
1．严平稳随机过程
一个随机过程X(t), 如果它的n维概率密度(或n维分 布函数)不随时间起点选择的不同而改变，则称X(t)是 严平稳随机过程。
p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) p X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )
2 *
则称X(t)为宽平稳过程(或称广义平稳过程) 严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
两个随机过程平稳相依
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
R X Y (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] R XY ( ), t 2 t1 ,
(2)平稳过程X（t）的二维概率密度只与t1、 t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
p X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) p X ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) p( x1 , x2 ; )
所以与二维分布有关的数字特征仅是τ的函数， 而与t1,t2的本身取值无关
式中
1 x(t ) lim T 2T
x(t )dt
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
x(t ) x(t )dt
分别称作X(t) 的时间均值和时间自相关函数。
各态历经过程
若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性， 则称X(t)是宽各态历经过程。 若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有 相应的时间平均特性以概率为一相等, 则称X(t)为 严遍历过程或窄义遍历过程. 本章仅限于研究宽遍 历过程.如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过 程. 不难看出,遍历过程必定是平稳过程,但平稳过 程不一定是遍历过程。 对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便 可得到其数字特征。
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章 习题讲解
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第3章
mX t E X t
2π 0
x
f
d
2π 0
a
cos
0t
1 2π
d
0
mX
RX t1,t2 RX t,t E X t X t
E a cos 0t a cos 0 t
a2 2
E
cos 0
cos 20t
0
平稳的。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、 B 构成的随机信号X(t)=Acosω0t+Bsinω0t是宽平稳随机信号。 式中， ω0为常数， A、B的数学期望为零， 方差σ2相同。
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其定 义实在太“严格”了。 函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实现。 实 际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩 （均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下来研究 随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨论的广义 平稳性。
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-10)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为 零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则X(t)不是严格平稳的。
= 2 cos0t cos0 t+ + sin 0t sin 0 t+ = 2 cos0 =RX
随机信号分析第三章new
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
可见，自相关函数仅与时间间隔
故过程X( t )是宽平稳过程。
2
2
2 有关，均方值为“ ” 有限Fra bibliotek2例3.2
设两个随机过程X1(t)=Y，X2(t)=tY， Y是随机变量。
讨论它们的平稳性。
1) E[ X 1 (t )] E[Y ] mY —常数
2 2
R X 1 (t , t ) E[ X 1 (t ) X 1 (t )] E[Y ] Y E[ X 1 (t )] R X 1 (0) Y
fY ( y )
1 f X ( y / b ) f X ( y / b )y>0 2 by
各态历经过程
在随机过程的概率分布未知情况下，如要得到随机过程的数字 特征如：E[X(t)]、 D[X(t)]、Rx(t1，t2 )… ，只有通过做大量重复的 观察试验找到“所有样本函数{(t)}”，找到各个样本函数(t)发生的 概率，再对过程的“所有样本函数{(t)}”求统计平均才可能得到。 这在实际应用中不易实现。因此，人们想到：能否从一个样本函数 (t)中提取到整个过程统计特征的信息？ 19世纪俄国的数学家－辛钦，从理论上证明：存在一种平稳过 程，在具备了一定的补充条件（略）下，对它的任何一个样本函数 (t)所做的时间平均，在概率意义上趋近于它的统计平均。对于具 有这样特性的随机过程称之为“各态历经过程”。 可以理解为： “各态历经过程”的任一个样本函数(t)都经历 了过程的各种可能状态，从“各态历经过程”的一个样本函数(t) 中可以提取到整个过程统计特征的信息。 因此，可以用“各态历经过程”的一个样本函数(t)的“时间 平均”来代替“各态历经过程”的“统计平均”。 目地。
《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中，τ = t1-t2，即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
概率之平稳随机过程
即均值函数，均方值函数和方差函数为常数 均值函数，
平稳过程的自相关函数和自协方差函数 平稳过程的自相关函数和自协方差函数 平稳性的定义知： 取 n = 2, h = −t1 由平稳性的定义知：
( X(t1 ), X(t2 )) 和( X(0), X(t2 − t1 )) 同分布， 同分布，
于是 RX (t1, t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] = E[X(0)X(t2 − t1 )] 有关， 等式右端只与 t2 − t1有关，记为 RX (t2 − t1 ) 即有
2. 广义平稳过程
定义1 定义 给定二阶矩过程{ X ( t ), t ∈ T }, 如果对任意 t,t + τ ∈ T :
E[ X ( t )] = µ X
(常数 )
E[ X ( t ) X ( t + τ )] = RX (τ )
则称{ X ( t ), t ∈ T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程 .
例3 设s( t )是一周期为 T的函数 ,Θ是在( 0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X ( t ) = s( t + Θ )为随机
相位周期过程 . 试讨论它的平稳性 .
解
Θ的概率密度为
X(t) 的均值函数为
1 / T , 0 < θ < T , f (θ ) = 0, 其他 .
以概率 1 成立, 则称随机过程 X (t ) 的自相关函数
具有各态历经性. 具有各态历经性
当 τ = 0 时 , 称均方值具有各态历经 性 .
( 3) 如果 X ( t ) 的均值和自相关函数都 具有各态历 经性 , 则称 X ( t ) 是 ( 宽 ) 各态历经过程 .
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
随机信号处理第三章PPT课件
f X ( x 1 , Y , x n , t 1 c , t n c ,y 1 , ,y m , t 1 ' c , , t m ' c )
.
20
随机信号处理 2、互相关函数及其性质
随机信号处理
第三章
主要内容： ➢平稳随机过程 ➢各态遍历随机过程
.
1
随机信号处理 3.1 平稳随机过程
随机过程
平稳过程
非平稳过程
各态遍历
非各态遍历
.
2
随机信号处理
1、平稳随机过程的定义
(1) 严格平稳随机过程( Strictly stationary Process )
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间 平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严格平稳的随 机过程或称为狭义平稳随机过程。
各态历经特性：
时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计 相关函数
.
16
随机信号处理
例5 、判断随机相位信号 X (t)A co 0 s t ( )
是否具有遍历性，其中随机变量均匀分布于(0，2)。
解、
1T
m X T li m 2 T TA c o s(t)d t 0 m X
R X () T li m 2 1 T T T A 2 c o s (t)c o s (t) d t
.
18
随机信号处理
3.2 随机过程的联合分布和互相关函数
1、联合分布函数和联合概率密度
n+m维联合分布函数： F X (x Y 1 , ,x n ,t1 ,tn ,y 1 , ,y m ,t1 ', ,tm ')
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
可见复随机变量的方差 是实部和虚部方差之和 。
3.6复随机过程
对于两个复随机变量 1 X 1 jY1和Z 2 X 2 jY2 Z 它们的相关矩为： Z1Z 2 E[ Z1 * Z 2 ],*表示复共轭 R 将Z1 , Z 2代入上式得： RZ1Z 2＝E[( X 1 jY1 )( X 2 jY2 )] RX1 X 2 RY1Y2 j ( RX1 X 2 RY1Y2 )
mz(t)=E[Z(t)]=mx(t)+jmY(t) 它的方差则是实时间函数，即
即
2 z(t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 X (t ) 2Y (t )
3.6复随机过程
自相关函数定义为： Z (t , t ) E[ Z * (t ) Z (t )] R 协方差函数定义为： CZ (t , t ) E{[ Z (t ) mz (t )]*[ Z (t ) mZ (t )]} 当 0时，有 RZ (t , t ) E[| Z (t ) |2 ], CZ (t , t ) E[| Z (t ) mZ (t ) |2 ] 2 Z (t )
例3.7平稳过程X(t)的自相关函数为R X ( )=100e-10| | 100 cos(10 ) 100 求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX ( ) {100cos10 } {100e100| | 100} RX1 ( ) RX 2 ( )
RX1 ( )为平稳过程周期分量的相关函数是随相正弦波的相关函数， 该分量的均值为零。于是由性质6可得非周期分量 R X ()=m 2 X =100，
例3.6设随机过程X (t ) a cos( w0t ) N (t ), 式中， a, w0为常数，为(0,2 )上均匀分布的随机变量， N(t) 为一般平稳过程，对于所有的t而言， 与N(t)皆统计独立。
X (t ) a cos( w0t ) N (t )
自相关函数为：RX ( ) a cos w0 RN ( ) 2 可见，相关函数也含有与所以过程X(t)的周期分量相同周期的周期分量。
广义复随机过程
由实随机过程广义平稳 定义可直接类推出复随 机过程广义平稳条件， 如果复随机过程 (t )满足： Z E[ Z (t )] mZ 复常数 E[ Z * (t ) Z (t )] RZ ( ) E[| Z (t ) |2 ] 则称Z ( t )为广义平稳复随机过程 。
复随机变量协方差定义 为： CZ1Z 2 E[(Z1 mZ1 ) * ( Z 2 mZ 2 )]
3.6复随机过程
3.6.2复随机过程
考虑随时间变化的复随机变量，就可以得到复随机过程。 如果X(t)和Y(t)为是随机过程，则
Z(t)＝ X(t)＋j Y(t)
为复随机过程，它的数学期望是一个复时间函数，
性质4 : RX (0) E[ X 2 (t )] RX (0)代表了平稳过程的“总 平均功率”
性质5 : 非周期平稳过程 (t )的自相关函数满足 X
lim RX ( ) RX () mX
2
从物理意义上讲，当 增大时X(t)与X(t+ )之间相关性会减弱。 在 的极限情况下，两者互相独立，于是有：
故有m X =m X2 = 10 均方值为E[X 2 ( t)]=R X (0)=300 方差为 2 X =R X (0)-m 2 X =200
例.3.8非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数 4 RX ( ) 25 1 6 2 求数学期望和方差.
解:根据性质5可求出随机过程的数学期望
m
利用性质6得
2
X
RX () 25
mX 5
方差为： 2 X RX (0) RX () 29 25 4
因此,随机过程X(t)的数学期望为 ± 5. 方差为4.
性质7自相关函数必须满足 R X ( )e jw d 0
并对所有的w都成立。
性质8一个函数能成为自相关函数的充要条件是，必须满足 半正定性，即对任意函数f(t),有
性质4; 互相关函数和互协方差 函数的幅度满足： 1 | RXY ( ) | [ RX (0) RY (0)] 2 1 1 2 同理有： XY ( ) | [C X (0) CY (0)] [ X 2Y ] |C 2 2
（1）相关系数
相关系数也是表示随机 过程X (t )关联程度的统计量， C X ( ) RX ( ) RX () 它定义为归一化函数： X ( ) 2 X RX (0) RX ()
所以RX (0) | E[ X (t ) X (t )] || RX ( ) |
性质3：周期平稳过程 (t )的自相关函数是周期函 X 数， 且与周期平稳过程的周 期相同。RX ( T ) RX ( )
证：RX ( T ) E[ X (t) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
lim RX ( ) lim E[ X (t ) X (t )] m 2 X
故有R X ()=m2 X
对于中心化自相关函数，则有lim CX ( ) CX () 0
性质6：若平稳过程含有平均分量(均值)为m X ,则自相关函数 将含有固定分量m 2X。即R X ( )=CX ( )+m 2X
3.2平稳过程相关函数的性质
3.2.1平稳过程相关函数的性质
性质1：实平稳过程 (t )的自相关函数为偶函数 X RX ( ) RX ( )
证：RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
性质2：平稳过程X (t )的自相关函数的最大点 0处 在 RX (0) | RX ( ) |
两个复随机程情况
对于两个复随机过程 1 (t )和Z 2 (t )互相关和互协方差函数 Z 定义为： RZ1Z 2 (t , t ) E[ Z1 * (t ) Z 2 (t )] CZ1Z 2 (t , t ) E{[ Z1 (t ) mZ1 (t )]*[ Z 2 (t ) mZ 2 (t )]}
证：任何正的随机函数的数学期望值恒为非负值，即
E[(X(t) X(t+ ))2 ] 0 E[X 2(t) 2X(t)X(t+ )+X 2(t+ )] 0
对于平稳过程，有E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] RX (0) 代入前式得，2RX (0) 2 E[ X (t ) X (t )] 0
且满足性质5的条件下有 2X =R X (0)-R X ()
证：CX ( )=E[{X(t)-mX }{X(t+ )-mX }]=R X ( )+m 2 X 故有R X ( )=CX ( )+m 2 X
考虑到非周期平稳过程，有R X ()=m2 X，并且 0时，有 CX (0)= 2 X =R X (0)-m2 X =R X (0)-R X ()