陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)
《光学信息处理》习题解答
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Q
a
<
1 L
,
b
<
1 W
《光学信息技术原理及应用》习题解答
∴ 1 > L, 1 > W ab
Q
1 a
是
H(
fx,
fy)
在
fx
方向的宽度，
1 b
是
H(
fx,
fy)
在
fy
方向的宽度，
L
、W
分别是输入函数
f ( x, y) 在频域上的频带宽。
∴ H( fx, fy) 在 fx 、 fy 方向的宽度大于 F( fx, fy) ，即 F( fx, fy) 能完全通过系统传递函数为
解：对于线性空间不变系统，设系统的脉冲响应为 h( x) ，输入函数表示式为 g( x) ，输出函数表示式为
g ' ( x) ，则
g'(x) = g(x) ∗h(x) 或 G'( f ) = G( f ) ⋅ H ( f )
+∞
∑ 由 g(x) = comb(x) 知， G( f ) = comb( f ) = δ ( f − n) ，所以 n=−∞
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《光学信息技术原理及应用》习题解答
图 1.4(a)
（1）由 H 1 (
f
)
=
rect
(
f 2
)
得 h1 ( x )
=
2 sin
c(2 x)
，函数图形如图
1.4(b)所示
图 1.4(b)
+16
∑ g1(x) = gi (x) ∗ h1(x) = Λ( x − 3n) * h1( x) ，函数图形如图 1.4(c)所示。 n=−16 +16 ∑ 如果考虑到系统为线性不变系统，对上式的卷积可以先计算 Λ(x) * 2sinc(2x) 。 Λ(x − 3n) 表 n=−16
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l 证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G 式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆ ，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N 4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
光学信息技术原理及技术陈家壁第二版课后习题答案
第一章 习题解答1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g comb = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛bfΛ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f sinc sinc 1,,y x,f ∴,,,,y x,f ====bxa x ab bf af rect y x f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x yx yx F F F F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似）（1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答：()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comby x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f com b y 7x sin y rect x rect x com by x g y x y x y x y x y x x yx y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)
第一章习题1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果La 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f bx a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f bxsinc a x sinc ab bf afrect y x f y x,f bfaf rect y x f W f L f rect y x f y x,f yxyx y x *⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F,,F ,,F F 1-（2）如果La 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？答：不能。
因为这时(){}(){}()yx yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x fy x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F FF F F ,F ,F F,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫⎝⎛75⎪⎭⎫⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect xrect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect xrect x cos y x h y x fy x g x yxππδπF FF F F ,F ,F F,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π, 答：()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75fsinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g yxx y xx y xx x x y xδδδδδπδπF FFF FF F F,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f ff rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comby x g y x y x y x y x y xx y x y x y x y x xy x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F,.,.,.,F FF F F,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛50⎪⎭⎫⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
激光原理及应用陈家璧主编习题解答
思考练习题11． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝μm ，ν=3000MHz 的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：188346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==---λνc h q n 239342100277.51031063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。
(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝时，则温度T 为多高？答：（1）(//m n E E m m kTn n n g e n g --=）则有：1]3001038.11031063.6exp[2393412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν（2）K T Te n n kTh 3623834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为×l0－18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。
设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。
求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？答：（1）1923181221121011.3]27001038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kTh ν且202110=+n n 可求出312≈n（2）功率＝W 918810084.51064.13110--⨯=⨯⨯⨯4．(1)普通光源发射λ＝μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比q q 激自1=2000，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为μm ，设μ＝1，求q q 激自为若干？ 答：（1）3173436333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激（2）943436333106.71051063.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
激光原理及应用[陈家璧主编][习题解答]
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思考练习题11． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：188346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==---λνc h q n 239342100277.51031063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。
(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？答：（1）(//m n E E m m kTn n n g e n g --=）则有：1]3001038.11031063.6exp[2393412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν（2）K T Te n n kT h 3623834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。
设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。
求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？答：（1）1923181221121011.3]27001038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kTh ν且202110=+n n 可求出312≈n（2）功率＝W 918810084.51064.13110--⨯=⨯⨯⨯4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比q q 激自1=2000，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求q q 激自为若干？ 答：（1）3173436333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激（2）943436333106.71051063.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
陈家璧版_光学信息技术原理及应用 试卷与答案
光学信息技术试卷 答案一．问答题（30分）1. 体全息图有什么样的特性？一般有哪些应用？答：体全息图对于角度和波长具有苛刻的选择性，只有当再现光完全满足布拉格条件时才能得到最强的衍射光，这就造成了它特殊的应用前景。
其一是体全息图可以用白光再现，因为在由多种波长构成的复合光中，仅有一种波长即与记录光波相同波长的光才能达到衍射极大，而其余波长都不能出现足够亮度的衍射像，避免了色串扰的出现；其二是体全息图可以用于大容量高效率全息储存，因为当照明光角度稍有偏离时，便不能得到衍射像，因而可以以很小的角度间隔储存多重三维图像而不发生像串扰。
2. 用相干光学信息处理产生多重像往往会由于相干噪声的干扰而影响了它的应用。
在实际应用中，我们可以采用怎样的办法来获得比较“干净”的多重像？试简述其原理。
答：采用白光照明的4f 系统，在输入面上放置物透明片，其上覆盖一维正弦光栅用于调制物函数。
到达频谱面时是两者频谱的卷积。
由于白光的作用，频谱面上除零级谱为白色之外，其余均呈现为彩虹色带。
滤波器选取一组频率不同的正弦光栅用于对正一级频谱彩带中不同波长的频谱进行调制，结果将会产生三个像，三组衍射像的零级像重合在坐标中央，形成白色像，而三组的正、负一级像以不同的间隔分布在两侧，只要图像的线宽和调频光栅的频率选取得当，输出图像便不会重叠，于是在输出面得到红、绿、蓝三色多重像。
实验结果表明，用白光信息处理系统得到的多重彩色像，有效的消除了相干噪声。
二．计算题（70分）1、 给定正实常数0f 和实常数a 与b ，求证：（1） 若021f b >, 则 02cos *sinc 10=⎪⎭⎫ ⎝⎛x f b x b π（2） 若2a b <, 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛a x b a x b x 22sinc sinc *sinc证明：（1）再进行傅里叶反变换则命题得证（2）再进行傅里叶反变换则命题得证()()()()[]0212cos *sin 1122100000=++-⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛>⇒>f f f f bf rect x f b x c b F bf f b δδπ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⇒<a f tri ab a f tri a bf rect b a xc b x c F ab a b x 222sin *sin 2122、 单色球面波在x-y 平面上产生的复振幅分布为()()()[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=220434exp )2exp(2,y x k j k j a y x U问此球面波是发散还是会聚的？其中心坐标是多少？解：对照球面波的复振幅表达形式，因为式中前一个指数项中指数为正数，故此球面波是发散的。
陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)
， 其傅里叶变换可表示为
， 该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对 应于个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射 屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
由题设知， 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径 的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
注意 于是得
再考虑到和之间的关系得到
即得到像平面上倒立的，放大倍的像。 3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。 解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图 像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数
第一章习题
.1 已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数 及其频谱的图形。
答：（1） 图形从略， （2） 图形从略。
1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零， （1） 如果，，试证明
证明： （2） 如果， ，还能得出以上结论吗？
答：不能。因为这时。
个实函数，其傅里叶变换是厄米型函数，即：
因此，所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。 （2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为轴建立坐标系。
有：
因此 同时 所以 可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有个形状和方位都相同的 全等形开孔，在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点 代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个 因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射 屏的原点处不一定有开孔）；（2）个处于代表孔位置的点上的点 光源在观察面上的干涉。
激光原理及应用-陈家璧第二版
辐 2. 电子具有的量子数不同，表示有不同的电子运动状态
射 理 论
电子的能级，依次用E0，E1，E2，… En表示 基态：原子处于最低的能级状态 激发态：能量高于基态的其它能级状态 简并能级：能级有两个或两个以上的不同运动状态
概
简并度：同一能级所对应的不同电子运动状态的数目
要
与 3. 图(1-3)为原子能级示意图
激 光 产 生 的
En
激
E2
发 态
例：计算1s和2p态的简并度
条
E1
件
E0基态
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第 §1.1 光的波粒二象性
一 章
1.3.1 黑体热辐射
1. 绝对黑体又称黑体：某一物体能够完全吸收任何波长的电磁辐射。自
辐 然界中绝对黑体是不存在的
射 理 2. 空腔辐射体是一个比较理想的绝对黑体
ν
d
dVdv
概
在量子假设的基础上，由处理大量光子的量子统计理论得到真空中 ν
要
与温度T及频率 ν的关系，即为普朗克黑体辐射的单色辐射能量密度公式
与 激 光
式中k为波尔兹曼常数。
8ch3ν3
1
hν
e kT1
产 生
总辐射能量密度 :
0 νdν
的
条
件
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第 §1.1 光的波粒二象性
一 章
1.3.2 光和物质的作用
自发辐射
辐
光与物质的相互作用有三种不同的基本过程：受激辐射
射 1. 自发辐射
受激跃迁
理 论 概
自发辐射: 高能级的原子自发地从高能级E2向低能级E1跃迁，同时放出能
陈家璧版 光学信息技术原理及应用习题解答(3-4章)
第三章 习题3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2220202002exp )(2exp M y x d k j y x d k j i i试问（1）物平面上半径多大时，相位因子⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(2exp 20200y x d k j相对于它在原点之值正好改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a 的圆，那么在物平面上相应h 的第一个零点的半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a ，λ和d o 之间存在什么关系时可以弃去相位因子⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(2exp 20200y x d k j 3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 00002cos 2121),(x f y x t π+=放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x 0z 平面内，与z 轴夹角为θ。
透镜焦距为f ，孔径为D 。
（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？3.3光学传递函数在f x = f y =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？3.4当非相干成像系统的点扩散函数h I （x i ，y i ）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。
小圆孔的直径都为2a ，出瞳到像面的距离为d i ，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。
系统的截止频率近似为多大？3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解：如图设1∑是透过率函数为),(00y x t 的物平面，2∑是与1∑共轭的像平面，即有fd d i 1110＝+ 式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场l U ； （2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场'l U ，这个场传到像面上形成物体的像。
信息技术原理及技术陈家壁第二课后习题答案
第二章习题解答2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为045，与y 轴夹角为060，试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。
答：λ23=x f , λ22=y f ,()()()0,0,0λ222λ3πexpj2jkz exp ,,11U y x z y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2.2 尺寸为a ×b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。
答：()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=b y rect a x rect y x U , ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为()⎪⎭⎫ ⎝⎛32+150=0λπ0x cos x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。
答:：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31++⎪⎭⎫ ⎝⎛31-250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1+33+⎪⎭⎫ ⎝⎛1-3250+⎪⎭⎫ ⎝⎛50=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβδλλαδλλαδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,2.4 参看图2.13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落在()ηξ,点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。
画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。
图2.4题答：()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫⎝⎛2=000000a ηy rect a ξx rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2200π,F()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4⨯⎪⎭⎫⎝⎛+1=2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,()2222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2, 2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为d 。
激光原理及应用_陈家璧_第一章
➢只有 h E2 E1当时，才能发生受激辐射
➢受激辐射的光子与外来光子的特性一样， 如频率、位相、偏振和传播方向
(场3)单同色理能从量E密2经度受为激辐，射则跃有迁：到E1具有一定的跃迁速率，在此假设外来光的光 dn2 B21n2 dt
式中的参数意义同自发辐射。B21称为爱因斯坦受激辐射系数，简称受激辐射系数。
16
1.3.2 光和物质的作用
(4) 令 W21 B21
，则有：W21
B21
dn2 n2dt
则W21(即受激辐射的跃迁几率)的物理意义为：单位时间内，在外来单
色能量密度为 的光照下，E2能级上发生受激辐射的粒子数密度占处
于E2能级总粒子数密度的百分比。
(5) 注意：自发辐射跃迁几率就是自发辐射系数本身，而受激辐射的跃迁几率 决定于受激辐射系数与外来光单色能量密度的乘积。
1. 辐射跃迁：发射或吸收光子从而使原子造成能级间跃迁的现象 2. 非辐射跃迁：原子在不同能级跃迁时并不伴随光子的发射和吸收， 而是把多余的能量传给了别的原子或吸收别的原子传给它的能量
11
1.3.1 黑体热辐射
1. 绝对黑体又称黑体：某一物体能够完全吸收任何波长的电磁辐射。自 然界中绝对黑体是不存在的 2. 空腔辐射体是一个比较理想的绝对黑体 3. 平衡的黑体热辐射：辐射过程中始终保持温度T不变
(a)z一定时，则U代表场矢量在该点作 时间上的周期振动
图（1-1）电磁波的传播
(b)t一定时，则U代表场矢量随位置的不同作空间的周期变化
(c)z、t同时变化时，则U代表一个行波方程，代表两个不同时刻空 间各点的振动状态。从下式可看出，光波具有时间周期性和空间周期性。 时间周期为T，空间周期为；时间频率为1/T，空间频率为1/
《光学信息处理》习题解答
（2）
如果
a
>
1, L
b
>
1 W
，因
f
( x,
y) 是限带函数，在频域内， F (
fx,
f y ) 在长、宽分别为 L 、W
的矩
形内不为零， a > 1 、 b > 1 即 1 < L 、1 < W ，也就是说滤波器通带宽度比输入函数波形宽度窄，
L
Wa
b
势必有一部分信号不能通过滤波器，在频域内，这时 F ( f x , f y ) ⋅ H ( f x , f y ) ≠ F ( f x , f y ) ，在空域内即 1 sinc( x )sinc( y ) * f (x, y) ≠ f (x, y) ab a b
g 1 ( x , y ) = F −1 [G 1 ( f x , f y )] = cos 4π x
（2）由
f2
(x,
y)
=
cos(
4π x ) rect
(x 75
) rect
(y 75
)
得：
F2 (
fx,
fy
)
=
1 [δ 2
(
fx
−
2)
+
δ(
fx
+
2)]δ
(
fy
)
∗ 752 sinc(75
f x )sinc(75
)]
*
Λ(
x)
对下述传递函数用图解方法确定系统的输出。
（1）
H 1 ( f ) = rect(
f) 2
（2）
H 2 ( f ) = rect(
f ) − rect( 4
光学信息技术原理及应用答案
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f x, y x ，系统对线脉冲的输出响应称 为线响应 L x 。如果系统的传递函数为 H f x , f y ，证明：线响应的一维傅里叶变换等于
6
系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H f x ,0 。 证明： FLx Fδy hx, y f y H f x , f y H f x ,0
4 5 x 0 . 043 cos 2 x 0 . 027 cos 2 x rect ( ) 3 3 50
该函数依然限制在 25,25 区间内，但其平均值为零，是振幅为 0.043，周期为 0.75，的一 个余弦函数与振幅为 0.027，周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。
'
'
'
答：为了便于从频率域分析，分别设： 物的空间频谱 像的空间频谱 等效物体的空间频谱 等效物体的像的空间频谱
A0 ( f x , f y ) F {g0 ( x, y)} ；
Ai ( f x , f y ) F {gi ( x, y)} ； A '0 ( f x , f y ) F {g '0 ( x, y)} ；
（3） f x,y cos π x rect
x
答：
x g x,y F F cos π x rect F sin7x δ y f F F cos π x sinc75f x δ f y rect x f x F δ x δ f x δ f x sinc75f x δ f y rect x f F sinc75f x δ f y rect x F sinc75f x δ f y rect
《激光原理及应用》陈家璧第版
8hν3
要
与温度T及频率 ν 的关系，即为普朗克黑体辐射的单色辐射能量密度公式
与 激 光
式中k为波尔兹曼常数。
8hν3
c3
1
hν
e kT
1
产 生
总辐射能量密度 : 0 νdν
的
条
件
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第 §1.1 光的波粒二象性
一 章
1.3.2 光和物质的作用
激 光 产 生
对于大量原子统计平均来说，从E2经自发辐射跃 迁到E1具有一定的跃迁速率。
dn2 A21n2dt
图（1-6）自发辐射
的 式中“－”表示E2能级的粒子数密度减少；n2为某时刻高能级E2上的原子
条 件
数密度（即单位体积中的原子数）；dn2表示在dt时间间隔内由E2自发跃迁 到E1的原子数。A21称为爱因斯坦自发辐射系数，简称自发辐射系数。
理 论
平面波：波阵面是平面
概 (2)单色平面波：具有单一频率的平面波
要
准单色波:实际上不存在完全单色的光波，总有一定的频率宽度，如
与
称为准单色波。
激 光
设理真想空的中单电色磁平波面的波电（矢简量谐波E在）坐标原点沿x方向作简谐振动，磁矢量 B在y方
产
向作简谐振动，频率均为 ，且t=0时两者的初位相均为零。则 E、 B的振动
的
m
条 件
已知A21，可求得单位体积内发出的光功率。若一个光子的能量为 hν ，某时 刻激发态的原子数密度为n2(t)，则该时刻自发辐射的光功率密度（W/m3）为：
q21(t) n2 (t) A21hν
陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-2章)
第一章习题1.1 已知不变线性系统的输入为()()x x g com b = 系统的传递函数⎪⎭⎫⎝⎛b f Λ。
若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '。
并画出输出函数及其频谱的图形。
答：（1）()(){}1==x x g δF 图形从略，（2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ232+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1+31+1-31+=F 图形从略。
1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<，Wb 1<，试证明()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1 证明：(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f Wf L f rect y x f y x,f y x y x yx *⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1==∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,F F ,,F ,,F F 1-（2）如果L a 1>， Wb 1>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。
因为这时(){}(){}()y x yx bf af rect y x f Wf L f rect y x f ,,F ,,F ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。
1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为()()()y x y x h δ77=sinc ,试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。
（必要时，可取合理近似） （1）()x y x f π4=1cos ,答：()(){}(){}{}{}()(){}{}{}{}{}xcos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛74=74==1-1-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛77575⋅75*4=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛75⎪⎭⎫ ⎝⎛754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]⎪⎭⎫⎝⎛758+1=3x rect x cos y x f π,答： ()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛75=75≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775≅⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛75*⎪⎭⎫ ⎝⎛4+81+4-81+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛775*8+1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧7⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,（4）()()()()()y rect x rect x comb y x f 22*=4, 答：()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f comb y 7x sin y rect x rect x comb y x g y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎭⎫ ⎝⎛-3-2120-1+6370+1-6370+41=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛7⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2⎪⎭⎫ ⎝⎛41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 ()()x x rect x comb x g i Λ*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛50⎪⎭⎫ ⎝⎛331=对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。
陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(4-7章)
第四章习题4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。
设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。
若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。
421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。
（1）试求光场的复自相干度的模。
（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。
假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。
相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。
（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。
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.1 已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数 及其频谱的图形。
答：（1） 图形从略， （2） 图形从略。
1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零， （1） 如果，，试证明
证明： （2） 如果， ，还能得出以上结论吗？
答：不能。因为这时。
；
等效物体的像的空间频谱
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在之外
恒为零，故可将其记为：
Hale Waihona Puke 、利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为
在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期 作为等效物的谱，办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周 围，选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠，于是
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距表达式。 （3） 什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩
色物体）？ 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P116。
（1）解 衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形
式： （1）
（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数 项与透镜位相变换因子比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这 两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅 立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子表明该屏具有半径为 的圆形孔径。
答： ， ，
.3 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面 上有一个足够大的模板，其振幅透过率为，求紧靠孔径透射场的 角谱。
答:：
.4 参看图2-13，边长为的正方形孔径内再放置一个边长为的正方形 掩模，其中心落在点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求 出与它相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出 时，孔径频谱在方向上的截面图。
的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示 为
其角谱为
若让衍射图样中的m级谱幅值最大，应选择使得
因而有
.14 设为矩形函数，试编写程序求，，时，其分数阶傅里叶变换，并 绘制出相应的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
以及式 (2.79)
即可编程计算，，时的分数阶傅里叶变换。 第三章 习题
时，则其光学传递函数是实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆
孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用 来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像
解：如图
设是透过率函数为的物平面，是与共轭的像平面，即有 式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间，之外恒为
零，系统输入为非限带函数，输出为。证明，存在一个由脉冲的方形阵
列构成的抽样函数，它作为等效输入，可产生相同的输出，并请确定。
答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P45。
为了便于从频率域分析，分别设：
物的空间频谱
；
像的空间频谱
；
等效物体的空间频谱
.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为的圆形孔径上，试求 菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
答：圆形孔径的透过率可表示为 根据式(2.53)有 轴上的振幅分布为 轴上的强度分布为
.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 式中，为光栅周期，，。观察平面与光栅相距。当分别取下列各数值： （1）；（2）；（3）（式中称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直 照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布 为 强度分布为 角谱为 传播距离后，根据式(2.40)得到角谱 利用二项式近似有 故
（1）时 与仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平 面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。 （2）时 对应复振幅分布为
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明 下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。 （3） 对应复振幅分布为
强度分布为
证明：假设置于原点的一个孔径表示为，个处于代表孔位置的点上的点 光源表示为，则衍射屏的透过率可表示为
， 其傅里叶变换可表示为
， 该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对 应于个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射 屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子 .2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为
放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波
的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。 （1） 求物体透射光场的频谱；
（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度
.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为，齿宽为，齿 形角为，光栅整体孔径为边长的正方形。采用单位振幅的单色平 面波垂直照明，求距离光栅为的观察平面上夫琅和费衍射图样的 强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，应如何选 择？
图2.16（2.13题图） 答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅
图2.15 （2.6题图） 答： 振幅分布曲线图从略。
.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明： （1）不论孔径的形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中 心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通 过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布是一
分布；
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多
少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？
3.3光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递 函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的
光学传递函数怎样？
3.
3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称
.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为
试用频域方法对下面每一个输入，求其输出。（必要时，可取合理近 似） （1） 答： （2） 答：
（3） 答： （4） 答：
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1） （2） 略.
1.5 若对二维函数 抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 答： 也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无 限制。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式： （4）
它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其 傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。
.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示 为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面 上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在方向上的振幅分布曲 线。
（2）解 把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到 相应的焦距，对于项，令，则有
焦距为正，其作用相当于会聚透镜，对于项，令，则有
焦距为负，其作用相当于发散透镜，对于“”这一项来说，平行光波直
接透过，仅振幅衰减，可看作是
（3）解 由于改衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三 个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚 像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察 其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接 收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以 外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都 与波长成反比。例如取，，则有
这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可 以看到严重的色散现象。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
.10 用波长为的平面光波垂直照明半径为的衍射孔，若观察范围是与 衍射孔共轴，半径为的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的 范围。
答：由式(2.55)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 即
.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时， 对于积分号前的相位因子
试问 （1） 物平面上半径多大时，相位因子
相对于它在原点之值正好改变π弧度？ （2） 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的
第一个零点的半径是多少？
（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ
（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射 到透镜上的光场；
（2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜 的后表面上形成衍射场，这个场传到像面上形成物体的 像。
为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为 这里假定只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为，此积分可以 看成是函数的傅立叶变换，记为，其中 在紧靠透镜后表面处 这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近 似，便可得到像面上的光场
答：
图2.13 （2.4题图）
.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为，长度 为，中心相距为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它 相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定及，画 出沿和方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相 差，上述结果有何变化？
图2.14（2.5题图） 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P73。 （1）如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在及的矩形孔径振幅透 射率之和：