陈家璧版_光学信息技术原理及应用习题解答(1-3章)

时，则其光学传递函数是实函数。
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆
孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用 来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像
解：如图
设是透过率函数为的物平面，是与共轭的像平面，即有 式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：
（2）解 把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到 相应的焦距，对于项，令，则有
焦距为正，其作用相当于会聚透镜，对于项，令，则有
焦距为负，其作用相当于发散透镜，对于“”这一项来说，平行光波直
接透过，仅振幅衰减，可看作是
（3）解 由于改衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三 个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚 像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察 其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接 收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以 外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都 与波长成反比。例如取，，则有
这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可 以看到严重的色散现象。
这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。
.10 用波长为的平面光波垂直照明半径为的衍射孔，若观察范围是与 衍射孔共轴，半径为的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的 范围。
答：由式(2.55)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 即
1.6 若只能用表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即
试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精 确恢复。 答：因为表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复也有贡献，不可省 略。
1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”，系统对线脉冲的输出响 应称为线响应。如果系统的传递函数为，证明：线响应的一维傅里叶变 换等于系统传递函数沿轴的截面分布。 证明：
对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许的中 央一个周期成份（）通过，所以成像的谱并不发生变化，即
第二章习题：
.1 一列波长为的单位振幅平面光波，波矢量与轴的夹角为，与轴夹 角为，试写出其空间频率及平面上的复振幅表达式。
答： , ,
.2 尺寸为a×b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求 出紧靠屏后的平面上的透射光场的角谱。
个实函数，其傅里叶变换是厄米型函数，即：
因此，所以夫琅和费衍射图样有一个对称中心。 （2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为轴建立坐标系。
有：
因此 同时 所以 可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有个形状和方位都相同的 全等形开孔，在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点 代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个 因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射 屏的原点处不一定有开孔）；（2）个处于代表孔位置的点上的点 光源在观察面上的干涉。
（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距表达式。 （3） 什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩
色物体）？ 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P116。
（1）解 衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形
式： （1）
（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数 项与透镜位相变换因子比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这 两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅 立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜，因子表明该屏具有半径为 的圆形孔径。
.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为
试用频域方法对下面每一个输入，求其输出。（必要时，可取合理近 似） （1） 答： （2） 答：
（3） 答： （4） 答：
1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波 对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1） （2） 略.
1.5 若对二维函数 抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。 答： 也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无 限制。
（1）时 与仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平 面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。 （2）时 对应复振幅分布为
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明 下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布。 （3） 对应复振幅分布为
强度分布为
图2.15 （2.6题图） 答： 振幅分布曲线图从略。
.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明： （1）不论孔径的形状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中 心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通 过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。
证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布是一
答： ， ，
.3 波长为的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面 上有一个足够大的模板，其振幅透过率为，求紧靠孔径透射场的 角谱。
答:：
.4 参看图2-13，边长为的正方形孔径内再放置一个边长为的正方形 掩模，其中心落在点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求 出与它相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出 时，孔径频谱在方向上的截面图。
.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为的圆形孔径上，试求 菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。
答：圆形孔径的透过率可表示为 根据式(2.53)有 轴上的振幅分布为 轴上的强度分布为
.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 式中，为光栅周期，，。观察平面与光栅相距。当分别取下列各数值： （1）；（2）；（3）（式中称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直 照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布 为 强度分布为 角谱为 传播距离后，根据式(2.40)得到角谱 利用二项式近似有 故
分布；
(3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多
少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？
3.3光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递 函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的
光学传递函数怎样？
3.
3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称
1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间，之外恒为
零，系统输入为非限带函数，输出为。证明，存在一个由脉冲的方形阵
列构成的抽样函数，它作为等效输入，可产生相同的输出，并请确定。
答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P45。
为了便于从频率域分析，分别设：
物的空间频谱
；
像的空间频谱
；
等效物体的空间频谱
证明：假设置于原点的一个孔径表示为，个处于代表孔位置的点上的点 光源表示为，则衍射屏的透过率可表示为
， 其傅里叶变换可表示为
， 该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对 应于个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射 屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。
.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数
由题设知， 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径 的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为
注意 于是得
再考虑到和之间的关系得到
即得到像平面上倒立的，放大倍的像。 3.7 试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。 解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图 像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数
.13 图2.16所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为，齿宽为，齿 形角为，光栅整体孔径为边长的正方形。采用单位振幅的单色平 面波垂直照明，求距离光栅为的观察平面上夫琅和费衍射图样的 强度分布。若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大，应如何选 择？
图2.16（2.13题Biblioteka Baidu） 答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅
和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子 .2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为
放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波
的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。 （1） 求物体透射光场的频谱；
（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度
的背后平面入射垂直照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示 为
其角谱为
若让衍射图样中的m级谱幅值最大，应选择使得
因而有
.14 设为矩形函数，试编写程序求，，时，其分数阶傅里叶变换，并 绘制出相应的曲线。
答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)
以及式 (2.79)
即可编程计算，，时的分数阶傅里叶变换。 第三章 习题
第一章习题
.1 已知不变线性系统的输入为
系统的传递函数。若b取（1）（2），求系统的输出。并画出输出函数 及其频谱的图形。
答：（1） 图形从略， （2） 图形从略。
1.2若限带函数的傅里叶变换在长度为宽度的矩形之外恒为零， （1） 如果，，试证明
证明： （2） 如果， ，还能得出以上结论吗？
答：不能。因为这时。
；
等效物体的像的空间频谱
由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在之外
恒为零，故可将其记为：
、
利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为
在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期 作为等效物的谱，办法是把安置在平面上成矩形格点分布的每一个点周 围，选择矩形格点在、方向上的间隔分别为和,以免频谱混叠，于是
（1） 由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场
， 透射光场
（2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到 夫琅和费衍射图样，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐 标），即
（3） 利用傅立叶变换的相移定理，得到
把它带入（3）式，则有 强度分布 不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制 的结果。
双缝的振幅透射率也可以写成下述形式： （4）
它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其 傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。
.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示 为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为的观察平面 上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在方向上的振幅分布曲 线。
（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射 到透镜上的光场；
（2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜 的后表面上形成衍射场，这个场传到像面上形成物体的 像。
为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为 这里假定只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为，此积分可以 看成是函数的傅立叶变换，记为，其中 在紧靠透镜后表面处 这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近 似，便可得到像面上的光场
.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时， 对于积分号前的相位因子
试问 （1） 物平面上半径多大时，相位因子
相对于它在原点之值正好改变π弧度？ （2） 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的
第一个零点的半径是多少？
（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ
答：
图2.13 （2.4题图）
.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为，长度 为，中心相距为。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它 相距为的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定及，画 出沿和方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相 差，上述结果有何变化？
图2.14（2.5题图） 答：参阅《傅里叶光学（基本概念和习题）》P73。 （1）如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在及的矩形孔径振幅透 射率之和：