矩形的性质课后作业 (2)
矩形的性质与判定练习题
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长´宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求，求AE 的长．例2、已知：、已知：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
A B E C D BAC D N MH GOFE DCB APH DCBA例3、已知：如图所示，、已知：如图所示，矩形矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，°=Ð15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ^交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分ÐCBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定作业
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第10题图
11．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC，AB 于点 D， F，BE⊥DF 交 DF 的延长线于点 E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF， 则四边形 BCDE 的面积是_2___3____．
第11题图
12．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F 作FG⊥EF交BC于点G，连接GH，当AD，AB满足______A__B_＝__A(D关系)时， 四边形EFGH为矩形．
第12题图
13．如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为∠APQ，∠BPQ，∠CQP， ∠DQP的平分线．求证：四边形PMQN是矩形．
证明：∵PM，PN，QM 分别平分∠APQ，∠BPQ，∠CQP，∴∠MPQ
＝21 ∠APQ，∠NPQ＝21 ∠BPQ，∠MQP＝21 ∠CQP.∵∠APQ＋∠BPQ ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN ＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90 °，即∠PMQ＝90°，∴四边形 PMQN 是矩形
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列
条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( C)
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且 点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为
第5题图
6．(2019·江西)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC， BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
矩形的性质与判定(二)
矩形的性质与判定（2）研学案第一环节：创设情境，提出问题活动内容：课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？第二环节：先猜想再实践，发展几何直觉活动内容：根据上面的实践活动提出以下两个问题：∠的变化，两条对角线将发生怎样的变化?（1）随着α（2）当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?学生在小组中完成这个活动的过程中，会引发对于这两个问题的讨论，请学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。
然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之间进行交流。
对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第一个判定定理进行证明：教师板书本题证明过程。
定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；（3）请学生交流大体思路；（4）用规范的数学语言写出证明过程；（5）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
第三环节：再创情境，猜想实践活动内容：教师给出PPT中的情境二：李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。
定理三个角是直角的四边形是矩形。
（1）学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；（2）对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；（3）请学生交流大体思路；（4）用规范的数学语言写出证明过程；（5）同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。
第四环节：实际应用，范例教学；活动内容：1．教师实际问题：①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？③如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？请说明如何操作，并说明这样做的原因。
矩形的性质(2)
课题：矩形的性质（2）学习目标：（1）掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．（2）灵活应用矩形的性质解决相关问题．【预习案】矩形的性质：(1) 具有平行四边形的一切性质；(2) 矩形的四个角都是直角；(3)矩形的对角线相等；(4)矩形是轴对称图形．中，谁是斜边？我们把BO叫做什么线？直角三角形的一个性质：在Rt ABC哪条边上的中线？由矩形性质，有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的，则OB= AC∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的写出几何语言：【探究案】例1如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=600,AB=4.求矩形对角线的长。
例2 如图，AB，CD交于点E，AD＝AE，CE＝BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点，连接AF．求证：（1）AF⊥DE （2）∠HFG＝∠FGH例3 如图，E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点， CE ＝CA ， F 为AE 中点．求证：BF ⊥FD ．例4如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD ，垂足为D ，DE 交BC 于点E ．求证：CD ＝12BE ．【训练案】1．下列性质矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线相等B ．四个内角都相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．已知矩形ABCD 的AB ＝2BC ，在CD 上取点E ，使AE ＝EB ，那么∠EBC 等于（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°3．O 为矩形ABCD 的对角线交点，∠AOB ＝2∠BOC ，对角线AC ＝12，则CB ＝_________．4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接 DM 、 DN 、MN ．若AB ＝6，则DN ＝_________．5．如图，在矩形ABCD 中，用尺规作对角线BD 的垂直平分线，交AB 于点G ，交DC 于点H ，若AB ＝4， BC ＝3，则AG 的长为_________．6．如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接 DF ，DF ＝4．设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2+（y －4）2的值为_________．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点F 是AB 的中点，E 为BC 边上一点，且EF ⊥ED ，连接DF ，M 为DF 的中点，连接MA ，ME ，若AM ⊥ME ，求AE 的长． FEDCBA EDCA B （第4题） （第5题） （第6题）。
2021年九年级中考(通用版)数学一轮复习：矩形及其性质(二)
2021年中考（通用版）数学一轮复习矩形及其性质（二）1．平行四边形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H 分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．3B．6C．6D．93．如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（）A．1 B．C．4﹣2D．8﹣4 4．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14 B．20 C．28 D．305．如图，矩形EFGH的四个顶点分别在矩形ABCD的各条边上，AB＝EF，FG＝3，GC＝4．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③tan∠BFG＝；④矩形EFGH的面积为9．其中正确的结论为（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④6．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，BC＝6．则矩形的面积为（）A．6B．12C．9 D．187．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在边AD上，EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG的值是（）A．4 B．4.8 C．4.5 D．68．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行且相等B．每一条对角线所在直线都是它的对称轴C．内角和等于外角和D．对角线互相平分9．在四边形ABCD中，下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB，OC＝OD D．AB∥DC，AB＝DC，OA ＝OB10．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直C．测量两条对角线是否互相平分D．测量门框的三个角是否都是直角11．下列条件中，不能判断一个四边形是矩形的是（）A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角B．有3个角是直角C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D．一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等12．下列说法错误的是（）A．16的平方根为±4B．⼀组对边平行，⼀组对⻆相等的四边形是平行四边形C．⼀限不循环小数是无理数D．对⻆线相等的四边形是矩形13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠214．要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量两组对边是否分别相等B．测量两条对角线是否互相垂直平分C．测量其中三个内角是否都为直角D．测量两条对角线是否相等15．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠1＝∠2 C．∠ABC＝90°D．AC ⊥BD16．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°18．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（）cm．A．1 B．2 C．3 D．419．下列说法正确的有（）个①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；④两条对角线相等的四边形是矩形．A．1 B．2 C．3 D．420．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AB边上任一点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是（）A．10 B．C．4.8 D．7.2参考答案1．解：平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等；故选：A．2．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝＝3，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝6．故选：C．3．解：设乙的直角边为x，依题意得：4x+4x＝×42+x2，整理可得：x2﹣16x+16＝0，解得x＝8±4，∵8+4＞4，不合题意舍去，8﹣4＜4，符合题意，∴x＝8﹣4，故选：D．4．解：设AB＝4xcm，则BC＝3xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴AC＝＝＝5x（cm），∴5x＝10cm，∴x＝2cm，∴AB＝8cm，BC＝6cm，∴矩形ABCD的周长＝2（8+6）＝28（cm），故选：C．5．解：∵∠FGH＝90°，∴∠BGF+∠CGH＝90°．又∵∠CGH+∠CHG＝90°，∴∠BGF＝∠CHG，故①正确．同理可得∠DEH＝∠CHG．∴∠BGF＝∠DEH．又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH，∴△BFG≌△DHE（AAS），故②正确．同理可得△AFE≌△CHG．∴AF＝CH．∵∠BGF＝∠CHG，∠B＝∠C＝90°，∴△BFG∽△CGH．设矩形GHEF的边GH为a，则EF为a，∴＝，AB＝EF＝a，FG＝3，GC＝4．∴＝∴BF＝，∴AF＝AB﹣BF＝a﹣．∴CH＝AF＝a﹣．在Rt△CGH中，∵CG2+CH2＝GH2，∴42+（a﹣）2＝a2．解得a＝3．∴GH＝3．∴BF＝a﹣＝．在Rt△BFG中，BG＝＝．∴tan∠BFG＝＝＝，故③错误．因为矩形EFGH的面积＝FG×GH＝3×3＝9，故④正确．∴其中正确的结论为①②④．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，∵BC＝6．∠ABC＝90°，∴AC2＝AB2+62，解得，AB＝2，∴矩形的面积为：AB•BC＝2×6＝12，故选：B．7．解：设AC、BD交于点O，连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC ＝90°，∴AC＝＝＝10，OA＝OD＝5，△AOD的面积＝矩形ABCD的面积＝×6×8＝12，又∵△AOE的面积+△DOE的面积＝△AOD的面积，∴OA×EF+OD×EG＝12，即×5×（EF+EG）＝12，解得：EF+EG＝4.8，故选：B．8．解：A、对边平行且相等，菱形和矩形都具有的性质；B、每一条对角线所在直线都是它的对称轴，菱形具有而矩形不一定具有的性质；C、内角和等于外角和，菱形和矩形都具有的性质；D、对角线互相平分，菱形和矩形都具有的性质；故选：B．9．解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AB∥DC，AB ＝DC，OA＝OB，理由如下：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；其它三个选项的条件均不能判定四边形ABCD是矩形；故选：D．10．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意，∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C符合题意，∵三个角都是直角的四边形是矩形，故D不符合题意；故选：C．11．解：A、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，又∵有一个内角是直角，∴这个四边形是矩形；选项A不符合题意；B、∵有3个角是直角的四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、如图所示：∵两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形，∴△AOB≌△DOC，△AOD≌△BOC，且OA＝OB，OC ＝OD，∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等，∴这个四边形可能为等腰梯形或矩形，故选项D符合题意；故选：D．12．解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．C、无理数是⼀限不循环小数，故本选项说法正确．D、对⻆线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．故选：D．13．解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．14．解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：C．15．解：A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD 是菱形；B、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；C、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；故选：C．16．解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AB∥CD，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝90°﹣55°＝35°，∠OCD ＝∠OAB＝35°，故选：A．18．解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，∴AC∥BD．又∵l1∥l2，∴四边形ABDC是矩形．∴BD＝AC．又∵AC＝3cm，∴BD＝3cm．故选：C．19．解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；正确，可以证明两组对角分别相等．②一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形；错误；③三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；正确；④两条对角线相等的四边形是矩形．错误，应该是两条对角线相等的平行四边形是矩形；故选：B．20．解：连接CP，如图所示：∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝CP，当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CP，∴CP＝＝＝4.8，即EF的最小值是4.8，故选：C．。
2021年中考数学 一轮专题训练：矩形及其性质(二)(解析版)
2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（二）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．65．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或48．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（）A．2 B．3 C．4 D．610．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直C．测量门框的三个角是否都是直角D．测量两条对角线是否互相平分12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．BC＝CD 13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD 14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD 16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（）A．B．1 C．D．19．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3 D．4参考答案1．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．2．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．3．解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．6．解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，故选：A．7．解：分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，∵BC＝16cm，∴BP＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴t＝2÷2＝1（s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，由题意得：2t＝16﹣2t，解集得：t＝4（s），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．9．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；故选：B．10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．故选：C．11．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意；∵三个角都是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意，故选：D．12．解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．14．解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．16．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．17．解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC＝180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．18．解：过A作AF⊥BC于F，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，∵AB2＝AF2+BF2，∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，∴xy＝1，∴AE•BE＝1，故选：B．19．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．20．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．。
2.5.1 矩形的性质(含答案)
2.5 矩形2．5.1 矩形的性质基础题知识点1 矩形的定义1．四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：答案不唯一，如∠A＝90°，可使它成为矩形．2．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB＝CD，EF＝GH；(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形．知识点2矩形的性质3．(重庆中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120°4．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD5．(邵阳中考)如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是(A)A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC6．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AD的长为(D)A．2 3 B．4 C．4 2 D．4 37．矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴．8．(桂林中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是4个．9．(遵义中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则△AEF 的周长为9cm.10．(岳阳中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF ，求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∵EF ⊥DF ， ∴∠EFD ＝90°.∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°. ∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)． ∴BF ＝CD. 中档题11．(呼和浩特中考)已知矩形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交两边AD ，BC 于点E ，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE 与△ABF 判断完全正确的一项为(B)A ．△CDE 与△ABF 的周长都等于10 cm ，但面积不一定相等B ．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为10 cmC ．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为5 cmD ．△CDE 与△ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定12．(黔东南中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为(D)A ．6B ．12C ．2 5D ．4 514．(包头中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝22.5度．15．(江西中考)如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为26．16．(湘潭中考)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC.解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°.由折叠的性质可得DE＝BC，∠E＝∠C＝90°.在△DEF和△BCF中，∵∠DFE＝∠BFC，∠E＝∠C，DE＝BC，∴△DEF≌△BCF(AAS)．(2)在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝6，∴∠ABD＝30°.由折叠的性质可得∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠EBC＝90°－30°－30°＝30°.综合题17．(云南中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；(2)求线段AP的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，点M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC.∴∠CBN＝∠MNB.∵∠PNB ＝3∠CBN ， ∴∠PNM ＝2∠CBN. (2)连接AN.根据矩形的轴对称性，可知∠PAN ＝∠CBN ， ∵MN ∥AD ，∴∠PAN ＝∠ANM.由(1)知∠PNM ＝2∠CBN ， ∴∠PAN ＝∠PNA. ∴AP ＝PN.∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点， ∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，PD 2＋DN 2＝PN 2， ∴(6－x)2＋22＝x 2.解得x ＝103. ∴AP ＝103.。
《矩形的性质》教案
（矩形的性质）教案一、教学目标（知识与技能）学生掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题。
（过程与方法）经历探究矩形的定义和性质的过程，通过演示、观察、动手操作、归纳总结等活动，增强动手操作能力，增强主动探究意识。
（感情态度价值观）在探究矩形的性质的活动中，培养严谨的推理能力以及合作探究的精神，体会逻辑推理的思维价值，感受数学活动的乐趣。
二、教学重难点（教学重点）矩形的性质。
（教学难点）矩形的性质的探究和灵敏应用。
三、教学过程(一)引入新课演示改变平行四边形活动框架的形状，当有一个角是直角时引导学生观察图形特征，引出矩形的定义;通过提问并引导学生观察矩形还有哪些特别的性质，从而导入新课（矩形的性质）(二)探究新知通过三个活动引导学生从角、对角线、对称性等几个方面去探究矩形的性质。
活动1：让学生观察、猜想、(一小组为单位)动手测量验证，然后老师多媒体演示动画，让学生总结矩形的性质;引导学生用几何言语证明矩形的性质。
活动2：学生拿出矩形纸跟着老师动手折叠探究矩形的对称性、然后多媒体动画演示，得到矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。
活动3：老师引导学生观察矩形ABCD，用多媒体课件演示从矩形中抽象出直角三角形，学生归纳，教师补充得出矩形性质的推论，并引导学生证明。
(1)推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)总结直角三角形的性质(三)课堂练习已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长(四)小结作业提问：今天有什么收获引导学生回忆：矩形的性质。
课后作业：设计一个图表清楚的展示四边形、平行四边形、矩形之间的关系。
2021年中考复习数学一轮专练：矩形及其性质(二)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯2021年中考数学一轮专练：矩形及其性质（二）1．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM＝6cm，EF＝8cm，则EM＝cm，AB＝cm．2．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上的一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F，当线段EF的长最小时，cos∠EFD＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AC是矩形ABCD的对角线，并且AC平分∠DAE，AC＝12cm，AD＝9cm，动点P从点E出发，沿EA方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜6），则当t＝时，△PQA为等腰三角形．5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为．6．矩形的一个角的平分线分一边为3cm和4cm两部分，则这个矩形的对角线的长为cm．7．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．9．如图，将长为2，宽为a的矩形纸片（1＜a＜2）按照以下方法裁剪：①剪去一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；②把剩下的矩形剪去一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的图形恰好是正方形，则a的值为．10．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E 是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为．11．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是．12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件：使四边形ABCD为矩形．13．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）14．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AB，CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝1，M，N分别为GD，EC的中点，则MN＝．15．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．16．如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．17．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边做矩形CDEF，使边EF过点B，连接OF，当点D 与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D运动过程中，当线段OF有最大值时，点F的坐标为．18．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连结CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连结OF，当点D 与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为cm．20．小明在体验四边形的不稳定性时，将八根木条用钉子钉成一个边长为10的菱形ABCD 和矩形EFGH，它们的边BC，EF在直线l上，其中EF＝8，BD＝2AC，点D落在矩形的边HE上（如图①）；在不改变BC、EF位置的前提下，向左推动矩形，使菱形ABCD变成正方形（如图②），此时小明发现点B、D、G三点共线，则矩形的另一边GF的长为．参考答案1．解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，同理：∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠BCM＝∠DCM＝∠BCD，∠CDM＝∠ADM＝∠ADC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC．∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN．在△ADF和△CBN中，∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF＝BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∴∠EAB+∠EBA＝90°．∴∠AEB＝90°．同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°．∴∠EFM＝90°．∵FM＝6，EF＝8，∴ME＝＝10（cm）．∵∠EFM＝∠FMN＝∠FEN＝90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN＝FM＝6．∵∠DAF＝∠EAB，∠AFD＝∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴＝．∴＝．∴8DF＝6AF．设DF＝6k，则AF＝8k．∵∠AFD＝90°，∴AD＝10k．∵∠AEB＝90°，AE＝8（k+1），BE＝6（k+1），∴AB＝10（k+1）．∵2（AB+AD）＝42，∴AB+AD＝21．∴10（k+1）+10k＝21．∴k＝0.55．∴AB＝15.5（cm）．故答案为：10；15.5．2．解：如图，连接CD，∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵四边形CEDF是矩形，∴∠EFD＝∠ECD，∵∠ECD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴∠EFD＝∠A，在Rt△ABC中，cos∠A＝＝，∴cos∠EFD＝cos∠A＝．故答案为：．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE＝CP＝＝4.8，故答案为：4.8．4．解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝12cm，AD＝9cm，∴AD＝BC＝12cm，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB＝，∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠CAE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAC＝∠CAE．∴EA＝EC，设EA＝EC＝xcm，则BE＝9﹣x（cm），∵AE2＝BE2＝AB2，∴，解得，x＝8，∴AE＝EC＝8cm，由题意知，PE＝tcm，CQ＝2tcm，则AP＝8﹣t（cm），AQ＝12﹣2t（cm），当AP＝AQ时，有8﹣t＝12﹣2t，解得t＝4；当PA＝PQ时，∠PAQ＝∠AQP＝∠ACB，∴PQ∥CE，∴，即，解得，t＝0（舍去）；当QP＝QA时，∠QPA＝∠QAP＝∠ECA，∵∠PAQ＝∠CAE，∴△APQ∽△ACE，∴，即，解得，t＝5．综上，当t＝4秒或5秒时，△PQA为等腰三角形．故答案为：4或5．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝10，∵AO＝OC，∴BO＝AC＝5，∵AO＝OC，AM＝MD＝4，∴OM＝CD＝3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．故答案为18．6．解：如图所示：∵△ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AC＝BD，∠C＝90°，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE；当AE＝4cm时，AB＝4cm；AD＝7cm，∴BD＝＝＝（cm）；当AE＝3cm时，AB＝3cm，AD＝7cm，∴BD＝＝＝（cm）；即这个矩形的对角线的长为cm或cm；故答案为：或．7．解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M．则CM∥AE，DM＝MF，延长CM交AD于点G，∴AG＝GD＝1，∵AG∥EC，AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝1，∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，∵DF⊥AE，AD＝2，∴∠DAE＝30°，∴∠AEB＝30°则BE＝∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB＝1，BE＝x，∴AE＝，AF＝，∵△ADF∽△EAB，∴＝，＝，x2﹣4x+1＝0，解得：x＝2﹣或2+（舍弃），∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．故答案为：1或或2﹣．8．解：如图，取AD的中点M，连接MC，OM，过点O作ON⊥AD，如图所示：∵矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，M为AD的中点，∴DC＝AB＝4，DM＝AM＝AD＝BC＝3，∴在Rt△CDM中，由勾股定理得CM＝5，在Rt△AOD中，OM＝AD＝3，∵当OC不过点M时，OM+CM＞OC∴当O、C、M共线时，点C到点O的距离有最大值，最大值为8．∵当O、C、M共线时，∠DMC＝∠NMO，∠CDM＝∠OMN＝90°，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，∴＝＝，∴MN＝，ON＝，∴在Rt△OAN中，OA＝＝＝．∴此时点A的横坐标为．故答案为：．9．解：第一次操作后剩下的矩形长为：2﹣a，第二次操作后剩下的矩形的边长分别为：2﹣a，2a﹣2，当2﹣a＞2a﹣2，a＜时，2﹣a＝2（2a﹣2），解得：a＝；当2﹣a＜2a﹣2，a＞时，2（2﹣a）＝2a﹣2，解得：a＝；综上所述，a的值为或；故答案为：或．10．解：△ACF为等腰三角形有三种情况：①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，由题意得OB＝8，BC＝6，∴由勾股定理得OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴EF＝5；②如图②，当AF＝AC＝8时，由①可知OC＝10，∵四边形AOBC为矩形，∴AB＝OC＝10，AC∥OB，∴△AFC∽△BFE，∴＝＝，∴BE＝BF＝10﹣8＝2，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝2，∴＝＝4，∴EF＝CE＝；③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，∴AD＝DF，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝＝，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，∵AC∥OE，∴△AFC∽△BFE，∴＝，∴＝，∴BE＝，∵CF＝AC，∴EF＝BE，∴EF＝．综上所述，EF的长为5或或．故答案为：5或或．11．解：连接AC、BD交于O，∵E、F、G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，HG∥BD，EH∥AC，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EF∥BD，EH∥AC，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形，故答案为：矩形．12．解：添加条件：AC＝BD；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．13．解：添加AD＝BC，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AD＝BC．14．解：作MH⊥CD于H，NQ⊥CD于Q，MK⊥NQ于K，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝4，∵EF∥BC，∴EF⊥CD，∴四边形BCFE为矩形，∴EF＝BC＝4，∴MH∥EF，NQ∥EF，∵MH∥GF，∵＝＝，M点为DG的中点，∴MH＝GF＝，DH＝DF，同理可得NQ＝EF＝2，CQ＝CF，∴HQ＝（DF+CF）＝CD＝2，易得四边形MKQH为矩形，∴KQ＝KH＝，MK＝HQ＝2，∴NK＝NQ﹣KQ＝2﹣＝在Rt△MNK中，MN＝＝．故答案为．15．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF 的最小值为．故答案为．16．解：过F 作FQ ⊥AD 于Q ，则∠FQE ＝90°，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝DC ＝4，AD ∥BC ，∴四边形ABFQ 是矩形，∴AB ＝FQ ＝DC ＝4，∵AD ∥BC ，∴∠QEF ＝∠BFE ＝45°，∴EQ ＝FQ ＝4，∴AE ＝CF ＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．17．解：当点D 与点A 重合时，如图：∵S 矩形CDEF ＝2S △CBD ＝12，S 矩形OABC ＝2S △CBD ，∴S 矩形OABC ＝12，∵C 点坐标为（0，3），∴OC ＝3，∴OA ＝4，∵∠CFB ＝90°，C 、B 均为定点，∴F 可以看作是在以BC 为直径的圆上，取BC 的中点M ，则MF ＝BC ＝2，OM ＝＝，∴OF 的最大值＝OM +BC ＝+2，即O 、M 、F 三点共线， 设点F 的横坐标为2x ，则纵坐标为3x ，∴（2x ）2+（3x ）2＝（+2）2，解得：x 1＝，x 2＝﹣（舍去）， ∴点F 的坐标为：（，），故答案为：（，）．18．解：当点D 与点A 重合时，如图：∵S 矩形CDEF ＝2S △CBD ＝12，S 矩形OABC ＝2S △CBD ，∴S 矩形OABC ＝12，∵C 点坐标为（0，3），∴OC ＝3，∴OA ＝4，∵∠CFB ＝90°，C 、B 均为定点，∴F 可以看作是在以BC 为直径的圆上，取BC 的中点M ， 则MF ＝BC ＝2，OM ＝＝，∴OF 的最大值＝OM +BC ＝+2，即O 、M 、F 三点共线， 设点F 的横坐标为2x ，则纵坐标为3x ，∴（2x ）2+（3x ）2＝（+2）2，解得：x ＝（负值舍去）∴2x ＝+2，3x ＝+3∴点F坐标（，+3）故答案为：（，+3）19．解：如图，连接CD．∵∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝＝5（cm），∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，＝BC•AC＝AB•CD，此时，S△ABC即×4×3＝×5•CD，解得CD＝2.4（cm），∴EF＝2.4cm．故答案为2.4．20．解：如图①，连接AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BD＝2AC，∴BO＝2AO，∵AB＝10，∴设AO＝x，BO＝2x，∴x2+（2x）2＝102，解得：x＝2，∴BD＝2BO＝8，OC＝OA＝2，∵∠BOC＝∠BED＝90°，∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴，∴＝，∴BE＝16，如图②，连接BG，则D点在BC上，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10，∴CD＝BC＝10，∴CE＝6，∴DE＝＝2，∵GH∥BF，∴△HDG∽△EDB，∴，∵GH＝EF＝8，∴＝，∴DH＝，∴HE＝3，∴矩形的另一边GF的长为3，故答案为：3．。
矩形的性质练习 (2)
1. 阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．①当x=_____时，代数式-2(x-1)2+3有最_____(填写大或小)值为_____．②当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最_____(填写大或小)值为_____．分析配方：-2x2+4x+3=-2(x2-2x+_____)+_____=-2(x-1)2+_____．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？2. 如图：在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE等于_____．3. 如图①，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，连接AP、PQ．(1)请你判断AP与PQ的数量关系并证明：(2)如图②，若将“四边形ABCD是矩形”的条件改为“四边形ABCD是平行四边形”，则(1)中的结论是否成立，若不成立，请说明理由，若成立，请给出证明．4. 如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．(1)求证：△PBE∽△QAB；(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．5. 小王把一个边长为8的正方形剪成4块，拼成一个矩形，如果图中没有缝隙也没有重叠，你认为这样的拼图方法正确吗？答：______．(认为正确就填“正确”；认为错误填上“错误”，再说明理由)6. 小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：(1)如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF ⊥GH，求的值；(3)如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．。
2022年初中数学精品教案《矩形的性质 (2)》公开课专用
1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质一、教学目标：1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．二、重点、难点1．重点：矩形的性质．2．难点：矩形的性质的灵活应用．三、例题的意图分析例1是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用．例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例2、例3的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法．四、课堂引入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．矩形性质1 矩形的四个角都是直角．矩形性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有AO=BO=CO=DO=21AC=21BD ．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．五、例习题分析例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长． 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AC 与BD 相等且互相平分．∴ OA=OB ．又 ∠AOB=60°，∴ △OAB 是等边三角形．∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm ）．例2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A到BD 的距离AE 的长．分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．略解：设AD=xcm ，则对角线长（x+4）cm ，在Rt △ABD 中，由勾股定理：222)4(8+=+x x ，解得x=6． 则 AD=6cm ．“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB ＝ AD×AB ，解得 AE ＝ ．例3（补充） 已知：如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AE=BC ． 求证：CE ＝EF ．分析：CE 、EF 分别是BC ，AE 等线段上的一部分，若AF ＝BE ，则问题解决，而证明AF ＝BE ，只要证明△ABE ≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，且AD ∥BC ． ∴ ∠1=∠2．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD=90°．∴ ∠B=∠AFD ．又 AD=AE ，∴ △ABE ≌△DFA （AAS ）．∴ AF=BE ．∴ EF=EC ．此题还可以连接DE ，证明△DEF ≌△DEC ，得到EF ＝EC ．六、随堂练习1．（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm ， cm ， cm ， cm ．2．（选择）（1）下列说法错误的是（ ）．（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．（A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对3．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．七、课后练习1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）．(A)12cm (B)10cm (C) (D)5cm2．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，求∠A 、∠B 的度数．3．已知：矩形ABCD 中，BC=2AB ，E 是BC 的中点，求证：EA ⊥ED ．4．如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，且AB=AE ，求证：∠CBE 的度数．教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：（1）多边形的内角和公式．（2）多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，则n边形的内角和等于（n一2）·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。
矩形的性质练习题 (2)
矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P13—P14，T1-T41．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(第3题)数学理解4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )（第3题）A．15 B．16 C．17 D．194．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )（第4题）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变7．(2015·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．9．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD(第9题)答案教材1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝22AC＝22×6＝3 2.∴AB＝BC＝CD＝AD＝3 2.即这个矩形的各边长均为3 2.点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB ＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．(第2题)2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO＝AO ＝12AC ＝152.又∵∠AOB＝60°，∴△ABO 是等边三角形．∴AB＝BO ＝152，即这个矩形较短边的长为152. 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO ＝AO ＝12AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO 是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．3．解：四边形ADCE 是菱形．证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AE＝CD ，CE ＝AD.又∵∠ACB＝90°，D 为AB 的中点，∴CD＝AD ＝12AB.∴AE＝CD ＝CE ＝AD.∴四边形ADCE 是菱形． 点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．(第4题)4．解：已知，如图，CD 是△ABC 的中线，且CD ＝12AB.求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是△ABC 的中线，∴AD＝BD ＝12AB.又∵CD＝12AB ，∴CD＝AD ＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B ＝∠BCD.∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠A ＋∠B ，即∠ACB ＝∠A ＋∠B.∴∠ACB ＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC 是直角三角形．点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.典中点3．C4.C7．5.5或0.5 点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，由菱形的性质得出CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，由点M 为EF 的中点得MF ＝2.5，由勾股定理求出DF 的长，即可求出AM 的长；②如图②，同①易得出AE ＝3，ME ＝2.5，即可得出AM 的长．(第7题)9.D。
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
湘教版八下数学第2章四边形.1矩形的性质习题课件
题组二：直角三角形斜边上的中线定理
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的
长是( )
A.20
B.10
C.5
D. 5
2
【解析】选C.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB
边
1
2
上的中线，∴CD= AB=5.
2.著名画家PPT不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.
2.5 矩 形 2.5.1 矩形的性质
1.了解矩形的定义,理解矩形与平行四边形的区分和联系.(重 点) 2.会用矩形的性质进行计算或证明.(重点、难点) 3.掌握矩形的轴对称性和中心对称性.(重点)
一、矩形的定义 有一个角是_直__角__的平行四边形. 二、矩形的性质 在矩形ABCD中,∠BAD=90°,对角线AC与BD相交于点O.
提示:视察图形时,误认为四边形为矩形而出现错误.
∠AOD＝120°，则AB的长为( )
A. 3 cm
B.2 cm
C.2 3 cm
D.4 cm
【解析】选D．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝ 1AC＝4 cm．
2
3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC
【自主解答】∵在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D, ∴△ADC是直角三角形.∵E是AC的中点, ∴DE=1 AC(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),
2
又∵DE=5,∴AC=2DE=10, ∵AB=AC,∴AB=10. 答案:10
【总结提升】直角三角形斜边上中线的性质及应用 1.性质: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角 形. 2.应用: (1)证明线段的平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等.
矩形的性质及判定知识点及典型例题
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．一、矩形的判定【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA矩形的性质 及判定【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例9】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【例10】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA321FE D CB A【例11】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．【例12】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【例13】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例14】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD板块二、矩形的性质及应用【例15】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
九年级上册第一章第二节矩形的性质与判定第2课时作业
矩形的性质与判定第2课时课后作业一．根底性作业〔必做题〕1．平行四边形ABCD ，以下条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是〔 〕A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是〔 〕A ．测量对角线是否互相平分且垂直B ．测量对角线是否相互平分C ．测量对角线是否互相平分且相等D ．测量对角线是否互相垂直3．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝4cm ，AD ＞AB ，CD ＝5cm ，点P 从点C 出发沿边CB 以每秒1cm 的速度向点B 运动， 秒后四边形ABPD 是矩形．4. 如图2，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE ＝CD ，连接AE 交BC 于F ， ∠AFC ＝n ∠D ，当n ＝ 时，四边形ABEC 是矩形．5．如图3，A ，B 为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A ，B 为顶点的格点矩形共可以画出 个.6．如图4，点C 是BE 的中点，四边形ABCD 是平行四边形．〔1〕求证：四边形ACED 是平行四边形；〔2〕如果AB ＝AE ，求证：四边形ACED 是矩形．图3 图4 图1 图2二．拓展性作业〔选做题〕7．如图5，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN 交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．则以下结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③假设CE＝12，CF＝5，则OC＝6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．正确的是．〔只填序号即可〕图58．如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD 的中点，延长AE至点G，使AE＝GE，连接CG，CF．〔1〕求证：△AOE≌△COF；〔2〕只需添加一个条件，即，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明．图69．如图7，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．〔1〕假设CE＝4，CF＝3，求OC的长．〔2〕连接AE、AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．图7。
4、矩形的性质和判定、常规练习2
【常规练习】1、多项式2x ax 4++能用完全平方公式分解因式，则a 的值是（ ） A.4 B.－4 C.±2 D.±42．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为 （ ）A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°3．如图，△ABC 中BD CD 、平分ABC ACB ∠∠、，过D 作直线平行于BC ，交AB AC 、于 E F 、，当A ∠的位置及大小变化是，线段EF 和BE CF +的大小关系是 （ ）A. B. C . D.不能确定 4、分解因式： = . 5、如图，在△ABC 中，,C 90ABC 60∠=∠=o o ,BD 平分ABC ∠,若AD 6=,则AC = ．6、计算：()()()422672ab 6a b 12a b ⋅-÷-23a 6a 3-+EF BE CF=+EF BE CF >+EF BE CF <+7、解方程：2x 1x 11x 1x 1x 1---=+--8、如图，点A E F C 、、、在同一直线上，,,AD BC AD CB AE CE ==P . 求证：B D ∠=∠9.先化简，再求值：23a a 2a a 2a 2a 4⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ ，其中a 4=-.4、矩形的性质和判定1、矩形的性质：性质1（边）：性质2（角）：性质3（对角线）：2、矩形的判定：判定1(定义)：判定2（角）：判定3（对角线）：对点训练【性质】1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥第1题第2题第4题2．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠23．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为。
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矩形教学设计
利辛县阚疃金石中学黄冠峰
教学目标
1、知识与技能
探索并掌握矩形的有关性质，四个角是直角，对角线相等且互相平分，理解矩形与平行四边形的区别与联系，领会矩形的内涵。
2、过程与方法
经历探索矩形的有关性质的过程，在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间概念，培养学生的几何感。
3、情感态度价值观
学生通过观察发现生活中的矩形，并且在实际操作中获得矩形的体验，在探索和运用矩形的性质的过程中感受到数学的乐趣，充分展示数学问题的发生、发展及变化过程，培养学生的创新意识和创造能力。
重点、难点
重点：矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
难点：运用矩形的性质进行简单的证明和计算。
教学准备：多媒体课件、活动的平行四边形模型。
教学方法：观察、总结提高、类比讨论与多媒体辅助教学法、启发引导法
教学过程
二、创设情境、导入新课
1、游戏是否公平？
阚疃古庙会上的一种套圈游戏，如果四个人站在平行四边形的四个顶点上，在对角线的交点处放置一个大奖，四个套圈的人进行套圈，问游戏公平吗？为什么？想知道怎么样才能让游戏公平，学习完本课，大家就能给出公平的游戏的设计方案。
2、复习提问
上节课我们学习了平行四边形，那么平行四边形的性质是什么？
（1）平行四边形的对角相等。
（2）平行四边形的对边相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
推论：夹在两条平行间的平行线段相等。
二、观察视频，引入新课
请同学们观看一幅动画。
（几何画板演示平行四边形的变化）
一个角是直角
（1）（2）
当平行四边形变化到位置（2）时得到什么图形？
三、讲解新课
1、请举几个生活中关于矩形的例子。
（对学生的回答作灵活处理）
2、观察动画中平行四边形是如何演变成矩形的，也就是说当平行四边形满足什么条件的时候便成了矩形？
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
3、矩形是特殊的平行四边形，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？
（引导学生根据研究平行四边形性质的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”。
）回忆学习平行四边形的性质的时候是通过测量、猜测、证明的过程来学习平行四边形的性质的，那么矩形的性质有哪些呢？我们是不是一样来测量、猜测、验证矩形的性质呢？
学生观察、动手测量猜测：矩形的四个角都是直角。
4、如何说明“矩形的四个角都是直角”呢？
已知：如图四边形ABCD是矩形，∠B=90o。
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90o
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥DC（平行四边形对边平行）
∴∠C=∠B=90o（两直线平行，同旁内角互补）
同理：∠D=90o、∠A=90o
性质1：矩形的四个角都是直角。
知识拓展：让学生说出不同于老师的证法。
（分组讨论）
5、下面我们来做一个游戏，请同学们关上你们的教材，观察教材的封面，用刻度尺测量书本的对角线。
并回答屏幕上的问题。
教材的封面是什么图形？派一名代表说出你们测量的数据？你能发现两条
对角线间有什么特殊关系吗？
学生容易回答“矩形的对角线相等”。
如何证明“矩形的对角线相等”这一命题呢？请同学们根据屏幕上给出的图形、写出已知、求证，并证明这个命题。
已知：如图，ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 交于点O 。
求证：AC=BD
证明：在矩形ABCD 中
∠ABC=∠DCB=90o ，AB=DC ，BC=CB
∴∆ABC ≌∆DCB
∴AC=DB
性质2：矩形的对角线相等。
6、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的对角线互相平分又相等，由此，我们可以得到直角三角形的什么重要性质。
请同学们讨论，并大胆的猜想。
（对学生的回答稍作点拨）
如图，已知ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交
7、例题解析
已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120o ，AB=4cm ，求矩形对角线的长。
解：∵四边形ABCD 是矩形
∴AC=BD ，∠DAB=900 OA=OC=21AC ，OB=OD=2
1BD ∴OA=OD
又∵ ∠AOD=1200
∴∠OAD=∠ODA=300
在Rt △ABD 中 AB=2
1BD ∴BD=2AB=8cm
四、随堂练习
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ）
（A ）内角和是360度（B ）对角相等
（C ）对边平行且相等（D ）对角线相等
2、下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
（A ）对角线相等（B ）四个角相等
（C ）是轴对称图形（D ）对角线垂直 3、在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，
若BE=OE=1， AC=（ ）
头脑风暴：(游戏接龙）
矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点
O ，写出图中所有的相等的线段、相等的角、等腰三角形、直角三角形、全等三角形。
五、课堂小结
1、本节课你有哪些收获和疑惑？和同伴分享。
2、矩形的定义和性质是什么？
直角三角形的中线和斜边的关系（推论）？ 矩形和平行四边形的区别和联系？
六、课堂作业
必做题：P88练习第2题
选做题：P97习题第2题
O D C B A E O D C B A。