51第一节 插值多项式的存在唯一性
数值计算方法教案51
第5章 多项式逼近与曲线拟合教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼 近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。
教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。
难点是会求非线性模型的逼近函数。
教学时数 6学时 教学过程§1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。
1．关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如x x f e x f x sin )(,)(==等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。
这种函数逼近的特点是：（a ）要求是高精度逼近；（b ）要快速计算（计算量越小越好）。
2．建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。
例如，已知)(x f y =实验数据mm y y y x f x x x x 2121)(希望建立)(x f y =数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是： （a ）适度的精度是需要的； （b ）实验数据有小的误差；（c ）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。
事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数)(x f y =的问题，例如 （1）用在0x x =点Taylor 多项式逼近函数 设)(x f y =在[a,b]上各阶导数)1,,1,0)(()(+=n i x fi 存在且连续，],[0b a x ∈，则有)()(!)())((')()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+=)()(x R x P n n +≡其中εε],,[,)()!1()()(10)1(b a x x x n f x R n n ∈-+=++在0x 和x 之间。
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
插值多项式
由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
计算方法Chapter01 - 插值方法
若函数族
中的函数 ( x) 满足条件
( xi ) = f ( xi ),
i = 0,1,, n
（ 1）
n ( x ) x f ( x ) 则称 为 在 中关于节点 i i =0 的一个插值函数。
f ( x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi in=0 ——插值节点； 式（1）——插值条件.
x12 x1n
2 n x2 x2
范德蒙行列式
x
2 n
n n
V=
x
0 i j n
( x j xi )
10
插值多项式的存在唯一性（续）
V= ( x j xi ) 0 i j n
由于 x0 , x1 , x2 , ..., xn 是 n 1 个互异的节点，即：
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
5
插值问题
于是人们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x) 使其近似的代替 f (x)。
y 被插值函数 f (x) 插值函数 (x)
插值节点 0 x0 x1 x2 x3
… …… xn x
6
插值区间
多项式插值问题
对于不同的函数族Φ 的选择，得到不同的插值问题
( x0 , y0 ) 0
p2(x)
x0
x1
x2
x
19
抛物线插值（续）
p2 ( x ) = y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2l2 ( x )
( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
多项式插值存在唯一性
)
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1515/18
Ex7. 2 次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件： f(x0)=y0，f’ (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么 条件能使插值问题有唯一解。
解: 设 H(x) = a0 + a1x + a2x2 , H’(x) = a1 + 2a2x
f(x) = Pn(x) + (x – x0) (x – x1)……(x – xn)
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1111/18
Ex3. 设 P(x) 是不超过 n 次的多项式,而
n+1(x) =(x – x0)(x – x1)······(x – xn)
证明存在常数Ak( k =0，1，…，n)使得
《数值分析》习题课 III
多项式插值的存在唯一性 拉格朗日插值,牛顿插值 埃米特插值与三次样条 数据拟合的线性模型 两种典型的正交多项式
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1
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多项式插值的存在唯一性定理
若插值结点 x0, x1,…,xn 是(n+1)个互异点,则满足 插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,···,n)的n次插值多项式
(2)令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/6
则 g ng (n )g (n 1 )n 2
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同理 显然
g kg (k )g (k 1 )k 2 ( k = 1,2,···,n ) g 1 g (1 ) g (0 ) g (1 )
数值分析 多项式插值讲解
一次Lagrange插值多项式
已知函数y f ( x)在点x0 , x1 上的值为y0 , y1 ，要求多项 式y p1( x),使 p1( x0 ) y0 ，p1( x1 ) y1 。其几何意义，就是通 过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的一条直线，如图所示。
lk ( xi ) ki 0, i k
但与f(x)无关.
则称 lk(x)为节点 x0 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数。
由构造法可得
可以证明 l0(x), l1(x), …, ln(x) 线性无关，即它们 构成线性空间 Pn(x) 的一组基。
Lagrange插值
可以计算出 ln11.75 的近似值为：
可见，抛物插值的精度比线性插值要高。 Lagrange插值多项式简单方便, 只要取定节点就可写 出基函数,进而得到插值多项式。易于计算机实现。
求函数 f(x) 的近似表达式 p(x) 的方法就称为插值 法。
插值多项式的唯一性
定理 (唯一性) 满足n+1个插值条件的n 次插值
多项式存在且唯一。
证明： 设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x2 an xn 由插值条件 Pn ( xi ) yi , i 0, 1, , n
n+1个互异点 a x0 x1 ... xn b 上的函数值
y0, y1 , … , yn ，若存在一个次数不超过 n 次的多项式
p( x) a0 a1 x ... an xn
满足条件
插值条件
p(xi) = yi (i = 0, … n)
（4-1）
则称 p(x) 为 f(x) 的 n 次插值多项式。
插值方法(1)
合肥学院《数值分析》课程设计报告书题目多项式插值及其应用院系名称合肥学院数学与物理系专业（班级）信息与计算科学一班姓名（学号）钱志海（1007011013）印宛如（1007011016）张鑫（1007011017）指导教师孙梅兰完成时间 2013-3-4一、实验设计目的1、插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。
2、n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n次，如设为 n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an, an+1需确定，而n +1个组节点，只构成n +1个插值条件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。
3、上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。
因此实际计算中需要用其它方式进行故不能用解方程组的方法获得插值多项式。
我们利用牛顿插值、哈密尔特插值、分段插值、样条插值的方法可以有效解决n较大，方程组较多的繁琐的严重病态。
二、插值方法的理论基础1、Lagrange插值Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题。
★基本思想将待求的n次多项式插值函数pn(x）改写成另一种表示方式，再利用插值条件⑴确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。
2、牛顿插值Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
★基本思想将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件⑴确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。
3、哈密尔特插值Hermite插值是利用未知函数f(x）在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的，起其提法为：给定n+1个互异的节点x0,x1，……,xn上的函数值和导数值求一个2n+1次多项式H2n+1(x）满足插值条件H2n+1(xk)=ykH'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀如上求出的H2n+1(x）称为2n+1次Hermite插值函数，它与被插函数一般有更好的密合度.★基本思想利用Lagrange插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利用插值条件⒀求出插值函数.4、分段插值插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：计算出f(xk）后得到Lagrange插值多项式Ln(x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x）及对应的误差Rn(x），得下表从表中可知，随节点个数n的增加，误差lRn(x)l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式，此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.分段多项式插值的定义为定义2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1个节点并给定在这些节点上的函数值f(xR)=yR R=0,1，…，n如果函数Φ（x）满足条件i) Φ（x）在[a,b]上连续ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，niii) Φ（x)zai 每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即★基本思想将被插值函数f〔x〕的插值节点由小到大排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕.5、样条插值样条插值是一种改进的分段插值。
(西南交大戴克俭版)计算方法 多项式插值
(5.7)
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 l1 ( x) x1 x0
11
5.2 拉格朗日插值法
已知函数 y f ( x)在x0,x1,x2处的函数值分别为y0， y1,y2在式（5.6）中当n=2时，Lagrange插值多项式为 L2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 (5.8) ( x2 x0 )( x2 x1 ) 其中
3
5.1 插值法多项式存在性与唯一性
若P(x)是次数不超过n的多项式，即
Pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
(5.2)
其中ai是实数，则称Pn(x)为插值多项式，相应的插值方 法称为多项式插值。 若P(x)是分段多项式，则称为分段插值。 若P(x)是三角多项式，则称为三角插值。
式中(a,b)且与x有关。
(n 1)!
i 0
13
5.2 拉格朗日插值法
⒈ Lagrange插值误差估计
定理5.3 如果f (n+1)(x)在区间(a,b)上有界，即存在常数 Mn+10，使得 | f ( n1) ( x) | M n1， x (a，b) 则有截断误差估计
拉格朗日(Lagrange)插值
li ( x) = Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) = Ci ( x x j ) ji j =0 1 li ( xi ) = 1 Ci = j i ( xi xj )
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
i=0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
一. 插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1 : 在 n 1 个互异节点 xk 处满足插值条件 Pn ( xk ) = yk
n
f
( n 1)
( n 1 ) ( x0 ) = = ( xn ) = 0( n 1 ) ( x ) Ln ( x ) K ( x )( n 1) ! = Rn ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( n) 存在 (a, b) 使得 ( ) = 0 ( n 1 ) n ( n 1 ) f ( ) x f ( x) Rn ( x ) = ( x xi ) = K ( x) (n 1) ! i =0 ( n 1) !
第五章插值法
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第5章 插值法
前进
1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的
插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不 同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化， 一定会相同，当然误差也一样。 2：n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n 次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an, an+1 需确定，而n +1个组节点，只构成n +1个插值条 件，即 构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。 3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以 通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计 算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此 实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用 的方法。
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第5章 插值法
前进
注1：如果要求插值多项式的次数一定要小于n－1， 一般不存在。但如果要求插值多项式的次数超过n次，则 存在但不唯一。 注2:一次多项式插值 --- 过两点直线; 二次多项式插值 --- 过三点抛物线; 不用待定系数法 --- (1)计算量大;(2)不易讨论 误差;
上面定理告诉我们，不管用何种方法构造插值多项式， 次数不超过n次的满足插值条件的多项式是同一个多项式。 下面分别介绍几种构造插值多项式的方法。
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第5章 插值法
前进
§2 Lagrange插值公式
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第5章 插值法
前进
对(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)按插值条件（5-2）构造n次插 值多项式，有几种方法，可得相应的插值多项式，下 面从最简单的情形开始。 n =1时，只有两个节点，x0, x1，对应于y0, y1，由前所 述，插值多项式应设为1(x) = a0+a1x，且满足插值条件 ： y1 x0 y0 y1 a0 求解可得 1 ( x0 ) a0 a1 x0 y0 x0 x1 y0 y1 1 ( x1 ) a0 a1 x1 y1 a1 x0 x1 所以，n =1时两个节点的插值多项式为： y1 x0 y 0 x1 y0 y1 1 ( x ) x (5 - 5) x0 x1 x0 x1
第5章插值法
第5章插值法第五章代数插值在⽣产实践和科学研究所遇到的⼤量函数中，相当⼀部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系y=f(x)在某个区间［a ，b ］上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上⼀些离散点上的函数值、导数值等，因此，希望对这样的函数⽤⼀个⽐较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂⽽不便于进⾏理论分析和数值计算，同样希望构造⼀个既能反映函数的特性⼜便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的⽅法之⼀。
在⽤插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三⾓函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被⼴泛采⽤。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值。
第⼀节插值多项式的存在唯⼀性5.1.1 插值问题设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有定义n y y y ,...,,10且已知函数在区间［a,b ］上n+1个互异点n x x x ,...,10上的函数值，若存在⼀个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的这n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)5-1），即p(i x )= i y ,i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点n x x x ,...,10称为插节点，点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)a,b ］称为插值区间,求p (x)的⽅法称为插值法，f(x)称为被插函数。
若p(x)是次数不超过n 的多项式,⽤P n(x)表⽰，即n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210 则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
2.1 插值多项式的存在唯一性：
Pn (xj) = yj (j = 0, 1… n)
插值法
(2.1.2) 本章主要讨论的内 容
插值问题
插值函数
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
由插值条件
Pn ( xi ) yi i 0, 1,, n
得到如下线性代数方程组：
n 1 a0 x0 a1 x0 a n y0 n 1 a0 x1a1 x1 an y1 1 a x a x n a y n 1 n n n 0
这就是本章要讨论的插值问题二插值问题的定义数当精确函数yfx非常复杂或未知时在区间这个问题称为非常复杂或未知时在区间这个问题称为插值问题211数近似函数gxfx满足条件由此构造一个简单易算的上一系列节点处测得函数值由此构造一个简单易算的上一系列节点处测得函数值ab01mxxx
2.1 插值多项式的存在唯一性：
此方程组的系数行列式为 2 n 1 x0 x0 x0
D j i n
2 n xn xn
( x
i
xj )
范得蒙行列式 ！
当 xi x j (i j ) 时，D 0， 因此，Pn(x) 由a0, a1,…, an唯一确定。
在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数
0 x ,1 x ,n x
,使
P n x a00 x a11 x nn x
不同的基函数的选取导致不同的插值方法.
Lagrange插值 Newton插值
插值的概念和各种基本方法
k o o b n c . w ww( xi ) = yi （ i = 0, 1, 2, L , n ） 。 证明：
要证明 P( x) 存在惟一，就是要证明存在惟一的一个 P( x) = a0 + a1 x + L an x n 满足：
n ⎧a0 + a1 x0 + L an x0 = y0 ⎪ n ⎪a0 + a1 x1 + L an x1 = y1 ⎨ ⎪L ⎪a + a x + L a x n = y n n n ⎩ 0 1 n
点
函
l0 ( x) l1 ( x)
k o o b n c . w ww
x0 x1
1 0 0 0 0 1
t e .n
x2
0 1
t e n . k o o b n c .
l2 ( x )
由上表知 l0 ( x) 有 x1 和 x2 两个零点，故 l0 ( x) 有因子 ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ，又因为它的次数不超过 3 ，故
t e n . t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t e n . k o c o . b w n w c w . w w w t e n . k o o
函 数 值
k o o b n c . w ww
x0 x1
0 1
l0 ( x)
1
l1 ( x)
0
由表 2 和图 3 可以看出两个基函数的性质。插值函数 P 1 ( x ) 实质上是插值基函数 l0 ( x ) 和 l1 ( x ) 的线
第1章插值教案
第1章 插 值1.1 插 值插值问题的提出✌导入：插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算，或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，例如，有很多的物理、化学的实验数据；又例如，温度问题、股票的变化问题等。
我们希望建立一个简单的而便于计算的函数g (x)，使其近似的代替f (x)。
建立的方法可采用插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值。
基本概念由实验或测量的方法得到所求函数 )(x f y = 在互异点n x x x 10, 处的值n y y y ,,,10 构造一个简单函数 )(x φ作为函数 )(x f y = 的近似表达式)()(x x f y φ≈=，使得 n n y x y x y x ===)(,)(,)(2211φφφ （1）这类问题称为插值问题。
)(x f 称为被插值函数，)(x φ 称为插值函数， x 0 , x 1, ... , x n 称为插值节点。
(1)式称为插值条件。
✌插值的任务就是由已知的观测点,为物理量(未知量)建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
我们知道函数的类型很多，用来作插值函数的种类不同，所求得的插值函数 P(x)逼近f(x)的效果不同，常用的有代数多项式、三角函数式、和有理函数式等。
当选用的是代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。
在多项式插值中，最常见、最基本的函数是求一次数不超过n 的代数多项式：)1()(2210nn n x a x a x a a x P ++++=L这时插值问题变为:求n 次多项式P n (x),使满足插值条件)2(,,2,1,0,)(n i y x P i i n L ==只要求出P n (x)的系数a 0 ,a 1,…, a n 即可,为此由插值条件(2)知P n (x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n n n n n n nn y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a n n L L L L 22101212110022010100而a i (i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde 行列式xxx x xx x x x x x x n n2nnn1211n 0200n 10...1..................1...1),...,,V(=∏∏=-=-=n i i j j i x x 11)(由于x i 互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解 a 0 ,a 1 ,…a n 存在且唯一。
第一章插值方法(3-4学时)
问题
l 求作二次式1 ( x )
，使满足条件
p2 ( x0 ) = y0 , p2 ( x1 ) = y1 , p2 ( x2 ) = y 2
二次插值的几何解释是用通过三个点 ( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 的抛物线 y = p2 ( x ) 插值，令
l0 ( x ) l0 ( x0 ) = 1, l0 ( x1 ) = l0 ( x2 ) = 0
问题
≤ 求作次数 n
pn ( x ) 多项式
Байду номын сангаас，使满足条件
这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。点 xi （它们互不相同） 拉格朗日（Lagrange）插值 拉格朗日 称为插值节点。 用几何语言来描述，就是，通过曲线y=f(x)上给定的n+1个点 ，求作一条n次代数曲线 作为 Y=f(x)的近似。
问题： 问题：
选取什么函数作为近似的函数 误差如何？
数值分析简明教程 2.<# >
f ( x )
，如何求得其具体表达式，
王能超 编著
插值问题
设函数f(x)在区间[a ，b]上有定义，且已知在一组互异 点 上的函数 值 ，寻求一个简单的函数p(x)，使满足 （1.1） 并用p(x)近似代替f(x)，上述问题称为插值问题 插值问题。 插值问题
类似的可以构造出
2.<# >
王能超 编著
拉格朗日插值的一般情形
≤n 仿照前述作法，对于求作次数 ，使满足条件
pn ( x ) 多项式
lk ( x ) , k = 0,1, 2,L , n
的问题，我们可构造插值基函数 ≤n ，它们都是次 数小于 这表明，除
第1章 插值法教案
第二章 插值法教学目的 1. 掌握拉格朗日插值多项式的构造方法、唯一性、余项及唯一性和余项表达式的证明；2. 理解差商的概念，掌握牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 了解差分概念及等距节点插值多项式的有关知识；4. 掌握埃尔米特插值多项式的构造方法、余项及余项表达式的证明；5. 了解插值多项式之间的改进关系从而掌握该思想方法。
教学重点及难点 重点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 牛顿插值多项式、余项及余项表达式的证明；3. 埃尔米特插值多项式的构造、余项及余项表达式的证明；难点是 1. 拉格朗日插值多项式的构造方法及余项表达式的证明； 2. 埃尔米特插值多项式的构造及余项表达式的证明。
教学时数 14学时 教学过程§1 引言数学问题 已知)(x f y =的一张函数表)()()()(1100n x n x f x f x f f x x x xs（1.1）其中，j i x x ≠，当j t ≠，且),,1.0(,)(n t y x f i t ==值比较准确，[]b a ,为包),,1,0(n t xi =的区间或有表达式的函数（但比较复杂）。
寻求一个次数n ≤的多项式n n H x P ≤)(使满足：)2.1(),,1,0(),()(n t xi P x f n i ==解决思路 寻求一个简单且便于计算的函数)(x P 来近似)(x f ，即),()(x P x f ≈当[]),,1,0(,,n i x x b a x i =≠∉，一般)(x P 可选为多项式，三角多项式，有理函数或样条函数等。
次数小于、等于n 的多项式集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑=n j j jj n n a x a x n P x P H 0,)()(实数1. 定义1 （1）如果满足插值条件（1.2）的多项式)(x P n 存在，称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值节点，)(x f 称为被插函数（如图2-1）(2)求插值多项的方法称为插值法。
数值分析 第四章 插值法
8
Newton插值多项式
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn 1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn )
N n ( x)
x
f ( x)
f '( x)
x0 f ( x0 ) f '( x0 )
x1
f ( x1 ) f '( x1 )
xn f ( xn ) f '( xn )
要寻找一个次数 2n 1 的多项式 H 2 n 1 ( x) ，满足：
H 2n1 ( xi ) f ( xi ), i 0,1,, n H '2n1 ( xi ) f '( xi ), i 0,1,, n.
此时
f ( n1) ( ) f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) t (t 1)(t n)hn1 . (n 1)! (n 1) !
14
3. Hermite插值 问题的提出
已知 y f ( x) 在 n 1 个互异点 xi (i 0,1,, n) ( xi [a, b] ) 处的值以及导数 值
k 阶向前差分： k f ( xi ) k 1 f ( xi h) k 1 f ( xi )
用 表示向后差分算子： 一阶向后差分： f ( xi ) f ( xi ) f ( xi h)
10
差分表
f ( xi ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )
多项式插值唯一性
Ln ( x ) l0 ( x ) f ( x0 ) l1 ( x ) f ( x1 ) l n ( x ) f ( xn )
n 1 ( x ) l j ( x) 1 ( x j ) ( x x j )n
( j = 1,2, · · · ,n)
N n ( x ) f ( x0 )0 ( x ) f [ x0 , x1 ]1 ( x ) f [ x0 , x1 ,, xn ]n ( x )
n ( x1 ) a0 y1 n ( x2 ) a1 y 2 n ( x m ) a n y m
8/18
对连续函数 f(x) 的正交多项式平方逼近
x x0 2 1 ( x ) ( x x1 )( ) x1 x0
5/18
三次样条的定义 给定[a , b ]的分划: a = x0 < x1 < … < xn = b. · · ,n), 如果 已知f(xj) = yj (j = 0,1,·
S1 ( x ), x [ x0 , x1 ] S ( x ), x [ x , x ] 2 1 2 S( x) S n ( x ), x [ x n1 , xn ]
1 0 1
x0 1 x2
2 a 0 y0 x0 2 x1 a1 m1 2 x2 a 2 y2
x0 x 2 x1 2
思考: 构造带导数条件的二次插值多项式公式
f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；
x x0 x1 x 2 0 ( x ) (1 2 )( ) 0 ( x ) ( x x0 )( x1 x )2 x1 x0 x1 x0 x1 x0
51第一节 插值多项式的存在唯一性
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设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi
( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x)
在xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多
项式Pn(x)使其满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (5-1)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0, a1, … , an的线性代数方程组
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n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a a x a x 0 1 n n n yn
述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使
它通过已知的n+1个点(x).
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二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值 条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (5-2)
（5-3）
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行 列式是范德蒙行列式，即
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1 1 1 x0 x1 xn x0 2 x0 n x12 x1n xn 2 xn n
n j i 0
( x j xi ) 0
因此，线性方程组 (5.3) 的解a0, a1,…, an存在且唯一， 于是插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一.
插值多项式的存在性和唯一性
插值多项式的存在性和唯一性洛阳师范学院2008年第2期?17?插值多项式的存在性和唯一性赵武超,许文超(洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳471022)摘要:本文用线性代数的知识给出一般的插值多项式及Hermit插值多项式的存在性和唯一性的证明.关键词:插值多项式;行列式;存在性;唯一性中图分类号:0214.6文献标识码:A文章编号:1009—4790(2008)02—0017—02收稿日期:2007一l2一l9作者简介:赵武超(1963一),男,河南伊川人,副教授,硕士.0引论在插值理论中,需解决以下问题:已知自变量.<.<:<…<和它们的对应变量的值Y o,Y.,Y:,…Y,求函数),使得)=Yj,0≤j≤n.最常用的插值函数是多项式,对以上的插值问题,有如下的定理.定理1给定n+1不同的点0,l,2,…∈【口,6】和n+1个值Y0,Yl,Y2,…Y∈R,存在一个唯一的次数不超过n的多项式P,满足P(xj)=Yj,=0,1,…/7,.如果对函数的导数值还有要求,即Hermit插值问题,也有如下定理J.定理2给定n+1不同的点0,l,2,…∈【口.6】和2n+2个值:Y0,Yl,Y2,…Y∈R,Y0,Yl,Y2,…Y∈R,存在一个唯一的次数不超过2n+1的多项式P"满足P2+l()=Yj=0,1,…rt,P:+,()=Yj,-『=0,1,…rt.在一般的关于数值分析的书中,对以上两个定理的证明都涉及Lagrange多项式.我们在下面给出的证明依据线性方程组理论;虽然从计算角度来看,待定系数法可能有些不便,但在证明上它却能提供某些便利.1定理1的证明我们用待定系数法,给出定理1的证明.证明设P(戈)=口"+O'n_1戈"一1+…口l戈+12,0 (1)如果P()=√=0,1,…,我们有如下方程组口n+口n—l0n-1+…口l0+口0=Y0口n+口n一-一+…口--+口.),-(2)la:+口一ln一+…O,IX+口0=Y这个方程组的系数行列式为△=n—lX0X0……0l……l1这是着名的V anderode行列式,其值为△=n(一)≠0,所以方程组(2)有唯一解这就完成了定理1的证明.2定理2的证明直接用待定系数法证明定理2会遇到计算行列式的麻烦,因此,我们可以采用如下策略. 设P2()=()+()n(一),l8?洛阳师范学院2008年第2期J=0,1,…n.这里()的次数小于或等于n,于是()=P2川()=,由定理1知,u(x)是唯一的.若能证得()是次数不超过n的唯一多项式,由()和()的唯一性可得P2()的唯一性.证明设P2川()=()+()n(一戈),J=0,1,…n.'(3)这里()的次数小于或等于n的多项式,+.(,)=(f),=0,1,…m由定理1知()是唯一的.+-()=()+x)旦(一)+nn1x)((一))(盂),J=0,1,…n(4)令),,一(,)■———一n(一)JU'(f)=.『=0,1,…n由定理1知,如果取()为次数不超过n的多项式,则()是唯一的.+-()=()+():(一)=()+),一'()=),j,J=0,1…,n.所以,这样求出的次数不超过2n+1的多项式满足定理2的条件,存在性得证.设有另外一个次数不超过2n+1多项式x满足xj,)=yi,(,xi,)=y'i,j=0,1…,.由)一()=0,.『=0,1,…,I1,.知n(一))一().():为次数不超过n的多n(一)Ju项式.则.():n(一)j=0'P2+l(,)一(,)n(一)J=0fJ=0,1, (I1)由定理1知.()=(),所以)=Ph+.(),唯一性得证.参考文献[1]R.Kress.NumericalAnalysis[M].Springer-V erlag,1998.[2]J.Storeeta1.IntroductiontoAnalysis[M].Springer-V erlag,1988.[3]关治,陆金浦.数值分析基础[M].北京:高等教育出版社,1998.[4]李庄扬,等.数值分析[M].北京:清华大学出版社.20o1.TheExistenceandUniquenessofInterpotationPolynomicalZHAOWu-chao,XUWen-chao(CollegeofMathematicsScience,LuoyangNormalUniverstry,Luoyang471022,China) Abstract:Thispapersavestheproofofexistenceanduniquenessofgeneralinterpotationpoly nomicalandHer- mitinterpotationpolynomicalbytheknowledgeofthelinearalgebra.Keywords:interpotation;polynomical;determinant;existence;uniqueness。
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则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0, a1, … , an的线性代数方程组
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n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 n a a x a x 0 1 n n n yn
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设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi
( i=0, 1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x)
在xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多
项式Pn(x)使其满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) (5-1)
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第5章 代数插值
第一节 插值多项式的存在唯一性 第二节 拉格朗日插值多项式 第三节 牛顿插值多项式 第四节 埃尔米特插值
第五节 分段低次插值
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第一节
插值多项式的存在唯一性
一、插值问题
为了研究函数的变化规律，往往需要求出不 在表上的函数值，因此，我们希望根据给定的函 数表做一个既能反映函数 y=f(x)的特性，又便于 计算的简单函数P(x)，用P(x)近似f(x). 通常选一 类较简单的函数(如代数多项式或分段代数多项式) 作为P(x),并使P(xi)=f(xi)对i=0,1,...,n成立. 这样确 定的P(x)就是我们希望得到的插值函数.
述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使
它通过已知的n+1个点
(xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
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二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值 条件Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (5-2)
（5-3）
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行 列式是范德蒙行列式，即
Байду номын сангаас
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1 1 1 x0 x1 xn x0 2 x0 n x12 x1n xn 2 xn n
n j i 0
( x j xi ) 0
因此，线性方程组 (5.3) 的解a0, a1,…, an存在且唯一， 于是插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一.
这就是用多项式的插值问题.即代数插值.
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其中Pn(x) 称为 f(x) 的插值多项式, f(x) 称为被插函 数,xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为插值点, [a, b]称为插值区间, 式(5-1)称为插值 条件。 从几何意义来看,上