数值分析试题A标准答案

2003 ~2004学年 第2学期

数值分析试题A 评分标准及标准答案

班级_______ 学号_______ 姓名_______

一、 填空题(每题3分，共30分)

1. 设x=

2.40315是真值x*=2.40194的近似值，则x 有__3__位有效数字，相对误差限为0.51*10-

3.

2. 拉格朗日插值多项式基函数的和∑=n

k k l 0＝__1__.

3. 均差与导数的关系

f[x 0,…,x n ] =f (n)(ξ)/n!.

4. 勒让德多项式

})1{(!21)(2n n n

n n x dx

d n x P -=，是否为正交多项式是.

5. n+1个点插值型求积公式

⎰∑==b a n

k k

k x f A dx x f 0)()(的代数精度至少是 __n__. 6. 求高次非线性方程近似解的弦截法的收敛阶为___1.618___.

7. 牛顿－柯特斯求积公式的系数和∑==n

k k n C 0)(_____1______.

8. 设下x=(1,-1,1)T ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=152101110A ，则2Ax ＝32. 9. 设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=4321A ，则∞Ax ＝__7__. 10. 设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=5232A ,则A 的普半径ρ(A)为2337+.

二、 计算机题(每题9分，共54分)

1. 已知实验数据如下：

.

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=+=22222

44*8.9738*3.7331*4925*3.3219*19b a b a b a b a b a

………………………………….2分 另

r=(a+b*192-19)2+(a+b*252-32.3)2+ (a+b*312-49)2

+ (a+b*382-73.3)2+ (a+b*442-97.8)2

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00b

r a r …………………………………….6分 a=0.9726046,b=0.0500351.

…………………………………….9分

2. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4, 用二次拉格朗日插值多项式L 2(x)近似计算sin(0.34).

L 2(x)＝5x 2/6+3x/2-7/3

…………………………………….5分

Sin(0.34)≈L 2(0.34) =－1.702

…………………………………….9分

3. 用复化梯形公式计算定积分

dx x x ⎰+1024

的近似值T 8和T 4,然后再用加速公式S=(4/3) T 8-(1/3)T 4进行加速.

解：

)]()(2)([211

b f x f a f h T n k k n ++=∑-= f(x)=x/(4+x 2)

T 4={f(0)+2[f(1/4)+ f(1/2)+ f(3/4)]+f(1)}/8=0.11089

T 8={f(0)+2[f(1/8)+ f(1/4)+ f(3/8)+ f(1/2)+ f(5/8)+

f(3/4)+ f(7/8)]+f(1)}/16=0.11140

…………………………………….6分 S=(4/3) * T 8-(1/3)*T 4=0.11157

…………………………………….9分

4. 用二分法求方程

f(x)=x 3-x-1=0

在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限ε=10-2.

解：f(1)=-1, f(1.5)=0.875

要使误差限ε=10-2，需要二分法迭代次数

n>(ln(1.5-1)-ln10-2)/ln2=5.64

因此，n=6

…………………………………….4分 x 1=1.25, x 2=1.375, x 3=1.3125, x 4=1.34375, x 5=1.328125, x 1=1.3203125.

…………………………………….9分

5. 已知Ax=b 的系数矩阵和右端向量分别为：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112221111A ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101b 写出矩阵A 的LU 分解，其中L 为对角线为1的下三角矩阵，U 为上三角矩阵，并求线性方程组的解.

解： L=

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132011001L ， ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200110111U …………………………………….4分 x 1=2, x 2=2, x 3=3

…………………………………….9分

6. 设Ax=b ，其中：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222121001A ， ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b 问：(1)Jacobi 迭代是否收敛？

(2)取迭代初值x (0)=(0,0,0)T ，求Jacobi 迭代两次后的近似解.

解：(1)Jacobi 迭代矩阵

J=D -1(L+U)=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0112102100

0 …………………………………….2分 Jacobi 迭代矩阵的特征方程为

0222121

00=-λ

λλ

λ1＝0，λ2＝i 22，λ3＝－i 2

2 谱半径ρ(J)=

22<1 所以Jacobi 迭代收敛

…………………………………….5分

(2)迭代公式为

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-==+++231)(211)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 将x (0)=(0,0,0)T 代入得

1)1(1=x , 1)1(2=x ,5.1)1(3=x

1)2(1=x ,25.1)2(2=x ,5.0)2(3-=x

…………………………………….9分

三、 证明题(每题8分，共16分)

1. 设有方程组Ax=b ，其中A 为对称正定矩阵，迭代公式

x (k+1)=x (k)+ω(b －Ax (k)), k=0,1,2,…

试证明当0<ω<2/β时上述迭代法收敛(其中

0<α≤λ(A)≤β).

证明：

迭代格式x (k+1)=x (k)+ω(b －Ax (k)) 可改写为等价形式： x (k+1)=(I- ωA )x (k)+ ωb

收敛矩阵为：

B= I- ωA

因λ为A 的特征值，所以，存在特征向量y,满足：