数值分析试题A标准答案

2003 ~2004学年 第2学期
数值分析试题A 评分标准及标准答案
班级_______ 学号_______ 姓名_______
一、 填空题(每题3分，共30分)
1. 设x=
2.40315是真值x*=2.40194的近似值，则x 有__3__位有效数字，相对误差限为0.51*10-
3.
2. 拉格朗日插值多项式基函数的和∑=n
k k l 0＝__1__.
3. 均差与导数的关系
f[x 0,…,x n ] =f (n)(ξ)/n!.
4. 勒让德多项式
})1{(!21)(2n n n
n n x dx
d n x P -=，是否为正交多项式是.
5. n+1个点插值型求积公式
⎰∑==b a n
k k
k x f A dx x f 0)()(的代数精度至少是 __n__. 6. 求高次非线性方程近似解的弦截法的收敛阶为___1.618___.
7. 牛顿－柯特斯求积公式的系数和∑==n
k k n C 0)(_____1______.
8. 设下x=(1,-1,1)T ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=152101110A ，则2Ax ＝32. 9. 设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=4321A ，则∞Ax ＝__7__. 10. 设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=5232A ,则A 的普半径ρ(A)为2337+.
二、 计算机题(每题9分，共54分)
1. 已知实验数据如下：
.
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=+=22222
44*8.9738*3.7331*4925*3.3219*19b a b a b a b a b a
………………………………….2分 另
r=(a+b*192-19)2+(a+b*252-32.3)2+ (a+b*312-49)2
+ (a+b*382-73.3)2+ (a+b*442-97.8)2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00b
r a r …………………………………….6分 a=0.9726046,b=0.0500351.
…………………………………….9分
2. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4, 用二次拉格朗日插值多项式L 2(x)近似计算sin(0.34).
L 2(x)＝5x 2/6+3x/2-7/3
…………………………………….5分
Sin(0.34)≈L 2(0.34) =－1.702
…………………………………….9分
3. 用复化梯形公式计算定积分
dx x x ⎰+1024
的近似值T 8和T 4,然后再用加速公式S=(4/3) T 8-(1/3)T 4进行加速.
解：
)]()(2)([211
b f x f a f h T n k k n ++=∑-= f(x)=x/(4+x 2)
T 4={f(0)+2[f(1/4)+ f(1/2)+ f(3/4)]+f(1)}/8=0.11089
T 8={f(0)+2[f(1/8)+ f(1/4)+ f(3/8)+ f(1/2)+ f(5/8)+
f(3/4)+ f(7/8)]+f(1)}/16=0.11140
…………………………………….6分 S=(4/3) * T 8-(1/3)*T 4=0.11157
…………………………………….9分
4. 用二分法求方程
f(x)=x 3-x-1=0
在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限ε=10-2.
解：f(1)=-1, f(1.5)=0.875
要使误差限ε=10-2，需要二分法迭代次数
n>(ln(1.5-1)-ln10-2)/ln2=5.64
因此，n=6
…………………………………….4分 x 1=1.25, x 2=1.375, x 3=1.3125, x 4=1.34375, x 5=1.328125, x 1=1.3203125.
…………………………………….9分
5. 已知Ax=b 的系数矩阵和右端向量分别为：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112221111A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101b 写出矩阵A 的LU 分解，其中L 为对角线为1的下三角矩阵，U 为上三角矩阵，并求线性方程组的解.
解： L=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=132011001L ， ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200110111U …………………………………….4分 x 1=2, x 2=2, x 3=3
…………………………………….9分
6. 设Ax=b ，其中：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222121001A ， ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b 问：(1)Jacobi 迭代是否收敛？
(2)取迭代初值x (0)=(0,0,0)T ，求Jacobi 迭代两次后的近似解.
解：(1)Jacobi 迭代矩阵
J=D -1(L+U)=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0112102100
0 …………………………………….2分 Jacobi 迭代矩阵的特征方程为
0222121
00=-λ
λλ
λ1＝0，λ2＝i 22，λ3＝－i 2
2 谱半径ρ(J)=
22<1 所以Jacobi 迭代收敛
…………………………………….5分
(2)迭代公式为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-==+++231)(211)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 将x (0)=(0,0,0)T 代入得
1)1(1=x , 1)1(2=x ,5.1)1(3=x
1)2(1=x ,25.1)2(2=x ,5.0)2(3-=x
…………………………………….9分
三、 证明题(每题8分，共16分)
1. 设有方程组Ax=b ，其中A 为对称正定矩阵，迭代公式
x (k+1)=x (k)+ω(b －Ax (k)), k=0,1,2,…
试证明当0<ω<2/β时上述迭代法收敛(其中
0<α≤λ(A)≤β).
证明：
迭代格式x (k+1)=x (k)+ω(b －Ax (k)) 可改写为等价形式： x (k+1)=(I- ωA )x (k)+ ωb
收敛矩阵为：
B= I- ωA
因λ为A 的特征值，所以，存在特征向量y,满足：
Ay=λy
所以，ωAy=ωλy ，即
(I- ωA)y=(1-ωλ)y
所以1-ωλ为B 的特征值
…………………………………….4分
因为0<ω<2/β和0<α≤λ≤β A 对称正定所以λ>0
0<ωλ<2，即|1-ωλ|<1
矩阵B 的谱半径ρ(B)<1
故该迭代格式收敛.
…………………………………….8分
2. 已知解常微分方程初值问题
⎩⎨⎧==0
0)(),('y x y y x f y 的数值公式如下：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=+)
)1(,)1((),(),()(213121321hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n 证明该公式是二阶的. 证明：
只需要证明T n+1=O(h 3)即可
…………………………………….2分
由T n+1的定义知：
T n+1=y(x n +h)-y(x n )-h[f(x n +th, y n +thf(x n ,y n ))]/2 -h[f(x n +(1-t)h, y n +(1-t)hf(x n ,y n ))]/2 y(x n +h)= y(x n )+hy ’(x n )+h 2y ’’(x n )+O(h 3) f(x n +th, y n +thf n )= f n +'x f ( x n , y n )th+ 'y f ( x n , y n )thf n +O(h 2) f(x n +(1-t)h, y n +(1-t)hf n )=
f n +'x f ( x n , y n )(1-t)h+ 'y f ( x n , y n )(1-t)hf n +O(h 2)
T n+1=O(h 3)
…………………………………….8分。