二次根式的概念及性质

第十六章二次根式

16. 1 二次根式

第1课时 二次根式的概念和性质

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1. 二次根式的概念和应用.

2. 二次根式的非负性.

重点

二次根式的概念.

难点

二次根式的非负性.

一、情景导入

师：(多媒体展示)请同学们看屏幕

电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为

h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式

子吗？

由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简.

师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容.

二、新课教授

活动1：知识迁移，归纳概念

(1) 17的算术平方根是 __________ ；

(2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ；

2

(3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ;

(4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ;

(5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度

h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ .

【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a

⑸- ；'5

活动2:二次根式的非负性

(多媒体展示) _

(1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？

(2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ .

【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数

(2) > = 非负数

老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性.

当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0;

当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0.

也就是说，当a > 0时，• a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

三、例题讲解

【例】当x 是怎样的实数时，x -2在实数范围内有意义？

解：由 x — 2>0,得 x >2.

所以当x > 2时，x — 2在实数范围内有意义.

四、 巩固练习

1. 已知，a — 2+ • b + 2= 0，求一a 2b 的值.

【答案】，a — 2> 0, b +1 > 0,又•••它们的和为 0, ••• a — 2 = 0且b +1 = 0,解得a = 2, b 1

=—2.

2 2 1

•••— a b = — 2 x (— ^) = 2.

2. 若x , y 使 x — 1 + .1 — x — y = 3有意义，求2x + y 的值.

【答案】—1

五、 课堂小结 1.

本节课主要学习了二次根式的概念. 形如a(a > 0)的式子叫做

二次根式，“•_ ”称为二次 根号. 2.

二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？ . a(a > 0)又是什么数？

1. 本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发 师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位.

2. 注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知 ，讲练结合旨在巩固学生对新知的理

解.

第2课时二次根式的化简

并能利用它进行计算和化简. ,探究.a 2= a(a > 0),并利用这个结论解决具体问题. 一、复习导入

教师复习口述上节课的重要内容 ，并板书:

1. 形如,a(a >0)的式子叫做二次根式.

2. .a(a > 0)是一个非负数.

那么，当a > 0时，(.a)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题.

二、新课教授

活动1：

(，0.01)2 = _______ ； ( 0)2= ________ .

由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评. 老师点评：

14是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，，4是一个平方等于 4的非负数，因此(.4)2

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1. 理解(.a)2= a(a > 0),

重点

理解并掌握(.a)2= a(a > 0),

a 2

难点 探究结论. (多媒体演示)根据算术平方根的意义填空:

( .4)2= __________ ； ( ,2)2 = __________ ；

教师点评：

当 a >0 时，.a 2= a ; 当 a w 0 时，a ?= — a.

三、课堂小结 本节课应理解并掌握(a)2= a(a > 0)和a 2= a(a > 0)及其运用，同时应理解 a 2=— a(a < 0)

. 1.

注意前后知识之间的联系 般的规律，降低学生理解的难度.

,在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容•按照由特殊到一

2.在总结二次根式性质的过程中 ，由学生经过观察、分析的过程 ，让学生在交流活动中体会 成功. =4.

同理：(_2)2= 2; 所以归纳出：C a)2= a(a>0).

【例1】教材第3页例2

活动2：

2_ 1 .

=3 ； 2； (,0.01)2= 0.01; ( 0)2= 0.

(多媒体展示)填空:

.22= ________ ； ,0.12= _________

教师点评：

根据算术平方根的意义，我们可以得到:

,22= 2; ；0.12= 0.1;

所以归纳出：

；a 2 =a(a > 0). 【例2】教材第4页例3