有限元方法2-梁单元
有限元受力分析--结构梁-力-计算
有限元受力分析–结构梁-力-计算1. 前言受力分析是工程设计中至关重要的一环，能够帮助工程师完善设计并避免安全事故的发生。
在此，我们将介绍有限元受力分析在结构梁设计中的应用。
本文将重点讲解有限元受力分析的相关理论和计算方法。
2. 有限元受力分析有限元分析是数值计算的一种方法，可用于解决工程中的受力分析问题。
它把结构离散为有限个单元，然后对每个单元进行分析。
有限元分析可分为线性有限元分析和非线性有限元分析两种类型。
本文我们只讨论线性有限元分析。
在有限元分析中，结构被分解为离散的单元，每个单元都是基于解析解的一部分。
有限元的形状、尺寸和材料属性可以通过计算机程序进行定义。
使用数学模型和有限元方法，可以计算单元的应力、变形和应变，从而进行结构的受力分析。
3. 结构梁结构梁相信大家应该都知道，它是工程中最为常用的结构之一。
它具有一定的强度和刚度，可以支撑和传递载荷。
一般来说，结构梁通常由简单的杆件单元组成。
在进行结构梁受力分析时，我们需要考虑弯曲、剪切和挤压等不同形式的载荷，以及结构在工作条件下的应变和应力分布情况。
有限元受力分析对于这些问题的研究提供了很好的解决方案。
4.力的分析在受力分析中，载荷是非常关键的参数。
载荷可以是点载荷、均布载荷、集中荷载等。
在本文中，我们将分别介绍这些载荷类型的有限元分析方法。
4.1 点载荷分析点载荷通常是一个单点受到的载荷。
对于点载荷的有限元分析，我们可以通过构建一个网格模型，然后将点载荷作用在网格的节点上。
此外，还需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积，以计算结构的应力和变形。
需要注意的是，点载荷分析过程中的网格划分应当尽量精细，以达到更为优秀的数值精度。
4.2 均布载荷分析均布载荷是沿着梁的长度方向均匀分布的载荷，例如一根梁的自重、荷载等。
在进行均布载荷的有限元分析时，我们可以在网格的中央位置放置均布载荷，然后将梁的边缘节点设置为固定的约束条件。
同样，需要设定材料的弹性模量和截面的截面面积以计算结构的应力和变形。
梁单元名词解释
梁单元名词解释
梁单元指的是有限元分析中用来模拟梁结构的一种基本单元。
梁单元通常由两个节点和一个或多个单元自由度组成。
节点用来定义梁单元的几何形状和位置，而单元自由度则用来描述梁单元在各个方向上的位移。
梁单元可以用来分析梁结构在静力学和动力学条件下的响应。
在静力学分析中，梁单元可以用来计算梁结构的受力和变形情况，包括弯曲、剪切和轴向变形等。
在动力学分析中，梁单元可以用来计算梁结构在受到外力激励时的振动响应，包括固有频率和模态形态等。
梁单元的计算方法通常基于梁理论，其中最常用的是欧拉梁单元和蒙特卡洛梁单元。
欧拉梁单元适用于较长、较细的梁结构，可以考虑大变形和非线性效应。
蒙特卡洛梁单元适用于较短、较粗的梁结构，适用于线性弹性分析。
梁单元的性能可以通过节点位移、应力、应变、刚度矩阵和质量矩阵等参数来描述。
这些参数可以通过有限元分析软件进行计算和输出，以便进行结构的设计和优化。
梁单元的几何刚度
梁单元的几何刚度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：梁单元是有限元分析中常用的一种元素，用于模拟结构中的梁元件。
在有限元分析中，每个梁单元由两个节点、一个横截面和一系列物理性质组成，如材料的弹性模量、截面的面积和惯性矩等。
梁单元的几何刚度是评估结构在受力情况下的扭曲和弯曲变形能力的重要参数之一。
梁单元的几何刚度反映了梁元件在受力情况下的抗弯能力，具有重要的物理意义。
在实际的工程应用中，梁元件的几何刚度可以通过梁单元的有限元模拟来评估，帮助工程师更好地了解结构的受力性能，制定合理的结构设计方案。
在计算梁单元的几何刚度时，需要考虑横截面的形状、尺寸和材料的物理性质等因素。
一般来说，梁单元的几何刚度与截面的几何形状密切相关，例如矩形梁和圆形梁的几何刚度相差较大。
材料的弹性模量、截面的高度和宽度等参数也会影响梁单元的几何刚度。
第二篇示例：梁单元是有限元分析中常用的一个元素，用于模拟实际物体中的横向力和弯曲力。
在有限元分析中，主要包括四个基本力学元素：杆单元、梁单元、壳单元和体单元。
梁单元是用来模拟梁的弯曲变形、传递弯曲载荷和抗弯刚度。
梁单元的几何刚度指的是梁在其几何形状和尺寸的影响下对弯曲应变的抵抗能力，也可以理解为梁在受到外力作用时对弯曲变形的抵抗程度。
梁单元的几何刚度与梁的材料性质、截面形状和尺寸等因素密切相关。
一般来说，梁的几何刚度随着横截面积的增大而增加，随着长度的增大而减小。
这是因为较大的横截面积可以承受更大的弯曲力，而较长的长度则会导致梁在弯曲过程中发生更明显的变形，从而减小梁的抵抗能力。
在设计梁单元时，需要综合考虑这些因素，以确保梁具有足够的几何刚度来承受外部载荷。
在有限元分析中，梁单元的几何刚度通常通过弯曲刚度矩阵来描述。
弯曲刚度矩阵包括四个弯曲刚度分量，分别表示梁在x、y和z方向上的弯曲刚度以及横截面的剪切刚度。
这些弯曲刚度分量可以通过梁单元的几何形状和尺寸来计算，从而得到梁单元的整体几何刚度矩阵。
有限元分析梁单元内力计算
252 0
0 252 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 11.542 0 3.462 5.771
252 0
0 252 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
单元刚度矩阵迭加成整体刚度矩阵
252 0 0 0 1.385 3.462
3.462 0 5.711 3.462 3.462 23.083 0 3.462 5.771
0 0 0 252 0 0 252 0 0
0 0 0 0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 0 0 0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
y
1
b 2.5m a 2.5m
转换成整体座标:
故, ①单元的等效结点力:
0 2.0 {P121} 2202.5..05
{F e } [T ]{F e } {T }1 [T ]T
0 2 2 0
P121 T1 T 202.52.5 2022.5.5
1节点 2节点
②单元 N 2 N3 0
u1
转换关系:
f ii
i
cos sin
0
sin cos
0
0 0 1
uvii
i
1
Fx1 x
1.轴向内力
N12
AE l
(2
1)
AE l
[cos (u2
u1) sin(v2
v1)]
AE [cos
l
sin
]uv22
u1 v1
AE [
有限元梁单元课件
在桥梁结构的有限元分析中，梁单元被广泛用于模拟桥梁的横梁、纵梁等结构构件。通过将桥梁离散 化为一系列的梁单元，可以计算出各梁单元的应力、应变等力学参数，从而评估桥梁的整体性能和安 全性。
建筑结构的有限元分析
总结词
建筑结构的有限元分析是有限元梁单元的又一重要应用，通 过模拟建筑的受力行为，可以优化建筑设计并提高建筑的安 全性和稳定性。
拓展有限元梁单元的应用范围 ，将其应用于更广泛的工程领 域，如海洋工程、地质工程等 。
结合智能优化算法和机器学习 技术，实现有限元梁单元的自 动建模和参数优化，提高设计 效率。
加强与实验研究的结合，通过 实验验证有限元梁单元的准确 性和可靠性，为工程实际提供 更加可靠的依据。
THANKS
01
梁单元是一种常见的有限元单元，用于模拟具有弯曲和剪切行 为的杆件。
02
在有限元梁单元的离散化过程中，将梁划分为一系列小的单元
，每个单元具有节点和内部点。
离散化后的梁可以被表示为一组节点的位移和内力的函数，通
03
过节点间的位移关系和内力平衡关系建立方程。
有限元梁单元的刚度矩阵与质量矩阵
刚度矩阵和质量矩阵是有限元分析中的两个重要概念 ，分别描述了结构的刚度和质量特性。
03 有限元梁单元的实现
有限元方法概述
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的连续结构离散化为有限个 小的单元，来近似求解复杂的工程问题。
有限元方法具有灵活性和通用性，可以应用于各种形状和类型的结构分析 。
有限元方法的基本步骤包括离散化、单元分析、整体分析、求解和后处理 等。
有限元梁单元的离散化
研究梁在稳定性问题下的承载能力和 失稳过程。
梁的剪切理论
梁单元与实体单元的基频计算结果
梁单元与实体单元的基频计算结果近年来，结构工程领域对于梁单元与实体单元的基频计算结果的研究日益深入。
梁单元与实体单元分别代表了结构中的不同组成部分，它们在基频计算结果中扮演着重要的角色。
本文将以此为主题，深入探讨梁单元与实体单元的基频计算结果，帮助读者更好地理解这一领域的相关知识。
1. 梁单元的基频计算结果梁单元是结构工程中常用的有限元单元类型之一，用于模拟横向刚度较大、纵向刚度较小的构件。
在进行基频计算时，梁单元通常能够准确地反映结构的振动特性，特别是对于横向振动而言。
通过对梁单元进行频率分析，可以得到其在不同振型下的基频计算结果，为结构的设计与优化提供重要参考。
2. 实体单元的基频计算结果实体单元则是用于模拟结构中具有较大体积、较复杂几何形状的部分。
在基频计算中，实体单元能够较为准确地描述结构的整体振动特性，包括纵向和横向振动。
通过对实体单元进行频率分析，可以得到结构在不同振型下的基频计算结果，为结构的整体设计与分析提供重要参考。
3. 梁单元与实体单元的比较在进行基频计算时，梁单元和实体单元分别具有其独特的优势和局限性。
梁单元在模拟横向振动和局部效应方面表现较好，但对于整体振动特性的描述相对较弱；而实体单元则能够较好地描述整体振动特性，但在模拟局部效应时存在一定的不足。
在实际工程中，需要根据结构的具体情况和分析要求，综合考虑梁单元和实体单元的特点，选择合适的单元类型进行基频计算。
3.1 梁单元的优势梁单元在进行基频计算时，能够较为准确地模拟结构的横向振动特性。
由于梁单元通常采用横截面积和弯曲刚度进行建模，对于横向刚度较大的构件来说，梁单元的基频计算结果比较可靠。
3.2 实体单元的优势相比之下，实体单元则更适合用于描述结构的整体振动特性。
实体单元能够充分考虑结构的体积效应和整体刚度，能够较为准确地反映结构在不同振型下的基频计算结果。
4. 个人观点和理解在工程实践中，针对不同的结构类型和振动特性，选择合适的单元类型进行基频计算至关重要。
有限元梁单元课件
06
有限元梁单元的应用案例
案例一：简单的桥梁模型分析
总结词
简单、实用、高效
详细描述
有限元梁单元在桥梁模型分析中应用广泛，可对桥梁的强度、刚度和稳定性进行 准确评估。这种模型通常采用简化的几何形状和载荷条件，具有较高的计算效率 和实用性。
案例二：复杂的建筑结构模型分析
总结词
复杂、精确、全面
详细描述
对于复杂的建筑结构，有限元梁单元可实现更精确、全面的分析。通过对建筑物的整体结构进行离散化，有限元 梁单元能够模拟各种材料属性和边界条件，从而对建筑物在不同载荷和环境条件下的性能进行全面评估。
案例三：机械零件的强度分析
总结词
详细描述
THANKS
感谢观看
剪切变形 扭转变形
梁的有限元模型
梁单元的节点 梁单元的刚度矩阵
04
有限元梁单元的实现
梁单元的节点和自由度
节点
自由度
梁单元的总自由度数是两个节点的自 由度数之和，即每个节点有三个自由 度，总共有六个自由度。
梁单元的形函数
形函数
形函数的选取
梁单元的质量矩阵和刚度矩阵
质量矩阵 刚度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的建立
有限元梁单元课件
contents
目录
• 引言 • 有限元方法基础 • 梁单元的基本理论 • 有限元梁单元的实现 • 有限元梁单元的程序实现 • 有限元梁单元的应用案例
01
引言
背景介 绍
有限元法是一种广泛应用于工程分析的数值计算方法，具有广泛的应用价值。
梁是工程中常见的一种结构形式，研究梁的有限元分析对于理解结构分析具有重要 的意义。
通过有限元方法，我们可以将 一个复杂的问题分解为多个简 单的子问题，从而降低了问题 的求解难度。
梁的有限元分析原理 - 考虑剪切变形影响的梁单元
代人
比较：弯曲梁 单元中的单刚
得到：
等截面梁单元有限元分析
8
长沙理工大学
小结
剪切变形的影响通过系数b反映在刚度矩阵中，使刚度减弱。 对矩形截面：
，当l >>h，b趋于0，可以忽略剪力变形的影响。
等截面梁单元有限元分析
9
长沙理工大学
Timoshenko梁单元
铁木辛柯梁单元——采用两个独立变量 挠度 w
几何关系，曲率
对比
等截面梁单元有限元分析
3
最小势能原理
长沙理工大学
k为截面剪切校正因子
1.经典梁单元 2.铁木辛柯梁单元
——C1型单元 ——C0型单元
等截面梁单元有限元分析
4
长沙理工大学
在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 挠度叠加
结点位移
其中
采用不考虑剪切变形梁单元的w相同的Hermite插值； 采用2结点的Lagrange插值，即线性插值。
解决方法
假设剪切应变
代替插值函数
计算泛函的剪切应变能时，θ采用低一 阶，和dw/dx同阶插值函数代替原插值 函数
18
等截面梁单元有限元分析
长沙理工大学
等截面梁单元有限元分析
——考虑剪切变形的梁单元
2014.4.13
1
长沙理工大学
介绍.
轴力构件 axial elements 杆单元
受弯构件 flexural elements 梁单元
考虑剪切变形的梁单元
等截面梁单元有限元分析
2
长沙理工大学 假设：梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度， 并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，而且发生翘曲。 考虑剪切变形的梁单元 但在这里，假设原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面。 几何描述
abaqus实体单元、壳单元、梁单元的定义与用法
abaqus实体单元、壳单元、梁单元的定义与用法文章标题：深度了解abaqus实体单元、壳单元、梁单元的定义与用法一、引言在工程领域中，模拟和分析结构力学行为是非常重要的。
ABAQUS作为有限元分析软件，在工程结构分析和仿真中扮演着重要的角色。
在ABAQUS中，实体单元、壳单元和梁单元是常用的元素类型，它们可以用来模拟各种不同类型的结构和力学行为。
本文将深入探讨这些单元的定义与用法。
二、实体单元的定义与用法1. 实体单元是ABAQUS中最基本的有限元单元之一，通常用于模拟具有三维结构的实体物体。
它能够准确描述物体的体积和构造。
2. 实体单元适用于模拟压力容器、机械零件、汽车车身等实体结构的力学行为。
它能够有效分析结构的应力、应变、变形等力学特性。
3. 在实际工程中，使用实体单元时需要注意单元的类型、材料特性、边界条件和加载方式，以确保分析结果的准确性和可靠性。
三、壳单元的定义与用法1. 壳单元是ABAQUS中常用的二维有限元单元，适用于模拟薄壁结构和板材。
它能够准确描述结构的曲率和变形。
2. 壳单元适用于模拟飞机机翼、船体、薄膜结构等薄壁结构的力学行为。
它能够有效分析结构的弯曲、剪切、挠曲等力学特性。
3. 在实际工程中，使用壳单元时需要注意单元的厚度、材料特性、边界条件和加载方式，以确保分析结果的准确性和可靠性。
四、梁单元的定义与用法1. 梁单元是ABAQUS中用于模拟杆件和梁结构的有限元单元，适用于描述结构的轴向变形和弯曲变形。
2. 梁单元适用于模拟桥梁、支撑结构、梁柱结构等杆件和梁结构的力学行为。
它能够有效分析结构的弯曲、扭转、轴向变形等力学特性。
3. 在实际工程中，使用梁单元时需要注意单元的截面特性、材料特性、边界条件和加载方式，以确保分析结果的准确性和可靠性。
五、个人观点和理解在工程结构分析中，选择合适的有限元单元对于准确模拟和分析结构的力学行为是至关重要的。
实体单元、壳单元和梁单元都有各自的优缺点，工程师需要根据具体的结构特点和分析要求来选取合适的单元类型。
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
梁的有限元分析原理
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
福州大学研究生课程－有限元程序设计
举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
有限元分析第二章
——图2.3(b)所示 q i 单独作用所产生的位移； ——图2.3（b)所示 单独作用所产生的位
mi
移。 fi i
qi l 3 qi l 2 mi l 2 mi l f i , i , f i , i 3EI 2 EI 2 EI EI
qi l 3 mi l 2 1 3EI 2 EI 2 q l i mi l 0 2 EI EI (2 15)
qi a11 a12 a13 a14 1 a11 m a a a a a i 21 21 22 23 24 0 q a31 a a a a 32 33 34 0 j 31 m j a41 a42 a43 a44 0 a41
如图所示直梁，已知
E, I , Z , M , AB BC CD l, I AC 2I , I CD I .
图2.1 直梁
2.1.1 划分单元
两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可以按 以下原则选取： （1）杆件的交点一定要取为节点； （2）阶梯型杆截面变化处一定要取为节点； （3）支撑点和自由端要取为节点； （4）集中载荷作用处要取为节点； （5）欲求位移的点要取为节点；
EI 1 2 Z q q (12 f1 6l1 12 f 2 6l 2 ) 2 2 3 2 l EI 3 (12 f 2 6l 2 12 f 3 6l 3 ) l M m1 m 2 EI (6lf 2l 2 6lf 4l 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 l3 EI 3 (6lf 2 4l 2 2 6lf 3 2l 2 3 ) l
梁的有限元分析原理
Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量
3、系统分析
（1）整体刚度矩阵[K]的组装； （2）整体载荷列阵{P}的形成；
引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果
[K]的存储；约束引入；求解
结束
40
总刚存贮
全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮 空间，很少采用。K[i,j] 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元 素。 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角 形）半带宽以内的元素 。 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了 许多零元素。存贮每一行的第一个非零元 素到主对角线元素。
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
2
§2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam ： 梁在纯弯曲时的 平面假设 平面－梁－假设 Plane-beam-assumption 梁的各个横截面在变形后仍保持为平
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
第二章 有限元法的直接刚度法-1梁单元
2l
2
l 3 12 6l 12 6l
6l
2l 2
6l
4l
2
2.1直梁的有限元分析
从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵 K e是一个对称矩阵，
即 aij a ji 。
将单元刚度矩阵K e的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁
单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别
。 见式（2-23）、（2-24）和（2-25）
图2.5 三个单元的受力图
2.1直梁的有限元分析
q11
12 6l 12 6l f1
mq2111
m21
2EI l3
6l
12
6l
4l 2 6l 2l 2
6l 12 6l
2l 2 6l 4l 2
f122
mqq322222 m32
知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法
重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换
难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
f ii
f
' i
f
" i
1
' i
" i
0
（2-13）
其中，f i'
移， fi 、
i、 为图i' 为2.3图（2b.3）（所b）示所m示i单独qi作单用独所作产用生所的产位生移的。位
图2.3 (b) 节点i的节点力
2.1直梁的有限元分析
教材有误
有限元方法2
弹簧系统的刚度矩阵
F1 k1u1 - k1u2 , F21 -k1u1 k1u2 F22 k2u2 - k2u3 , F3 -k2u2 k2u3 F2 -k1u1 k1u2 k2u2 - k2u3
F1 k1 -k1 u F k k k k 2 刚度矩阵组装 1 1 2 2 2 F 0 u - k2 k2 3 3 单元2
3、行矩阵和列矩阵
一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
A= a11
[
a12
a13 · · · a1n
]
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
a11 a A 21 am1
1
4、纯量(标量) 5、矩阵乘法
仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。 两个规则：
单元10 u1
单元1
单元2
总体节点1,2,3 弹簧系统总体刚度矩阵
22
弹簧系统（二）
弹簧（Spring）单元小结
每个节点1个节点自由度 u 2个节点 i, j 1个输入参数 k 每个节点1个节点力 f 单元刚度矩阵 K e k -k
19
第三章 杆件结构的有限元法
杆件结构的基本概念
一维杆件系统的有限元法
铰连接杆件（二力杆） 铰连接杆件系统、连接 铰 单个弹簧的刚度矩阵 弹簧系统的刚度矩阵 弹簧单元小结 例题、系统方程的组装 和求解
一维阶梯杆 一维三连杆 杆单元 例题 杆单元分析的MATLAB程 序 总体刚阵存储与节点排列
15
示例
a. 把连续体离散成单元
梁单元有限元分析
梁单元-有限元分析一、有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。
有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。
虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。
随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。
早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。
目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。
二．梁单元的分类所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。
1．平面桁架特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。
单元特性：只承受拉力或压力。
单元划分：常采用自然单元划分。
即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。
为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。
④荷载均只作用于理想铰的几何中心。
在此条件下所算得的各种应力称为主应力。
实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。
有限元分析梁单元内力计算
迭代法
迭代法
通过迭代的方式逐步逼近梁 单元的内力。这种方法适用 于大型有限元模型，计算量 较小，但计算精度较低。
适用范围
适用于大型有限元模型，计 算量较小。
优点பைடு நூலகம்
计算量较小，适用于大型有 限元模型。
缺点
计算精度较低，不适用于对 精度要求较高的梁单元。
快速法
快速法
结合直接法和迭代法的优点，通过快速求解线性方程组来 得到梁单元的内力。这种方法适用于大型有限元模型，计 算精度较高，计算量相对较小。
有限元分析广泛应用于工程领域，如 结构力学、流体力学、电磁场等领域 ，用于解决复杂的问题和优化设计。
有限元分析的基本步骤
建立单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和边界条 件，建立单元刚度矩阵。
施加外力
将外力施加到整体结构的节点 上。
离散化
将连续的结构或系统离散化为 有限个简单单元。
集成总刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵集成得 到整体结构的总刚度矩阵。
通过梁单元内力计算，可以发现潜在 的危险区域和薄弱环节，为改进设计 提供依据。
内力计算的结果还可以用于评估结构 的疲劳寿命和可靠性，为工程实际应 用提供重要的参考依据。
02
有限元分析基础
有限元分析概述
有限元分析是一种数值分析方法，通 过将复杂的结构或系统离散化为有限 个简单单元，利用数学近似方法对复 杂问题进行模拟和分析。
有限元分析梁单元内力计 算
• 引言 • 有限元分析基础 • 梁单元内力计算方法 • 梁单元内力计算的实例 • 结论
01
引言
目的和背景
有限元分析（FEA）是一种数值分析方法，用于解决复杂的工程问题，如结构强度、 刚度、稳定性等。
第七章 结构力学的有限单元
第七章结构力学的有限单元法一．桁架杆单元二．梁单元三．ANSYS桁架结构计算示例四．ANSYS刚架结构计算示例研究对象所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多；杆件系统可分为平面杆件系统和空间杆件系统，若组成结构物的杆件都在同一个平面内，外力也在这一平面内，则称为平面杆件系统；若组成结构物的杆件不在同一个平面内，则称为空间杆件系统；杆件系统中所用的单元主要为平面桁架杆单元，如果各杆件只受拉压作用则采用桁架单元。
LOGO1.杆单元一般规定位移函数单元在结点力作用下各点的位移叫内位移，描绘内位移的函数叫位移函数。
由材料力学知道：仅受轴向作用的二力杆，其应力及应变在轴线各点处均是恒定常数，因而位移沿杆子轴线呈线性变化，即12()u x a a x =+ (1)这就是二力杆单元的位移函数，式中1a ，2a 是两个待定常数，可由i ，j 两结点的位移唯一确定。
当()0,0,()ij x u u x l u l u ==== (2)将式(2)代入式(1)有：112i j u a u a a l ==+，，从而可得12ij ia u u u a l=−=(3)将式(3)中的12a a ，值代入式(1)得 ()1j ii i j u u x x u x u x u u ll l−⎛⎞=+=−+⎜⎟⎝⎠或写成[]{}()1ei i i j j j u u xx u x N N N u u u ll ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤=−==⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭通常用{}u 代表单元内位移 {}[]{}ei i j j u N u N u N u ==+其中1i j x xN N l l=−=，在有限元法中，i j N N ，称为i 点、j 点的形状函数或插值函数，[]N 称为形状函数矩阵。
形状函数i N ，j N 如下图所示。
有了位移函数，就可以分析单元的应变和应力，根据应变定义x du dxε= 将位移函数代入有[]{}(){}[]{}1111eex edd x d x N u u dxdx l dx l u lεε⎡⎤⎛⎞⎛⎞===−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−或写成{}[]{}eB u ε=应变矩阵和应力矩阵其中[][]1/11B l =−称为应变矩阵。
有限元教程 梁单元的常用节点等效载荷
T
最后，求总的结点荷载矩阵
F Fd FE 20 10 10 5
T
（6）求解结构的整体刚度方程，计算未知的结点位移矩 阵 δ 。这里的整体刚度方程为：
312 0 30 0 u1 20 0 312 30 30 v 10 4 1 10 30 30 200 50 1 10 0 30 50 100 3 5
（1）单元划分、建立局部坐标系和整体坐标系，并对数 据进行整理，对单元和结点编号。
EA 300 10 4 l 6 EI 30 10 4 l2 4 EI 100 10 4 l 12 EI 12 10 4 l3
（2）求局部坐标系中的单元刚度矩阵 k ⓔ 。由于单元①、
②的尺寸完全一样，因此其单元刚度矩阵一样，根据局部坐 标系下单元刚度矩阵表达式，可以得到：
6.0654 0 11.919 kN 3.9729 30 28.196 kN 3.5865 25 19.594 kNm 6 10 0 0 11.919 kN 0 30 31.804 kN 0 25 28.613kNm
有限元分析
Finite Element Analysis
李建宇
天津科技大学
2
内容
补充内容
补充内容： 梁单元的常用节点等效载荷 （equivalent nodal load）
要求 了解：节点等效载荷的概念 理解：确定节点等效载荷的力学原理 掌握：常见梁外载荷的等效节点载荷
上节回顾
刚架结构
整体 离散
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单元节点位移求解
• 总刚方程
• 处理
– 边界条件：支撑 – 节点载荷 – 非节点载荷---等效节点载荷
例题4-3—4-6
• 见教材P111-116页 ！注意非节点载荷的等效 处理
问题： • 1）如何求解单元内应变、应 力？ • 2）如果节点1处改为铰接，怎 么处理？ • 3）如果在单元2中间加入节点， 分成三个单元，结果会怎样？ • 4）将单元1划分成5个细小单 元呢？
经变换后整体坐标系中单刚矩阵的 分块形式
• 单元刚度方程：
• m, n节点编确定：
局部节点号，与全局的号码对应 角度α，由局部号码确定（1->2; m->n)
总刚矩阵
• 合并原则与前面一致 • 由统一坐标系下的单刚矩阵 • 总刚矩阵的维数与分块形式
总刚矩阵的特性
• • • • 对称性 奇异性 稀疏性 分块性
作业题
• P142 4-3，4-8
思考
单刚矩阵
• 单元节点方程 • K(e)的特点
– 对称性 – 奇异性 – 分块性
1 X 1 Fx Fy 2 M Fx Fy M y θ 2 X y θ
{k11}
{k12}
{k21}
{k22}
单刚矩阵元素的确定
• 根据单元刚度矩阵元素的含义，由材料力 学知识求出：
节点1(e)发生x位移为1时，各个载荷分量的值
现代设计方法 有限元方法（2）
王书亭，吴义忠
平面梁单元的有限元法
杆单元与梁单元区别 平面梁与空间梁区别 FEM一般步骤：
• • • • 结构离散化 单刚矩阵 总刚矩阵 方程求解
结构离散化
• 平面钢架结构
• 不同的离散化，导致不同的单元和节点系 列，不同的载荷向量
结构离散化
单元刚度矩阵
• 局部坐标系 • 节点位移矢量 • 节点载荷矢量
4，1
5，2
3，2
6，2
（3）
2，3
3，3
5，3
6，3
单刚矩阵
单刚矩阵的标准分块形式
变换矩阵只与方位角有关（节点力和位移均为矢量），与单元 节点的坐标位置无关！
设α为单元节点1-2矢量与OX的夹角 则节点的矢量变换矩阵为： 转角（力矩）无需变换
局部向全局坐标转换
• 因为是“节点位移”量， 故与位置无关，只与方 位有关