概率论与数理统计第五章习题课

概率论与数理统计
第五章习题课
一、主要内容
大数定律
中心极限定理
-
切 比 雪 夫 定 理 特 殊
伯 努 利 大 数 定 理
辛 钦 大 数 定 理
情
林 德 伯 格 勒 维 定 理
况
依概率收敛
棣 莫 弗 拉 普 拉 斯 定 理
二、重点与难点
1.重点
中心极限定理及其运用.
2.难点
证明随机变量服从大数定律. 中心极限定理的应用.
2π
三、典型例题
例1 设某单位有200台电话机，每台电话机大约 有5％的时间要使用外线通话，若每台电话机是 否使用外线通话是相互独立的，问该单位总机至 少需要安装多少条外线，才能以90％以上的概率 保证每台电话机需要使用外线时不被占用。
解:设X表示200台电话机中同时需要使用外线通
话的电话机数，则X～b(200,0.05)，并设安装了 k条外线，依题意为
1)
lim
n
P(
1 n
n i 1
Xi
1) 1,
又显然有:
(
1 n
n i 1
Xi
n
1) ( Xi
i 1
n),故
n
lim P(
n i1
Xi
n
n)
lim
n
P(
1 n
n i 1
Xi
1) 1.
从而有
lim
n
P(
i 1
Xi
n)
1,即应填1.
例4 对足够多的选民进行民意调查，以确定某一 候选人的支持率。假定选民中有未知的百分数P 支持他，并且他们彼此是独立行动的。问：为了 有95％的信度预测P的值在4.5％的误差幅度内， 应至少调查多少人？
解: 假设 应该调查n个人，其中有n个人支持他， 误差为，则根据中心极限定理有
P{| n p | } P{| n np |
n}
n
np(1 p)
p(1 p)
P{
n n np
n}
p(1 p) np(1 p) p(1 p)
2( n ) 1 0.95, p(1 p)
( n ) 0.975, p(1 p)
X
k
1.
定理一的另一种形式(依概率收敛)
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk )
2
(k
Biblioteka Baidu1,
2,), 则序列
X
1 n
n k 1
Xk
依概率收敛于 , 即 X P .
伯努利大数定理
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生 的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
5
/
6
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
故近似地有:
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
0.99,
第四章 大数定律和中心极限定理
即
6000
6000 1/ 6
5
/
6
0.995,
查表得
6000
2.58,
60001/ 6 5 / 6
解得 0.0124.
良种粒数X的范围为:
X -1
6000 6
求 P{X≤k}≥0.9 成立的最小正整数。
根据中心极限定理有
P{X k} P{ X 10 k 10} (k 10) 0.9
9.5 9.5
9.5
查表得
k 10 1.30, k 14 9.5
故该单位至少需要安装14条外线才能以90％以上的 概率保证每一台电话机需要使用外线时不被占用。
例2 现有一批种子,其中良种占1/6.今任取 6000粒,问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中 良种所占的比例与1/6的差不超过多少?相应的良 种粒数在哪个范围内?
切比雪夫定理的特殊情况
设随机变量 X1, X2 ,, Xn , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 (k 1, 2,), 作前 n 个随机变量
的算术平均
X
1n n k1
Xk,
则对于任意正
数 有
lim P{|
n
X
|
}
lim
n
P
1 n
n k 1
查表得 n 1.96 p(1 p)
又 4.5%, 0 p(1 p) 1 4
n 1 ( 1.96 )2 474.3 4 4.5%
故取n 475,即最少调查475个人。
例5 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 解: 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
E( X k ) 2, D( X k ) 1.52 , k 1, 2, ,100
则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
辛钦大数定理
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立,
服从同一分布, 且具有数学期望E( Xk ) (k 1,2,), 则对于任意正数 , 有
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
1.
独立同分布的中心极限定理
(1/ 6 0.0124) 6000 X (1/ 6 0.0124) 6000, 即 925 X 1075.
例3
n
设X1,
X 2 ,, X n 独立同分布,且EX i
0,则
lim
n
P(
i 1
Xi
n)
_____ .
解: 由辛钦大数定律(取=1)有:
lim
n
P(
1 n
n i 1
Xi
0
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) , D( Xk ) 2 0 (k 1,2,), 则随机变量之和的
n Xk E n Xk
标准化变量Yn k1
k1 . n
D Xk
k1
的分布函数 Fn( x) 对于任意x 满足
解:设不超过的界限为，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99.
由德莫佛-拉普拉斯定理:
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1/ 6.
lim P{n np x} ( x)
n
npq
P
X 60001/ 6 60001/ 6 5 / 6
6000
6000 1 /
6
lim
n
Fn
(
x
)
lim
n
n
P
k
1
Xk n
n
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt.