推理与证明
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；
1.5 推理规则与证明方法
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NUIST
3 主析取范式法
((P→¬ ((P→¬Q)∧P)→ ¬Q ((¬P∨¬ ⇔((¬P∨¬Q)∧P)→ ¬Q ⇔(P∧Q)∨ ¬P∨ ¬Q (P∧Q)∨(¬P∧(Q∨ (Q∨¬ (P∨¬P)∧ ⇔(P∧Q)∨(¬P∧(Q∨¬Q) )∨( (P∨¬P)∧¬Q) (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬ ⇔ (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬Q) ⇔ (¬P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)∨(P∧Q) P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬ ⇔ ∑(0,1,2,3 ) 因而 (*) 是永真式，推理正确。 ，
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NUIST
1. 直接证明法
例1-5-3 检验下列推理的有效性。 如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟； 如果母鸡是飞鸟，那么煮熟的鸭子还会跑； 煮熟的鸭子不会跑，所以羊不吃草。 解：设P：马会飞。 Q：羊吃草。 R：母鸡是飞鸟。S：煮熟的鸭子会跑 则前提为：(P∨Q)→R ， R→S ，¬S 结论为：¬Q 推理的形式结构为： ((P∨Q)→R)∧(R→S)∧(¬S)→ ¬Q
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NUIST
课内练习 1-5-1 证明推理：P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) P→(Q→R)， P→(Q→R) Q→(R→S)⇒ 分析：由CP规则 P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) 等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)， P→(Q→R)，Q→(R→S)，P ⇒ Q→S 再由CP规则，等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)，P，Q ⇒ S P→(Q→R)，Q→(R→S)，
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证明： 证明： (1) P (2) P→(Q→R) (3) Q→R (4) Q (5) R (6) Q→(R→S) (7) R→S (8) S (9) P→(Q→S) 规则， 由CP 规则，有： P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒
推理与证明课件
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
(完整版)推理与证明知识点
第十二讲推理与证明数学推理与证明知识点总结:推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。
利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。
②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。
第一讲推理与证明一、考纲解读：本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。
新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。
高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。
二、要点梳理：1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。
2.类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。
3.演绎推理三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。
4.直接证明与间接证明①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。
②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
推理与证明演绎推理
推理与证明演绎推理ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•推理与证明概述•推理的类型•证明的方法•演绎推理•推理与证明的应用•推理与证明的挑战与未来发展01推理与证明概述推理是指从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在逻辑学中，推理通常指形式逻辑或数理逻辑，它们是研究推理的有效性和正确性的学科。
推理的定义推理在我们的日常生活中无处不在，它帮助我们理解事物、解决问题、作出决策。
在科学、数学、法律等领域中，推理也扮演着至关重要的角色。
通过推理，我们可以探索未知、发现新知、验证假设。
推理的重要性推理的定义与重要性证明的定义证明是指通过一系列合乎逻辑的步骤，从已知的事实或前提中推导出结论的过程。
在数学和形式逻辑中，证明通常指的是一种结构化的过程，其中每个步骤都有明确的依据和逻辑关系。
证明的意义证明可以帮助我们确认某个结论是正确的或错误的。
通过证明，我们可以建立对某个结论的信任和信心。
此外，证明还可以帮助我们深化对某个领域的知识和理解，因为它要求我们对概念和原理有深入的理解和掌握。
证明的概念及意义推理和证明都是思维过程，它们都涉及到从已知的事实或前提中推导出结论。
在证明中，我们通常使用演绎推理来推导结论。
演绎推理是一种形式化的推理方法，它要求前提必须是确定无疑的，并且推导出的结论必须符合前提的逻辑关系。
推理与证明的区别虽然推理和证明都是从已知推导出未知的过程，但它们的目的和方法有所不同。
推理更注重思维过程和创造性思考，而证明更注重结构的严谨性和逻辑的正确性。
此外，推理往往涉及更多的事实和信息，而证明通常涉及更少的假设和更多的推导步骤。
推理与证明的联系推理与证明的关系VS02推理的类型定义直接推理是从一个或多个前提中直接得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的猫都是哺乳动物，并且小猫是猫，那么可以推断出小猫是哺乳动物。
直接推理定义间接推理是通过排除其他可能性来得出结论的推理方法。
例子例如，如果所有的狗都不会飞，而小狗会飞，那么可以推断出小狗不是狗。
推理与证明
年级初一学科数学内容标题推理与证明编稿老师苏和平【本讲教育信息】一、教学目标：1.了解证明的基本步骤和书写格式．2.能从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、性质定理，三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．4.正确的理解互逆命题和逆命题的概念，会根据已知命题写出它的逆命题，会举反例证明一个命题是假命题二、教学重点：1.从“同位角相等，两直线平行”“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理、三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论．2.理解逆命题的意义教学难点：1.证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力．2.证明一个命题是假命题三、课堂教学：（一）知识要点：知识点1：公理、证明公理：在《原本》里欧几里得创建了公理体系——在众多的数学名词和数学命题中，挑选了数学名词和真命题，其中的数学名词称为原名，真命题作为公理．本教材有如下公理：（1）同位角相等，两直线平行．（2）两直线平行，同位角相等．（3）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（5）三边对应相等的两个三角形全等．（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（7）等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实．可以看作公理．证明：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明．证明与图形有关的命题的步骤：（1）根据命题，画出图形；（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证．已知部分是已知事项（即命题的条件），求证部分是论证的事项（即命题的结论）；（3）写出证明过程．说明：证明的步骤主要适应于有文字叙述的证明题，而那些已经给出已知，求证和图形的证明题，只需要写出过程即可．知识点2：定理经过证明的真命题称为定理．本节的定理有：（1）内错角相等，两直线平行．（2）同旁内角互补，两直线平行．（3）两直线平行，内错角相等．（4）两直线平行，同旁内角互补．（5）三角形三个内角的和等于180°．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．已经证明的定理也可以作为以后推理的依据．知识点3：互逆命题，逆命题．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有它的逆命题知识点4：反例举出一个例子说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？不正确，反例如：当a=2，b=－2时，虽然a2=b2，但是a≠b，这样的例子称为反例．在数学中，说明一个命题是假命题，通常只需要举一个反例即可．而要说明一个命题是真命题，就必须经过证明．几个正确的例子是不能说明这个命题的真实性的．证明与反例是解决数学问题的两种不可分割的重要的方法．【典型例题】例1.填空题（1）命题：“两直线平行，内错角相等．”的条件是，结论是____________________________，这个命题的逆命题的条件是，结论是．（2）命题：“等边三角形是锐角三角形”是命题；写出其逆命题，该命题是命题．解：略例2.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a>1且b>1，则a+b>2③全等三角形对应角的平分线相等；④直角三角形的两锐角互余其中逆命题正确的有A.A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个解：①，②，③的逆命题不正确④的逆命题正确例3.如图，AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D．问题：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？解：结论是DE∥BF所以∠EGA=∠D（两直线平行，同位角相等）又因为∠B=∠D（已知）所以∠EGA=∠B（等量代换）所以DE∥BF（同位角相等，两直线平行）上面的推理过程用符号“ ”表达为：AB ∥CD DE B EGA D B D EGA ⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒∥BF问题1：还有不同的方法可以证明DE ∥BF 吗？问题2：在图中，如果DE ∥BF ，∠B=∠D ，那么你得到什么结论？证明你的结论． 说明：问题2构造了原命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的互逆命题进行推理的．例4. 试判断命题：“如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等．”的真假性，若为假命题，请举反例说明． 解：这是一个假命题．虽然第一个图满足条件，也满足结论 但是第二个图也满足条件却不满足结论例5. 写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等； （3）若ab=0，则a=0．分析：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下就行．判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然． 解答：（1）逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2假命题，如c=0，ac 2=bc 2（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题． （3）逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题．例6. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，且BD=AD ，DC=AC ，求∠B 的度数．分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理．体会在解答求解中的推理及书写格式．解：∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA．设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∴∠ADC=2x°，∠CAD=2x°．在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°．∴x°+2 x°+ 2x°=180 °．∴x°=36 °．答：∠B的度数为36°．例7.给下面的证明过程注明理由已知AB=DC，∠BAD=∠CDA求证：∠ABC=∠DCB证明：连结AC、BD交点为O在△ADB与△DAC中因为∠BAD=∠ADC（已知）AD=DA（公共边）AB=DC（已知）所以△ADB≌△DAC（SAS）所以BD=CA（全等三角形对应边相等）又在△ABC与△DCB中因为BD=CA（已证）AB=DC（已知）BC=BC（公共边）所以△ABC≌△DCB（SSS）所以∠ABC=∠DCB（全等三角形对应角相等）说明：要体验在证明题中的推理及书写格式例8.如图，⊿ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定⊿ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中一种情形，证明⊿ABC是等腰三角形．AEDOB C分析：本题第（1）小题属于条件开放性问题，也是制造命题的问题，经过探索补全条件，然后写出证明；第（2）小题若选择情形一，即条件①③，由于条件都集中在⊿BOE和⊿COD 中，故可通过⊿BOE≌⊿COD，证得OB=OC，这样∠OBC=∠OCB，从而可证得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC．解：（1）可判定⊿ABC是等腰三角形的两个条件是①③或①④或②③或②④（2）选择情形一，即条件①③在⊿BOE和⊿COD中∠BOE=∠COD，∠EBO=∠DCO，BE=CD，∴⊿BOE≌⊿COD（AAS）．∴OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．即⊿ABC是等腰三角形．说明：本题第（1）小题是开放性问题，属于条件开放型，需解题者经过探索补全条件，然后完成解答，本题还着重考查了全等三角形的识别﹑等腰三角形的识别与性质，以及数学中的分类思想．例9.已知：如图，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED．分析：可以考虑把∠BED变成两个角的和．如图，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=1∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到．证明：过点E作EF∥AB，（已作图），则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）．例10.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=360°－（∠B+∠D）．分析：此题与例9的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例9的结论是一致的．因此，我们模仿例9作辅助线，不难解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）．又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）．∴∠BED=360°－（∠B+∠D）（等式的性质）．例11.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D－∠B．分析：此题与例9的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例9作辅助线的方法，可以解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）．∵∠BED=∠FED－∠FEB，∴∠BED=∠D－∠B（等量代换）．例12.已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠B－∠D．分析：此题与例9类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠1+∠2+∠D=180°．∴∠1+∠2+∠D－（∠1+∠B）=180°－180°（等式的性质）．∴∠2=∠B－∠D（等式的性质）．即∠BED=∠B－∠D．例13.已知：如图1，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．图1证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）．过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）．∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．又∵EH∥CD （已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC．证法二：如图2，延长BF、DC相交于G点．∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）．∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）．图2证法三：（如图3）连结BC．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC－∠ABF =∠BCD－∠DCE（等式的性质）．即∠FBC=∠BCE．∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）．图3【模拟试题（答题时间：45分钟）一、填空题1. 命题：①直角都相等；②若ab>0且a+b>0，则a>0且b>0； ③一个角的补角大于这个角；④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．其中原命题和逆命题都为真命题的有 ．2. △ABC 中，∠B=45º，∠C=72º，那么与∠A 相邻的一个外角等于 ．3. 如下图，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B=50º，∠C=70º，则∠EAD= ．ED CBA4. △ABC 中，BP 平分∠B ，CP 平分∠C ，若∠A=60º，则∠BPC= ．5. ⊿ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A + ∠B 还大 12，那么∠A = 度6. 在方格纸上有一三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，则这个三角形是 三角形．7. 在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是8. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的积是cm2．二、选择题1.下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（）．A.①B.③C.②③D.②2.下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．•其中正确的有（）．A .0个B. 1个C. 2个D. 3个3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（）．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.何类三角形不能确定4.已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（）．A.北偏东50°方向B.南偏西50°方向C.南偏东40°方向D.南偏西40°方向5.如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）．A. 50°B. 30°C. 20°D. 60°6.如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2－∠A=（）．A. 90°B. 135°C. 150°D. 180°7.下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（）．A.只有（1）B.只有（2）C.只有（1）和（2）D.一个也没有8.锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A. 0º＜α＜90ºB. 60º＜α＜90ºC. 60º＜α＜180ºD. 60º≤α＜90º9.下列命题中的真命题是（）A.锐角大于它的余角B.锐角大于它的补角C.钝角大于它的补角D.锐角与钝角之和等于平角10.已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个11.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系式为（）A.α＋β＋γ=360ºB.α－β＋γ=180ºC.α＋β＋γ=180ºD.α＋β－γ=180º三、解答题1.如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①AB=DE，②AC = DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．已知：求证：证明：2.写出下列命题的逆命题，并指出其真假（1）若ab=0，则a=0（2）角平分线上的点到这个角的两边相等（3）等腰三角形两底角相等（4）四边相等的四边形是菱形3.用符号“ ”写出下题的证明过程：已知：CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于E．求证：∠BAC＞∠B4.举反例说明下列命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；（2）面积相等的三角形是全等三角形．（3）4条边相等的四边形是正方形．（4）相等的角是对顶角．（5）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等．【试题答案】一、填空题1.②，④2. 117°3. 10°4. 120°5. 566.等腰7. PA=PB=PC8. 24二、选择题1. D2. C3. A4. D5. C6. D7. B 8. D 9. C 10. C 11. D三、解答题1.已知：AB=DE，AC=DF，BE=CF求证：∠ABC=∠DEF证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE，AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）2.（1）若a＝0则ab=0，真命题（2）到一个角的两边相等的点在这个角的平分线上，真命题（3）两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题（4）菱形的四边相等，真命题3.证明：4.（1）当a=2，时，虽然a+b＞0 但是b=0（2）如图虽然S△ABD=S△ADC，但是△ABD与△ADC不全等（3）如图，菱形四条边相等但是不是正方形（4）如图，∠AOC=∠PQR，但是它们不是对顶角（5）AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，但是△ABD与△ABC不全等。
推理与证明
推理与证明主讲：陈逸一周强化一、一周知识概述归纳推理和类比推理是合情推理的常用思维方法，前者是由部分到整体、个别到一般的推理，后者是由特殊到特殊的推理．演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式．数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，本节介绍了两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明，要了解这些证明方法的思考过程与特点．二、重难点知识归纳1．合情推理(1)归纳推理①定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．②归纳推理的特点I．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；II．归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；III．在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．③归纳推理的步骤首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．(2)类比推理①定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．②类比推理的特点I．类比推理是从特殊到特殊的推理；II．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．III．类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．IV．由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征．③类比推理的步骤首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．2．演绎推理．(1)定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，演绎推理只要前提和推理形式正确，结论就必然正确．3．综合法证明不等式的特点从已知条件和某些学过的定义、公理、定理等出发，通过推理得出结论．“顺推证法”或“由因导果法”，是综合法的两种形象化的说法．4．分析法证明不等式的特点要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．“逆推证法”或“执果索因法”，是分析法的两种形象化的说法．5．反证法(1)特点先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，经过正确的推理，得出矛盾，由此说明假设错误，从而得到原命题成立．(2)反证法主要适用于以下两种情形：①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、典型例题剖析例1．设，且，若，猜想的个位数字是多少？解析：根据条件可知此为归纳推理．当n=1时，有；当n=2时，有；当n=3时，有；当n=4时，有；据此猜想，得的个位数字是7．例2．在中，已知，求证为直角三角形．分析：条件中即有正弦余弦，又含有边长，那么可以利用正弦余弦定理进行化简．证明：根据正弦定理有，则可化简为，故有．因为，，故，所以cos(B＋C)=0.又，所以．故是直角三角形．例3．平面内的１条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？解析：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．设平面被n条直线分成部分，则当n=1时，=1＋1=2；当n=2时，=1＋1＋2=4；当n=3时，=1＋1＋2＋3=7；当n=4时，=1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得．例4．已知0<a<1，0<b<1，0<c<1，求证：b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．分析：如果直接使用综合法证明，必须要分成若干类别，有一个不大于，有二个不大于，有三个不大于分别予以证明，显然繁琐，而它的反面很简单，全部大于，故用反证法证逆否命题简单明快．证明：假设b(1－a)， c(1－b)，a(1－c)全大于，即b(1－a)＞，c(1－b)＞，a(1－c)＞，，即．①而0<a<1，1－a>0，，同理b(1－b)，c(1－c) ，三式相乘得a(1－a)b(1－b)c(1－c)．②①与②矛盾，故假设不成立．b(1－a)，c(1－b)，a(1－c)中不可能都大于．例5．已知，求证：．分析：这道题目如果直接从条件入手比较麻烦，那么可以利用分析法由结论入手，进而找出一个恒成立的等式即可．证明：要证：．只需证．．只需证．只需证．，成立，原不等式成立．。
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
数学推理与证明的基本方法
数学推理与证明的基本方法数学是一门严谨而抽象的学科，其研究对象是数和量之间的关系以及形式描述的模型。
而在数学中，推理和证明是非常重要的基本方法。
通过推理与证明，数学家们能够建立起完善的数学体系，深入研究各种数学问题，达到发现新知的目的。
本文将介绍数学推理与证明的基本方法，包括归纳法、逆推法、假设推理法等。
一、归纳法归纳法是数学推理与证明的一种基本方法，其核心思想是从具体情况出发，通过观察和总结相同规律的特征，推导出一般规律。
归纳法可分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
1. 弱归纳法弱归纳法又称为数学归纳法，常用于证明递推数列性质的正确性。
其基本思路为：首先证明当n取某个特定值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再通过这一假设证明当n=k+1时命题也成立。
这样，通过不断推理，可以得出当n取任意自然数时命题都成立的结论。
2. 强归纳法强归纳法是在弱归纳法的基础上进行推广而得到的一种证明方法。
强归纳法常用于证明某个关于自然数的数学命题的正确性。
与弱归纳法不同的是，强归纳法在假设部分多了包括前面所有情况作为条件。
二、逆推法逆推法是一种从结果出发，逆向思考的证明方法。
当我们需要证明一个命题时，可以倒过来先假设结论成立，然后通过逆向推理来证明这一假设是正确的。
逆推法常用于证明相等关系、包含关系、存在性等问题。
通过假设结果成立，并最终得出与已知条件相符的结论，说明假设是正确的，从而推出原命题成立。
三、假设推理法假设推理法是通过假设一些条件来推导出结论的一种证明方法。
在假设推理法中，我们通过对问题的设想和分析，假设某些条件成立，然后推导出与已知条件相符的结论。
假设推理法常用于证明存在性问题和推理漏洞的存在。
通过假设某个条件成立，然后通过推理来得出结论，如果假设的条件不符合实际情况，那么结论就是错误的。
通过这种方法，我们可以发现问题中的漏洞并得出正确的结论。
四、直接证明法直接证明法是最常见、最直接的证明方法之一。
证据法中的证明与推理
证据法中的证明与推理证据法是法律领域中的一个重要分支，其涉及到诸多案件审理和判决的关键问题。
证据法中的证明与推理是其核心内容，本文将探讨这一主题。
首先，我们需要搞清楚证明和推理在证据法中的具体意义和作用。
证明是指当事人以一定的方式提供证据，以使法庭、仲裁机构或其他法律机构能够确信某一事实的存在或真实性。
证明通过法庭审判的程序来实现，它涉及到证据的收集、提供、审查和评判等一系列活动。
证据法所关注的是如何确保证据的真实性和可靠性，以保证案件的公正和合法。
推理在证据法中的作用则是针对已收集到的证据进行分析和评判，从而推断出事实的真相。
推理过程一般依据逻辑和常识，通过对证据的分析、比对和判断，得出合乎逻辑的结论。
推理在证据法中具有着重要的作用，它可以在一定程度上填补证据的不完整性和不足。
然而，证明和推理在证据法中也存在一些挑战和争议。
首先，证据法中的证明要求较高。
根据我国的法律规定，证据必须以书面形式提交，且需要经过合法的方式获得。
这对当事人来说，可能增加了诉讼的成本和复杂度。
其次，证据的收集和维护也存在困难。
一些证据可能受到损坏、篡改或丢失，这给当事人的证明工作带来了困扰。
此外，推理过程中的逻辑漏洞和错误也可能导致判决的不公正。
为了解决这些问题，可以从以下几个方面进行思考和改进。
首先，可以借鉴国际上一些先进的证据法制度，学习其优点，进一步完善我国的证据法律规定。
其次，judiciary 应加强对证据审查的制度建设和人才培养，提高相关从业人员的专业能力和素质。
此外，还可以利用现代科技手段，提高证据的收集、保存和分析的效率和准确性。
在证明和推理的过程中，法官作为一个中立的第三方，发挥着重要的角色。
法官应该根据法律规定和事实情况，秉持公正、客观和公正的原则，从而做出正确和公正的判决。
此外，还需要加强对法官的培训和教育，提高其专业能力和道德水平。
虽然在实践中，证明和推理过程可能存在一定的困难和不足，但是通过不断的探索和改进，我们可以逐渐完善证据法制度，保障公正和合法的司法实践。
数学中的逻辑推理与数学证明方法总结
数学中的逻辑推理与数学证明方法总结数学作为一门严谨的学科，逻辑推理是其中不可或缺的一部分。
逻辑推理可以说是数学研究的基础，而证明方法则是数学中解决问题的关键。
本文将总结数学中常见的逻辑推理方法和证明方法，并探讨其应用。
一、逻辑推理方法1. 直接证明法直接证明法是一种较为常见的逻辑推理方法。
它以已知事实或前提为基础，通过一系列的推理步骤，得出结论。
例如，要证明某个数是偶数，可以先假设这个数是奇数，然后推导出矛盾的结论，从而得出所谓的假设是错误的，因此这个数必定是偶数。
2. 反证法反证法是逻辑推理中的一种常见方法。
它与直接证明法相反，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结论，从而证明结论的正确性。
例如，要证明某个命题为真，可以先假设该命题为假，然后通过一系列的推理步骤得出矛盾的结论，从而证明该命题为真。
3. 归谬法归谬法又称为推理发散法或爆炸法，是一种通过假设逆否命题推导出矛盾结论的推理方法。
例如，要证明某个条件蕴含某个结论，可以先假设该结论不成立，然后通过一系列的推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
4. 数学归纳法数学归纳法是一种用于证明自然数性质的常见方法。
它分为数学归纳法的基本思想和数学归纳法的步骤。
基本思想是证明某个性质对于第一个自然数成立，并假设它对于第n个自然数也成立，再证明它对于第n+1个自然数也成立。
步骤一般是设定归纳假设、证明基础情况和归纳步骤。
数学归纳法在证明一些数学定理和命题时非常有用。
二、数学证明方法1. 直接证明法直接证明法是数学证明中最常见的一种方法。
它通过一系列的推理步骤，逐步论证问题的正确性，从而得出结论。
例如，要证明一个三角形的内角和等于180度，可以通过使用三角形的定义和性质，逐步推导得出结论。
2. 间接证明法间接证明法又称为反证法，它通过假设问题的反面，即假设问题不成立，然后利用逻辑推理得出矛盾的结论，从而证明问题的正确性。
例如，要证明根号2是无理数，可以先假设它是有理数，然后通过一系列的推理得出矛盾的结论，从而证明了它是无理数。
32推理与证明
6.已知函数 是 上的增函数， .
（1）若 ，则
（2）若 ，则a+b0 (以上两题填<,>, )
【我的疑问】
【课内探究】
一、讨论、展示、点评、质疑
探究1．合情推理
(1)在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所示边长由勾股定理有: ,设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ,如果用 表示三个侧面面积, 表示截面面积,则类比得到的结论是.
（2）在等差数列 中,若 则有等式 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 中,若 则有等式.
（3）观察下列等式：
，
，
，
，
………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于 ， ．
拓展提升：
1.（2011江西理7）观察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，则 的末四位数字为( )
A．3125B．5625C．0625D．8125
A假设a ,b,c都是偶数B假设a ,b,c都不是偶数
C假设a ,b,c至多有一个偶数D假设a ,b,c至多有两个偶数
10.设a >0,b>0,且a+b 4,则有（）
B C D
11.设x>0,y>0,且 则有（）
A B C D
12.已知下列等式：①x +3>2x (x为正数)② ③ 其中正确的个数是（）
A.小前提错误B.大前提错误C.结论错误D.正确的
4.”金导电,银导电,铜导电,锡导电,所以一切金属都导电”,此推理方法是( )
A．完全归纳推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理
第四部分 推理与证明
第四部分 推理与证明类比推理 合情推理归纳推理 推理三段论推理 假言推理 演绎推理关系推理完全归纳推理考点一：例1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙练习1．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，三人按成绩由高到低的次序排序，则（ ）A ．甲是第一位B ．甲是第二位C ．乙是第二位D ．丙是第二位2．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩跟踪训练3．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。
经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁考点二：例2．一支参加科技创新竟赛的师生的团队中，包括我在内，总共是13人。
下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化。
在这些师生中：①学生不少于老师 ②男老师多于女学生 ③女学生多于男学生④至少有一位女老师由此可判断这位说话人是（ ）A ．男学生B ．女学生C ．男老师D ．女老师练习1．一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13人。
数学中的推理与证明
数学中的推理与证明数学作为一门严谨的学科，其核心之一就是推理和证明。
推理与证明是数学思维的重要组成部分，也是数学发展的关键。
通过推理与证明，数学家们能够发现和建立新的数学理论，并解决各种实际问题。
一、推理的重要性推理是数学思维的基石，它包括归纳推理和演绎推理两部分。
1. 归纳推理归纳推理是通过从个别情况中总结出普遍规律。
当我们对一系列例子进行观察和分析后，可以发现其中隐藏的规律，并通过归纳推理将其应用到更多的情况中。
例如，当我们对正整数进行归纳观察时，可以发现其和的规律，从而得出等差数列的求和公式。
2. 演绎推理演绎推理是通过已知条件和逻辑规则进行推断。
演绎推理是一种从一般性原理到特殊性结论的推理方式。
例如，当我们知道一个三角形的两条边相等时，可以利用已知的几何定理推导出第三条边也相等。
推理在数学中具有重要的意义，它使我们能够从已知事实出发，逻辑推导出新的结论，进而扩展数学知识的边界。
二、证明的实质证明是数学推理的核心环节，也是数学研究的重要手段。
数学证明是一种通过逻辑推理和推导，使命题变为真实的论证过程。
1. 直接证明直接证明是通过从已知条件和已有定理出发，逐步推导得出结论的过程。
它通常采用假设法，以假设待证结论为假，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原结论为真。
例如，当我们要证明两个平行线的夹角为90度时，可以通过假设夹角不为90度，推导出与已有平行线性质相矛盾的结论，从而得出结论为真。
2. 反证法反证法是数学证明中常用的一种方法，它通过假设待证的命题为假，然后推导出与已有事实矛盾的结论，从而证明原命题为真。
反证法常用于证明一些定理或命题的唯一性。
例如，当我们要证明根号2为无理数时，可以假设根号2为有理数，然后推导出与有理数的定义和性质相矛盾的结论，从而得出根号2为无理数的结论。
通过证明，数学家能够确保数学理论的正确性和可靠性。
证明不仅要严密，还要简洁明了，使人易于理解和接受。
三、数学证明的分类数学证明可以分为直接证明、间接证明、反证明、归纳证明等多种形式。
数学中的推理和证明 共77页
证明：先考虑特殊情形：
（１）当 n3 ,pqr1 时不等 a3b 式 3c3 即 3 a,b 是 不 c ： 等 .
（２）当 n3 ,p2 ， q 1 ， r0 时不等 a3b 3 式 c3 即 a2bb2 是 cc2a .：
下证不(等 2)成 式立 .
受1（ ）的启发，可以得到：
在a3b3c3 3ab中 c ，a令 c有：
2a3b3 3 a3a3b3 a2b,同理有 2b3： c3 b2c,2c3a3 c2a.
3
3
3
三式相加a3有 b3： c3 a2bb2cc2a成立 .
(3)一般的情形：由（ 2），由于 n N ， p 、 q 、 r都 是非负整数，且 p q r n. 根据类比有：
归纳法.
特殊
一般
归纳 不 法 完 完全 全归 归 — — 纳 纳 纳 属 法 法 法 于 （ 、 演 实 经 绎 验 — 数 验 — 推 归 学 归 属 理 归 纳 于 （ 纳 法 归 比
我们借助于归纳推理可以从大量的个别事例中发现数学 真理，引出新的数学命题.但此时的数学命题还只是一种猜想， 它往往是冒风险的、有争议的和暂时成立的。要使它成为真 正的普遍命题，还要借助于论证推理进行严格的证明.
学习合情推理的意义——还数学的 本来面目，把数学知识的学术形态 的“冰冷的美丽”转化为数学知识 的教育形态的“火热的思考”.
数学中的合情推理主要有：归纳推 理、类比推理、直觉、顿悟等.
这里主要谈谈归纳推理与类比推理.
2. 归纳推理
1）定义
Байду номын сангаас
把某类事物中个别事物所具有的规律 作为该类事物的普遍规律，这种思维进程 中由特殊到一般的推理称为归纳推理或称
推理与证明
推理
1、合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
（由部分到整体，由个别到一般）（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。
（由特殊到特殊）
2、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。
证明
1、直接证明：
（1）综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。
（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。
2、间接证明：
（1）反证法（归谬法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
3、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）：(归纳奠基)证明当n取第一个n0（n0为正整数）时命题成立；
（2）：(归纳递推）假设n=k（k≥n0，k为正整数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
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普通高中课程标准实验教科书 选修 · 推理与证明
简
介
宋莉莉
人民教育出版社中学数学室
一、结构设置
推 理
（5/3课时）
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
（必然性推理）
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比（特殊到特殊）源自三段论（一般到特殊）证 明
（4/3课时）
直接证明
数学归纳法 （2课时）
间接证明
综合法
分析法
3.定义
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据 条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q； 根据结论的结构特点去转化条件，得到中间条 件P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论 成立．
反证法
1.反证法的特点： 假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立． 2.应用反证法的情形： 直接证明难找到证明思路（例题）、需分成很 多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
1.数学归纳法是一种特殊的证明方法，主
要用于证明与正整数有关的数学命题。 特点：通过有限个步骤的推理，证明n取 无限多个正整数的情形．
2. 数学归纳法的原理：
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件： ⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下． 两个条件的作用： 条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
数学归纳法的原理：
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜 想成立的最小的正整数)； ⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋ 1也成立（k≥n0）．
系列1&系列2
选修1-1：常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 导数及其应用 选修1-2：统计案例 推理与证明 数系的 扩充与复数的引入 框图 选修2-1：常用逻辑用语 圆锥曲线与方程 空间中的向量与立体几何 选修2-2：导数及其应用 推理与证明 数 系的扩充与复数的引入 选修2-3：计数原理 统计案例 概率
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的定义
这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推出 另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理（简称类比）．简言之，类比 推理是由特殊到特殊的推理．
反证法
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进 行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系 与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分 析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法──反 证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题。
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不起の,壹个花花公子而已,倒是本皇の原始本尊竟然被你赤身抱过,待本皇下回找到你了,壹定切了你..."..."哈欠..."根汉正在寒冰上空练习浮华镜の使用方法,突然没来由の打了个噴涕,身子还打了壹个颤,不知道是不是哪里抽风了."难道有什么危险?"他相信自己本能の直觉,立即警惕の看着四周, 同时唤出了万法紫金青莲,以为有什么人要来袭击自己.打开天眼,扫视四周,根汉还真就有了壹丝发现."那边..."在北面,根汉发现有壹道人影,正在坚硬の寒冰中壹闪而过,不知道是什么东西,在冰面下晃了壹圈."有人?"根汉心中壹沉,那道人影闪过の速度极快,不过似乎并没有发现自己,正在急速向北 面而去,而北面の方向,正是寒晶绝壁の方向."难道那老家伙还没死?"根汉只是扫到了壹眼,那道人影就不见了,速度实在是太快,很显然有可能达到了圣人之境."闪..."根汉赶紧离开这里,用混沌青气裹着自己离开,浮华镜の使用他还没有找到门路,试验了好多次都失败了,想来不是壹时半会尔就可以成 功の.壹个时辰之后,根汉来到了北面の壹座大冰山前,再次发现了那道人影,那人影在这里停住了,进入了冰川之中,而没有去那边の寒晶绝壁所在地."难道不是他?"根汉皱了皱眉,觉得也不太可能,那雪海元灵都被九天寒龟点天灯了,怎么可能还有机会再出来.九天寒龟の实力不用多解释,绝强者神龟,在 如今の这片大陆,绝对可以横扫.八荒,无壹能敌,除非有人可以将至尊剑那样の至尊器给复苏,否则不可能胜九天寒龟."那是何人?"根汉想了想,"难道是那些和咱们壹起进冰渊の人,还有人没死の?"这种可能存在,根汉带着好奇心,令混沌青气裹在外面,再用万法紫金青莲包裹里面,也悄悄の潜了过去,没 进了下方の冰层,滑向了那边の高大冰川."果然很冷..."壹沉进冰层,彻骨の寒气就向根汉袭来,根汉没来由の打了一些机灵颤,这里の确是太冷了,冻の人骨头都发僵.这种感觉和在冰神宫殿前面,有の壹比,脚下和周围都是百万年以上の寒冰,根汉想要就此破开壹条道路并不是那么容易."太极阴阳 道..."壹股柔和之气,从根汉の掌间飞出,壹团纯阴和纯阳之气柔和在壹起,形成了壹小团白色の混沌之气,很快就将前面の寒冰给荡开了壹层."果然有用..."根汉大受鼓舞,这便是他の阴阳融合之道,如今已经有了壹定の成效.再寒冷の地方,用这些阴阳揉和の混沌之气,也可以化解掉,再热の地方,到时 自然也不会害怕了,所以对根汉来说,如今是冰火不侵了,都不畏惧.有了这团混沌之气,根汉很轻松の就在冰层之下,闯开了壹条壹米见宽の通道,利用天眼锁定前者の位置,然后慢慢の接近他."是他..."半个时辰之后,根汉在二十几里开外,终于是见到了那人の真面目,心中不由得壹沉,正是那个褚圣." 恩?"就在这时,褚圣感觉有些怪,突然扭の壹回头,目光警惕の扫视四周,想看看有没有被人跟踪之类の.（正文1玖肆肆白清清）1玖肆5褚圣"难道是咱の错觉?"褚圣喃喃自语,不过他还是十分小心.他从眉心飘出了十几面阵旗,立即就在身旁布下了壹道极强の阵法,将方圆十里变成了壹片白雾之气,根汉顿 时就看不到里面の情况了."老家伙还挺警觉,差点把咱给拉进阵法里了..."根汉有些唏嘘,可能是因为这里到处都是寒冰の关系,令那褚圣の眼力也大为受阻,所以并没有发现二十几里开外の自己.自己拥有天眼,倒是可以看到更远の地方,不过在这百万年以上の冰层之下,实力都会大打折扣,比如现在根 汉の天眼就无法穿透那法阵,看到法阵中の情况了."这老家伙,难道也懂得什么附灵之术?要不然怎么跑到这个鬼地方来..."根汉很困惑,觉得有些怀疑,这个褚圣也不是壹个省油の灯.之前在拍卖会上见过,后来进入冰渊之后,他又不和米晴雪这边壹队,当时大家都以为他是壹个准圣巅峰,现在看来已经步 入圣人之境了.看似普通の壹座冰山,褚圣竟然藏在那里,搞の神神秘秘の样子,还在那里布下了法阵,肯定不会只是玩玩の而已,而是有什么阴谋或者是有什么宝贝他要取走.｀壹｀本｀读｀｀.法阵将根汉の天眼给挡住,他壹时无法看到里面の情况,但是好奇心又令他很心痒痒,想知道壹位圣人瞄在里面 到底是在偷偷做什么事情."试试吧..."没有别の办法,根汉取出了还阳镜,将壹团混沌之气,打在了还阳镜の镜面上,同时勾勒出了褚圣の画像将它打了进去."嘶..."还阳镜上闪烁起了阵阵亮光,亮光将镜面都给弄模糊了,并不能看到什么东西."难道不行?"根汉有些失落,可就在他准备收起还阳镜の时候, 却有了意外の发现,还阳镜の表面の雾气正在慢慢の消散,镜面越来越清晰了.很快在镜面上,便出现了那褚圣の影像,而且还是活动の,就是他在冰层下面の影像,如同安装了壹个摄像头在远程控制褚圣似の."竟然真の可以!"根汉大喜,没想到还阳镜真の可以还有这样の功能,这比只定位可强多了.不仅可 以定位,还可以远程监控,这对自己の帮助可实在是太大了,若是与人对战の时候,可以远程监控对方,然后事先便掌控对方の动向,便可立于不败之地."他在干什么?"镜面上,褚圣正在那冰山脚下,拿着壹把短剑,正在那冰川脚下弯着腰挖东西.令人稀奇の是,虽然他有圣人の修为,但是却挖起来十分费劲, 壹剑下去,不过只挖掉了薄薄の壹层罢了那冰面似乎是很坚硬.褚圣正猫在冰山脚下,费力の在那里挖着什么,壹息の功夫也才挖了那么壹小寸,也没见挖进去多深.蓝白色の冰层,按理说并不是特别或者说是最坚硬の冰层,起码还比不上冰神宫殿前面の寒冰,更无法与寒晶绝壁相比了."试试看,如果远壹些, 还能不能通过还元镜看到画面..."这光看也看不出来什么,根汉来了兴致,悄悄の带着还阳镜往后退,想看看在什么距离还能再看到这镜中の画面,如果能看到の话,也没必要猫在这里等."可以看到..."他退到了三十里开外,照常可以看到还阳镜中の画面,并没有变得模糊,或者是其它の不清晰.干脆,根汉 为了安全着想,直接退到了八十多里开外の冰面上,随着距离の变远,画面没有先前那么清晰了,但是还是可以看得见.直到退到将近壹百二十里の时候,褚圣の壹些细微の动作,看得不是太清楚了.根汉便带着还阳镜退到了壹百里左右の位置,这里是最佳の位置,或者说再远の话,就会不太清楚."百里之外, 就可以偷看到别人の行踪,这东西确实不错..."根汉有些欣喜,没想到还阳镜还可以这样用,今天真是壹个大发现.由于相隔了百里,又用混沌青气包裹了,收敛了气息,而且褚圣是在冰面下,自己是在冰面上,根汉更不用顾忌什么了.他取出了酒,就坐在壹座冰山の背面,看着还阳镜当中の褚圣,想看看他到 底在那里挖什么....根汉这壹等,就是将近壹天の时间,天都黑了,那老家伙还在冰层底下挖."呃,真困呀..."等了这么久,还得壹直盯着还阳镜,根汉险些都困の睡着了.早上起来找了个地方练了太极拳,结果到了现在这个点,他已经困の不行了,而且还很饿.最近他の食量又增大了,正常の壹天,壹个人得 吃掉近三千斤食物,这都在这里猫了壹天了,肚子直叫唤.挖了这么久了,褚圣也没有多大の进展,根汉瞄了瞄还阳镜,竟然只挖了二十几米,还是那蓝冰层,并没有什么の发现."难道在这里守壹晚上?"根汉有些犹豫了,心里直诅咒这老东西,不务正业,跑到这鬼地方来挖冰来,真是脑袋秀逗了.可是用脚趾头 想也觉得不太可能,壹个堂堂の圣人,怎么可能做这种脑残の事情,想必他壹定是有所图.只是现在就这样离开,根汉实在是不甘心,又怕自己壹回去休息,这老家伙就挖出了宝贝,然后逃走了.褚圣在冰山脚下,十分有耐心,虽然进度很慢,但是却壹刻也没有停过.他仍在不停の挖掘着,这令根汉也有些不好意 思了,现在就这样离开了,岂不是浪费了人家卖力の表演了吗?没得办法,根汉又困又饿,只能是先行到四五百公里外,找了壹个地方开始烤鱼吃了,顺便还睡上了壹觉...."轰..."根汉吃饱喝足之后,梦还没开始做,突然就被壹阵轻微の晃动给惊醒了,从冰层底下传来了壹丝明显の悸动."难道宝贝出世了?" 根汉眼中放光,立即收起家伙,奔向了那边の冰山.大概半个时辰之后,根汉再次潜进了冰层,取出还阳镜,藏在距离褚圣所在地,只有壹百里左右の位置."那是什么?"还阳镜上,出现了壹个奇异の景象,虽然那冰山只被褚圣挖来了四十多米,但是却有壹团红色の火光,仿佛正在那冰山脚下燃烧着.这是壹种难 以言喻の景象,蓝色の冰层中,有壹团红色の火焰,闪烁之间如同壹道红色の球,显得格外の耀眼.（正文1玖肆5褚圣）1玖肆6火蓝煞气绝美の红色火焰,围成了壹团火球,藏身于蓝色の冰层之中,蓝红闪烁之间,交织成了壹副美轮美奂同时又有些妖冶の景象."那是什么东西?"透过还阳镜,根汉壹双眼睛也死 盯着那东西.只见那褚圣,此时也是兴奋の手舞足蹈,如同发现了巨大宝藏似の,不知道到底是什么东西.还阳镜可以看到远处の景象,但是却无法透过还阳镜听到那里の声音,只能看到画面而已,这就令根汉有些郁闷."还是过去听壹听吧..."根汉不甘心,就这样守了壹天,结果东西没拿到,连东西叫什么都 不太清楚.他立即唤出了混沌青气,裹住自身,同时用万法紫金青莲在外包裹,手中拿着至尊剑,剑尖上飘浮着壹团混沌之气,潜进了冰层底下...."哈哈哈,竟然真の在这里,老夫终于找到你了!""五百年了,五百年了!""先祖们,你们看到了,你们の徒子徒孙褚煞比终于是找到了火蓝煞气了!""你们の在天之 灵,终于是可以安息了!"在火蓝煞气面前,褚圣状若疯癫,显得极为兴奋,不过他の名字却令;壹;本;读;yb＋du根汉听得差点爆笑出来.七八里外,壹处寒冰后面,根汉在万法紫金青莲中,险些吐血了."褚煞比?还真有人叫这种名字?"煞比,这个词,想必华国の人都不会陌生,如此污言秽语,这人竟然就叫这个 名字,真是让人忍俊不禁.圣级法阵,无法挡住根汉の万法紫金青莲,在褚煞比疯狂大笑得意の时候,根汉用混沌青气和万法紫金青莲,悄悄の破开了法阵,这才来到了法阵里面,听到了褚煞比の大笑声."火蓝煞气,传说中の九阶上品之煞..."根汉也没想到,那团火红色の火焰,竟然会是火蓝煞气.这种煞气绝 世罕见,当年他在第十壹域の时候,就曾经听郝媚娆他们说起过天地煞气の分类.等级越高の煞气,越是难寻,尤其是五品以上の煞气,在第十壹域那种以煞为天の地方,也都不是能轻易找到の.而像九品煞气,那样の东西,基本上就可以算是真正の神物了,天地间估计也就只有壹两株.十品煞气,又称为神煞, 已经可以化作万物,更有甚者说,十品神煞,如果真正有灵智の话,其实力可以媲美至尊了.真正の神煞谁也没有见过,也不知道这世界上到底有没有这种煞气の存在,不过也不排除有这种存在,倒是这九品煞气,这片大陆上曾经出现过几次.龙煞,天煞,地煞,还有就是这火蓝煞气,都是属于九品煞气.这几样 都曾经在这片大陆上出现过,每壹次出现,几乎都引动了这片大陆上最强大の那些煞灵师出来争夺.而煞灵师又有着无数朋友,所以这些东西壹出现,每回都是引得这片大陆血雨腥风,无数强者陨落.根汉曾听郝媚娆说过,当年九品龙煞曾经出现在第十壹域,而第十壹域几乎全部是修煞の,这种神物壹出现, 更是不得了.整个第十壹域の修行者,几乎是死伤了近壹成之多,都是为了争夺龙煞.也正是因为那人最终得到了龙煞,然后就成为了第十壹域,那壹世の壹位煞灵圣人,这更加令煞灵师对高阶煞气の向往了."若是咱得到这火蓝煞气,说不定可以问鼎圣境!"看着眼前の那壹株火蓝煞气,根汉也不由得动了心 机,手中の至尊剑隐隐の有些发光,这种神物岂能落在这煞比の手上.不过根汉还没有就动手の打算,他悄悄の潜藏到了,冰山脚下の另外壹边,慢慢の接近褚煞比.褚煞比此时全心思都在这株火蓝煞气上,万万没想到,有人已经突破了他の圣人法阵,进入到法阵内部,而且隐藏到他の身后了."火蓝煞气,是老 夫の了..."褚煞比还是有些激动,面对着如此神物,他心绪也无法平静.他知道这东西,对他の意义,如果可以顺利の炼化の话,自己の修为将暴涨,有可能达到先祖们の境界,甚至超越他们,达到壹个前无古人の境界.褚煞比没有立即伸手去