第八章简单超静定问题

F
F
A
DB
未知力数：3个
求不出
3 1
2
FN 3
独立方程数：2个
FN1、FN 2、FN 3
FN 1
FN 2 仅靠静力平衡方程不能求出全部
约束反力和内力的问题称为超静
C
C
定问题，相应的结构称为超静定
F
F
结构。
A
D B 多余约束
多余未知力（冗力）
1
32
FN 1
FN 3 FN 2
n 321
C
C
F
F
超静定次数：未知力数与方程数之差（多余约束或多余未
（2）若E1 A1↑，则FN1 ↑；若E3 A3↑，则FN3 ↑。即杆系中任一杆
的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。
（3）以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。
解超静定杆系的步骤
（1）根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。 （2）根据变形协调条件，建立变形几何方程。 （3）利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。 （4）将补充方程与平衡方程联立求解。
第八章 简单超静定问题
目录
§8-1 概述 §8-2 拉压超静定问题 §8-3 装配应力和温度应力 §8-4 扭转超静定问题 §8-5 简单超静定梁
§8-1 概述
A
B
未知力数：2个
FN1、FN 2
独立方程数： 2个
1 2 FN1 FN 2 仅靠静力平衡方程就能把结构的约
C
束反力和内力解出的问题称为静定 C 问题，相应的结构称为静定结构。
FN 2l EA
l3
FN 3l EA
（3）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ充方程
A
l 1
A
FN1
a/2
B
D
C
l 2
B
FN 2
F l 3 C
FN 3
A
B
D
C
FN1 FN3 2FN 2
（4）联立求解
FN1
F 12
F FN 2 3
FN 3
7 12
F
F
另解：把力F移动到B得到一个力和力偶 在力F作用下，结构对称，荷载也对
称，即内力和位移都是对称的。
FN1 3 F 4 F 12 F
FN 2
1 3
F
FN 3
1 3
F
1 4
F
7 12
F
例8-5 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和
木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量
分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许用载荷F。
F
F
解：平衡方程:
A F
（1）
Fy 0 FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
（2）
几何方程（绘变形图）
B
D
C
3
l1 l3 cos
1 2
物理方程——胡克定律
l1
FN 1l1 E1 A1
l3
FN 3l3 E3 A3
A
l2
l1
l3
补充方程：由几何方程和物理方程得。
FN1l1 FN 3l3 cos
FN1
FN 2
FN 3
A
B
C
F
FN1
FN2
由此可以直接得出三杆轴力l 1 A
B
FN1
FN 2
FN 3
1 3
F
m
在力m作用下，结构对称，荷载反对
称，即内力和位移都是反对称的。
FN2 0 FN12a m 0
FN1
FN3
1 4
F
1
2
3
a
a
l
a/2
A
B D
C
FN3
F m FFa
2
C
l 3 由叠加法得 11 1
性杆，1、2、3杆刚度为EA，载荷为F， 求1、2、3杆的轴力。
1
2 a
3 a
解：（1）静力平衡方程
l
Fy 0 FN1 FN 2 FN 3 F 0
3
a
a
MD 0 FN1 2 a FN 2 2 FN3 2 0
（2）变形几何方程及物理方程
l1 l3 2l2
l1
FN1l EA
l2
Fy 0 4FN1 FN 2 F 0
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA 2a EA
FB a EA
2FA FB (2)
由(1)和（2）联立可得：FA
F 3
,
FB
2F 3
A
A FA
另解：
2a C
Fa
B
C F
B FB
设想将B端的约束解除，代之 2a 以反力FB，原结构就变成A端
固定、B端自由、受F和FB共 a 同作用的静定结构（原结构的
知力的数目）
C
FN 2
FN1
FAx A
D
B
FAy
A
D
B
F
n 431
F
超静定解法
A
DB
3 1
2
FN 1
为了求出超静定结构的全部未知力， 除了利用平衡方程以外，还必须寻 找补充方程，且使补充方程的数目 等于多余未知力的数目。
FN 3 FN 2
超静定解法：
C
C
平衡方程 + 补充方程
F
F
建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何 方程（变形协调方程），再由物理方程（胡克定律）， 最后得到补充方程。
得 FN1 2FN 2 3F
（1） A C
a
（2）变形几何方程及物理方程
a
DB
aF
l 2 2l1
l1
FN1l EA
l2
FN 2l EA
FN1
FN 2
（3）补充方程
FN 2 2FN1
（2）
（4）联立（1）（2）求解
AC
DB
FAx
l 1 C
l 2
F
FAy
D
FN1
3 5
F
FN 2
6 5
F
B
例 8-4 如图所示杆系结构中AC杆为刚
E1 A1 E3 A3
（3）
A1
（1）（2）（3）联立求解得:
FN1
FN 2
2 cos
F
E3 A3
E1A1 cos2
FN 3
1
2
F E1 A1
cos3
E3 A3
B
D
C
3
1 2
A F
FN1
FN 2
2 cos
F
E3 A3 E1 A1 cos2
FN 3
1
2
F E1 A1
cos3
E3 A3
讨论：
（1）在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他 杆的拉压刚度的比值有关。
§8-2 拉压超静定问题
例8-1 设杆系结构如图，已知：各杆长为：l1=l2 =l 、 l3 ；各杆
面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿
铅垂方向，求各杆的轴力。
B
DC
3
1 2
解： 平衡方程
A
F
Fx 0 FN1 sin FN2 sin 0
FN3
FN1 FN2
相当结构）。
位移限制条件：B 0 即： B F FB 0
F
F 2a EA
FB
FB 3a EA
解得：
2F FB 3
F FA 3
例 8-3 如图所示杆系结构中AB杆为刚
性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求
1、2杆的轴力。
解：（1）静力平衡方程
l1
2
M A 0 FN1 a FN 2 2a F 3a 0
例 8-2 已知：F， A ，E 。
A
求：A、B两端的支座反力。
y FA
A
解：（1）列平衡方程
2a
Fy 0 FA FB F 0 (1) C
只有一个平衡方程，一次超静定
Fa
（2）变形几何方程
B
lAC lBC l
（3）物理方程（胡克定律）
C C
l
F
B
FB
l AC
FA 2a EA
lBC
FB a EA