建筑力学静定结构位移计算

4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。 例：求梁B点竖向线位移
P
ql2/2
A
EI
B
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l/2
Pl/4 l/2 MP
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4 1/2
⑥当图乘法的适用条件不满：足时的处理
一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响
D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ２）桁架：只考虑轴向变形的影响
D = ∑∫(N FNP/EA) ds D = ∑NFNPl/EA ３）组合结构： D = ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(N FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(M1 MP /EI) ds ＋∑∫(NFNP/EA) ds (6-4-4)
建筑力学静定结构位移计算
§14-1 计算结构位移的目的
一、结构的位移概念 在外因作用下，结构会发生变形，其上各点或
截面位置发生改变，叫作结构的位移。
平面杆件结构的位移： １、线位移：水平位移 竖向位移 ２、转角位移（角位移）
广义位移概念： １、绝对位移：一个截面相对自身初始位置的位移； ２、相对位移：一个截面相对另一个截面的位移。 二、计算结构位移的目的 １、验算结构的刚度，使结构的位移或变形不超出规定的范 围，满足结构的功能和使用要求。 ２、在结构的制作或施工时，按使用时结构位移的反方向予 先采取措施。 ３、引入变形（位移）条件，为计算超静定结构提供基础。
２）求 = -(-5/2l)a=5a/(2l) ()
§14-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、杆件局部（微段）变形时的位移
d D = -(-MCd-QCd -NCd) d D =MCd＋QCd＋NCd
图示梁，仅在ＢＣ微段ds上发生变形，其它部分
仍保持刚性。若仅考虑CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在
固定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功
a）曲杆或 EI=EI （ x ）时，只能用积 分法求位移；
b）当EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
？ a
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
P=1
a/2
a/2 3a/4
例：求图示梁C点的挠度。
P
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
D二、静定梁、刚架的位移计算
１、积分法：
例17-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移DCH和Ａ 、Ｂ两截面的相对转角 。各杆 EI=常数。
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别
对各杆件写出弯矩函数M1 、ＭＰ，代入积分公式计 算位移。
１）求DCH
AB杆(0≤x1≤l) MP=qlx1/2-qx12/2 M1 =-x1/2
c+d 2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q ql2/2 B
NP=0
ω1
ql/2
ω2
ω2 ql2/8
P=1
l
y1
y2
y3
NP=ql/2 l
这种处理后的方法又可叫虚单位荷载法（简称单
位荷载法或单位力法）。
单位力法步骤： １）在结构某指定点拟求位移的方向上，虚设一个 单位力，并由静力平衡条件求出结构由此产生的支 座反力。 ２）令虚力系中的所有外力在结构的实际位移上作 虚功，建立虚功方程并求解。 ３）结果为正，所得位移方向与虚单位力的方向相 同；结果为负，所得位移方向与虚单位力的方向相 反。
2 3 3 23 3 c
y1
y2
d
= l (2ac+2bd +ad +bc)
各6种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。
如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。 （1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
9 3
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
例1 用虚位移原理求图示简支梁的Ｂ支座的反 力FBy。
分析：梁在荷载作 用下其支座反力有 静定解，即荷载与 支座反力组成满足 静力平衡条件的力 状态。若再有一个 恰当的与支座约束 相容的刚体位移状 态，就可由虚功原 理求支座反力。
（实际）力状态
（虚）位移状态
解：１）切断Ｂ支座链杆，使由此得到的机构发生 沿Fby方向的刚体虚位移。 ２）令实际力系在刚体位移的虚位移上作虚功，代 入W12=0 得虚功方程：
位移计算步骤是： １）虚设单位力系，并求该力系的支座反力； ２）代入计算公式，计算位移。 ３）按是否与单位力的方向一致确定所得位移方向 。
例3 图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截 面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角 。
解：１）求DEV 位移公式 D = -∑rici (6-2-1) DEV=-(3/4)a=3a/4(↑)
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
9
b)非标准抛物线乘直线形
a h
c l
b ＝a
+
b h
d
S
=
l
6 (2ac + 2bd
+ ad
+ bc )+
2hl 3
l/2
DC
=
wy0
EI
=
1l l
××
222
×5 Pl 6
= 5 Pl 3
48 EI
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
⑦非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形 a
MiMkdx=w1y1+w2 y2
ω1
l/3
Mi
ω2
b
l/3
l/3
= al 2c + d + bl c + 2d
Mk
２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚 功方程：
FP △CV﹣（FPa／l)b=0 △ CV ＝ab／l (↓)
说明：利用虚功原理求结构位移的方法叫虚力法。
同上例一样，本例可设一个虚单位力FP =１， 则有 FBy＝ a／l (↑) 虚功方程为： 1×△ CV﹣（a／l)b=0 △ CV＝ab／l (↓)
产生位移的原因：（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差
三、位移计算中的基本假定 位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，
结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后 ，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定 ： １、应力和应变服从虎克定律（物理线性）； ２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原 尺寸和叠加法计算其位移； ３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。
的形心处。
④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正
号，否则取负号。
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l ω=hl/2
h
h
l/2 顶点l/2
二次抛物线ω=2hl/3顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
例2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理求 梁Ｃ点的竖向位移DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足 约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足 平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力 平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／l (↑) 显然虚 力系是满足静力平衡条件的力状态。
原理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究
。即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ截面的
内力。代入公式：
D = -∑rici
二、变形杆件的位移 D = ∫ d D = ∫(MCd＋QCd ＋NC d )
当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时： D = ∑ ∫(MCd＋QCd ＋NC d ) -∑rici （a）
说明： 注意利用 D = ∑∫(M1 MP /EI) ds 时，两种状 态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数 也应先规定受拉侧，以确定积分的正负。
§14-5 图乘法
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI =C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
Mi是直线1
EI
B
M
A
k
xtgadx
=
1 tga
该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成： １×D ＋∑rici = ∑ ∫(MCd＋QCd ＋NC d )
变形体的虚功原理： 若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移，
那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的变 形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功（虚应 变能），即 W=V。
因为 d=ds d=ds d=ds 代入式(a)
D=∑∫MCds＋∑∫QCds＋∑∫NCds -∑rici (c)