线性代数秩逆

线性代数秩逆

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一、 矩阵的秩

定义1 在一个n m ⨯矩阵A 中，任意选定k 行和k 列（{}n m k ,m in ≤），位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的

k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式。

例1 在矩阵

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-=00005000412013

1

1A

中，选第3,1行和第4,3列，它们交点上的元素所成的2阶行列式

155

013=

就是一个2阶子式。又如选第3,2,1行和第4,2,1列，相应的3阶子式就是

.105

00420111= 定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵A 的秩记为()A rank 。

例2 证明：矩阵A 与其转置矩阵T A 有相同的秩。

例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。

证 设A 是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r 。选取这r 个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r 阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。而A 的所有阶数大于r 的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。所以()r A rank =。

由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以n m ⨯矩阵A 的秩()()n m A rank ,m in ≤。而如果()m A rank =，就称A 是行满秩的；如果

()n A rank =，就称A 是列满秩的。此外，如果A 的所有1+r 阶子式全为

零，由行列式的定义可知，A 的2+r 阶子式也一定为零，从而A 的所有阶数大于r 的子式全都为零。因此秩有下面等价的定义：

定理1 n m ⨯矩阵A 的秩为r 充分必要条件是：在A 中存在一个r 阶

子式不为零，且在()()n m A rank ,m in <时，矩阵A 的所有1+r 子阶式都为零。

定理2 初等变换不改变矩阵的秩。换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。

证 设n m A ⨯经初等行变换变为n m B ⨯，且()()21,r B rank r A rank ==。当对A 施以交换两行或以某非零数乘某一行的变换时，矩阵B 中的任何

11+r 阶子式等于某非零数c 与A 的某个11+r 阶子式的乘积，其中1

±=c 或其他非零数。因为A 的任何11+r 阶子式皆为零，故B 的任何11+r 阶子式也都为零。

当对A 施以第i 行的k 倍加到第j 行的变换时，矩阵B 的任何一个

11+r 阶子式1B ，若它不含B 的第j 行或既含第j 行又含第i 行，则它等

于A 的一个11+r 阶子式；若1B 含B 的第j 行但不含第i 行，则

211A k A B +=，其中21,A A 是A 的两个11+r 阶子式，由A 的任何11+r 阶子式均为零，知B 的任何11+r 阶子式也全为零。

根据以上分析，若对A 施以一次初等行变换得到B ，则112+

12r r ≤。由于B 可经一次适当的行变换变回A ，同样地就有21r r ≤。所以21r r =。

显然，上述结论对列变换也成立。

现在我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩。因为初等变换不改变矩阵的秩，而阶梯形矩阵的秩就等于它的非零行的个数。所以，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等变换把它变成阶梯形（根据第一节定理1，仅用行的初等变换就可以做到），这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩。

例4 设

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-----=0502335102163

2341461A ，

求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。

解 对A 作初等行变换，使之变成阶梯形：

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→---1281216011

791201134

041461

0502335102113404146113144223r r r r r r A ⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→---000008400011340414618400084000113404146134232434r r r r r r ，

因为上式右端阶梯形矩阵的非零行数是3，所以()3=A rank 。

再求A 的一个最高阶非零子式。由()3=A rank 知，A 的最高阶非零子

式是3阶的，A 的3阶子式共有403

534

=C C 个，要从中找出一个非零子式是比较麻烦的。

如果B 是矩阵A 仅用行的初等变换变成的阶梯形矩阵，用B 的各非零行第一个非零元素所在的列按在B 中的次序构成矩阵1B ，把A 中相应列按在A 中的次序构成的矩阵记作1A 。那么1B 也是阶梯形的，它的非零行个数与B 的相同，并且就等于1B 的列数。因此，1B 是一个与B 有相同秩的列满秩矩阵。同时，用那些将A 变成B 的行变换可将1A 变成1B ，这说明1A 是与A 有相同秩的列满秩矩阵。考虑到1A 是由A 的某些列按在A 中的次序构成的矩阵，1A 的子式必是A 的子式，1A 的最高阶非零子式必是A 的最高阶非零子式。 在本例中，

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=00000840001134041461B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0004001401611B ，⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=5235

026231611A 。 1A 的三阶子式只有43

4

=C 个，其中必有不为零的，如子式 325

2

62

3161-=--