第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法1

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）

一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程

式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.

五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.

六、教学过程：

1 新课引入

由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组

dY

AY

dx

(3.20)

其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.

由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1

T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为

1dZ T ATZ dx

-= (3.22)

我们知道，约当标准型

1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλ

λλ---==-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.

下面分两种情况讨论.

(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形.

设特征根为12,,,,n λλλ这时

12

100n T AT λλλ-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

方程组(3.20)变为

111222

00

n n n

dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤

⎢⎥⎡⎤

⎡

⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(3.23)

易见方程组(3.23)有n 个解

1110(),00x

Z x e λ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010

(),,()0001n x

x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡

⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解

12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (1,2,,)i n =

这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到

定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向

量，则

121122(),(),

,()n x x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ=== 是方程组(3.20)的一个基本解组.

例1 试求方程组

353dx x y z

dt

dy

x y z

dt dz x y z

dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩

的通解.

解 它的系数矩阵是

311

151313A -⎡⎤

⎢⎥

=--⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

特征方程是

311

det()1510

313A E λλλλ

---=---=--

即

321136360λλλ-+-=

所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量

1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,,a b c 满足方程

1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即

030

0a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩

可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是

110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

故方程组的通解是

236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根

从上一讲我们已经知道，求解方程组

dY AY dx

= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2

i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应

解是 111(),x Y x e T λ= 222()x

Y x e T λ=

其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们

希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．