载流长直导线的磁场

A B = 9.273×1024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋， 原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
载流圆线圈轴线上的磁场
§11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用 毕奥—萨伐尔定律的应用
1. 载流长直导线的磁场
设有长为L的 设有长为 的 载流直 导线， 通有电流I。 导线 ， 通有电流 。 计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p 点的磁感强度。 点的磁感强度 。 取 Z 轴沿 载流导线，如图所示。 载流导线，如图所示。
O
d
β1
β 2
P
dB
载流长直导线的磁场
0 I dl sin α B = ∫d B = ∫ L L4 π r2
由几何关系有： 由几何关系有：
I
sin α = cos β
l = d tan β
dl = d sec β d β
2
r = d sec β
dl
L
α
r
β
l
P β 0 I dl sin α d β B=∫ O 2 dB L4 π r 0 β I 0I = ∫β d cos β d β = 4πd (sin β2 sin β1) 4π
点位于导线延长线上， = (3)P点位于导线延长线上，B=0 点位于导线延长线上
O
d
β 2
P
dB
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为 ，通以电流I 设有圆形线圈 ，半径为R，通以电流 。
I dl
R
r
d B⊥
θ
θ
dB
I
O
x
P
d B//
在场点P的磁感强度大小为
0 I d l × r dB = 4π r3
载流圆线圈轴线上的磁场
I dl
R
r
d B⊥
θ
θ
dB
I
O
x
P
d B//
0I sinθ B= 2πR 2 4πr R 2 2 2 ∵r = R + x ,sinθ = =
R 2 2 12 r (R + x ) 0IR2 0 IS ∴B = = 2 2 32 2 2 32 2π (R + x ) 2(R + x )
ω q ωqr d r dI = 2πr d r = 2 2 2π πR πR 0 d I
dB = 2r 0ωq R 0ωq B= dr = 2 ∫ 2πR 0 2πR
带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心 处宽度 的圆环作圆电流， 为dr的圆环作圆电流，电流强度： 的圆环作圆电流 电流强度： + + + + + + + + +o + + + + + ω
L
e L =－ 2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。 这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由于 电子的轨道角动量是满足量子化条件的， 电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔 理论中，其量值等于（h/2π） 的整数倍。 理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以 氢原子在基态时， 氢原子在基态时，其轨道磁矩为
IS 0 IS = 3 3 x 2π r pm r3
3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R， 电流为I， 设螺线管的半径为 ， 电流为 ， 每单位长度 有线圈n匝 有线圈 匝。
β1
r β
dB
R
A 1
β2
p
A2
l
dl
载流圆线圈轴线上的磁场
β1
r
dB
β
A1
β2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 由于每匝可作平面线圈处理， 匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度： 的一个圆电流， 点产生的磁感应强度 的一个圆电流 点产生的磁感应强度：
= IS = neπr
2
L = mevr = me 2πrnr = 2menπr e L = 2me
2
载流圆线圈轴线上的磁场
角动量和磁矩的方向可分 别按右手螺旋规则确定。 别按右手螺旋规则确定。 因为电子运动方向与电流 方向相反，所以L 方向相反，所以L和μ的 方向恰好相反，如图所示。 方向恰好相反，如图所示。 上式关系写成矢量式为载源自圆线圈轴线上的磁场I dl
R
r
d B⊥
θ
θ
dB
I
O
x
P
d B//
各电流元的磁场方向不相同， 各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B⊥ 由于圆电流具有对称性， 和 ，由于圆电流具有对称性，其电流元的 d B⊥ 逐对抵消，所以P 的大小为： 逐对抵消，所以P点 B的大小为：
0 I dl B = ∫ dB// = ∫ dBsin θ = sin θ 2 L L 4π ∫L r 0I sin θ 2πR 0I sin θ = dl = 2πR 2 ∫0 2 4πr 4πr
O1
Q1
P
Q2
O2
载流圆线圈轴线上的磁场
例题11-2 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运 在玻尔的氢原子模型中， 例题 动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩， 动相当于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁 试求轨道磁矩与轨道角动量 之间的关系， 与轨道角动量L之间的关系 矩。试求轨道磁矩 与轨道角动量 之间的关系，并 计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。 计算氢原子在基态时电子的轨道磁矩。 解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动， 的半径为r 转速为n 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电 电流的量值为I=ne 圆电流的面积为S=πr I=ne， 流，电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2， 所以相应的磁矩为
2(R + l ) 2 0R nI dl B = ∫L dB = ∫L 2 2 3/ 2 2(R + l )
2 2 3/ 2
dB =
0R nI dl
2
载流圆线圈轴线上的磁场
∵l = Rcot β
∴dl = Rcsc β d β
2 2 2 2 2
β1
r
dB
β
A1
β2
R
A2
p
又∵R + l = R csc β
B = ∫L
=
=
0R nI dl
2
l
dl
0
2
2(R2 + l 2 )3/ 2
nI ∫ [ sin β ]d β
β1 β2
0
2
nI (cos β2 cos β1)
载流圆线圈轴线上的磁场
B=
0nI
2
(cos β2 cos β1)
讨论： 讨论：
（1）螺线管无限长
β1 →π, β2 →0 B = 0nI
S = πR2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS ∴B = = 2 2 2 2 2π (R + x ) 2(R + x )
2
3 2
0IR
3 2
讨论： 讨论：
（1）在圆心处
x =0
B=
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
引入 pm = ISen
0 B= 2π 0 B= 2π
x >> R, x ≈ r
e h eh B = = 2me 2π 4πme
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 e=1.602× 9.11× 将e=1.602×10-19 C，me= 9.11×10-31kg ，普朗 克常量h= 6.626× 克常量h= 6.626×10-34Js代入，可算得 s代入，
R
载流圆线圈轴线上的磁场
B0 =
0 NI
2R
+
2 R +R
2
(
0 NIR2
2 3/ 2
)
0 NI 1 = 1 + = 0.677 2R R 2 2
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为 两线圈间轴线上中点P
0 NI
BP = 2
0 NIR2
2
2 R 2R + 2 0 NI = 0.716 R
返回
载流圆线圈轴线上的磁场
例题11-1 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆 例题11亥姆霍兹线圈在实验室中， 11 霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。 霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由 一对相同半径的同轴载流线圈组成， 一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的 距离等于它们的半径时， 距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴 线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到， 线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时 在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 设两个线圈的半径为R 解 设两个线圈的半径为 R ， 各有 N 匝 ， 每匝中的电流均 且流向相同（ 如图） 为 I ， 且流向相同 （ 如图 ） 。 两线圈在轴线上各点的场强 O1 Q1 P Q2 O2 方向均沿轴线向右， 方向均沿轴线向右 ， 在圆心 处磁感应强度相等， O1 、 O2 处磁感应强度相等 ， R R 大小都是
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B = 0nI / 2
实际上， 实际上 ， L>>R 时 ， 螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0nI