正切函数的图像和性质

课题：正切函数的图象和性质

教学目的：1．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象。

2．理解正切函数的性质。

3．会用数形结合的思想理解和处理有关问题。

教学重点：正切函数的图象和性质。

教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象。 教学方法：探索+讲练结合

学法指导：学会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，探索性质，并会用性质解决相关问题。 教学过程

1．设置情境

前面我们学习了正弦、余弦函数的图像和性质，正切函数是不同于正弦、余弦函数的又一三角函数，我们今天要学习的就是正切函数的图象和性质。板书课题。

2．复习

请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出x y sin =图像的． 回答后联想画正切函数的图像的方法。 3．新知传授：

（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2

,z k k R ∈+≠∈ππ

αα，那么，角α的终边与单位圆交于

点),(b a P ，唯一确定比值

a b ，根据函数的定义，比值a

b

是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作αtam y =，其中)(2

,z k k R ∈+≠

∈ππ

αα。

αααcos sin tan =

，)(2

,z k k R ∈+≠∈ππ

αα由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称为三角函数。

正切线：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的交点为：)0,1(A ，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点)0,1(A 作x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。AT 为正切线。如下图，

正切线是AT ．(注意A 点的位置)

（2）正切函数x y tan =的图象：

首先考虑定义域：()z k k x ∈+

≠2

π

π

再考虑一下它的周期：从正切线猜想周期为π，证明如下： ()()()⎪⎭

⎫

⎝⎛∈+≠∈=--=++=

+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且

⎪⎭

⎫

⎝

⎛∈+

≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan π

π且的周期为π=T （最小正周期） 因此我们可选择⎪⎭

⎫

⎝⎛-

2,2ππ的区间作出它的图象。为什么？ 作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③找横坐标（把x 轴上2π-

到2

π

这一段分成8等份）． ④找纵坐标，正切线平移． ⑤连线．

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数x y tan =，R ∈x 且

ππ

k x +≠

2

（Z ∈k ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图2）．

图1

图2

（3）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠Z k k x x ，ππ

2 ②值域

由正切曲线可以看出，当x 小于

ππk +2

（Z ∈k ）且无限接近于

ππk +2

时，x tan 无限增大，即可以

比任意给定的正数大，我们把这种情况记作+∞→x tan （读作x tan 趋向于正无穷大）；当x 大于π

πk +-2

且无限接近于ππ

k +-

2

，x tan 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情

况记作-∞→x tan （读作x tan 趋向于负无穷大）．这就是说，x tan 可以取任何实数值，但没有最大值、最

小值．

观察结果：当x 从小于()z k k ∈+

2

π

π，2

π

+π−→−k x 时，∞−→−

x tan 当x 从大于

()z k k ∈+ππ

2

，ππ

k x +−→

−2

时，-∞−→−

x tan 因此，正切函数的值域是实数集R ．

③周期性

正切函数是周期函数，周期是π． ④奇偶性

∵()x x tan tan -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性

由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ππk +-2

，

ππk +2

）

，Z ∈k 内都是增函数． 4．例题分析

例1 求函数⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+

=4tan πx y 的定义域． 解：令4

π

+

=x z ，那么函数z y tan =的定义域是⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠

Z k k z z ，ππ

2 由 ππ

π

k z x +=

=+2

4

，可得 ππ

πππ

k k x +=

-

+=

4

42

所以函数⎪⎭⎫

⎝

⎛

+

=4tan πx y 的定义域是⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ，ππ4 注：即把整个相位看成一个整体，这个整体不等于

Z ∈+k k ，ππ

2

。

变式训练：

例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 167tan 与

173tan ；