欧拉积分

Γ( s ) = ∫ e x dx ( s > 0)
0
x
s 1
Γ 函数是一个很有用的特殊函数
2. Γ 函数的连续性和可导性
Γ(s) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内非一致收敛 .
这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用 了下面的结果:
若含参广义积分在 y ∈ ( a , b ] 内收敛, 但 在点 y = a 发散, 则积分在 ( a , b ] 内非一致 收敛 .
且
n
Γ ( s ) = ∫ x e ( ln x ) dx
3. 凸性与极值 凸性与极值:
Γ ′′( s ) =
Γ ( s ) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内严格下凸 内严格下凸. Γ(1) = Γ(2) = 1 ( 参 下 段 ), Γ(s) 在 区 间
( 0 , + ∞ ) 内唯一的极限小值点 亦为最小值点 ) 介于 内唯一的极限小值点(
∫
当
1
0
x
p 1
(1 x )
q 1
dx
(p>0, q>0 )
为Euler第一型积分 第一型积分. 第一型积分
p
和 q 中至少有一个小于 1 时,该积分为瑕积分.
下证对 p > 0 , q > 0 , 该积分收敛.
由于 p , q < 1 时点 x =1 0 和 x = 1 均为瑕点.
故把积分
∫
1
0
e
注意到结果 ∫ 特殊值
+∞
0
e dx =
x2
π
2 ,
得 Γ (s ) 的一个
+∞ π 1 t2 Γ = 2 ∫ e dt = 2 = 0 2 2 +∞
π ≈ 1.772454
+
例 2 计算积分 ∫0
t = x2
x e
n 1 2
2n
x2
dx ,其中 n ∈ Z
1 解 I ==== 2 ∫0 t
§3 欧拉积分
一 Gamma 函数 Γ(s) —— Euler 第二型积分
二. Beta 函数 B( p, q) —— ——Euler 第一型积分
三. Γ 函数和 B 函数的关系
利用Euler积分计算积分 四. 利用 积分计算积分
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函 数 , 即 Γ (s ) 和 B ( p , q ) . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函 数. 一 Gamma 函数 Γ( s) —— Euler 第二型积分
Γ ( 2.15 ) .
解
Γ ( 4 . 85 ) = 3.85Γ(3.85) = 3.85 × 2.85Γ(2.85) = 3.85 × 2.85 ×1.85Γ(1.85)
= 3.85× 2.85×1.85× 0.94561= 19.19506
Γ( 1.85 ) = 0.85Γ(0.85)
Γ(1.85) 0.94561 Γ( 0.85 ) = = = 1.11248 0.85 0.85
用其作为 1< s < 0时 Γ(s) 的定义, 即把 Γ (s ) 延拓到了 ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内. Γ ( s + 1) 2 < s < 1 时, 依式 Γ ( s ) = , s
利用延拓后的 Γ (s ) ,
又可把 Γ (s ) 延拓到
( 2 , 1 ) ∪ ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内 .
( 易见 p = 0 时积分 ∫
1 1 2
2 0
发散 ).
∫
:
1q
p ≥ 1 时为正常积分;
q1 p1
0 < p < 1时,点 x = 1为瑕点.由被积函数非负,
(1 x) (1 x) x
→1, ( x →1 ) 和 1 q < 1
( 由 Cauchy 判法) 1 积分 ∫ 1 收敛 . 2 2 ( 易见 q = 0 时积分 ∫0 发散 ).
x
s 1
1
x
s 1
dx , I 2 = ∫1 e x x s 1dx ,
+∞
( 2) Q lim x ( e x
2 x → +∞
而 1 s < 1, 根据比较审敛法 2, I 1 收敛 . s +1
x s 1
1 1 1 = 1 s x < 1 s , x e x
x ) = lim x = 0, x → +∞ e
q q B( p + 1 , q + 1) = B( p +1, q ) B( p +1 , q +1) p +1 p +1
4.
B 函数的其他形式 函数的其他形式:
α
ⅰ） 令 y = x , 有
∫x
0
1
γ
(1 x ) dx =
1 1+γ 0
α
β
=
α∫
Γ ( s ) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内闭一致收敛
即在任何 [a, b] ( 0 , + ∞ ) 上 , Γ (s ) 一致收敛 . 1 s1 x a1 x 因为 0 < a < b 时, 对积分 ∫ 0 ,有 x e ≤ x e ,
而积分 ∫
+∞
1
0
x
+∞ 1
a 1
e
x
dx 收敛.
===== ∫ (1 t )
1
x =1 t
0
p 1 q 1
t
dt =
=
由于
∫t
0
1
q 1
(1 t )
p 1
dt = B ( q , p )
B
函数的两个变元是对称的, 因
此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.
3. 递推公式 B( p + 1 , q + 1 ) = 证
1 p
1 1 B ( p + 1 , q + 1 ) = ∫ x (1 x) dx = (1 x) q d ( x p +1 ) 0 p + 1 ∫0
Γ (s ) 的 可 导 性 : Γ (s ) 在 区 间 ( 0 , + ∞ ) 内 可 导 ,
.
且
Γ′(s) = ∫
+∞
0
同理可得:
+∞ s1 x s 1 x ( x e )dx = ∫ x e ln xdx 0 s
Γ (s ) 在区间 (0, +∞)内任意阶可导 内任意阶可导,
(n) +∞ s 1 x 0
依此 , 可把 Γ(s) 延拓到 ( ∞ , + ∞ ) 内除去
x =n( n =0,1, 2,L 的所有点. 经过如此延拓 ) 后的 Γ(s) 的图象如教材 P192 图表 19—2.
求 Γ ( 4.85 ) , Γ ( 0.85 ) , ( 查表得 Γ( 1.85 ) = 0.94561.) 例 1
b1 x
对 积 分
∫
,Fra Baidu bibliotek
x e ≤x e
s1 x
, 而 积 分
∫
∫
0
1
x e dx 收敛.
b 1 x
由 M—判法, 它们都一致收敛,
+∞
积分
x s 1e x dx 在区间 [a, b] 上一致收敛 .
作类似地讨论,可得积分 ∫0
+∞
(x s 1 e x ) ′s dx 也在区
间 ( 0 , + ∞ ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: Γ(s ) 的连续性: Γ(s) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内连续 .
Γ(1.15) Γ( 2.15 ) = 2.15 1 Γ(0.15) 1 Γ(0.85) = = 2.15 1.15 2.15×1.15 0.15
0.94561 = = 2.54967 2.15 × 1.15 × 0.15
6 Γ －函数的其它形式
1） 令 x =
Γ (s ) =
+∞ 0
pt ( p > 0) ,
0 0
q 1
= ∫ x (1 x)
dx ∫ x p (1 x) q dx = B( p + 1 , q) B( p + 1 , q + 1)
0
1
代入 * 式, 有
)
q B( p + 1 , q ) 解得 B( p + 1 , q + 1 ) = p + q +1
由对称性, 又有
p B( p + 1 , q + 1 ) = B( p , q + 1 ) p + q +1
1 与 2 之间 .
∫
+∞
0
x
s 1
e ( ln x ) dx > 0
2
x
4．递推公式 Γ(s +1) = sΓ(s) (s > 0).
证 Γ( s + 1) = ∫0 x e dx = ∫0 x (e )′dx =
s x s x +∞ +∞
= x e
Γ (1) =
s x +∞ 0
+∞
+s∫ x e dx = s∫ xs1exdx = sΓ(s)
q
q B( p + 1 , q ) p + q +1
1 q 1 p+1 q p +1 1 = (1 x) x 0 + x (1 x)q1 dx p +1 p + 1 ∫0
而
1 p 0
q 1 p +1 ) = x (1 x) q 1dx * p + 1 ∫0 1 1 p +1 q 1 x (1 x) dx = ∫ [ x p x p (1 x)](1 x) q 1 dx = ∫
B( p, q) = ∫0
1
p >0, q >0 时积分 ∫0 收敛.
1
x p 1 (1 x) q 1 dx
( p > 0, q > 0)
2.函数的对称性 函数的对称性: 函数的对称性 证
1
B( p, q) = B(q, p)
0
.
B ( p, q ) = ∫ x p 1 (1 x ) q 1 dx
1
综上,
} 设 D = { ( p,1q) | 0 < p < +∞, 0 < q < +∞ 于是, 积分 ∫0 定义了 D 内的一个二元函数. 称该函数为 Beta 函数 记为 B ( p, q ) , 即 函数,
不难验证, B 函数在 D 内闭一致收敛.又 被积函数在 D 内连续, 因此 , B 函数是 D 内 的二元连续函数.
分成 ∫
2 0
和 ∫1 2
1
考虑.
∫
1 2 0
:
p ≥ 1 时为正常积分;
0 < p <1时, 点 x = 0 为瑕点. 由被积函数非负, 1 p p1 q1 + x x (1 x) →1, ( x → 0 ) 和 1 p < 1 ( 由 Cauchy 判法) 积分 ∫ 收敛 . 1
1 2 0
Γ(s )
根据极限审敛法 1, I 2 也收敛 .
由(1), (2) 知
∫0
+∞ x
e x dx 对 s > 0 均收敛 .
s1
o
s
综上 , s > 0 时积分
∫
+∞
0
x
s 1
e dx 收
Euler
x
敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分 第二型积分.
第二型积分定义了 s ∈ ( 0 , + ∞ ) 内的一个函 数, 称该函数为 Gamma 函数 记为 Γ (s ) , 函数, 即 +∞
s 1
有
s +∞ 0
∫ ∫ +∞ s 1 px s 因此, ∫0 x e dx = p Γ(s )
x e dx = p
2)．在 Γ ( s ) = ∫ 有 Γ(s) = 2∫
0 +∞ 0 +∞ u2
x
t
s 1 pt
e
dt
( p > 0, s > 0)
e x x s 1dx 中，作代换 x = u 2， u 2 s 1du.
1.
Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分 函数
(s>0) 0 特点 1).积分区间为无穷; 2).当 s 1 < 0 时被积函数在点 x = 0 的
∫
+∞
x
s 1 x
e dx
右领域内无界.
(1) 当 s ≥ 1 时, I1 是常义积分 当 0 < s < 1 时, ;
Qe
x
设 I 1 = ∫0 e x
0 0
11
+∞
s1 x
+∞
∫
0
x
e dx =
x
∫
+∞
0
e x dx = 1
于是, 利用递推公式得:
Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1 Γ (3) = Γ ( 2 + 1) = 2 Γ ( 2 ) = 2 1 = 2 !
Γ(4) = Γ (3 + 1) = 3Γ(3) = 3 2 ! = 3 !
+∞
1 1 e dt = Γ ( n + ) 2 2
t
1 ( 2 n 1) !! 1 ( 2 n 1) !! = Γ( ) = n 2 2 2 2 n +1
——Euler 第一型积分 二. Beta 函数 B( p, q) —— 1．Beta函数及其连续性 ． 函数及其连续性 称( 含有两个参数的 )含参积分
Γ ( n + 1) = n Γ ( n ) = n ( n 1) Γ ( n 1) = L = n ! Z + 上, Γ (s ) 正是正整数阶乘的表达式 . 可见,在
5. Γ 函数的延拓
Γ(s +1) s > 0 时, Γ(s +1) = sΓ(s), Γ(s) = s .
该式右端在 1 < s < 0 时也有意义 .
…………,
一般地有
倘定义 s != Γ( s + 1) , 易见对 s > 1 ,该定义是 有意义的. 这样一来, 我们很自然地把正整数的 阶乘延拓到了 ( 1 , + ∞ ) 内的所有实数上,于是, 自然就有 0!= Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1 , 可见在初等数 学中规定 0!= 1 是很合理的.