对有理数的认识

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对有理数和无理数的认识

对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关键词：有理数无理数代数无理数与超越无理数一、有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。

也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。

维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。

然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。

若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。

或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。

因此在自然数域中算术运算是全可能的。

那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。

对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。

因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。

（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

有理数与无理数

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

认识有理数

认识有理数一、学习目标1.认识正数和负数；2.有理数的定义；3.有理数的分类。

二、知识点讲解1、认识正数和负数①正数：像3，3.5这种大于0的数叫做正数；②负数：像-3，-4.5这样在正数前加上“-”号的叫做负数；③符号：一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。

知识点解读一般，我们会把上升、运送、零上、收入、前进、高出等规定为正；而它的相反意义的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负。

2、负数和正数①负数：比0小的数。

负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。

负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

②正数：比0大的数。

正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。

正数与负数表示意义相反的量。

正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

③0既不是正数，也不是负数。

注意事项①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

典型例题、认识正数和负数五个数中，负数共有（）个。

1.题干：在-5、-2.3、0、0.89、1-43A、2个B、3个C、4个D、5个个人分析：负数的定义是_______。

答案：B、解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，符合条件的有3个，故选B错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂总结：本题主要考察正数和负数的相关概念，需要分清他们的定义。

2.题干：-5属于（）。

（填正数或者负数）个人分析：负数的定义是_______；正数的定义是______。

答案：负数解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，故为负数。

错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂3.题干：-8是正数。

有理数的意义分析

有理数单元教学目标1了解有理数的意义。

会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。

2了解数轴、相反数、绝对值的概念。

会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

3掌握有理数大小比较的法则。

会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。

单元教学重点1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。

2数形结合的思想方法。

单元教学策略有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。

对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。

教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。

同时还要注意为后面的学习做好准备。

教学手段和方法1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来2指导学生阅读、讨论、练习、总结。

3使用投影仪。

第1、2课时正数与负数一、学习目标1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。

2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。

二、教学过程师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数）填空1在数物体时，物体的个数用 ___________________________ 示；一个物体也没有，就用_________________________ 示。

2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用 ______________________________ 示。

3北京冬季里的一天，白天最高气温比0C高10C，记作10C ;夜晚最低气温比0C低5C，记作_______________________________________ 。

在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848,表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低21 2 8848、-155,21师：在黑板上写出11、2、3、0、-5、21、1.5、-1、1.5、2请同学们认真观察教师写出的数，以四个小组为单位，讨论下面的问题1哪些数是我们在小学已经学过的？自然数包括0吗？2哪些数我们还没有学过？试说明它们都是在实际需要中产生的。

初一数学有理数的要点归纳

初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

基础知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。

2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、数轴(numberaxis)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。

6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。

8、有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

七年级数学上册试讲教案

七年级数学上册试讲教案第一章：有理数1.1 认识有理数教学目标：让学生理解有理数的定义，掌握有理数的分类。

教学内容：有理数的定义，有理数的分类（整数、分数）。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解有理数的定义，通过分类讨论，让学生掌握有理数的分类。

1.2 数轴教学目标：让学生理解数轴的概念，学会在数轴上表示有理数。

教学内容：数轴的定义，数轴上的表示方法。

教学方法：通过直观的图形展示，让学生理解数轴的概念，通过实例讲解，让学生学会在数轴上表示有理数。

第二章：整式的加减2.1 单项式加减教学目标：让学生掌握单项式的加减法运算。

教学内容：单项式的加减法运算规则。

教学方法：通过例题讲解，让学生掌握单项式的加减法运算规则。

2.2 多项式加减教学目标：让学生掌握多项式的加减法运算。

教学内容：多项式的加减法运算规则。

教学方法：通过例题讲解，让学生掌握多项式的加减法运算规则。

第三章：分式3.1 认识分式教学目标：让学生理解分式的定义，掌握分式的分类。

教学内容：分式的定义，分式的分类（正分式、负分式、零分式）。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解分式的定义，通过分类讨论，让学生掌握分式的分类。

3.2 分式的加减教学目标：让学生掌握分式的加减法运算。

教学内容：分式的加减法运算规则。

教学方法：通过例题讲解，让学生掌握分式的加减法运算规则。

第四章：函数的概念4.1 认识函数教学目标：让学生理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

教学内容：函数的定义，函数的表示方法（列表法、解析法）。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，通过分类讨论，让学生掌握函数的表示方法。

4.2 一次函数教学目标：让学生掌握一次函数的定义，学会解一次方程。

教学内容：一次函数的定义，一次方程的解法。

教学方法：通过例题讲解，让学生掌握一次函数的定义，通过解方程的练习，让学生学会解一次方程。

第五章：数据的收集与处理5.1 数据的收集教学目标：让学生掌握数据收集的方法，学会使用调查法收集数据。

七年级上册有理数教案

第一章有理数一、全章概况：本章主要分两部分：有理数的认识，有理数的运算。

二、本章教学目标1、知识与技能（1）理解有理数的有关概念及其分类。

（2）能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。

（3）理解有理数运算的意义和有理数运算律，经历探索有理数运算法则和运算律的过程，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主），并能运用运算律简化运算。

（4）能运用有理数的有关知识解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法（1）通过实例的引入，认识到数学的发展来源于生产和生活，培养学生热爱数学并自学地学习数学的习惯。

（2）通过对有理数的加、减、乘、除、乘方的学习，培养学生独立思考、认真作业的态度，提高运算能力，逐步激发学生的创新意识。

3、情感、态度与价值观（1）通过对有理数有关概念的理解，使学生了解正与负、加与减、乘与除的辩证关系，初步感受数学的分类思想。

（2）通过师生互动，讨论与交流，培养学生善于观察、抽象、归纳的数学思想品质，提高分析问题和解决问题的能力。

三、本章重点难点：1、重点：有理数的运算。

2、难点：对有理数运算法则的理解（特别是混合运算中符号的确定）。

四、本章教学要求认识有理数，首先是引入负数，必须从学生熟知的现实生活中，挖掘具有相反意义的量的资源，让学生有真切的感受，然后才引出用正负数表示这些具有相反意义的量，在理解有理数的意义时，注意运算数轴这个直观模型。

无论是有理数的认识，还是有理数运算的教学，都应设法让学生参与到“观察、探索、归纳、猜测、分析、论证、应用”等数学活动中来，并适时搭建“合作交流”的平台，让学生在学习数学中，动脑想、动手做、动口说，力求让学生自己建立个性化的认识结构。

在有理数的运算教学中，应鼓励学生自己探索运算法则和运算律，并通过适量的练习巩固，提倡算法多样化，反对做繁难的笔算，遇到较为复杂的计算应指导使用计算器。

有理数的基本概念与运算

第一章有理数基本内容结构本章内容：（1）有理数的相关概念，包括数轴、相反数、绝对值等；（2）有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除和乘方运算等；（3）科学记数法和近似数.本章重点：（1）有理数的相关概念，能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（2）有理数的运算，能进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算和简单的混合运算.本章难点：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解.本章考情：本章在中考题中主要考查有理数的有关概念和科学记数法，题型主要以选择题、填空题为主. 本章知识是后续学习的基础，所以在对其他内容的考查中也会包含有理数的知识.学习方法指导1. 有理数的有关概念及运算与小学学过的数的概念及运算联系紧密，因此注意应用类比的方法学习. 例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结为已学过的运算.2. 注重数学思想的应用，体会数形结合、分类讨论、转化、类比等数学思想方法在本章学习中的应用.1.1 正数和负数本节概念与方法：正数和负数是具有相反意义的量．教学要求1．了解正数和负数的产生过程，体会数学与现实生活的联系．2．理解正数、负数和0的意义，会判断一个数是正数还是负数．13．能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．提前预习内容1．自然数的认识：自然数起源于数数，0是最小的自然数，没有最大的自然数．2．自然数与整数的关系：自然数都是整数，但整数不一定是自然数．3．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数．知识点突破知识点1 正数与负数的定义1．像2%，4，3，5这样大于0的数叫做正数. 有时为了明确所表达的意义，要在正数前面加上“＋”（正）号，如＋2，＋0.7，17+，…．2．像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数．提示：小于零的数是负数．3．0既不是正数，也不是负数，不要忽视零的这一特性．注意：（1）一个数前面的“＋”或“－”号叫做这个数的符号，正数前面的“＋”号一般省略不写，负数前面的“－”号不能省略不写．（2）0的意义：0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界．例1 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数．＋2014，－3.1，12，10.58，－9，＋1，－45.6，0，1100+，－7%，114-．分析：可根据正数、负数的定义判断一个数是正数还是负数．解：正数有：＋2014，12，10.58，＋1，1100+．负数有：－3.1，－9，－45.6，－7%，114-．知识点2 用正数、负数表示具有相反意义的量在生产、生活中常常会遇到一些具有相反意义的量，例如“收入1000元与支出500元”“向东走2 km与向西走3 km”“上升1.5 m与下降0.8 m”等．为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具有相反意义的量规定为负的．学习具有相反意义的量应注意两点：（1）它们表示的意义相反；（2）它们是同类量．提示：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，2但习惯把“前进、上升，收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负．例如：若规定收入1000元记作＋1000元，则支出500元记作－500元；若规定上升1.5 m记作＋1.5 m，则下降0.8 m记作－0.8 m．（2）具有相反意义的量一定是具体的数量．（3）具有相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约3吨汽油与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．（4）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量．具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等，如盈利3000元与亏损400元是具有相反意义的量．例2 （1）天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5 ︒C，最低温度是零下3 ︒C，若规定零上温度为正，则零上5 ︒C可记作︒C，零下3 ︒C可记作︒C．（2）如果某蓄水池的水位比标准水位高2 m，记作＋2 m，那么比标准水位低0.8 m应记作；恰好在标准水位应记作．（3）某地区的平均高度高于海平面310 m，记作海拔高度＋310 m，则海拔高度－270 m 表示．解析：（1）因为规定零上温度为正，所以零下温度为负；（2）比标准水位高用正数表示，那么比标准水位低则用负数表示，恰好在标准水位上就用0表示；（3）高于海平面的海拔高度用正数表示，所以负数表示海拔高度低于海平面．答案：（1）＋5（或5），－3；（2）－0.8 m，0 m；（3）低于海平面270 m．点拨：用正数和负数表示具有相反意义的量时，要明确“基准”．例3 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作m．观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题．日期8月1日8月2日8月3曰8月4曰8月5日水位/m －0.80 0 0.38 0.50 0.96（1）哪一天的水位最高？最高水位是多少？（2）哪一天的水位最低？最低水位是多少？（3）在这五天中，有多少天的水位超过警戒水位？分析：在本题中负数表示低于警戒水位，正数表示超过警戒水位，由此可确定每天的水位，再进行比较即可．解：－0.60．（1）8月5日的水位最高，为12.96 m．（2）8月1日的水位最低，为11.20 m．（3）在这五天中，有三天的水位超过警戒水位．34规律总结：当题目中已明确给出“一种意义”的量对应的是正数还是负数时，我们就可判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数还是正数．题型分类剖析题型1 辨别正数和负数例1 在－5，0，2014，123-，13-，＋0.03，154+，－1.23，π中，负数的个数为（）． A ．8 B ．6 C ．4 D ．3解析：根据负数的定义进行判断．注意对于正数和负数，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，如＋(－4)＝－4不是正数，－(－2)＝2不是负数.答案：C题型2 正数和负数的实际应用1．用具有相反意义的量表示行走问题中的量例2 文具店、书店和玩具店依次位于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m 处，玩具店在书店东边100 m 处，小明从书店沿街向东走了40 m ，接着又向东走了－60 m ，此时小明在（）．A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西40 m 处D ．玩具店西60 m 处解析：把文具店、书店、玩具店的相对位置及小明的行走路线在图上表示出来，小明从书店出发沿街向东走了40 m ，到达M 处，接着又向东走了－60 m ，表示接着向西走了60 m ，所以小明向西走了60 m ，此时小明在文具店．答案：A方法归纳：图示法．图示法是将研究的问题用图表示出来，使其直观形象，便于理解问题内在联系的方法．例如，本题中用直线上的点表示位置，用线段的长表示距离，便可轻松地确定小明的位置．2．用正数、负数记录成绩例3 七年级（1）班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，将超过平均成绩的记为正，得到五名同学的成绩为－15分，－4分，0分，4分，15分．这五名同学的实际成绩分别是多少分？分析：以平均成绩为标准，负数表示该成绩低于平均成绩，0表示该成绩与平均成绩相同，正数表示该成绩高于平均成绩．解：－15分表示比平均成绩85分少15分，即70分；－4分表示比平均成绩少4分，即81分；0分表示和平均成绩相同，即85分；4分表示比平均成绩多4分，即89分；15分表示比平均成绩多15分，即100分．这五名同学的实际成绩分别是70分，81分，85分，89分，100分．方法归纳：为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示．3．用正数、负数表示误差范围例 4 某饮料公司生产了一种瓶装饮料，外包装上印有“(600±30) mL”的字样，那么(600±30) mL表示什么含义？质检局抽查了5瓶该产品，容量分别为603 mL，611 mL，588 mL，568 mL，628 mL，就容量而言，问抽查的产品是否合格？解题关键：“(600±30) mL”隐含着产品合格的范围，即合格产品的容量在(600－30) mL与(600＋30) mL之间，根据这个范围来判断抽查产品是否合格．解：(600±30) mL表示容量在(570～630) mL的产品都合格．抽查的5瓶饮料中只有568 mL比600 mL少了32 mL，属不合格，其余均合格．注意：正数和负数的分界是0，但并不是所有的分界都是0，如本题中的分界为600 mL．题型3 与正数、负数相关的表格信息题例 5 一个病人每天要测量五次体温，该病人某一天五次所测体温的变化情况（与前一次测量的体温比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是38 ︒C）如下表：时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C（1）完成上面的表格；（2）计算该病人这一天的平均体温；（3）用前一天最后一次测量的体温与这天的平均体温比较，你能判断出该病人的体温是上升还是下降吗？分析：（1）根据该病人一天的体温变化情况，结合正数和负数的表示方法，即可求出答案．（2）根据表中所给的数据，结合题意，即可求出该病人这一天的平均体温．（3）用该病人前一天最后一次测量的体温与病人这天的平均体温进行比较，即可得出答案．解：（1）完成表格如下：5时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C ＋39.1 ＋39.5 ＋38.5 ＋39 ＋38.9（2）根据题意，得平均体温＝(39.1＋39.5＋38.5＋39＋38.9)÷5＝195÷5＝39 ︒C．（3）∵前一天最后一次测量的体温是38 ︒C，这天的平均体温是39 ︒C，39 ︒C>38 ︒C，∴该病人的体温上升了．注意：本题中明确每次的基准温度是难点，只有第一次测量体温时的基准温度是38 ︒C，而后几次的基准温度均是前一次所测量的实际温度．题型4 正数、负数的规律探究题例6 观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数分别是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，，，，…；（2）－1，12，－3，14，－5，16，－7，18，，，，…．分析：仔细观察每组数的特点，尤其是符号的分布特点，从变化中发现一般规律．由第（1）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n是3的整数倍时，此数为＋n；当n不是3的整数倍时，此数为－n；由第（2）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为1n．解：（1）＋9，－10，－11．这组数中的第15个数为＋15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．（2）－9，110，－11．这组数中的第15个数为－15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．点拨：探索规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数两个方面进行观察，若是分数，还要分别观察分子和分母．要特别注意观察符号的变化规律，这样才能找到这组数的变化规律．中考考点对接考点归纳解读 1：正数和负数的定义，主要考查辨别一个数是正数还是负数，中考题中多以选择题和填空题的形式出现，题目较简单．解读 2：考查运用正数、负数表示具有相反意义的量或考查用正数、负数表示的数的实际意义，题型以选择题、填空题为主．6典型考题中考真题（(2016·山东临沂中考·3分）四个数－3，0，1，2，其中负数是（）．A．－3 B．0 C．1 D．2解析：根据负数的定义来判断．答案：A考题点睛：中考真题和教材练习题均考查了依据正数、负数的定义来辨别正数或负数，需要注意的是0既不是正数也不是负数．中考真题（2016·广州中考·3分）中国人很早开始使用负数，在中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章就正式引入了负数，这在世界数学史上属首次．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（）．A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元解析：在实际问题中，由于“收入”和“支出”的意义相反，因此在用正负数表示具有相反意义的量时，若收入100元记作＋100元，那么－80元表示支出80元，所以选项C正确，答案：C．考题点睛：中考真题与教材练习题都考查了对用正数、负数表示具有相反意义的量的理解，其解决问题的思想方法完全相同，属基础题．小结与警示一、知识结构图示二、前车之鉴易误点1 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数．正数前面的“＋”号有时可以省略，但省略“＋”号后仍是正数；用字母表示数时，带有“＋”号或省略“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．提示：例题见“题型分类剖析”例1．易误点2 对“0”的含义理解不准确．例1 下列说法错误的是（）．7A．0是自然数B．0是整数C．0是偶数D．某地海拔高度为0 m表示某地没有海拔高度答案：D注意：小学阶段开始学习数的吋候，0表示没有，学习了负数后，0除了表示“没有”外，还是正数与负数的分界．本题D选项中对海拔高度0 m的理解错误，它并不是表示某地没有海拔高度，而是表示某地与海平面一样高．易误点3 对负数表示的意义理解不清．例2 如果上升3 m记作＋3 m，那么－4 m表示什么意义？解：－4 m表示下降4 m．注意：本题易错答案为下降－4 m．产生错误的原因是用正数、负数表示具有相反意义的量时，对负数表示的意义理解不清．易误点4 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位．例3 如果中午12点记作0时，下午3点记作＋3时，那么上午9点记作．解析：中午12点记作0时，中午12点之后几小时记作正几时，则中午12点之前几小时记作负几时，上午9点是中午12点之前3小时，故用－3时表示．答案：－3时注意：把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不是一个量了．本题易错答案为－3，因漏掉后面的单位而出错．综合练习1．如果规定每天上午10时记为0时，10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个时间单位，如9：15记为－1时，10：45记为1时，那么7：45应记为（）．A．3时B．－3时C．－2.15时D．－7.45时2．在一次跳远测试中，体育老师以达标成绩2.00 m为标准，将高于该成绩的记为正，低于该成绩的记为负．王非跳出了2.12 m，记为＋0.12 m；何叶跳出了1.95 m，记为；张平跳出的成绩记为0 m，他实际跳的距离是．3．一个物体沿着东、西两个方向运动，若向东记为正，向西记为负，则：（1）向东运动2 m，记作，向西运动4 m，记作；（2）＋3 m表示向运动m，－6 m表示向运动m；（3）物体原地不动时，记作m．4.（“典型例题分析”例4变式）如图所示，某食品包装盒上标有“净含量385 g±5 g”，则这盒食品的合格净含量范围是g～390 g．895．教室高3 m ，教室里课桌高0.8 m ，如果把桌面高度记作0 m ，那么教室顶部和地面的高度分别记作什么？如果把教室顶部的高度记作0 m ，那么桌面和地面的高度分别记作什么？6．（“题型分类剖析”例3变式）如果课桌高度比标准高度高2 mm 记作＋2 mm ，那么比标准高度低3 mm 记作什么？现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高＋1 mm ，－1 mm ，0 mm ，＋3 mm ，－1.5 mm ，若规定课桌的高度比标准高度高不超过 2 mm ，低不超过 2 mm 就算合格，则上述5张课桌中有几张合格？1.2 有理数本节概念与方法：有理数，有理数的分类，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较．教学要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小，能对有理数按一定标准进行分类．2．借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数、绝对值的方法． 3．知道|a |（a 表示有理数）的含义． 4．初步感悟分类讨论思想和数形结合思想．提前预习内容1．几个定义：10正数：像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数．负数：像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上符号“－”（负）的数叫做负数．非正数包括负数和0；非负数包括正数和0．2．已学过的几类数：（1）正整数，如1，2，3，…；（2）0；（3）负整数，如 1，－2，－3，…；（4）正分数，如12，13，0.1，35，…；（5）负分数，如－0.5，23-，18-，…．知识点突破知识点1 有理数的有关概念★ 整数包括正整数、0、负整数，如－3，－2，0，1，2，3等． ★ 分数包括正分数、负分数，如＋113，0.18，－1.35，45-等．分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数，如10.254=，10.33= ，10.1428577= ．所以有限小数和无限循环小数都属于分数，如3.17，0.3- 等都是分数． ★ 整数和分数统称为有理数． ★ 几个常用数学名词的含义．（1）正整数：既是正数，又是整数的数．（2）负整数：既是负数，又是整数的数．（3）正分数：既是正数，又是分数的数．（4）负分数：既是负数，又是分数的数．（5）非负数：正数和0．（6）非正数：负数和0．（7）非负整数：正整数和0．（8）非正整数：负整数和0．拓展：任何一个有理数都可以写成nm的形式，其中只有当m ，n 同时满足：① m ，n 是互质的整数；② n ≠0，m ≠1时，nm才表示一个最简分数．注意：（1）有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不能转化成分数，故无限不循环。

有理数的认识

1.有理数的认识知识回顾1、正数和负数的有关概念（1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数； 0既不是正数，也不是负数。

（2）正数和负数表示相反意义的量。

2、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。

通常有两种分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正数正分数有理数负整数负数负分数小试牛刀【例题1】下面说法中，错误的是（）A ．有理数是正数和负数的总称B ．有理数是整数和分数的总称C ．有理数是非负数和负数的总称D ．有理数是非正数和正数的总称【例题2】判断对错1．无限循环小数不是有理数 ( ) 2．凡小数都是有理数 ( ) 3．凡是有理数，都可以写成分数的形式 ( ) 4．如果a 是有理数，那么a 不是整数，就是分数 ( )5．正数都带“+”号 ( ) 6．小学数学中学过的数都是正有理数 ( ) 7．“-2”既可以看成“负2”，也可以看成“减2”，还可以看成“-1乘以2” ( )【例题3】.多选题．下面说法中，正确的是（）A ．在有理数中，零的意义仅表示没有；B ．0不是正数，也不是负数，但是有理数；C ．0是最小的整数；D ．0是偶数．【例题4】把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里．分析：自然数包括正整数和0，非正数的集合包含负数和零．应注意有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，都是有理数．变式训练1.把下列各数分别填在相应的大括号内：(1)正数集合：｛｝；(2)负数集合：｛｝；(3)非负数集合：｛｝；(4)奇数集合：｛｝；3. 有关数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴是一条直线。

（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。

4. 绝对值与相反数（1）绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：a。

2022北京初一(上)期末数学汇编：对有理数的认识

2022北京初一（上）期末数学汇编对有理数的认识一、单选题1．（2022·北京丰台·七年级期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）．A ．a b >B ．0a b +<C ．0ab >D ．0a b -<2．（2022·北京房山·七年级期末）5的相反数是（）A ．15B ．﹣15C ．5D ．﹣53．（2022·北京门头沟·七年级期末）如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示（） A ．上升5米B ．下降5米C ．上升25米D ．下降35米4．（2022·北京西城·七年级期末）如图，数轴上的点A 表示的数可能是（）A ．－4110B ．－412C ．－3110D ．－3125．（2022·北京延庆·七年级期末）据北京市金融监管局消息，将在2022年2月举办的北京冬奥会试点数字人民币．市场预期有关部门会以其作为起始点，在全国普及数字人民币．2021年12月10日，小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元，记作100+，那么40-表示（） A ．支出40元B ．收入40元C ．支出60元D ．收入60元6．（2022·北京门头沟·七年级期末）如图，下列结论正确的是（）A ．0a b +>B ．0b a ->C ．||||a b <D ．0ac >7．（2022·北京石景山·七年级期末）6-的相反数是（） A ．16B ．16-C ．6D ．6±8．（2022·北京密云·七年级期末）如图，数轴上点A ，B 表示的数互为相反数，且AB ＝4，则点A 表示的数是（）A ．4B ．-4C ．2D ．-29．（2022·北京朝阳·七年级期末）下列两个数中，互为相反数的是（）A．＋2和－2B．2和12-C．2和12D．＋2和2-10．（2022·北京海淀·七年级期末）已知点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位长度．若点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d，且满足0a d+=，则b的值为（）A．1-B．12-C．12D．111．（2022·北京丰台·七年级期末）3的相反数为（）A．﹣3B．﹣13C．13D．312．（2022·北京昌平·七年级期末）－5的相反数是()A．15-B．15C．5D．-513．（2022·北京西城·七年级期末）﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．15-D．1514．（2022·北京怀柔·七年级期末）32-的相反数是()A．32-B．32C．23-D．23二、填空题15．（2022·北京门头沟·七年级期末）在有理数﹣0.5，﹣3，0，1.2，2，312中，非负整数有____．16．（2022·北京怀柔·七年级期末）写出一个比3-大的负有理数______．17．（2022·北京密云·七年级期末）比较有理数的大小：-4_____-6．（填“>”或“<”或“=”）18．（2022·北京顺义·七年级期末）在有理数-3，13，0，72-，-1.2，5中，整数有________，负分数有_______．19．（2022·北京东城·七年级期末）在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为______．20．（2022·北京石景山·七年级期末）在我们身边有很多负数，请你写出一个负数，并说明它的实际意义．这个负数是____，它的实际意义是_____．21．（2022·北京海淀·七年级期末）某有理数满足它的绝对值等于它的相反数，写出一个符合该条件的数______．22．（2022·北京平谷·七年级期末）请写出一个比31-.大的负整数是__________．（写出一个即可）23．（2022·北京东城·七年级期末）如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是______．24．（2022·北京昌平·七年级期末）比较大小：-5______-2（填写“>”、“<”或“=”）．25．（2022·北京朝阳·七年级期末）月球表面的白天平均温度为零上126℃，夜间平均温度为零下150℃．如果零上126℃记作＋126℃，那么零下150℃应该记作______℃．26．（2022·北京房山·七年级期末）比较大小：13-____12-．27．（2022·北京丰台·七年级期末）任意写出一个绝对值大于1的负有理数．．．．___________.三、解答题28．（2022·北京门头沟·七年级期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“>”连接起来．2，－1，0，－2.5，1.5，132．29．（2022·北京顺义·七年级期末）请你画一条数轴，并把2，-1，0，32，112-这五个数在数轴上表示出来．30．（2022·北京丰台·七年级期末）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”．(1)已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是；(2)已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值；(3)已知点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出PB﹣P A的值．参考答案1．D【分析】根据数轴上a、b的位置判断a、b的大小和符号，然后对各结论逐一进行判断即可．【详解】解：由数轴可得，0a b＜＜，a b＜，℃a b＜，选项A错误，不符合题意；a b+>，选项B错误，不符合题意；ab<，选项C错误，不符合题意；a b-<，选项D正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，以及根据点在数轴的位置判断式子的正负，熟练掌握数轴有关的基本知识是解题的关键．2．D【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）即可得．【详解】解：5的相反数是5-，故选：D．【点睛】本题考查了相反数，熟记定义是解题关键．3．B【分析】根据正负数表示一对相反意义的量解答．【详解】解：如果升高30米记作＋30米，那么－5米表示下降5米，故选：B．【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解题意是解题的关键．4．D【分析】根据点A在-4和-3之间，且位于-4和-3对应点的中间位置可得答案．【详解】解：A.－4110在-4与-5之间，且靠近-4，故不符合题意；B.－412在-4与-5之间，且位于-4和-5对应点的中点位置，，故不符合题意；C.－3110在-3与-4之间，且靠近-3，故不符合题意；D. －312在-3和-4之间，且位于-3和-4对应点的中间位置，℃点A表示的数可能是－312，故符合题意．故选D．【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．5．A【分析】结合题意，根据正数和负数的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得40-表示：支出40元故选：A ．【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正数和负数的性质，从而完成求解． 6．B【分析】根据数轴判断a 、b 、c 取值范围，由此判断选项即可．【详解】由数轴可得：1a <-，01b <<，1c >， ℃1a >01b <<，℃0a b +<，0b a ->，a b >，0ac <．故选：B ．【点睛】本题考查数轴上点的大小比较根据数轴判断a 、b 、c 取值范围是解题的关键． 7．C【分析】利用相反数的性质直接解答即可．【详解】解：-6的相反数是6，故选：C ．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的性质是解题的关键． 8．D【分析】根据数轴上点A ，B 表示的数互为相反数，可设点A 表示的数是a ，则点B 表示的数是a - ，从而得到4a a --= ，即可求解．【详解】解：℃数轴上点A ，B 表示的数互为相反数， ℃可设点A 表示的数是a ，则点B 表示的数是a - ， ℃AB ＝4，℃4a a --= ，解得：2a =- ．故选：D【点睛】本题主要考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 9．A【分析】仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义逐一判断即可. 【详解】解：＋2和－2互为相反数，故A 符合题意；2和12-，2和12，都不是互为相反数的两个数，故B ，C 不符合题意；22,22, ∴ ＋2和2-不互为相反数，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是相反数的含义，求解一个数的绝对值，掌握“相反数的定义”是解本题的关键. 10．B【分析】由0a d +=，可知a 、d 互为相反数，从而得到原点是AD 的中点，进而得出结论．【详解】解：℃0a d +=，℃a、d互为相反数，℃原点是AD的中点，℃相邻两点之间的距离均为1个单位，℃BC =1，℃b=12 -，故选：B．【点睛】本题主要考查数轴的应用，熟练掌握互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且到原点的距离相等是解决此题的关键．11．A【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．【详解】解：3的相反数是﹣3．故选：A．【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．12．C【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．13．A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A．14．B【分析】根据相反数的定义去判断计算即可.【详解】℃只有符号不同的两个数称作互为相反数,℃32-的相反数是32，故选B.【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键. 15．0，2【分析】找出有理数中非负整数即可．【详解】在0.5，﹣3，0，1.2，2，312中，非负整数有0，2．故答案为：0，2．【点睛】本题考查了有理数，非负整数即为正整数和0．16．-1（答案不唯一）【分析】根据负数比较大小方法，写出一个即可．【详解】解：℃13->- 故答案为1-（答案不唯一）【点睛】此题考查的是负数的比较大小，掌握负数的比较大小方法是解决此题的关键，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 17．>【分析】根据两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．【详解】解：℃|-4|=4，|-6|=6， ℃4＜6， ℃-4＞-6，故答案为：＞．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数的比较方法是解题的关键． 18． 3-，0，5 72-， 1.2-【详解】解：整数有3-，0，5．负分数有72-， 1.2-．故答案为：3-，0，5；72-， 1.2-．【点睛】本题考查了整数和负分数，熟记整数的定义（正整数、零和负整数统称为整数）和负分数的定义（小于0的分数即为负分数，或是可以化成分数的负有限小数和负无限循环小数）是解题关键． 19．2或-2【分析】首先根据点A 到原点O 的距离为4，则点A 对应的数可能是4，也可能是-4，再求得线段OA 的中点所表示的数即可．【详解】解：℃点A 到原点O 的距离为4， ℃点A 对应的数是4± ，当点A 对应的数是＋4时，则线段OA 的中点所表示的数为422= ；当点A 对应的数是−4时，则线段OA 的中点所表示的数为422-=-．故答案为：2或-2．【点睛】本题考查的是数轴，分情况讨论是解答此题的关键． 20． -5 温度下降5℃【分析】根据正数与负数的意义可直接求解．【详解】解：温度上升-5℃，这个负数是-5，它的实际意义是温度下降5℃．故答案为：-5，温度下降5℃．【点睛】本题主要考查正数与负数，属于基础题．21．0，答案不唯一【分析】根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：绝对值等于它的相反数的数：0或负数．故答案为：0．【点睛】本题考查绝对值的定义，解题关键是掌握绝对值的定义．22．-3【分析】根据负有理数比较大小的规则，绝对值大的反而小写一个数即可．-=>-=，【详解】解： 3.1 3.133∴-<-，3.13∴比31-，-.大的负有理数为3故答案为：-3．【点睛】本题考查了有理数大小比较，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键．23．2-【分析】根据图形可知2对面的数为-2，0对面的数是0，1对面的数为-1，由此问题可求解．【详解】解：由题意得：2对面的数为-2，0对面的数是0，1对面的数为-1，℃最小的数是-2；故答案为-2．【点睛】本题主要考查相反数的意义及有理数的大小比较，熟练掌握相反数的意义及有理数的大小比较是解题的关键．24．<【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可．【详解】解：℃|-5|=5＞|-2|=2，℃-5＜-2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．25．-150【分析】零上与零下是一对具有相反意义的量，零上记为“+”，则零下用“-”表示，从而可得答案.-℃，【详解】解：零上126℃记作＋126℃，那么零下150℃应该记作：150-故答案为：150【点睛】本题考查的是一对具有相反意义的量的含义，掌握“相反意义的量的含义”是解本题的关键. 26．＞【分析】先化成同分母分数，再比较大小．【详解】13-＝26-，12-＝36-，℃26-＞36-，℃13-＞12-，故答案为：＞．【点睛】本题考查分数比较大小，熟练掌握负数比较大小，绝对值大的，反而小．27．-3答案不唯一【分析】利用绝对值的运算法则、有理数的大小比较即可.【详解】因33,31-=>则负有理数3-的绝对值大于1故答案为：3-.（注：答案不唯一）【点睛】本题考查了绝对值的运算法则：负数的绝对值等于它的相反数，以及有理数的大小比较，掌握绝对值的运算法则是解题关键.28．各点在数轴上表示见解析，132＞2＞1.5＞0＞−1＞−2.5【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“＞”号连接起来即可．【详解】解：各点在数轴上表示如图所示：，132＞2＞1.5＞0＞−1＞−2.5．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．29．数轴见解析，在数轴上表示这五个数见解析．【分析】先根据数轴的三要素（原点、单位长度、正方向）画出数轴，再将这五个数在数轴上表示出来即可．【详解】解：将这五个数在数轴上表示出来如图所示：【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的画法是解题关键．30．(1)P1或P4(2)7或-7(3)0或4【分析】（1）先求出点A、点B距原点的距离，再求出点P到原点的距离，确定点P表示的数即可；（2）先求出点P到原点的距离，进而根据“关联数”的定义确定到原点的距离，确定点P表示的数即可；（3）由题意可知，点A点A表示a，点B表示a+4，然后根据“关联数”的定义求出点P到原点的距离，确定点P表示的数；然后再求出PB、P A，最后作差即可．(1)解：℃点A表示1，点B表示﹣3℃点A、点B到原点距离的和为：1+3=4℃点P为点A和点B的“关联点”℃点P到原点的距离为2℃点P表示的数为2或-2．故答案是：P1或P．(2)解：℃点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，℃点A、点B到原点距离的和为：5×2=10℃点A表示3℃点A到原点距离为3℃点B到原点距离为10-3=7℃点A表示7或-7℃m的值为7或-7．(3)解：℃点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B℃点B表示的数为a+4℃点A、点B到原点距离的和为：a+a+4=2a+4℃点P为点A和点B的“关联点”℃点P到原点的距离为（2a+4）÷2=a+2℃点B表示的数为a+2或-（a+2）当P表示a+2时，PB= a+4-（a+2）=2，P A= a+2-a=2，℃PB﹣P A=2-2=0当P表示-（a+2）时，PB= a+4-[-（a+2）]=2a+6，P A= a-[-（a+2）]=2a+2，℃PB﹣P A=2a+6-（2a+2）=4．综上，PB﹣P A=0或4．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及“关联数”的定义，掌握数轴上两点间的距离的计算方法是解答本题的关键．。

《第二章1认识有理数》作业设计方案-初中数学北师大版24七年级上册

《认识有理数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实践操作和思考练习，使学生能够：1. 理解有理数的概念，掌握正数、负数及零的区分与性质。

2. 掌握有理数的表示方法，如整数、分数等。

3. 通过作业练习，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、作业内容本课时作业内容主要包括以下几个方面：1. 概念复习：复习正数、负数及零的概念，理解有理数的定义。

2. 数的表示：练习将文字描述的数转化为具体的数轴表示，如“负三”、“正四分之五”等。

3. 数的运算：练习有理数的加法、减法运算，并尝试解决简单的应用题。

4. 拓展思考：设计一些与生活实际相结合的题目，如温度变化、商场购物找零等场景，让学生运用所学知识进行思考和解答。

三、作业要求1. 完成时间：本作业预计用时XX分钟完成。

2. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

3. 规范书写：要求学生在作业中规范书写，清晰表达解题思路和步骤。

4. 注重过程：不仅关注答案的正确性，更要注重解题过程的逻辑性和条理性。

5. 错题分析：对于做错的题目，要求学生进行错题分析，找出错误原因并改正。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确度、速度和规范性进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业时，可采用符号+文字的形式进行点评，指出学生答题的亮点和不足。

3. 结果反馈：将学生的作业成绩及时反馈给学生和家长，并针对学生的不足之处给予指导和建议。

五、作业反馈1. 学生自我反思：要求学生完成作业后进行自我反思，总结自己在解题过程中的优点和不足。

2. 教师点评指导：教师根据批改情况，对全班学生的作业进行总结和点评，针对共性问题进行讲解和指导。

3. 个性化辅导：对于在作业中表现不佳的学生，教师可进行个性化辅导，帮助他们解决学习中的困惑和难题。

4. 延伸学习：对于完成得较好的学生，可布置一些拓展性题目供其选择练习，以满足他们的学习需求。

六、作业效果展望通过本作业的设计与实施，预期达到以下效果：学生能够熟练掌握有理数的概念及表示方法；能够运用所学知识解决简单的实际问题；培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；提高学生的学习兴趣和自信心。

有理数的认识经典例题练习

有理数的认识【知识要点】1．正数和负数为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前加“+”号表示，如：6+，133+,……（正号可省略）它们都比0大；负的量用算术数前加“－”号表示，如：4-，162-,……它们都比0小. 2．有理数(1)正整数，0，负整数统称为整数;正分数，负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.(2)有理数还可以这样定义：能够表示成分数mp的形式（m 、p 均为整数，且0≠m ,m,p 互质）的数是有理数．3. 有理数的分类：【典型例题】例1.（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作（2）海平面的高度一般用数表示，比海平面高8844m 的山峰处，它的高度记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m（3）房价上涨12%，记作+12%，则下跌50%记作例2. 表达出下列语句所表示的意义.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数（1）向东走－100米（2）气温上升－3℃ （3）支出－100元例3. 数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0. 则这五名同学的实际成绩分别为多少？例4. 把下列各数填在相应的大括号里. －1，0，+0.8，－37， 2.4-，8844，134-，227，80- 正整数集合:{ }；负整数集合:{ }；正分数集合:{ }；负分数集合:{}.例5. 将下列有理数从尽可能多的角度进行分类，再与同学交流，比一比，看看谁的分类多，谁分得准.3.14，722-，-1，4，32-，0.2，0，1%* 例6. 若b a b a +-是不等于1的有理数，求证：ba为有理数．【初试锋芒】1．（1）如果零上2℃记作+2℃，那么零下4℃记作（2）如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作（3）如果下降10米记作－10米，那么上升20米记作（4）如果向南走5米记作－5米，那么向北走10米记作 2．说出下列语句的意义.（1）收入－20元；（2）支出－120元；（3）前进－2米．3．一艘潜水艇的高度是－80米，如果它上浮－10米，这时它所在位置是海平面以下米．4.提供下列数据，请填入相应的大括号内 411-，53-，－2，80，0.001，3.14，722，0，－100正数集合:{ }; 负数集合:{ }; 整数集合:{ };分数集合:{ }．5．判断正确或错误，分别用“√”或“×”填在各题后面的括号内：（1）零是自然数：（）（2）零是正数；（）（3）零是非负数；（）（4）零是偶数．（） 6．（1）下列说法正确的是（）A.有理数不是正数就是负数B.0是最小的有理数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.71是分数也是有理数（2）下列说法正确的个数有（） ① 0既不是正数，也不是负数 ② 34-是负数，但不是分数 ③ 自然数都是正数④ 负分数一定是负有理数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（3）下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是正数，就是负数B.整数一定是正数C. 最小的整数是0D.自然数是整数（4）关于0，下列说法正确的个数有（）个① 0既不是正数，也不是负数；② 0既不是整数，也不是分数；③ 0不是自然数，但它是整数A. 0B. 1C. 2D. 3（5）有理数集合是（）A.正数与负数的集合B.正整数、负整数与分数的集合C.整数与分数的集合D.整数与负数的集合7．一条笔直的公路，A 、B 两地相距6千米，某同学骑自行车从A 地去B 地，他骑车走了2千米，却与B 地相距8千米．你能说出这是为什么吗？【大显身手】1．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）. －8, 0.07,65, －0.3, 1999, －433, －3456, 88.8, 0, 722（1）正整数集合：{ }；（2）负整数集合：{ }；（3）整数集合：{ }；（4）正分数集合：{ }；（5）负分数集合：{}2．冬天某地的某一天，早晨5时的气温是零下2度，记作－2℃，上午10时，气温上升到零上2度，应记作 ;正午12时比上午10时上升了2度，这时的气温应记作 ; 下午6时比正午12时下降了4度，这时的气温应记作 ; 晚间12时比下午6时又下降了5度，这时的气温应记作．3．一种零件的长在图纸上标出为：20±0.01（单位：mm ），表示这种零件的长应是20mm ，加工要求最大不超过，最小不小于 4．非负数为和，非正数为和 5．下列说法中错误的是（）A. 正整数、负整数、零统称为整数B.正分数、负分数统称为分数C.没有最大的有理数D.π是有理数 6．在下列的说法中，正确的是（）A. 带“＋”号的数是正数B. 带“－”号的数是负数C. 自然数都大于零D. 负数一定小于正数。

认识有理数考点总结及练习整理

认识有理数一、教学目标。

1、理解负数的必要性，判断正负数，并能运用正负数表示实际生活中的量。

2、了解有理数分类，有理数分类的作用。

3、掌握数轴概念及画法。

4、运用数轴表示有理数，并比较有理数大小。

二、教学重难点1、重点：有理数分类，数轴表示有理数。

)2、难点：有理数分类方法。

三、教学过程（一）正负数 1、正数：像3，121，125，﹢1.2等比0大的数叫正数，“﹢”号可省略 2、负数：像﹣3，﹣121，﹣125等在正数前面加上“﹣”号的数叫负数注意：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界 3、用正数、负数表示具有相反意义的量时，应注意两点： ①必须是同类量；…②表示的意义要完全相反。

若先规定了哪个量为正，则另外一个量就为负4、在现实生活中有具有相反意义的量，一般情况下，正、负规定如下：例１ (1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?(2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?$(3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?练1（1）规定盈利为正，某公司去年亏损了2.5万元，记做_______万元，今年盈利了3.2万元，记做_________万元；（2）规定海平面以上的海拔高度为正，新疆乌鲁木齐市高于海平面918米，记做海拔________米，吐鲁番盆地最低点低于海平面155米，记做海拔_______米。

（3）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正，汽车向北行驶75km，记做_______km（或______km）汽车向南行驶100km，记做_____km.（4）如果向银行存入50元记为50元，那么－30.50元表示_________（5）规定增加的百分比为正，增加25％记做________,-12%表示__________."（二）有理数1、有理数：整数与分数统称有理数2、整数：正整数，零和负整数统称为整数3、分数：正分数，负分数统称为分数；有限小数和无限循环小数也是分数4、有理数的分类：（1）按性质符号分类：正整数：如1,2,3，… 正有理数】正分数：如21，31，5.2，… 有理数零：0负整数：如﹣1,﹣2,﹣3,… 负有理数负分数：如﹣51,﹣3.5,﹣65,…（2）按定义分类：正整数：如1，2，3，…整数零：0 自然数-负整数：如﹣1,﹣2,﹣3,… 有理数正分数：如21，31，5.2,… 分数负分数：如﹣51,﹣3.5,﹣65,…例2 下列说法不正确的是（）A.-0.5不是分数B.0是整数C.不是正式D.-2既是负数又是整数练2. 判断下列说法的正误《①一个数前面加上“-”号，这个数就是负数 ②非负数就是正数③有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类 ④0是最小的正数 ⑤正数就是有理数例3. 把下列各数填入相应集合的大括号内：7，-227，-9.5，23，0，-2004，3.14，＋4.3, -12%正数集合 { …} 负数集合{ …}》21正整数集合{ …} 负整数集合{ …}正分数集合{ …} 负分数集合{ …}非负数集合{ …} 非整数集合{ …}有理数集合{ …}练3. 如图：二个圈分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成的整数集合，请写出3个分别满足下列条件的数：【正数集合整数集合属于正数集合，但不属于整数集合的数；属于整数集合，但不属于正数集合的数；既属于正数集合，又属于整数集合的数例4 一次考试，小欣所在班级的平均分为95分，把高出95分的数记为正，那么小明95分记为分，小欣105分记为分，小慧-12分，她的实际得分是分。

第02讲认识有理数(教师版)

第二讲认识有理数【课程解读】————初中课程解读————【知识衔接】————初中知识与典例链接————一、正数和负数1．负数的概念：若把小学学过的数(0除外)叫做正数，则把在正数前面加上“－”号的数叫做负数．“－”号读作“负”．如“－5”读作“负五”．2．0的意义：0既不是正数，也不是负数．注：在小学里，0通常表示没有．当引入负数后，不能说0表示没有了．正整数、负整数、零统称为整数．正分数、负分数统称为分数．零是整数，也是偶数，非负数就是零和正数．【典例分析】例1．用正负数表示下列各题中具有相反意义的量．（1）如果用+15元表示收入15元，那么用去12元记作什么？（2）食堂购进100千克面粉记作+100千克，那么－20千克表示什么？【答案】（1）﹣12（2）用去20千克面粉【解析】用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量【变式】（1）如果－10t 表示运出10t ，那么+30t 表示；（2）负债100元也可以说成是拥有元；（3）如果规定向东方向为正，那么－200米表示什么意义？－（－200）米表示什么意义？【答案】（1）运进30t （2）﹣100（3）向西200米；向东200米例2．下列各数中,哪些是正数? 哪些是负数?（正负数的判断）+7；-9；-4.5；0；722；-3.14；998；-999 【答案】正数：+7；722；998；负数：-9；-4.5；-3.14；-999【解析】所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数思路点拨：对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数”．二、有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．把能够写成分数形式mn（m ，n 为整数，m≠0）的数叫做有理数2、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．小结：分数、有限小数、循环小数都是有理数。

有理数的认识

有理数的认识有理数是数学中的一个重要概念，广泛应用在各个领域。

它包括整数和分数两个部分，是数轴上所有有限和循环的数字的集合。

理解和掌握有理数的概念对于学习数学和实际问题解决非常关键。

一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。

它包括正数、负数和零。

在数轴上，有理数位于小数和无限循环小数之间。

二、有理数的表示1. 整数：整数是没有小数部分的有理数，可以是正数、负数或零。

比如-2、0、3等都是整数。

2. 分数：分数是有理数的一种常见形式，由两个整数表示，分子在分母上方，两者中间用横线分隔。

例如，2/3、-5/7等都是分数。

3. 小数：小数可以通过将分数化为小数表示。

例如，1/4可以表示为0.25，1/3可以表示为0.3333...。

三、有理数的性质1. 闭合性：有理数的加法、减法、乘法和除法运算仍然是有理数。

例如，两个有理数相加仍然是有理数。

2. 有序性：有理数可以通过大小比较。

例如，-3小于5，-2/3小于1/2。

3. 分数与小数的关系：每个有理数都可以表示为分数或小数的形式。

例如，2可以表示为2/1或2.0。

四、有理数的运算1. 加法和减法：有理数的加法和减法运算规则与整数相同。

当两个有理数的符号相同时，将它们的绝对值相加或相减，并保持结果的符号不变。

当两个有理数的符号不同时，可以将减法问题转化为加法问题，即将减数取反后进行加法运算。

2. 乘法和除法：有理数的乘法和除法运算规则与整数相同。

符号相同的有理数相乘或相除，结果为正数；符号不同的有理数相乘或相除，结果为负数。

乘法和除法的绝对值计算方式与整数相同。

五、有理数的应用有理数在实际生活和各学科中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 金融：有理数用于金融领域的利率、股票价格变动等计算。

2. 科学：有理数用于物理学、化学、生物学等科学领域中的测量和计算。

3. 经济：有理数用于经济学中的需求和供给分析、成本和收益计算等。

我认识的有理数作文

我认识的有理数作文英文回答：I have come across many rational numbers in my life. Rational numbers are numbers that can be expressed as a fraction, where the numerator and denominator are both integers. They include numbers like 1/2, 3/4, -5/6, and so on. Rational numbers can be positive, negative, or zero.One rational number that I am familiar with is 3/5. This number represents a fraction where the numerator is 3 and the denominator is 5. It can also be written as 0.6 in decimal form. This number is a rational number because it can be expressed as a fraction.Another rational number that I often encounter is -2/3. This number represents a fraction where the numerator is -2 and the denominator is 3. It can also be written as -0.6666... in decimal form. Again, this number is a rational number because it can be expressed as a fraction.Rational numbers can be found in many real-life situations. For example, when baking a cake, you might need to measure out ingredients using fractions. If a recipecalls for 1/2 cup of flour, you would be using a rational number. Similarly, if you have $10 and want to split it equally between 5 friends, each friend would receive $2, which can be expressed as the rational number 2/1.中文回答：我在生活中遇到过许多有理数。

2.1有理数的认识教学框架

理想课堂有效教学框架学科初一版本华东师大年级七年级设计人课题有理数课时1教学目标A类:1.可以将已经学过的数分类。

B类：2.知道数集的含义。

3.了解有理数的由来，本质。

4.能够将有理数分成各个数集，应用集合（分类）思维。

C类：5.理解数学知识和概念不是一成不变的，它会在社会的不断进步中，发生改变，然后不断完善。

预习作业1.将1，4.5，1/2，-4，-2.1，-1/4,，0，1/3进行分类。

可能结果：①正数、负数、0②分数、整数、小数③整数、分数2.填空1/2=( )÷2；-0.333···=（）/（）=（）÷（）；2=（）÷（）。

3.有1,2题你发现什么规律？请提出你感兴趣的问题。

教学板块【板块对应目标，所用时间】学生课堂练习单第一板块——对于已经学过的数进行分类（目标1，5分钟）1.展示学生预习作业1，对于数的分类。

可能结果：①正数、负数、0②分数、整数、小数③整数、分数指出个别的分类瑕疵，比如分数和小数可以归为分数，这里的小数可以转化成分数。

让学生独立思考，之前学过哪些数。

并随机抽查回答，或者自主回答。

第二板块——初步认识数集，知道有理数由来（目标2、3、5，15分钟）1.对预习作业各个数的分类，分类好的数组成的集合叫做数集。

例如：将-4，-2.1，-1/4···这些带负号的数叫做负数集，而-4，-2.1，-1/4，属于这个负数集。

可以先让学生分组讨论，这些负数组成的数，可以怎样命名。

2.探索有理数由来。

了解自然数、分数、负数的产生，以及数的扩充过程（上一节课：正数和负数已经了解过）。

数的扩充到上述为止，好像已经完美了，自然界的一切场景和现象都可以用这些数进行表示，但数学史上的一大危机的出现，改变了人们的看法。

伟大的数学家毕达哥拉斯的徒弟-希帕索斯，在应用勾股定理c²=a²+b²求边长为1正方形的对角线的长度时，遇到了困难，他无法确定这个数到底是多少？因为在当时人们的认知中，所有的数都是可数的，认为“1是所有数的生成元”，但是通过反证法证明，这样的数确实符合实际理论。

七年级有理数教案学情分析

七年级有理数教案学情分析有理数是数学学习中特殊的一种，特殊的是它所包含的许多概念，由此可以解释数学运算的原理。

如果学生有足够的理解能力和掌握能力，他们将能够掌握有理数的相关知识。

七年级的有理数教学对学生的形成一定的思想与认识尤为重要。

在此，本文以《七年级有理数教案学情分析》为标题，对有理数概念及其在七年级数学教学中产生的学习状况进行研究。

一、有理数概念分析有理数是一种数学概念，它是由各种数字、符号和算术运算组成的，它的本质是对比、对比的数据，即进行数学操作的基础。

有理数的概念与其他数学概念紧密联系，包括数轴、分数、乘方、最大公约数、最小公倍数等等。

从这些概念可以了解到，有理数与其他数学概念息息相关，学生必须具备正确的概念，才能学习有理数。

二、七年级有理数教案分析受教师教学方案和教学内容的影响，七年级学生在学习有理数时会有不同的学习过程。

一般来说，有理数在七年级时学的内容包括数轴的特点、负数的符号和运算、分数的表示和运算、带分数的运算、最大公约数和最小公倍数的概念和运算、乘方的概念和运算等。

根据七年级有理数的教学内容，教师应把握教学重点，重视教学难点，夯实基础知识，注重综合运用，增强学生的自学能力。

三、七年级学生学习状况分析七年级学生学习有理数时，他们普遍存在认识上的偏差和认知上的困难，存在学习能力、学习积极性不均衡、学习过程中对概念理解不深等问题。

七年级学生，有理数学习起来比较困难，很多学生没有深入理解，把有理数当做单纯的计算问题，没有理解有理数的具体概念。

此外，有些学生的英语程度较低，无法深入理解教材内容，可能会在学习有理数概念时遇到一定的困难。

四、有理数学情分析从上述分析可以得知，七年级学生在学习有理数时，缺乏正确的认识和深入的理解，很难在有理数教学中取得良好的成绩。

根据以上的分析，为了提高学生的有理数学习成绩，应采取一些有效的措施，如注重结构概念的训练，培养学生的数学思维能力，强化学生的综合运用能力，激发学生的学习积极性等。

对有理数的认识

对有理数和无理数的认识

有理数与无理数

认识有理数

有理数的意义分析

初一数学有理数的要点归纳

七年级数学上册试讲教案

七年级上册有理数教案

有理数的基本概念与运算

有理数的认识

2022北京初一(上)期末数学汇编：对有理数的认识

《第二章1认识有理数》作业设计方案-初中数学北师大版24七年级上册

有理数的认识经典例题练习

认识有理数考点总结及练习整理

第02讲 认识有理数(教师版)

有理数的认识

我认识的有理数作文

2.1有理数的认识 教学框架

七年级有理数教案学情分析

第02讲认识有理数(教师版)

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