因式分解知识点总结

因式分解

一、 什么是因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。如

例1、下列各式中，哪些是因式分解？

（1）2

2)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3

-+=-x x x x x （3）)11(1a

a a +=+ （4）1))((12

2+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392

-=-x x x x 二、提公因式法

（一）公因式

多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑

对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如

果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的

最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。

对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数

取其次数最低的。

注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。

（2）在因式分解时，经常应用下列关系：

)(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=-

偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-

（二）提公因式法

如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。

三、公式法

根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

（一）平方差公式：))((2

2b a b a b a -+=-

要想运用平方差公式因式分解，必须紧扣两点：

①左边是二项式；

②两项都能写成平方的形式，且符号相反。

四、十字相乘法

（一）pq x q p x +++)(2型 推导：qp qx px x pq x q p x +++=+++2

2)( )()(2

pq qx px x +++=

)()(p x q p x x +++=

))((q x p x ++=

（二）c bx ax ++2

型

十字相乘法的口诀：收尾分解，交叉相乘，求和凑中。即十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

所以得到 ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++

注：当1=a 时，就是pq x q p x +++)(2型

五、分组分解法

分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法、公式法和十字相乘法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式、“2+2”式、“3+2”式

“1+3”式 ：

)2(12-12

222y xy x y xy x +--=-+ 2

)(1y x --= )](1)][(1[y x y x ---+=

)1)(1(y x y x +--+=

“2+2”式：

)()(by bx ay ax by bx ay ax +++=+++

)()(y x b y x a +++=

))((b a y x ++=

“3+2”式：

)()2(22222b a b ab a b a b ab a --+-=+-+-

)()(2

b a b a ---= )1)((---=b a b a

六、因式分解的一般思路

归纳为：一“提”（公因式），二“套”（公式），三“分”（分组分解），四“查”（检查）的过程，即

一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有，必须提出来；

二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法 或用十字相乘法因式反解。

三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成

一组，使之分组后能“提”或能套，当然要注意分解到底才能结束。

四“查”：可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确