拥有多个A的概率：又一个条件概率悖论
阿莱悖论
阿莱悖论（Allais Paradox）是决策论中的一个1952年，法国经济学家、诺贝尔经济学奖获得者阿莱作了一个著名的实验：对100人测试所设计的赌局：赌局A：100％的机会得到100万元。
赌局B：10％的机会得到500万元，89％的机会得到100万元，1％的机会什么也得不到。
实验结果：绝大多数人选择A而不是B。
即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值，即1.00U(1m) > 0.89U(1m) + 0.01U(0) + 0.1U(5m)。
【1】然后阿莱使用新赌局对这些人继续进行测试，赌局C：11％的机会得到100万元，89％的机会什么也得不到。
赌局D：10％的机会得到500万元，90％的机会什么也得不到。
实验结果：绝大多数人选择D而非C。
即赌局C的期望值（11万元）小于赌局D的期望值（50万元），而且C的效用值也小于D的效用值，即0.89U(0) + 0.11U(1m) < 0.9U(0) + 0.1U(5m)。
【2】而由【2】式得0.11U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m)1.00U(1m) - 0.89U(1m) < 0.01U(0) + 0.1U(5m)1.00U(1m) < 0.89U(1m) + 0.01U(0) + 0.1U(5m)与【1】式矛盾，即阿莱悖论。
阿莱悖论的另一种表述是：按照期望效用理论，风险厌恶者应该选择A和C；而风险喜好者应该选择B和D。
然而实验中的大多数人选择A和D。
阿莱悖论的解释：出现阿莱悖论的原因是确定效应（Certain effect），即人在决策时，对结果确定的现象过度重视。
悖论逻辑浅析
悖论逻辑浅析悖论，是一个与数学、逻辑学等多个学科紧密联系的课题，其成因往往是深刻复杂的，本文通过对悖论进行初步探究，可以使我们对许多数学、逻辑的概念有更加深刻的认识，而悖论的成因也正与定义的不明确，或者我们对定义的不理解有关，这些内容都将在本文中加以初步解读。
本文将在前人研究的基础上加以梳理，用逻辑分析与解读的方式，力争让大家对悖论，尤其是数学悖论有所认识。
而在数学的领域中，历史上曾经有过多个重大的悖论课题，如康托尔悖论、最大序数悖论等。
这些悖论当时看似动摇了数学的根基，实则让我们在研究悖论的过程中对数学与逻辑、概念有了更深刻、更清晰的理解。
再此，若要浅析悖论问题，首先要对数学上的悖论问题进行分类研究，其中就要涉及到有限与无限悖论及概率，统计，几何，时间，逻辑等类型的悖论。
本文的学习结果主要为：初步认识到了悖论的成因，以及几种典型的悖论类型，并对其进行了一定程度上的分析。
在对数学逻辑悖论进行研究的过程中，我们可以对一些数学上的概念、定义有更深刻的认识，同时使我们有一个更清晰的逻辑思维。
从而提升自身！关键词：悖论;康托尔;逻辑第一章绪论1.1 研究背景及意义本文研究意义在于：解除一些悖论在学习中给我们带来的疑惑，明确一些数学与逻辑学中的定义，理清思路，使我们逻辑更加清晰、对定义的理解更加明确，从而也对我们所学习的理论有更加深刻的认识。
1.2 研究对象本文的研究对象以数学、逻辑学两方面的悖论为主，同时还会涉及到一些数学定义等。
1.3 研究思路对前人提出的悖论，通过明确定义以及理清逻辑思维，对经典的悖论进行1.4 研究方法文献法、运算法、讨论法、归谬法等。
1.5 知识准备研究悖论，首先要以逻辑思维为基础，涉及到的具体的、较为深入的专业知识并不是非常多，首先，在数理逻辑悖论的探究中，需要具备一定的数学基础，特别是逻辑语言与统计学的基础知识，了解集合论的一些基本定义、统计学中的权重等概念。
第二章逻辑意义的悖论概念2.1 定义在《逻辑学大词典》中，对逻辑悖论的释义是：逻辑学术语。
期望效用理论的两个悖论及其消解
２０１３年第５期（总第１３０期）／九月号现代哲学ＭＯＤＥＲＮＰＨＩＬＯＳＯＰＨＹＮｏ ５２０１３／ＧｅｎｅｒａｌＮｏ １３０／Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ期望效用理论的两个悖论及其消解———兼谈决策论的发展熊 卫【摘要】期望效用理论在弱序和独立性等公理基础上表征后果的价值和当事人的信念度，从而表征偏好关系。
阿莱斯悖论和厄尔斯伯格悖论在理论基础和解释经验方面对期望效用理论提出了严重的挑战。
阐述这两个悖论的消解，可以清晰地刻画现代决策理论的大概发展脉络。
【关键词】决策；期望效用；悖论；信念度中图分类号：Ｂ８１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－７６６０（２０１３）０５－００８２－０５ 决策论表征当事人的偏好，是研究决策行为理性的一种理论。
由于行为理性是社会科学一个重要的概念，决策理论逐渐成为哲学、经济学、统计学、计算机科学、认知科学、管理学和心理学等多学科的一个研究热点。
事实上，在历年诺贝尔经济学奖获得者中，不乏来自不同学科的决策论研究大师，如经济学家阿莱斯和奥曼、哲学家西蒙、心理学家卡尼曼。
在当今兴起的形式认识论的热潮中，越来越多的研究人员应用决策论和博弈论来探讨认识论中的一些基本问题。
作为一种规范性理论，期望效用理论（贝叶斯决策理论）在决策论中一直占有突出的地位。
然而，阿莱斯悖论（Ａｌｌａｉｓｐａｒａｄｏｘ）和厄尔斯伯格悖论（Ｅｌｌｓｂｅｒｇｐａｒａｄｏｘ）在理论基础和解释方面对期望效用理论提出了严重的挑战。
如何解读和消除这两个悖论，决定了推广期望效用理论的思路。
因此，阐述这两个悖论的消解，可以清晰地刻画现代决策理论的大概发展脉络。
一根据萨维齐的观点①，一个典范决策情景包括：（１）由行为组成的集合；（２）由世界状态组成的集合，其中的每个元素都是对客观世界的一种描述；（３）由后果组成的集合。
下表直观地表述了一般的典范决策情景，其中ａｉ为一个行为，ｓｊ为一个世界状态，ｏｉｊ为行为ａｉ在世界状态ｓｊ下所形成的一个后果，ａｉ的可能后果是ｏｉｌ，…，ｏｉｍ。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论【摘要】在生活中常常会遇到一些看似矛盾的情况，这就是悖论。
通过概率论，我们可以解决许多生活中的悖论。
文章首先介绍了悖论的概念和概率论在生活中的应用。
接着详细解释了蒙提霍尔悖论以及概率论是如何解决这一悖论的。
蒙提霍尔悖论在生活中的影响也被探讨了。
文章还对锚定效应进行了解释，并提出了概率论的解决方案。
结论部分强调了概率论在解决生活中的悖论中的重要性，并提出了如何更好地利用概率论避免逻辑上的混淆。
通过这篇文章，读者可以更深入地了解悖论的实质，以及如何运用概率论在日常生活中解决各种疑难问题。
【关键词】悖论、概率论、蒙提霍尔悖论、锚定效应、逻辑混淆、生活应用1. 引言1.1 悖论的概念悖论是指在逻辑上出现矛盾或不合理的情况，常常让人感到困惑和无法理解。
悖论通常是由于相互矛盾的前提或假设所导致的，挑战人们对事实和逻辑的认知。
悖论在日常生活中也时常出现，例如著名的蒙提霍尔悖论和锚定效应。
悖论在概率论中也有着重要的意义。
概率论是研究随机事件发生规律的数学分支，可以用来解释和预测种种现象。
通过概率论的分析，我们可以发现许多悖论背后隐藏的规律和原因。
概率论不仅可以帮助我们理解悖论的成因，还可以为我们提供解决悖论的方法和途径。
在接下来的我们将以蒙提霍尔悖论和锚定效应为例，从概率论的角度分析并解决这些悖论带来的困惑。
通过探讨这些实例，我们将更深入地理解悖论和概率论之间的关系，以及概率论在解决生活中悖论中的重要性。
将成为我们探讨这一主题的出发点，引领我们深入分析悖论背后的数学逻辑和现实意义。
1.2 概率论的应用概率论的应用范围非常广泛，涉及到各个领域，包括统计学、经济学、生物学、物理学等等。
在面对生活中的悖论时，我们可以通过运用概率论的知识和方法来分析和解决问题。
通过对事件发生的可能性进行量化和计算，我们可以更加客观地评估情况，做出更合理的决策。
概率论的应用不仅在理论领域有所突破，也在实际生活中有着重要的影响。
新版高中数学必修2课件：10.1.3古典概型
[教材答疑]
1．教材P233思考 在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币 的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？ 提示：共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限 个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)从口袋中的6个球中任取2个球，所取的2个球都是白球包含 的样本点共有6个，分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)， (3,4)．
(A，B，C，D)共11种，选对的概率为111.
4．教材P236思考 在例8中，为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子 标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
提示：如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两
个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能 第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这 样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别．
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)．则x有 10种可能，y有9种可能，共有可能结果10×9＝90种．因此，事件 A的概率是1980＝15.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有 10种可能，y有10种可能，共有可能结果10×10＝100种，因此， 事件A的概率是11080＝590.
Ω＝{(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)， (0,0,1)，(0,0,0)}，
概率论基础3——条件概率
一、条件概率生活中很多概率都是在某些特殊条件下的概率。
比如你想知道你在家感染新冠的概率，这是取决于很多方面的，比如，政策有没有放开、是否位于高风险区等等。
只有在这些条件的限制下，我们才能较为准确的求出你想知道的概率。
基本概念：设A，B是随机试验E的两个随机试验，且P(B)>0，称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
韦恩图：上面A、B分别有两个椭圆，代表了他们的事件范围。
我们想要求在B的条件下A发生的概率，那么直观上分母应该是P(B)，因为条件是事件B就相当于要以事件B作为基础；而由于事件B的限制，事件A中不属于B的部分应该被舍去，它们不在B的控制之下。
所以也很容易理解，分子是A和B的和事件（交集）的概率。
性质条件概率也属于概率，所以它也满足概率的基本性质，只不过会有所改变。
（1）对于每一事件A，0≤P(A|B)≤1（2） P(\Omega|B)=1（3）若A_1,A_2,……,A_n 互不相容，则P(\bigcup_{i=1}^{m} A_i|B)=\sum_{i=1}^mP(A_i|B) （4） P(A|B)+P(\overlineA|B)=1（5）容斥原理： P(A\bigcup B|B)=P(A|B)+P(B|B)-P(AB|B)二、乘法公式在上文我们知道条件概率的公式为： P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 。
那如果我们此时知道P(B)和P(A|B)，相求P(AB)，可以通过移项转化成下列公式： P(A|B)P(B)=P(AB)同理，我们也可以得到： P(B|A)P(A)=P(AB) 这两个公式我们称其为乘法公式。
上面两个式子在实际计算中要根据问题灵活选择。
我们也可以将其拓展到n个事件中：P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_n…A_2A_1) 我们可以这样理解：$P(A_1)$是假设A1正确，$P(A_2|A_1)$是假设A1正确的情况下A2正确，以此类推三、全概率公式有限划分基本概念：设 \Omega 为随机试验E的样本空间，B1，B2 ，…，Bn为E的一组事件，若(1) Bi∩Bj =f ,i ≠ j(2) B_1∪B_2 ∪…∪B_n=\Omega则称B1，B2，…，Bn 为 \emptyset 的一个有限划分，或称完备事件组。
贝特朗概率悖论的解释-学习文档
贝特朗概率悖论的解释贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下来，大家可以自己看：百度百科词条解释虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。
概率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。
而对于贝特朗概率悖论所涉及到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ 上是均匀分布的。
正正是题目中所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满足前者，满足前者，就不可能满足后者。
一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。
原题中没有给出这样的条件，解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。
世界10个著名悖论
世界10个著名悖论全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在哲学中，悖论是指逻辑上似乎矛盾或荒谬的命题或命题集合。
世界上存在许多著名的悖论，它们挑战着人类的逻辑思维和认知能力。
以下将介绍世界上十个著名的悖论，让我们一起探索这些神秘的哲学难题。
1. 赫拉克利特的悖论赫拉克利特，古希腊哲学家和学派创始人，提出了一条著名的悖论：“你无法两次踏入同一条河流。
”这句话看起来似乎有点荒谬，因为我们通常认为河流是不变的。
但赫拉克利特认为，随着时间流逝，河流中的水始终在流动变化，所以每一刻都不同，因此我们无法两次踏入同一条河流。
2. 动物乐园悖论动物乐园悖论是一种心理学悖论，描述了一个虚构的动物乐园，里面有两个笼子，一个有一只狮子，一个有一只老虎。
如果你告诉一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子，它会咬你，但如果你告诉另一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子，它会让你带走它。
这个悖论揭示了人类对于未知的恐惧和对于已知的接受的心理差异。
3. 贝拉米悖论贝拉米悖论是一个关于不可能的事件序列的悖论。
如果有一个事件序列，按照某种规则无限延伸，那么这种序列要么会在某个时刻中断，或者会继续无限延伸。
贝拉米悖论揭示了人类对于无限和不可能的事物的理解上存在的困惑。
4. 费尔巴哈里悖论费尔巴哈里悖论描述了当一个人说自己是说真话时，他实际上在说谎。
这个悖论表明了人类在语言和真实之间存在的模糊性和混淆。
5. 罗素悖论罗素悖论是一个逻辑上的悖论，描述了一个人被称为“巴比伦码头负责人”的人，他负责所有不能自己负责的人的工作。
这个人是否应该负责自己的工作呢？如果他负责自己的工作，那么他就不需要负责所有不能自己负责的人的工作；如果他不负责自己的工作，那他也不符合自己的规定。
这个悖论揭示了逻辑上的自指问题。
6. 阿奇里斯和乌龟的悖论阿奇里斯和乌龟的悖论是描述了一个虚构的竞赛，阿奇里斯和乌龟同时出发，但是在阿奇里斯追上乌龟之前，乌龟已经跑到了某个点，然后阿奇里斯再追上这个点之前，乌龟又跑到了另一个点，以此类推。
条件概率教学设计
8.2.2 条件概率一、教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.（二）情感目标 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．二、教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.三、教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.四、教学过程（一）引入课题[教师] （配合多媒体演示）问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答）61 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 61)(＝中的元素数中的元素数Ω=∴B B P[教师] （配合多媒体演示）问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答）31 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝31A ＝中的元素数中的元素数B .[教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？[学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B).[教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率.（板书课题——条件概率） （二）传授新知 1．形成概念[教师] 在引入课题的基础上引出下列概念：（多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概率，简称为条件概率.2．归纳公式 引例1：（多媒体演示）某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率.[学生] （口答）设A ＝｛只有一名女生获得冠军｝，B ＝｛高一女生获得冠军｝依题意知 已知A 发生的条件下，A 成为试验的全集，B 是A 的子集，A 所含元素数为3，B 所含元素数为1，则31A )|(＝中元素数中元素数B A B P =[教师] （问）P(A)为多少？P(A ∩B)为多少？P(A),P(A ∩B),P(B|A)之间有何关系？[学生] （口答）61)(,2163)(===B A P A P )()()|(A P B A P A B P =∴[教师] 这个式子的含义是明确的. 由此，便将P(B|A)表示成P(A ∩B)与P(A)之比，这为我们在原样本空间Ω下完成条件概率P(B|A)的计算提供了方便. 那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢？我们再看一个例子：（多媒体演示）引例2：在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到草花的条件下，求抽到的是草花5的概率.[学生] （口答）设A ＝｛抽到草花｝，B ＝｛抽到草花5｝，依题意知 已知A 发生的条件下A 成为试验的全集，A 中的元素发生的可能性相同，B 是A 的子集.∵一副扑克中草花有13张 ∴A 所含元素数为13，B 所含元素数为1.则131A )|(＝中元素数中元素数B A B P =.[教师] 本例中P(A)为多少？P(A ∩B)为多少？P(B|A)与P(A)、P(A ∩B)是否仍有上例的关系？[学生] 由于5213)(=A P ，521)(=B A P 所以也有)()()|(A P B A P A B P =.[教师] 综合引例1与引例2我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式： （多媒体演示）条件概率公式：若P(A)>0则)()()|(A P B A P A B P =.注：（1）其中P(A)>0是在概率的非负性的基础上，要求P(A)≠0,以保证)()(A P B A P 有意义；（2）类似地，若P(B)>0则)()()|(A P B A P A B P =；（3）公式的变形可得（概率的乘法公式）：若P(A)>0,则P(A ∩B)＝P(A) P(B|A). （三）讲解例题1．条件概率计算公式的应用例1．由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7，活到80岁以上的概率是0.4，若已知某人现在70岁，试问他能活到80岁的概率是多少？解析：设A ＝｛活到70岁以上｝，B ＝｛活到80岁以上｝，则P(A)=0.7 P(B)=0.4又∵B ⊂A ∴P(A ∩B)= P(B)=0.4 ∴)()()|(A P B A P A B P =57.07.04.0≈=.[教师] 在求条件概率时，要求知道两事件之积(A ∩B)的概率，这概率或者题设已经给出，或者隐含在其他条件中，需要对所给条件进行分析才能得到.2．上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率，但有时候根据问题的特点可以直接得到结果.如下面的例2就是这样一个典型例子.例2.（课本P54/例3） 把一副扑克的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝赵家分得的13张牌中有6张草花，B ＝孙家分得的13张牌中有3张草花.①计算P(B|A) ②计算P(A ∩B)解析：①四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定.余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的.问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率.于是 .278.0/)|(13391073937≈=-C C C A B P②在52张牌中任选13张牌有1352C 种不同的等可能的结果.于是Ω中元素数＝1352C ，A中元素数＝.739613C C 利用条件概率公式得到 P(A ∩B)＝P(A) P(B|A)＝278.01352739613⨯C C C ≈0.012.[教师] 综上各例所述我们看到：（Ⅰ）条件概率公式提供了P(A ∩B)、P(A)、 P(B|A)三者之间的关系，三者中知二求三，关键在于分析实际问题中已知什么，要求什么.（Ⅱ）我们也可以把条件概率问题转化为古典概型的概率问题，从而将条件概率的计算转化为古典概型的概率的计算（如例2中）＝中元素数中元素数－13391073937C C C )|(Ω=B A B P . （四）技能训练课本第54页练习（1）（2）（3）[学生] 设题中试验的全集Ω=｛(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6｝（1）A ＝｛投掷一枚骰子是偶数点｝＝{(i,j)|i=2,4,6 ,j=1,2,3,4,5,6} B ＝｛投掷另一枚骰子也是偶数点｝={(i,j)|i=1,2,…6 ,j=2,4,6} ∴A ∩B={(i,j)|i=2,4,6, j=2,4,6}A ＝｛投掷两枚骰子都是奇数点｝＝{(i,j)|i=1,3,5, j=1,3,5}434111)(1)(16161313=-=-=-=∴C C C C A P A P 41)(16161313==CC C C B A P 314341)()()|(===∴A P B A P A B P 因此已知一枚是偶数点，另一枚也是偶数点的概率为.31（2）A ＝{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)(5,5),(6,6)} B={(3,3)}则A ∩B ＝{(3,3)} P(A)=61366= 361)(=B A P 6161361)|(==∴A B P因此已知两枚点数相同条件下，点数都是3的概率为.61（3）A ＝｛（3,3），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2）｝ B ＝｛（1,1），（2,2），（3,3），（4,4），（5,5），（6,6）｝则A ∩B ＝｛（3,3）｝ 361)(=B A P 365)(=A P 51365361)|(==∴A B P .因此已知点数和中6 条件下两枚骰子点数相同的概率为.51[教师]（引导学生得到（2）（3）题的另一种解法）我们也可以用另一种观点来求 P(B|A) 即通过转化样本空间Ω，将A 看着试验的全集（样本空间），在A 中考虑满足B 的元素数，则有解法2：（2）.61A )|(＝中元素数中元素数B A B P =（3）.51A )|(＝中元素数中元素数B A B P =（五）课堂小结1．条件概率是指在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率. 2．求条件概率的方法有两种：一是利用条件概率公式即先分别求P(A)和P(A ∩B)，再用公式)()()|(A P B A P A B P =来计算.二是转化为概率，即（1）把A 看着试验的全集（样本空间），从而把P(B|A)转化为新样本空间A 下的概率，再用公式中元素数中元素数A )|(B A B P =直接得到结果.（如练习（2）（3）的解法）3．把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解.（如例2（课本P54/例3）的第①题）（六）思维与拓展：1车床加工的｝，求P(A|B)和)|(A B P .解析：10085)(=A P 10040)(=B P 10035)(=B A P 10015)(=A P 1005)(=B A P875.04035)()()|(===∴B P B A P B A P 333.0155)()()|(≈==A PB A P A B P 2．P(A)>P(A|B)对吗？解析：一般说来，P(A)与P(A|B)之间并没有什么必然的关系.事实上，“事件B 已经发生”这一条件可能使P(A|B)比P(A)大，也可能使P(A|B)比P(A)小，还可能P(A|B)＝P(A).但是如果A，B之间存在一些特殊的关系，这时P(A|B)与P(A)谁大谁小将可以有进一步的结论.（1）A，B之间有包含关系，则P(A|B)≥P(A).（2）若A∩B＝Φ，则P(A|B)≤P(A).五、布置作业课本第55页习题3（1）（2）（3）（4）补充题1．某动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.4，问现龄20岁的动物活到25岁的概率是多少？2．投掷两枚骰子，已知点数和为10，求两枚骰子中第一次投掷的点数大于第二次投掷点数的概率.。
多个条件下的条件概率
多个条件下的条件概率《多个条件下的条件概率》在概率论中，条件概率是指在已知某个条件的情况下，某一事件发生的概率。
然而，在现实生活中，我们所面对的问题往往涉及到多个条件同时存在的情况。
因此，了解并应用多个条件下的条件概率是非常重要的。
多个条件下的条件概率在实际应用中具有广泛的意义。
举个例子，假设有一个关于人群的统计问题：假设有一次抽查人群的调查，我们想知道在已知被调查者是男性、30岁以上且已婚的条件下，他们中间有多少人会抽烟。
在这个问题中，我们需要考虑多个条件同时存在的情况。
为了计算多个条件下的条件概率，我们可以使用条件概率的乘法规则。
该规则表明，当有多个条件同时存在时，事件A和B同时发生的概率可以表示为事件A发生的概率与在已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率的乘积。
具体来说，在上述例子中，我们可以表示为P(抽烟|男性，30岁以上，已婚) = P(抽烟|男性) ×P(抽烟|30岁以上) × P(抽烟|已婚)。
其中，P(抽烟|男性)表示在已知被调查者是男性的条件下抽烟的概率，P(抽烟|30岁以上)表示在已知被调查者年龄在30岁以上的条件下抽烟的概率，P(抽烟|已婚)表示在已知被调查者已婚的条件下抽烟的概率。
这种乘法规则的原理可以解释为，每个单独的条件都会对事件的发生概率产生影响。
在考虑到多个条件的情况下，我们可以将这些条件的影响乘在一起，得到最终的条件概率。
虽然计算多个条件下的条件概率可能会变得相对复杂，但这种分析方法在实际问题中非常有用。
通过考虑并应用多个条件，我们可以更加准确地估计事件发生的概率，从而做出更加准确的决策。
总而言之，《多个条件下的条件概率》是一个重要的概率论问题，它涉及到在多个条件同时存在的情况下，某一事件发生的概率。
通过运用条件概率的乘法规则，我们可以计算出多个条件下的条件概率。
这种技术在实际应用中具有广泛的应用价值，帮助我们更好地理解和解决涉及多个条件的问题。
蒙提霍尔问题
蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题（1）——直觉与计算概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解。
蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子。
还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题。
自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。
两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki 被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。
有的错误一直到了现在才发现。
二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。
在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。
我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解。
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏。
1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题：在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。
当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿。
然后问你，要不要改主意选2号。
问：改选是不是更有利？大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2。
Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3。
她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228。
几个有趣的概率悖论
·几个有趣的概率悖论所谓悖论，是一个逻辑学的术语，原本是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述。
数学中经常有各种各样的悖论，有些在数学哲学史上产生过重要影响．一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深人的思考。
其中最有震撼力的一个悖论应该是罗素关于集合论的悖论，它几乎动摇了整个数学大厦的基础，引发了所谓的“第三次数学危机”．概率论中也有一些有趣的悖论，下面列出几个以引发大家思考。
悖论一：A、B、C三个人被关在一个狱里。
第二天，三人中有一人且只有一人将被执行死刑，另外两人将被释放，而看守知道哪个人将被执行死刑，哪两个人将会获释。
A知道自己会被执行死刑的概率是，另外两人中至少一个人会被释放，于是A写了一封家书，想托B或C中能获释的一个人带出去。
A想问问看守，到底应该把信交给谁（即B和C到底谁能获释）。
看守想：“此时A被执行死刑的概率是，若我把B或C中那个会获释的人告诉了A，那么只有两人可能被执行死刑，A被执行死刑的概率就上升到了，如果自己隐瞒这个信息，A被执行死刑的概率还会是”。
现在的问题是，A 明明知道B和C中一定会有一个被释放，为什么自己不知道这个人是谁时，自己被执行死刑的概率是个人是谁时，自己被执行死刑的概率就上升到了，而知道了这了呢？或者说，两人中反正有一个肯定会被释放，知道不知道这个人的名字为什么会影响自己被执行死刑的概率呢？问题的答案是：看守的担心是没有必要的，不论他是否把B、C中一个会被释放的人的名字告诉A，A还是只有我们这样来分析：可能被可能情况序号执行死刑的人看守可能告诉A被释放的人。
出现这个事件的概率1aAB1bC2BC3CB如果A什被执行死刑（这个事的概率是选A还是选B是等可能的，因此，“件事的概率是），那么看守可以选择B或C告诉A，A被执行死刑且看守告诉A：B会释放”这的，也就是。
表中的其他情况可以类似的分析。
现在我们来看，如果看守告诉A，明天B会被释放，我们看看此时A被执行死刑的概率是多大。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论生活中有许多经典的悖论，在许多情况下这些悖论会使人感到困惑和尴尬，但是从概率论的角度来看，我们可以更好地理解这些悖论。
悖论1：生日悖论生日悖论是指在一个房间里只有23个人的情况下，至少有两个人的生日是相同的悖论。
这个悖论让人感到困惑的原因是我们通常觉得出现这种情况的概率应该很低。
但是根据概率论，这种情况的概率实际上是非常高的。
假设每个人的生日是随机的、独立的并且均匀分布的（即每一天出生的概率是相等的），那么在23个人中至少有两个人的生日是相同的概率大约是50%。
在一组有57个人的情况下这个概率就超过了99%。
这个悖论的解释是，我们通常很难想到所有可能的情况和排列，我们经常只是根据直观感觉做出判断，并没有考虑到所有的可能性。
悖论2：蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题是指在一个游戏中，你面前有三扇门，其中一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面是羊。
你首先选择其中一扇门，然后主持人告诉你另一扇门后面是一只羊。
你有选择更换原先选择的门吗？这个问题的答案其实是选择更换。
虽然眼前的情形看起来你选择任何一扇门的获胜概率是一样的(1/3)，但你的概率其实更高(2/3)。
为了理解这一点，可以考虑两个可能的情况：一是你一开始选择到了有汽车的那扇门，此时主持人会打开其他两扇门中的一扇门。
二是你选择的是有羊的门，此时主持人必须要打开剩下的那一扇门，因为他不能打开有汽车的那扇门。
在第一个情况中，更换的话你就会输掉，概率为1/3；在第二个情况中，更换的话你就会获胜，概率为2/3。
由于这两个情况的概率分别是1/3和2/3，所以更换的好处是更好的。
孪生船悖论是指两条船在海上相向而行，当它们相距一定距离时，一艘船上的钟比另一艘船上的钟慢，或快，或者两者都有可能。
因为两艘船的速度与方向各不相同，所以很难确定哪艘船的钟会慢一些。
这个悖论的解决其实涉及到了一些相对论和时间理论的知识，但是从概率论的角度来看，我们可以认为两艘船的速度和方向是随机的，那么任何一艘船的钟相对于另一艘船的钟的时间偏差都是等概率的。
多个事物的条件概率
多个事物的条件概率我们要讨论的是条件概率，这是一个在概率论中非常重要的概念。
条件概率描述了一个事件在另一个事件发生的情况下的概率。
首先，我们需要明确什么是条件概率。
简单来说，条件概率就是在一个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。
这个概念在我们的日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
比如说，我们有一个经典的例子：抛硬币。
如果我们说，硬币正面朝上的概率是0.5，这其实就是一个条件概率。
因为我们知道，硬币只有正面和反面两种可能的结果，所以这个概率是在给定硬币只有两种可能结果的前提下得出的。
再比如，我们有一个盒子，里面有红色和蓝色的球各十个。
如果我们随机抽取一个球，那么抽到红色球的概率就是0.5。
这也是一个条件概率，因为我们是在给定盒子里面有相同数量的红色和蓝色球的前提下进行计算的。
那么，如何计算条件概率呢？其实很简单，就是用事件A发生的概率除以事件A和事件B同时发生的概率。
公式表示就是：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
这里，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
在实际应用中，条件概率可以帮助我们更好地理解和预测事件之间的关系。
比如在医学研究中，我们可以通过分析病人的症状和疾病之间的关系，来推断出某种疾病在给定症状下的发生概率。
这可以帮助医生做出更准确的诊断和治疗方案。
除了医学研究，条件概率还在经济学、社会学、统计学等领域有广泛的应用。
比如在经济学中，我们可以通过分析各种因素对股票价格的影响，来预测股票价格的变动。
在社会学中，我们可以通过分析不同社会群体之间的差异，来研究社会现象和问题。
在统计学中，条件概率可以帮助我们进行更准确的数据分析和预测。
总结一下，条件概率是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和预测事件之间的关系。
在实际应用中，条件概率有着广泛的应用领域，包括医学、经济学、社会学、统计学等。
通过计算条件概率，我们可以更好地理解各种现象和问题，并做出更准确的预测和决策。
阿波罗不可能定理
1951年阿罗指出的不可能性定理是福利经济学中的第一个不可能性定理，证明了在某些条件下阿罗社会福利函数是不存在的。
实际上，阿罗证明的是阿罗一般性定理(General Possibility Theorem)，该定理证明了阿罗社会福利函数必须至少满座五个合理化的条件，即：1．符合逻辑的个人效用函数的任意性(free triple)；在所有状态中至少有三种选择，关于这三种选择，所有逻辑上可能的个人排序都是可以接受的。
2．社会价值和个人价值选择的正或非负关联性(positive or not negative association)；社会排序随着个人价值判断的变化而同方向变化，或者至少不是反方向变化。
因此，如果在每个人的排序中某个社会状态的排序上升或保持不变，而在这些排序中没有发生其他的变化，那么，我们就可以预期，该社会状态在社会排序中的排序也上升或至少没有下降。
3．无关选择的独立性(independence of irrelevant alternatives)；给定条件下社会所做出的选择只取决于该条件下个人对这些选择的排序。
换言之，如果我们考虑这样的两个个人选择集合，对每一个个人而言，他对于给定条件下特定选择的排序在任何时候都是一样，那么我们就可以要求，在该条件下，当个人的价值判断由第一个排序集合给出时，和当个人的价值判断由第二个排序集合给出时，社会所做出的选择应该是相同的。
4．非强迫性或公民的主权性(non-imposition or citizens’sovereignty)；如果有一组选择x和y，无论所有人的偏好是什么，社会都不会显示出y胜于x，即使所有人都认为y胜于x，社会的排序也仍然是x不差于y，这样的社会排序就是强加的。
该条件要求社会排序必须根据个人排序得出。
5．非独裁性(non-dictatorship)；如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。
条件概率的链式法则
条件概率的链式法则引言在概率论中，条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的链式法则是一个重要的定理，它描述了多个事件同时发生的情况下，其概率的计算方法。
本文将从基本概念入手，逐步介绍条件概率的链式法则的概念、定义及应用，并以实例进行说明。
条件概率的定义条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B是两个事件，并且P(B)>0，则在事件B已经发生的情况下，事件A发生的条件概率定义为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的定义可以理解成，在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率的链式法则条件概率的链式法则描述了多个事件同时发生的情况下，其概率的计算方法。
假设有n个事件A1, A2, …, An，那么这些事件同时发生的概率可以通过条件概率的乘积来计算，即：P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)其中，P(Ai|A1A2…Ai-1)表示在事件A1, A2, …, Ai-1已经都发生的情况下，事件Ai发生的概率。
条件概率的链式法则可以理解为，在多个事件同时发生的情况下，每个事件的发生概率都依赖于前面所有事件的发生情况。
例子1：掷硬币我们用一个例子来说明条件概率的链式法则的应用。
假设有两个硬币A和B，其中硬币A正面朝上的概率为p，硬币B正面朝上的概率为q。
现在我们要求在掷硬币过程中，先掷硬币A，再掷硬币B，同时出现正面朝上的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以先计算掷硬币A正面朝上的概率： P(A) = p然后，根据条件概率的定义，掷硬币B正面朝上的概率可以表示为： P(B|A) = q最后，根据条件概率的链式法则，我们可以得到同时出现正面朝上的概率： P(A和B) = P(A)P(B|A) = p*q例子2：马尔可夫链马尔可夫链是一种随机过程，在这个过程中，未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于过去的状态。
辛普森悖论的原因
辛普森悖论的原因
首先，辛普森悖论涉及到多个独立因素之间的关系。
在统计分析中，
我们经常考虑多个变量之间的相互作用。
然而，当我们试图将这些变量合
并为一个整体时，就会出现问题。
不同因素在合并后可能产生不同的结果，这可能导致统计上的悖论。
其次，辛普森悖论涉及到样本与总体之间的关系。
统计推论通常是基
于样本数据对总体进行推断。
然而，当样本数据的分组方式或分类方法不
恰当时，我们可能会得出错误的结论。
例如，将同一总体分成不同的子组，可能会导致不同的推断结果，这就是辛普森悖论的一种表现形式。
此外，辛普森悖论还涉及到条件概率的误解。
条件概率是指在给定一
些条件下发生其中一事件的概率。
然而，当我们在不同的条件下进行比较时，可能会产生不同的结论。
这是因为我们在不同条件下所考虑的变量可
能不同，从而导致我们得出不同的结果。
最后，辛普森悖论还涉及到数据的处理与解释。
统计学家在对数据进
行分析时，往往会采用不同的方法和模型。
然而，这些不同的方法和模型
可能会导致不同的结果，从而产生统计上的悖论。
这表明统计学的应用不
仅仅是一种客观的过程，也受到主观因素的影响。
总的来说，辛普森悖论的原因是多方面的。
它涉及到多个独立因素之
间的关系、样本与总体之间的关系、条件概率的误解，以及数据的处理与
解释等。
辛普森悖论揭示了统计推断中可能存在的一些合理性问题，也提
醒我们在进行统计分析时应注意这些问题的存在，并采取适当的方法和策
略来解决。
什么是概率概率的性质
什么是概率概率的性质概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
那么你对概率了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是概率的内容，希望大家喜欢!概率的定义古典定义如果一个试验满足两条：(1)试验只有有限个基本结果;(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验便是古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)=m/n，其中n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。
另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。
R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。
从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
统计定义在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。
这个定义成为概率的统计定义。
在历史上，第一个对“当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。
从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A 发生可能性大小的一个数量指标。
由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。
公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义，如下：设E是随机试验，S是它的样本空间。
概率容斥原理证明
概率容斥原理证明概率容斥原理是一种在概率论中常用的计算概率的方法。
它可以用来计算多个事件同时发生的概率，而不需要列举所有可能的情况。
下面将给出概率容斥原理的证明。
假设有n个事件A1，A2，...，An，我们希望计算这些事件至少有一个发生的概率P(A1∪A2∪...∪An)。
首先考虑只有一个事件发生的情况，即P(Ai)，其中1≤i≤n。
根据概率的定义，我们知道P(Ai)是事件Ai发生的概率。
然后考虑有两个事件同时发生的情况，即P(Ai∩Aj)，其中1≤i<j ≤n。
根据概率的性质，我们知道P(Ai∩Aj) = P(Ai) + P(Aj) - P(Ai ∪Aj)，其中P(Ai∪Aj)表示事件Ai和Aj至少一个发生的概率。
由于我们已经知道P(Ai)和P(Aj)，我们可以通过这个公式来计算P(Ai ∩Aj)。
同样地，对于任意k个事件的情况，我们可以使用类似的计算公式：P(Ai1∩Ai2∩...∩Aik) = P(Ai1) + P(Ai2) + ... + P(Aik) - P(Ai1∪Ai2) - P(Ai1∪Ai3) - ... - P(Aik-1∪Aik) + P(Ai1∪Ai2∪Ai3) + P(Ai1∪Ai2∪Ai4) + ... + (-1)^(k-1)*P(Ai1∪Ai2∪...∪Aik)其中，(-1)^(k-1)表示(-1)的(k-1)次方。
最后，我们可以使用概率容斥原理的公式来计算至少有一个事件发生的概率：P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) - P(A1∪A2) - P(A1∪A3) - ... - P(An-1∪An) + P(A1∪A2∪A3) + P(A1∪A2∪A4) + ... + (-1)^(n-1)*P(A1∪A2∪...∪An)这个公式就是概率容斥原理。
它告诉我们如何计算多个事件同时发生的概率，通过依次考虑每个事件的发生和不发生的情况，并根据排除和包括原则来计算总体概率。
耶鲁辛普森悖论
耶鲁辛普森悖论是一个涉及到条件概率的悖论。
它的表述如下：
有两个人，A和B。
A被要求选择从两个盒子中选择一个，其中一个盒子里有一枚白球，另一个盒子里有两枚白球。
B被要求选择两个盒子中的一个，然后打开它。
如果盒子里有一个白球，那么A将获得1美元，否则A将获得0美元。
问题是，如果B打开第一个盒子并看到两个白球，那么A是否应该选择第一个盒子呢？
根据直觉，A应该选择第一个盒子，因为这样B打开第一个盒子并看到两个白球的概率更大，从而使A获得1美元的概率更大。
但是，这个结论是错误的。
事实上，无论A选择哪个盒子，B打开第一个盒子并看到两个白球的概率都是1/2。
因此，A选择哪个盒子对于他最终能否获得1美元没有任何影响。
这就是耶鲁辛普森悖论。
这个悖论的关键在于，人们通常认为，如果一个事件的概率很大，那么它发生的可能性就很大。
但是，在这个悖论中，即使一个事件的概率很大，它发生的可能性也可能是相同的。
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拥有多个A的概率：又一个条件概率
悖论
概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果，条件概率尤其如此。
网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时，总会引来无数人的围观和争论，哪怕这些问题的实质都是相同的。
来看两道简单的组合数学问题：
1. 四个人打桥牌。
其中一个人说，我手上有一个A。
请问他手上有不止一个A的概率是多少？
2. 四个人打桥牌。
其中一个人说，我手上有一个黑桃A。
请问他手上有不止一个A的概率是多少？
这两个问题看起来很像，实际算法大不相同。
在第一题问题中，
手上一个A也没有有 C(48,13) 种情况
手上有至少一个A 有 C(52,13) - C(48,13) 种情况
手上恰好有一个A 有 C(48,12) * 4 种情况
手上有至少两个A 有 C(52,13) - C(48,13) - C(48,12) * 4 种情况
根据条件概率公式，手上有超过一个A的概率为(C(52,13) - C(48,13) - C(48,12) * 4) / (C(52,13) - C(48,13)) = 5359/14498 ≈ 37%
在第二个问题中，
手上有黑桃A 有 C(51,12) 种情况
手上没有其它花色的A 有 C(48,12) 种情况
手上还有其它花色的A 有 C(51,12) - C(48,12) 种情况
根据条件概率公式，手上有超过一个A的概率为(C(51,12) - C(48,12)) / C(51,12) = 11686/20825 ≈ 56%
有趣的事情出来了：如果这个人宣布了手中A的花色，他手中有一个以上A 的概率竟然会大大增加。
这怎么可能呢？难道我们上面的计算结果是错误的？事实上，上面的计算并没有错：。