2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷(理科)

2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．

1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）

A．﹣2B．2C．D．

3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）

A．B．C．D．

4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）

A．B．

C．D．

5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．81

6．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：

则下列说法正确的是（）

A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大

B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同

C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数

D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67

7．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）

A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）

A．7B．4C．5D．11

9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）

A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+16

10．（5分）设有如下三个命题：

甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；

乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；

丙：平面α与平面β相交．

当甲成立时（）

A．乙是丙的充分而不必要条件

B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充分且必要条件

D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）

＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）

A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2 12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）

A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为．

15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为．

16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令

b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．

（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；

（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．

18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．

（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；

（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．

19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；

（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？

20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，

F2，三角形PF1F2的面积为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．

21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．

（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]