多元函数全微分

f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量改变量∆x , ∆y 的全 改变量（全增量） 改变量（全增量），记为∆z
即 ∆z= f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)
例如： 例如：设矩形边长 x , y , 则面积为 z = f ( x , y ) = xy . 矩形面积在点( x0 , y0 )的改变量为
0 , y0 )
= f x′ ( x 0 , y0 )∆x + f y′ ( x 0 , y0 )∆y
即可微分定义中 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ） A = f x′ ( x0 , y0 )，B = f y′ ( x0 , y0 )
证： 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 可微分 可微分,
叠加原理也适用于n元函数的情况 叠加原理也适用于 元函数的情况: 元函数的情况
′ ′ ′ u = f ( x1, x2 ,Lxn ),du= f x1dx1 + f x2dx2 +L+ f xndxn
例1 计 函 z = e 在 (2,1) 处 全 分 算 数 点 的 微 .
xy
解
∂z xy = ye , ∂x
∆y
∆x∆y
∆z = f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = ( x0 + ∆x )( y0 + ∆y ) − x0 y0 = y0 ∆x + x0 ∆y + ∆x∆y
线性主要部分
o( (∆x)2 + (∆y)2 )
y0
x0
∆x
′ ′ f x ( x0 , y0 ) = y0 , f y ( x0 , y0 ) = x0
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
二元函数对 x 和对 y 的偏改变量
二元函数对 x 和对 y 的偏微分
全改变量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义， 有定义，并设 P ′( x + ∆x , y + ∆y ) 为这邻域内 的任意一点， 的任意一点，则称这两点的函数值之差
则
∆x ⋅ ∆y 2 2 (∆x) + (∆y )
ρ
∆x ⋅ ∆y = 2 2 (∆x) + (∆y )
当 ρ → 0时，上式极限不存在，说明它 上式极限不存在， 不能随着 ρ → 0而趋于 0。 。
′ ′ ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
ρ=
(∆x ) + (∆y ) ρ → 0, ∆x → 0, ∆y → 0.
2 2
故函数 z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y0 ) 处可微
注：习惯上记 ∆x = dx , ∆y = dy , 全微分记为 ′ ′ dz ( x , y ) = f x ( x0 , y0 )dx + f y ( x0 , y0 )dy
0 0
上每一点（ 都可微， 如果函数 z = f ( x , y )在定义域D上每一点（ x , y）都可微， 上可微， 则称函数 f在区域D上可微，函数 f在区域D上的全微分记为
∂z ∂z dz = fx′(x, y)∆x + f y′(x, y)∆y 或 dz = dx + dy. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy. ∂x ∂y
处不可微. 函数在点( 0 , 0 ) 处不可微
说明： 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 微分存在，
′ 定理3：如果函数 z = f ( x , y )的偏导数 f x ( x , y ), ′ f y ( x , y )在点( x0 , y0 )连续, 则函数 f在点( x0 , y0 ) 可微分. 证： ∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
解
π
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
4
∂z ∂z dx + dy = 2 π (4 + 7π ). = ∂y ( π , π ) ∂x ( π , π ) 8 4
y=f(x)在某点处： 可导 在某点处： 在某点处 z=f(x,y)在某点处：可偏导 在某点处： 在某点处 可微 连续 可微分 连续
连续
8.3.2 全微分存在的必要条件和充分条件
可微分, 1 定理 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微分 则 函数在该点连续. 函数在该点连续
∂z = xe xy , ∂y
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 , 1 ) ∂y ( 2 , 1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求 数z = y cos( x − 2 y)， x = ，y = π， 函 当 4
dx = ，dy = π时的 微分. 全 4
8.3 全微分
由一元函数微分学中改变量与微分的关系: 由一元函数微分学中改变量与微分的关系 改变量 的关系
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) ≈ dy = f ′( x)dx.
得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )
′ ≈ f x ( x , y )∆ x
′ ≈ f y ( x , y )∆y
4
y yz 例 3 计 函 u = x + sin + e 的 微 . 算 数 全 分 2
解
∂u = 1, ∂x
y ∂u 1 = cos + ze yz , 2 ∂y 2
∂u = ye yz , ∂z
所求全微分
1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原 微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原 理． 全微分的定义可推广到三元函数: 全微分的定义可推广到三元函数
∂u ∂u ∂u u = f ( x , y , z ), du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
ρ
o
∆x
∆y
x
ρ = (∆x)2 + (∆y)2
则称函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微分 , A∆x + B∆y 称为函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 全微分 .
记为dz , 即
dz ( x
0 , y0
= A∆x + B∆y )
内各点处处可微分， 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 内可微分. 则称这函数在 D 内可微分
= A∆x + B∆y + o( ρ ), ρ =
2 2
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) lim =A ∆x →0 ∆x
′ A = f x ( x0 , y0 ), 同理可得 B = f y ( x0 , y0 ). ′
y=f(x)在某点处： 在某点处： 在某点处 z=f(x,y)在某点处： 在某点处： 在某点处
可导 可偏导
可微 可微分
xy x2 y2 例如， 例如， + f ( x, y) = 0
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
.
在点(0,0) 处有
′ ′ f x (0,0) = f y (0,0) = 0
∆x ⋅ ∆ y ′ ′ , ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] = 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y )
函 在 故 数 点(0,0)连 , 续
(
)
f ( ∆x ,0) − f (0,0) 0−0 ′ f x (0,0) = lim = lim = 0, (2) ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x
同理
4 例 试 函 证 数
1 , ( x, y) ≠ (0,0) xy sin 2 2 x +y f ( x, y) = 0, ( x, y) = (0,0)
在 (0,0)(1)连 ; (2)偏 数 在 (3)偏 数 点 连 续 偏 导 存 ; 偏 导 在 点(0,0)不 续 连 ; (4)f 在 (0,0)可 . 点 微
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 )
∆x → 0 ∆y → 0
故函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续.
可微分， 在点（ 定理 2：如果函数 z = f ( x , y )在点（ x 0 , y0）可微分， 则函数 z = f ( x , y )的两个偏导数 f x′ ( x 0 , y0 ), f y′ ( x 0 , y 0 )存在，且 存在， dz ( x
= [ f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 + ∆y)]
+ [ f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )]
两个方括号内， 在 两个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y )
且当 ∆x → 0, ∆y → 0 时， ε 2
→ 0.
∆ z = f x ( x 0 , y 0 )∆ x + ε 1 ∆ x + f y ( x 0 , y 0 ) ∆ y + ε 2 ∆ y ′ ′
ε1∆x + ε2∆y ∆x ∆y ρ→0 → Q ≤ ε1 + ε2 ≤ ε1 + ε2 0, ρ ρ ρ
证： 事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), 2 2 ρ = (∆x ) + (∆y ) lim ∆z = lim [A∆x + B∆y + o( ρ )] = 0,
ρ →0 ρ →0
ρ → 0, ∆ x → 0, ∆ y → 0. 即 lim ∆z = lim [ f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )] = 0,
的某个邻域总成立 总成立, P 的某个邻域总成立
∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 )
(∆x ) + (∆y ) 上式仍成立， 当∆y = 0时，上式仍成立， 此时 ρ =| ∆x |, f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |),
∆x → 0 ∆y → 0
∴ f x′ ( x0 + θ 1 ∆x , y0 + ∆y ) = f x′ ( x0 , y0 ) + ε 1
（无穷小） 且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 . 无穷小） 同理 f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f y′ ( x 0 , y 0 )∆ y + ε 2 ∆ y ,
思路：按有关定义讨论； 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) ≠ (0,0) ，( x , y ) = (0,0) 讨论 讨论.
证 (1) xy sin
1 x2 + y2
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≤ xy
1 2 ( x , y )→ (0 , 0 ) 2 ≤ x + y → 0 2 1 则 lim xy sin 2 2 = 0 = f ( 0,0 ), ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x +y
= f x′ ( x0 + θ 1 ∆x , y0 + ∆y )∆x ( 0 < θ 1 < 1)
= f x′ ( x0 , y0 )∆x + ε 1 ∆x （依偏导数的连续性） 依偏导数的连续性）
Q lim f x′ ( x0 + θ∆x , y0 + ∆y ) = f x′ ( x0 , y0 )
8.3.1 全微分的定义
如果函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )的全改变量 ∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )可表示为
∆z = A∆x + B∆y + o(ρ)
y
其中A, B不依赖于 ∆x , ∆y 而仅与 x , y有关,