数学物理方法第四版梁昆淼期末总结
数学物理方法第四版梁昆淼期末总结共86页PPT
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
数学物理方法第四版梁昆淼期末总结 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
86
《数学物理方法》课程简介
《数学物理方法》课程简介课程介绍人：缪炎刚本课程选用梁昆淼编写的《数学物理方法》（高等教育出版社第四版）作为教材，郭敦仁编《数学物理方法》（人民教育出版社）作为主要教学参考书。
教材的第一版序言对这门课程作了恰当的介绍。
现（略作修改）摘录于下。
课程面向本校物理学各专业的二年级本科生。
主要内容包括三个部分：复变函数论、积分变换和数学物理方程。
对于物理专业来说，《数学物理方法》不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。
它既是数学课程，又是物理课程。
在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面却也不宜在数学严谨上作过多的要求。
虽然在复变函数、积分变换和数学物理方程方面已有不少专门的著作，但梁昆淼等认为，一本合适的教材应当在数学理论上不花费过多力量，以鲜明的思路引导读者迅速掌握这些数学工具并应用于物理问题。
这个特点在教材中得到体现。
第一篇复变函数论，除基本原理外，着重谈到共轭调和函数、留数定理及其在定积分计算等方面的应用。
第二篇积分变换主要讲傅立叶变换和拉普拉斯变换。
傅立叶变换是为第三篇数学物理方程的分离变数法作准备的。
当然，傅立叶变换的应用并不限于分离变数法，它是分析许多物理过程的有力工具。
第三篇数学物理方程是全书的中心内容。
它研究各种各样的物理过程。
第一个环节在于将物理问题“翻译”为数学问题。
第二个环节则是求解从物理问题翻译出来的数学问题。
在各种解法中，课程突出最基本的方法——分离变数法，将系统地讨论各种不同情况下如何运用分离变数法。
这样有利于学生熟练地利用分离变数法去解数学物理问题。
在教学方法上，将特殊函数与分离变数法熔为一体。
即从分离变数法引出特殊函数，研究了特殊函数的性质之后又回到分离变数法。
这样讲授特殊函数的目的比较明确，也有利于培养学生运用特殊函数解决问题的能力。
泛定方程为非齐次的情况下（强迫振动、有源的导热或扩散问题、有电荷的电场等），从物理的推理引出解题的线索。
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25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数学物理方法第四版梁昆淼 期末总结
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
数学物理方法期末复习
数学物理方法期末复习数学物理方法是一门综合应用数学和物理知识的学科，主要涉及到数学工具和数学方法在物理学中的应用。
数学物理方法的核心内容包括数学分析、微分方程、线性代数、复变函数等。
这门课程对于物理学专业的学生来说非常重要，它为我们理解和解决物理问题提供了强有力的工具。
在数学物理方法的学习中，数学分析是一个非常重要的基础部分。
数学分析研究了函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过学习数学分析的原理和方法，我们可以更深入地理解和分析物理问题中的数学关系。
微分方程是数学物理方法中的另一个重要内容。
微分方程是描述物理系统动力学行为的数学模型。
通过对微分方程进行求解，可以得到物理系统的解析解或数值解，从而进一步研究和分析物理系统的运动和变化规律。
线性代数也是数学物理方法中的关键部分。
线性代数研究了向量空间、线性变换、矩阵以及它们的性质和运算。
在物理学中，线性代数被广泛应用于矩阵理论、量子力学、电磁学等领域。
例如，在量子力学中，波函数的表示和演化可以通过线性代数的方法进行描述和求解。
复变函数是研究复数域上的函数的一门学科，也是数学物理方法中的重要内容。
复变函数在物理学中的应用非常广泛，特别是在电磁学、流体力学和量子力学中。
通过复变函数的分析，我们可以更好地理解和求解这些物理问题。
总的来说，数学物理方法是物理学专业学生必须掌握的一门课程。
它不仅提供了解决物理问题所需的数学工具，而且培养了我们分析和解决问题的能力。
数学物理方法的学习不仅需要我们掌握数学知识，还需要我们运用数学方法进行物理问题的建模和求解。
通过不断练习和研究，我们可以逐渐掌握和运用这些数学物理方法来解决实际问题。
在数学物理方法的期末复习中，我们可以从以下几个方面进行复习和提高：首先，我们可以回顾和复习数学分析的基本概念和原理。
包括函数的性质、极限、连续性、微分性和积分性等。
通过做一些相关的数学分析题目，加深对这些概念和原理的理解和应用能力。
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
数学物理方法期末总结
数学物理方法期末总结目录一、基本概念与理论 (3)1. 数学物理方法概述 (4)1.1 定义与重要性 (5)1.2 历史发展 (6)2. 微积分的应用 (8)2.1 微分在物理学中的应用 (9)2.2 积分在物理学中的应用 (9)3. 线性代数 (10)3.1 向量与矩阵 (12)3.2 线性方程组 (13)3.3 特征值与特征向量 (13)4. 微分方程 (15)4.1 常微分方程 (16)4.2 偏微分方程 (17)二、数值方法与计算 (18)1. 数值分析基础 (19)1.1 误差分析 (21)1.2 置信区间与假设检验 (22)2. 求解方法 (22)2.1 直接法 (23)2.2 迭代法 (25)2.3 分裂法 (25)3. 计算机模拟 (27)3.1 数值实验步骤 (28)3.2 实验数据分析 (29)三、专题研究 (30)1. 波动理论 (31)1.1 波的传播 (32)1.2 驻波与干涉 (34)2. 量子力学基础 (35)2.1 波粒二象性 (36)2.2 薛定谔方程 (37)3. 统计物理 (38)3.1 随机过程 (40)3.2 熵与热力学第二定律 (40)四、课程总结与展望 (41)1. 重点回顾 (42)1.1 核心知识点总结 (43)1.2 学习难点解析 (44)2. 未来发展趋势 (45)2.1 数学物理方法的进步方向 (46)2.2 在现代物理学的应用前景 (47)3. 个人学习体会 (48)3.1 学习过程中的收获 (49)3.2 对未来学习的展望 (51)一、基本概念与理论数学物理方法是将数学工具应用于物理学问题的过程，它包括了数学分析、微分方程、复变函数、概率论等数学分支。
数学物理方法的基本目标是建立物理现象与数学模型之间的联系，通过求解数学模型来揭示物理现象的本质规律。
微分方程是描述自然界中运动变化的数学工具，它将偏微分方程和常微分方程两种形式结合在一起，可以用于求解各种类型的物理问题。
数学物理方法第四版(梁昆淼)期末总结
常见函数的泰勒展开式:
1) e z z k k0 k !
2)
1
zk
1 z k0
3)
1
(1)k zk
1z k0
(z ) (z 1) (z 1)
4)sinz (1)k
z2k1
k0
(2k1)!
(z )
5)cosz (1)k
z2k
(z )
k0
(2k)!
例 3 .把 f ( z ) a r c t g z 在 z 0 0 邻 域 展 成 泰 勒 级 数 .
解： arctgz 11z2 dz
1
1z2
(1)kz2k,
k0
z
1
arctg
(1)k
z2k1c
k0 2k1
arc0tg0
c0
arctgz(1)k z2k1,z1
k02k1
1
(1)ktk,
t 1
1t k0
例 4 .把 f(z ) z 2 (z 1 i)在 圆 环 1 z i 展 成 幂 级 数 .
Arg arzz g2k k0,1,
例1：已知 z23i ，则 z z 1 3
。
zz2x2y2 1 3
例2：复数ez 的模为 e x ，辐角为 y2k, k0,1,2,
.
ez exiy e x eiy
三、解析函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ) 1、柯西-黎曼方程
u
f(z) dz2i f(n)()
l(z)n1
n!
来计算积分.
sin( z)
例 1.
4 dz, 其 中 c:(x1)2y21
c z21
sin( z)
4 dz
数学物理方法期末重点
数学物理方法复习要点第一章：解析函数形式1.4平面直角坐标系下的柯西——黎曼公式：（小型计算题） u v y x∂∂=-∂∂ 相关习题：P 14例1、 P 16习题2（1）、（2）、（6）、（7）第二章：复变函数积分柯西公式：（填空题）()()12f z f dz i z απα=-⎰ 求导公式：()()()()1!2n n f z n f dz i z απα+=-⎰相关习题见课件第三章：幂级数展开（两道小型计算题）1.泰勒展开：()()00kk k f z a z z ∞==-∑其中，()()1012k k f a d i z ξξπξ+=-⎰常用的级数展开形式：11k k z z ∞==-∑ ()||1z < 0!kz k z e k ∞==∑ ()||z <∞2.洛朗展开：（以上展开都要注意表明展开形式，以及会求级数的收敛半径、收敛域） 相关习题：P 41习题（1）、（5）；P 46例2、P 47习题3、7、8第四章：留数定理4.1用留数定理求回路积分 P 55例4留数定理：()()12Re ni l i f z dz i sf b π==∑⎰ u v x y∂∂=∂∂对于单极点求留数：()()()000Re lim z z sf z z z f z →=-⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()00000Re lim 'z z P z P z sf z z z Q z Q z →⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 对于()1m m >阶极点求留数：()()()()010011Re lim 1!m m m z z d sf z z z f z m dz --→⎧⎫⎪⎪⎡⎤=-⎨⎬⎣⎦-⎪⎪⎩⎭4.2用留数定理求实变函数定积分 例1——例7 （三种类型对应三道小型计算题）○1类型一：()20cos ,sin R x x dx π⎰，被积函数是三角函数的有理式，积分区间为[]02π，，做自变数代换：ix z e =，则有： 1cos 2z z x -+=，1sin 2z z x i --=，dz dx iz= 则：1120,22z z z z dz I R i iz π--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰； ○2类型二：(),f x dx +∞-∞⎰积分区间为：[],-∞+∞；复变函数()f z 在实轴上无奇点，在上半个平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴趋于0时，()0zf z →。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
ut a2uxx 0
ux x0 0 ux xl 0 u (x)
t 0
通解
u( x, t )
C0
n1
C e
n2 2
l2
a2
n
t
cos
n
l
x
系数
C0
1 l
l
( x)dx
0
Cn
2 l
l (x) cos n x dx
0
l
3. 边界条件为“ 混齐”
F (x)eimxdx
0
2
i{F (z)eimz在上半平面所有奇点留数之和}
1
G(x)sin mxdx
G(x)eimxdx
0Leabharlann 2i {G( z )eimz 在上半平面所有奇点留数之和}
八 奇函数和偶函数的傅立叶级数
奇函数
f
(x)
k 1
bk
sin
k
u f (t) x xa Ys
例2 细杆导热问题 f (t)
xa
u
k
f (t)
x xa
k u f (t) x xa
流出 流入
达朗贝尔公式适用的问题
1 utt a2uxx 0
u (x) t 0
ut t0 (x)
齐次的泛定方程
( x ,t 0)
n
l f (z)dz 2 i Re sf (bj )
.bn
j 1
全平面的留数定理：
函数 f (z) 在全平面上所有各点
的留数之和为零
.
.b1
.b2
.
梁昆淼数学物理方法
Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
u(x) tt0
2h
(l x) [l / 2,l]
l
速度满足 ut (x, y, z,t) tt0 0
二、边界条件
第一类边 界条件
u(x, y, z,t) x0 y0 z0 f (x0,Байду номын сангаасy0, z0,t)
第二类边
(Yu
Copyright
x xa )S
2004-2011
f (t)
AsposuexPxtyaLtdf.Y(St
)
如杆端自由 f(t)=0
ux xa 0
B）、热传导
如细杆热传导端
点有热量流出 0
x a
eaqtexdxwaithCAosppkyorusigen.hSxtl2Eiad0ve0as4luf-o2akrt0i.1oN1nuExAoTnsxpl3yo..a5seCPlitfeyn(Lt)tPdr.ofile 5.2.0
( a )( a )u 0 t x t x
令： x a( )
t
eated with Aspose.tSlEitdveaslufxoarti.oxNnEoTntl3y..5aClxient Profile 5.2.0
( x )
Client Profile 5.2.0
Copyriguht 2f010(x4-2a0t1)1Afs2p(oxseaPtt)y Ltd.
求导有 ut af1'(x at) af2'(x at)
f1(x) f2(x) (x)
af1'(x) af2 '(x) (x)
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1 dz
1 dz)
z z2 1
2 z z 1
z z 1
1 (2i 2i)
2
0
21
第三章 幂级数展开
一、收敛半径
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 L ak (z z0 )k L
k 0
方法1：比值判别法 R lim ak
a k k 1
(x iy)2 i 1 (x iy)2 iC 2
z2 i 1 z2 iC 2
v 2y x, x v 2x y y
Q f (0) 0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
2
12
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v(x, y) x x 2 y 2 ，
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f (z)
10
例 3：已知解析函数 f (z) 的实部u(x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u 2x y, u x 2 y
x
y
根据C-R条件，
v u 2 y x, v u 2x y
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R( ) 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
15
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
R() 0 R() C
u 2 cos C
2
f (z)
2
cos
C
i
2 sin
x
2 2
y
2 2
x
2 2
y
2 2
3
(2)、乘法和除法
z1 1(cos1 i sin1) 1ei1 z2 2 (cos2 i sin2 ) 2ei2
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
ei(12 ) 12
• 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 z2
7
例1：已知 z 2 3i ，则 zz 13
。
zz 2 x2 y2 13
例2：复数ez 的模为 ex ，辐角为 y 2k , k 0, 1, 2,L
.
ez exiy exeiy
8
三、解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 1、柯西-黎曼方程
u
直角坐标系：
z
z0
)
f
(
z)]
P(z0 ) Q(z0 )
本性奇点
在0 z z0 R展开f (z)得
Re sf (z0 ) a1
32
极点阶数判定
法一
lim [(z
zz0
z0 )m
f
(z)]
am
非零的有限值
0 把极点阶数估计得过高 (n>m)
lim[(
z z0
z
z0
)n
f (z)]
am
n就是极点的阶数
k 0
1
(1)k tk , t 1
1 t k0
f (z) 1
d [ (i)3k (z i)k1] 1
(i)3k (k 1)(z i)k2
z i dz k0
z i k0
3
(k 2)i3(k3) (z i)k , (1 z i ) k
28
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
方法2 ：根值判别法 R lim 1
a k k k
收敛圆： z z0 R
收敛域：z z0 R
22
例1 求幂级数 k(z i)k 的收敛圆. k 0
解
ak k
R lim ak a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
23
例2
幂级数 ez zk
k0 k !
(n=m)
把极点阶数估计得过低 (n<m)
法二 零点和极点的关系
若z = z0是
f(z)的m阶零点，则z =
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情 况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x 2 y 2 。
解： v cos 2
cos
(1 cos)
2sin 2
2
2 sin
2
13
v 2 sin
2
v
2
sin
1
1 2
1 sin
22
2 2
v 2 cos 1 cos
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1 )( x2 iy2 )
x
2 2
y
2 2
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
f
(z)
z 2i z5 4z3
的极点为:
______0_,_2__i _______ .
f
(z)
e1/ z z2
9
的极点为
:
___3_i_, __3_i_____;本性奇点为:
_______0__________ .
30
第四章 留数定理
一、留数定理：——P52
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
n
z
1
n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
i
2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
5
二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
周期为2i，
3. 三角函数
26
例3. 把f (z) arctgz在z0 0邻域展成泰勒级数.
解：
arctgz
1
1 z2
dz
1
1 z2
(1)k z2k ,
k 0
z
1
arctg (1)k z2k1 c
k0 2k 1
arctg0 0
c 0
arctgz (1)k z 2k1, z 1
k0 2k 1
1
数学物理方法
教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
第二篇 数学物理方程
1
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
z x iy ——代数式
z (cos i sin) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 虚部：y Im z
(z )n1 分区域上解析, 为积分区域内一点；
(2) 利用柯西公式
f (z)
l (z )n1
dz
2i
n!
f
(n) ( )
来计算积分.
19
sin( z)
Ñ 例1. c
4 z2 1
dz,
其中c : (x 1)2 y2
1
sin( z)
4 dz
I Ñ c
z 1 z 1
sin z 2 i 4
奇点名称 0 z z0 R 的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
极限性质 lim f (z) 有限值
z z0
极点
含有限个负幂项
本性奇点 含无限个负幂项
lim f (z)
zz0
lim f (z)无定值
zz0
29
几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点
极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。
x u
v y v
y x
2、解析函数性质
：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f (z) u(x, y) iv(x, y) 是解析函数，则u v 0 。
(2)、若函数 f (z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
9
3、构建解析函数：
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解1
1 t k0
27
例4.
把f (z)
z
2
(
1 z
i)
在圆环1
z i
展成幂级数.
解：f (z)
1 z2(z
i)
1 z i
1 z2
1 zi
d (1) dz z
1 z
i
1 (z
i)
1 z i
1
1
i
zi
1
(1)k (
i
)k
z i k0
z i
(i)3k (z i)k1
2
2
2 (cos i sin ) C
2
2
1
2 (cos i sin)2 C
1
2[(cos i sin)]2 C
2z C
16
第二章 复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25
3、重要公式应用（P28）
25
常见函数的泰勒展开式: