一道多人相遇问题的多种解法
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风雨数学老师谈行程问题
一道多人相遇问题的多种解法
【题目】甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲乙二人在A地，丙在B地与甲乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。
A、B两地相距多少米？
【解答】这题经常出现在竞赛中，解法也是非常多的，现在将我的一些方法整理如下：
【解法一】当乙丙相遇时，甲在乙后面2×（100+60）=320米，也就是说乙丙相遇时，乙比甲多行了320米，所以乙丙相遇用了320÷（80-60）=16分钟，由此可以得到两地相距（100+80）×16=2880米。
【解法二】乙丙合行100+80=180米，甲乙就相差80-60=20米，甲乙相差（100+60）×2=320，那么乙丙合行320÷20×180=2880米。
【解法三】甲丙合行100+60=160米，乙丙就比甲丙多行80-60=20米，当甲丙相遇时，乙丙又行了（100+80）×2=360米，所以两地之间的距离是360÷20×160=2880米。
【解法四】乙丙相遇时，乙走了全程的80÷（80+100）=4/9，甲丙相遇时，甲走了全程的60÷（60+100）=3/8，此时乙行了全程的3/8×80/60=1/2，所以乙2分钟行的80×2=160米占全程的1/2-4/9=1/18，因此两地之间的距离是160÷1/18=2880米。
【解法五】乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，甲行了全程的4/9×60/80=1/3，当甲丙相遇时，甲行了全程的60÷（60+100）=3/8，所以甲2分钟行的60×2=120米占全程的3/8-1/3=1/24，因此两地之间的距离是120÷1/24=2880米。
【解法六】乙丙相遇时，丙行了全程的100÷（80+100）=5/9，甲丙相遇时，丙行了全程的100÷（100+60）=5/8，从乙丙相遇到甲丙相遇，丙行了2×100=200米，丙行的这200米占全程的5/8-5/9=5/72，所以两地之间的距离是200÷5/72=2880米。
【解法七】乙丙相遇时，甲在乙后面（100+60）×2=320米，甲行的路程比乙少1-60÷80=1/4，所以此时乙行了320÷1/4=1280米，由于乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，所以两地之间的距离是1280÷4/9=2880米。
【解法八】乙丙速度和与甲丙速度和的比是（80+100）：（60+100）=9：8，相遇的时间比就是8：9，由于相差2分钟，所以乙丙相遇的时间是2÷（9-8）×8=16分钟，因此两地之间的距离是（80+100）×16=2880米。
【解法九】乙丙相遇时，两人行的路程比是80：100=4：5=32：40，甲丙相遇时，两人行的路程比是60：100=3：5=27：45，所以丙后来行的2×100=200米相当于32-27=5份的路程，每份的路程是200÷5=40米，全程一共32+40=72份，所以两地之间的距离是40×72=2880米。
【解法十】把这个问题看作一个人分别按照60+100=160米和80+100=180米的速度来行这个全程，两次的时间相差是2分钟，行1米的时间相差1/160-1/180=1/1440分钟，所以2分钟包含了2÷1/1440=2880个1米，因此两地之间的距离是2880米。