结构力学动力计算单自由度自由振动

1.当弹簧与支点直接相连时
并联
并联 并联 串联
串并联
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42
m m
并联 串联
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43
2.当弹簧与支点不相连时
EI l
m
k1
12 EI k1 5l 3
l/2
l/2
24 EI 5ml 3
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44
m l
2m
K
EI=∞
l
l
求运动微分方程和自振频率
••
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4k
0
3m
4k 3m
29
1 k m m
自振频率
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30
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
A
y02
v0
2
arctan y0 v0
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31
自振周期 T 2
频率 f 1 T 2
自振圆频率 2 f
（简称自振频率）
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32
结构自振频率ω的性质 1. 只与质量和结构刚度（柔度）有关，
l3
48 EI
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35
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
7l3
768 EI
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36
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
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37
72EI 24EI
3mH3 mH3
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38
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
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39
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
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40
有弹簧支座时
1.当弹簧与支点直接相连时 2.当弹簧与支点不相连时
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41
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45
m l
2m
K
EI=∞
2l
••
4k
0
17m
4k
17 m
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46
m m
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47
第十章 动力计算基础
§10-1 动力计算的特点及动力自由度
一、静荷载：不使结构产生显著的加速度 动荷载：使结构产生显著的加速度， 惯性力(- m ÿ )不容忽视
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1
二、动力反应：动内力和动位移的计算
三、动力计算的目的：找出动内力和动位移的变化 规律，并用最大值指导设计
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2
四、动力计算的方法：
根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为平衡 问题来处理。
但这是一种动平衡，是引进 惯性力条件下的平衡。
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3
两个特点：
1、在所考虑的力系中包括惯性力。
2、这里考虑的平衡是瞬时平衡， 动内力和动位移均为时间的函数。
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4
五、常见动载及分类
1、周期荷载 （1）简谐周期荷载（本章重点） （2）一般周期荷载
m3
15
EI= 常数
n=3
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16
EI= 常数
m
n=2
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17
m m
m m
EI= 常数
n=3
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18
m
m
m
EI= 常数
n=4
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19
m
EI
m
EI1=∞
EI
m
n=2
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20
m
EI
m
EI1=∞
m
EI1=∞
n=1
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21
动力自由度与几何构成自由度的区别
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5
FP(t)
t 简谐荷载
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6
FP(t)
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一般周期荷载 t
7
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
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8
非周期性的爆炸荷载
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9
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
y
δ
m
-m ÿ
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26
y m•y•
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
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27
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
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28
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
m ÿ+ k y = 0
设2 k
m
••
y2y 0
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本课程在此只讨论数定荷载作用。
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10
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11
六、动力计算自由度
自由度：结构（体系）在变形过程中，确定全部 质量位置 所需要的独立参数的数目。
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12
例：
m1
m2
EI
n=3
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m3
13
例：
m1
m2
EI=∞
n=1
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m3
14
例：
m1
m2
EI
n=3
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与外界干扰无关。
2. 与m的平方根成反比（m大， ω 慢） 与k的平方根成正比（k大， ω快）
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33
3. ω是结构动力特性的重要数量标志。
动力反应与外表无关，与ω有关 。
两个ω相似的结构，其动力反应相似。
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34
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
•
y p y qy 0
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24
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
k 1
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25
1.自由振动微分方程（含有y 与ÿ 的方程）
1）动位移方程（柔度法）
动力自由度 ：1.以质点为研究对象 2.弹性体系
几何构成自由度 ：1.以整个体系为研究对象 2.刚性体系
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22
动力自由度的特点：
1.与质量的分布、体系的支承和刚度有关 2.与有无多余约束无确定关系 3.与质点的数目不一定相等
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23
回顾高数： 二阶常系数齐次线性微分方程的解
••