人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念

1.2
种方法得到的直边图形的长和高分别是多少？
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
定积分的概念
1.2一、定积分的两个实1.2 例
新1 课引入：你能求出1 以下阴影部分图形的面
积吗？
0.8
0.8
1.6
1.4
此图形既不 规则，也不 是直线图形， 怎么办？
0.6
0.4
D
0.2
C
0.6
0.4
0.2
1.2
1
f(b)
0.8
0.6
f(a)
0.4
y=f(x)
图1 A
B 0.5
0.2
O
0.5
1
1
1
B
0.8
如何求抛物线 y x2
0.6
与直线x=1,y=0所围成
的平面图形的面积S？ 0.4
引例中的图1，图2，
f(x) = x2
0.2
对求曲边梯形的面积
有什1 么启发吗？0.5
0
0.5
A
1
0.2
0.4
0.6
把不规则图形
0.4
分割成规则图 0.2
形求面积
O
0.5
1
1.5
1.4
0.2
你能写出每个小区间的左右端点的横坐标吗？ 1.2
由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n 1 i 12
i1 n n
每个小区间的长度记为x，x 0.4 的值是多少？
1
B
类比上图可以
0.8
考虑用分割法
0.6
把区间[0,1]等
分为n个小区间
0.4
f(x) = x2
0.2
A
1
0.5
01
n
2 3 4 0.5 n nn
i 1
i
1
x
nn
x 1
规则图形可直接
0.4
用公式求面积
0.2
1.2 0.5
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 200.00 f(x) = x2
0.5
A
1
分割的小1.4矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和 与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
n = 300.00
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
0.2
A
1
观察归纳
当分割得到的小矩形越来越细时，小矩形的面积之和 Sn 越接近曲边梯形的面积S。当n无穷大时，小矩形的面 积之和与曲边梯形的面积趋近于相等。
[a, b] ——叫做积分区间
———叫做积分号
（二）定积分的一些相关说明：S

b
a
f
xdx

lim
n
n

i 1
b
n
a
f
i

1
.当
f
xin及1 f 积(x i分)x区的间极[a限,b]存有在关时，，与其x i 极点限的值取仅法与无被关积。函数
2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
n
Sn
lim n
n i 1
1 n
f
( i 1) n
lim 1 1 1 1 1 1 n 3 n 2n 3
n 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 199 200 1000 2000 3000 5000
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0
0.2 0.4
课后思考
f(x) = x2
A
0.5
1
1 2 3 4 i 1 i
n nnn
nn
f (i 1) n
1 n
1.5
以这种方法近似 代替小曲边梯形 得到曲边梯形的 面积为 1
3
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1
1

2
n
n
这两种方法近似 代替小曲边梯形 1 得到的面积也是 3 吗？
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边1.4 梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 30.00 f(x) = x2
0.5
A
1
当分割的1.4 小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.8 1.6
1.4
1.2
1
0.8
S
1vtdt
1
(t
2

2)dt

5
0
0
3
0.6 0.4 0.2 0.5
0.2
0.4
f(x) = x2
A
0.5
1
1.5
v(t) t 2 2
0.5
1
1.5
2
2
三、定积分的几何意义：
1.6
当 f(x)0 时，积1.4 分
b
f (x)dx
i1
四、取极限:所求曲边梯形的面积为
a x1 x2 x x 0.5 i1 i
b
n
S lim x0 i 1
f
i
x lim n b a f n n i1
i
二、定积分的概念
求曲边梯形面积和求汽车行驶的路程这两个实例,都是通 过“四个步骤”来实现 :分割---近似代替----求和------取极限
0.6
0.4
0.2
4、令n趋向于无穷大，得到路程的0.5
精确值。
0.2
0.4
0.5
1
1.5
1.6
总结归纳：根据前面两个实例，你能总结出求任意一
个曲边梯形在区间[a,b]的面积的方法1.4 步骤吗?
一、分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点1.2 ,将它等分成n个小区
间:a, x1,x1, x2, xi1, xi , ,xn1,b,
S1
y
b
a
ff1(xx)dx
Oa
bx
Oa
bx
y g2x
y Oa
y f1x
b
S1
f (x)dx
a
y f2x
S2
b a
f2 xdx
bx
S S1 S2
b a
f1xdx

b a
f2
xdx
y Oa
y g1x
y g2x
s1
b a
g1
x
dx
bx
s2


b a
g2 xdx
S S1 S2
b a
g1
x
dx

b a
g2
x
dx
（二）定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
性质2.
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
小矩形的面积和为 Sn

n i 1
f i x
n i 1
ba n
f
i
如果当n+∞时，Sn 就无限接近于某个常数，
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作
b a
f xdx
，即
b a
f
xdx

lim
n
n i 1
b
a n
f
在几何上表示由 y=f (x)、
a
xa、xb与 x轴1.2 所围成的曲边梯形的面积。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
a
0.5
b
1
1.5
2
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
三、定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
0.4
边梯形位于 x 轴的下方，
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 60.00 f(x) = x2
0.5
A
1
分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和 与曲边梯1.4 形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2