人教版A版高中数学选修2-2:定积分的概念

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【原创】人教A版选修2-2:第一章 1.5定积分的概念

【原创】人教A版选修2-2:第一章 1.5定积分的概念

第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__,区间[a,
b] 叫做 __积__分__区__间___ , 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ,x 叫 做
__积__分__变__量___,f(x)dx 叫做_被__积___式___.
讲一讲
2.汽车做变速直线运动,在时刻 t 的速度(单位:km/h) 为 v(t)=t2+2,那么它在 1≤t≤2(单位:h)这段时间行驶的 路程为多少?
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间,第 i 个小区间 为1+i-n 1,1+ni (i=1,2,…,n).
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′=v(t)·n1=v1+i-n 1·n1=n3+2in-2 1+i-n312,
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
练一练
2.已知作自由落体运动的物体的运动速度 v=gt,求在 时间区间[0,t]内物体下落的距离.
解:①分割. 将时间区间[0,t]等分成 n 个小区间,其中第 i 个区间 为i-n 1t,int(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段 Δt =int-i-n 1t=nt ,在各小区间内物体下落的距离,记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0,从而定积分af(x)dx<0,这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数,
b
b
即af(x)dx<0=-S 或 S=-af(x)dx<0.
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
2
(7)
0
4-x2dx 的几何意义是什么?
提示:是由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y= 4-x2所

1.5定积分的概念(高中数学人教A版选修2-2)

1.5定积分的概念(高中数学人教A版选修2-2)
C.f
D.f(0)

i- 1 i 解析:当n很大时,f(x)=x2在区间 n ,n 上的值可用该区
间上任何一点的函数值近似代替,显然可以用左端点或右端点 的函数值近似代替. 答案:C
3n -2n 3.linm =________. 2 →∞ n
分析:按照“分割→近似代替→求和→取极限”的步骤 进行.
解析:(1)分割.
3 1,2,…,n)的长度为Δx= n .分别过各分点作x轴的垂线,把原
3i-1 3i 如上图,将区间[0,3]n等分,则每个区间 (i= , n n
曲边梯形分成n个小曲边梯形.
(2)近似代替. 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形.则当n
(4)取极限. S=lim S n→∞ n =lim n→∞
1 1 1 1 - 1 - 1 - - 9 + 9 + 9 n 2n n
=-9(1-0)(1-0)+9(1-0)+9=9, 即所求曲边梯形面积为S=9.
i- 1
上,随着n的增大,f(x)的 值的变化逐渐缩小,当n很大时,f(x)的值变化很小. 答案:D
解析:函数f(x)=x2在区间
i , n n
i-1 i 2.当n很大时,函数f(x)=x2在区间 n ,n


上的值可以用下
列哪个值近似代替(
)
2 B.f
3n2-2n 2 3 - 解析: linm = lim =3. 2 →∞ n→∞ n n 答案:3
2
求解曲边梯形的面积是用“以直代曲”和逼近的思想方 法;其步骤为:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
导数及其应用

人教版A版高中数学选修2-2:定积分的概念教学内容

人教版A版高中数学选修2-2:定积分的概念教学内容
由此,我们得到求曲边梯形面积的第三步为:
求和:求出n个小矩形面积之和,作为曲边梯
n
形面积S的近似值,即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例,可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S

人教版高中数学 选修2-2 第一章 3定积分的概念 (共39张PPT)教育课件

人教版高中数学 选修2-2 第一章 3定积分的概念 (共39张PPT)教育课件

定积分的概念
设函数f (x)在区间[a,b]上有界.在区 间[a,b]内任意插入n-1个分点,
a = x0 < x1 < < xn-1 < xn = b
把区间[a,b]分成n个小区间
x0, x1,x1, x2 ,,xn-1, xn
各个小区间的长度依次为
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
分变量,a称为积分下限, b称为积分上
限,区间[a,b]称为积分区间.
定积分的几何意义
(1)若 f(x)≥ 0, x∈[a,b] ,则
b
f(x)dx = A
a
(2)若
f(x)

0,
x
∈[a,
b],则 b a
f(x)dx
=
-A
y
y
y = f(x)
y = b f(x)dx a
o
a o
b x
b
y = -a f(x)dx








































:

















■电 你是 否有 这样 经历 ,当 你 在做 某一 项工 作和 学习 的 时候 ,脑 子里 经常 会蹦 出各 种 不同 的需 求。 比如 你想 安 心 下来 看2 小时 的书 ,大 脑会 蹦出 口渴 想 喝水 ,然 后喝 水的 时候 自 然的 打开 电视 。。 。。 。。 , 一个 小时 过去 了, 可 能书 还没 看2 页。 很多 时候 甚至 你自 己 都没 有意 思到 ,你 的大 脑 不停 地超 控你 的注 意力 ,你 就 这么 轻易 的被 你的 大 脑所 左右 。你 已经 不知 不觉 地 变成 了大 脑的 奴隶 。尽 管 你在 用它 思考 ,但 是你 要明 白你 不应 该隶 属于 你的 大脑 , 而应该 是你 拥有 你的 大脑 ,并 且应 该是 你可 以控 制你 的大 脑才 对。 一切 从你 意识 到你 可以 控制 你的 大脑 的时 候, 会改变 你的 很多 东西 。比 如控 制你 的情 绪, 无论 身处 何种 境地 ,都 要明 白

人教A版高中数学选修2-2课件第四节 定积分与微积分基本定理

人教A版高中数学选修2-2课件第四节  定积分与微积分基本定理
a
(2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方 向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=bF(x)dx.

a
课下限时答案
B AD
9、(1) ln 2 5 6
AC 1 4
329
(2)1 e
1
1 e
4、解:如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积
(2)一物体在力 F(x)=53,x+0≤4,x≤x>2,2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为 ________焦.
(2)由题意知,力 F(x)所做的功为
W=4F(x)dx=25dx+4(3x+4)dx
面积为92,则 k 等于( )
A.2
B.1
C.3
D.4
解:选 C 由yy= =xk2x, 消去 y 得 x2-kx=0,所以 x=0 或 x
=k,则阴影部分的面积为0k(kx-x2)dx=12kx2-13x3 -13k3=92,解得 k=3.
=92.即12k3
2.由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面 积为________. 解:如图,由 x2-1=0,得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0)
7、
10、解:∵f′(x) =3x2-2x+1
设在点(1,2)处的切线的斜率为 k,则 k=f′(1)=2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x
y=2x 与函数 g(x)=x2 围成的图形如图:
y 2x


y

x2
可得交点
A(2,4)

最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》示范教案

最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》示范教案

1.5.3 定积分的概念教材分析《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念,它是学生学习定积分的基础,为学习定积分的应用作好铺垫.因此这节课有承前启后的作用,是本章的重点内容之一.本节课的重点是:理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义.理解定积分的概念是难点.主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构,只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应,在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在.课时分配 1课时.教学目标 知识与技能目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景;能用定积分的定义求简单的定积分;理解掌握定积分的几何意义;借助于几何直观的基本思想,理解定积分的概念.过程与方法目标培养学生的逻辑思维能力和创新意识. 情感、态度与价值观激发学生主动探索学习的精神.重点难点重点:定积分的概念、定积分的几何意义. 难点:定积分概念的理解.教学过程引入新课提出问题:回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤. 活动成果:分割→近似代替→求和→取极限活动设计:将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上.物体做变速直线运动,速度函数为v =v(t),求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下: (1)分割:用分点a =t 0<t 1<t 2<…<t n =b 将时间区间[a ,b]等分成n 个小区间[t i -1,t i ](i =1,2,…,n),其中第i 个时间区间的长度为Δt =t i -t i -1,物体在此时间段内经过的路程为Δs i .(2)近似代替:当Δt 很小时,在[t i -1,t i ]上任取一点ξi ,以v(ξi )来代替[t i -1,t i ]上各时刻的速度,则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .(3)求和:s =1nii S=∆∑≈∑i =1nv(ξi )Δt. (4)取极限:Δt →0时,上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0,因此s =0lim t ∆→∑i =1nv(ξi )Δt.探究新知提出问题1:请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析,找出共同点.活动设计:先让学生独立思考,再分小组讨论、交流.活动成果:1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题; 2.解决这两个问题的思想方法是相同的,都采用了“逼近”的思想. 总结:类似的问题都可以通过这种方法来解决,而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限.提出问题2:你能不能类似地将在区间[a ,b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限.活动设计:学生先独立思考,必要时允许学生合作、讨论、交流.学情预测:开始学生的回答可能不全面、不准确,但在教师的不断补充、纠正下,会趋于完善.活动成果:师生共同概括出定积分的概念:一般地,设函数f(x)在区间[a ,b]上连续,用分点 a =x 0<x 1<x 2<…<x i -1<x i <…<x n =b将区间[a ,b]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n),作和式:∑i =1n f(ξi )Δx =∑i =1nb -an f(ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,那么称该常数为函数f(x)在区间[a ,b]上的定积分.记为⎠⎛a bf(x)dx ,即⎠⎛abf(x)dx =lim n →∞∑ni =1b -anf(ξi ), 其中f(x)称为被积函数,x 叫做积分变量,[a ,b]叫做积分区间,b 叫做积分上限,a 叫做积分下限,f(x)dx 叫做被积式.教师补充以下几点:(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数;(2)定积分⎠⎛ab f(x)dx 是一种特定形式的和式∑i =1nb -a n f(ξi )的极限,即⎠⎛a bf(x)dx 表示当n →∞时,和式∑i =1n b -a n f(ξi )所趋向的定值;(3)对区间[a ,b]的分割是任意的,只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了;(4)考虑到定义的一般性,ξi 是第i 个小区间上任意取定的点,但在解决实际问题或计算定积分时,可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点),以便得出结果.设计意图通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识,并训练和培养学生的抽象概括能力.提出问题3:你能说说定积分的几何意义吗?活动设计:学生独立解决,必要时,教师指导、提示.学情预测:如果学生回答此问题有困难,可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子.活动成果:结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛ab f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义:如果在区间[a ,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分⎠⎛ab f(x)dx 表示由直线x =a ,x =b(a ≠b),y =0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形的面积.提出问题4:思考课本本节的探究问题. 活动设计:学生独立思考,并给出答案.活动成果:通过对定积分几何意义的理解,学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y =f 1(x),y =f 2(x)与直线x =a ,x =b 围成的平面图形面积.由于图中用虚线给出了辅助线,学生易得到阴影部分的面积为S =⎠⎛a b f 1(x)dx -⎠⎛ab f 2(x)dx.教师引导学生根据定积分的定义,可以得出定积分的如下性质: 性质1:⎠⎛a b kf(x)dx =k ⎠⎛ab f(x)dx(k 为常数);性质2:⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx =⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛abf 2(x)dx ;性质3:⎠⎛ab f(x)dx =⎠⎛ac f(x)dx +⎠⎛cb f(x)dx(其中a<c<b).提出问题5:性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么? 活动设计:以提问的形式让学生直接作答.提出问题6:你能从定积分的几何意义解释性质3吗? 活动设计:学生思考、交流、探索解决问题. 学情预测:若学生解决问题有困难,教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立.活动成果:教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性,它对把区间[a ,b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立.给出以上3个性质,便于我们计算定积分.理解新知1.用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[a ,b];②近似代替:取点ξi ∈[x i -1,x i ];③求和:∑i =1nb -an f(ξi );④取极限:⎠⎛ab f(x)dx =lim n →∞∑i =1n b -an f(ξi ).2.一般情况下,定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x =a ,x =b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积取负号.即∫b a f(x)dx =x 轴上方面积-x 轴下方的面积.运用新知例1利用定积分的定义,计算定积分∫10x 3dx 的值. 解:令f(x)=x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n -1个点,将区间[0,1]等分成n 个小区间[i -1n ,in](i =1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx =i n -i -1n =1n.(2)近似代替、求和取ξi =i n (i =1,2,…,n),则∫10x 3dx ≈S n =∑i =1n (i n )3·1n =1n 4∑i =1n i 3=1n 4·n 2(n +1)24=14(1+1n)2.(3)取极限∫10x 3dx =lim n →∞S n=lim n →∞ 14(1+1n )2=14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值.(1)∫10xdx ;(2)∫R 0R 2-x 2dx.思路分析:如果在区间[a ,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x =a ,x =b(a ≠b),y =0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形的面积.(1)中的定积分的值即为由直线x =0,x =1,y =0和y =x 所围成的图形的面积;(2)中的定积分的值为由直线x =0,x =R ,y =0和曲线y =R 2-x 2所围成的图形的面积.解:(1)由图象可知,由直线x =0,x =1,y =0和y =x 所围成的图形为一个直角三角形,两条直角边边长均为1,则面积为12×1×1=12,所以∫10xdx =12. (2)由图象可知,由直线x =0,x =R ,y =0和曲线y =R 2-x 2所围成的图形面积即为圆x 2+y 2=R 2面积的14,则面积为14πR 2,所以∫R 0R 2-x 2dx =14πR 2. 变练演编例 计算定积分∫20x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?解:计算定积分∫20x 3dx 的值: (1)分割在区间[0,2]上等间隔地插入n -1个点,将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i -1)n ,2in ](i =1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx =2i n -2(i -1)n =2n.(2)近似代替、求和取ξi =2in(i =1,2,…,n),则∫20x 3dx ≈S n =∑i =1n(2i n )3·2n =16n 4∑i =1n i 3=16n 4·n 2(n +1)24=4(1+1n)2. (3)取极限∫20x 3dx =lim n →∞S n =lim n →∞4(1+1n )2=4. 由定积分的几何意义,可知这个值表示由直线y =0,x =0,x =2和曲线y =x 3所围成的图形的面积.活动设计:学生在理解例1和例2的基础上,独立完成此例练习. 设计意图设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义,训练学生思维的灵活性. 达标检测1. lim n →∞ 1n[cos πn +cos 2πn +…+cos (n -1)πn +cos nπn ]写成定积分的形式,可记为( )A .∫π0cosxdx B.1π∫π0cosxdxC .∫10cosxdx D .∫π0cosx xdx2.用定积分表示由曲线y =x 3和直线y =x 所围成的图形面积. 3.当f(x)≥0时,定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________; 当f(x)≤0时,定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________.4.根据定积分的几何意义,求∫2-24-x 2dx 的值. 答案:1.B 2.∫10(x -x 3)dx.3.由直线x =a ,x =b(a ≠b),y =0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x =a ,x =b(a ≠b),y =0和曲线y =f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数4.2π. 课堂小结1.知识收获:(1)定积分的概念;(2)定义法求简单的定积分;(3)定积分的几何意义. 2.方法收获:联想、归纳、总结的思想方法. 3.思维收获:从特殊到一般. 布置作业习题1.5A 组3、4题. 补充练习 基础练习1.将和式的极限lim n →∞ 1α+2α+…+n αn α+1(α>0)表示成定积分为( ) A .∫101xdx B .∫10x αdx C .∫101x αdx D .∫10(x n)αdx 2.将和式lim n →∞(1n +1+1n +2+…+12n )表示为定积分__________.3.曲线y =x 2,y =1所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.拓展练习4.用定积分定义求∫10|x 2-4|dx 的值. 答案:1.B 2.∫101x +1dx 3.∫1-1(1-x 2)dx 4.233. 设计说明通过两个实例让学生自己总结出定积分的概念,这符合思维认识发展的一般规律,也符合数学发展的一般规律,同时激发学生进一步学习的浓厚兴趣,学生也从中学到了联想、猜测的归纳、总结的思想方法.例题的设置,主要是为了强化本节课的重点,通过学生自己亲自尝试、体验,才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法.本节的设计既符合教学论中的巩固性原则,也符合素质教育理论中面向全体的基本要求.备课资料备选例题:利用定义计算定积分∫10(2x -x 2)dx ,并从几何上解释这个值表示什么?思路分析:利用定积分性质1、2,可将∫10(2x -x 2)dx 转化为2∫10xdx -∫10x 2dx ,利用定积分的定义分别求出∫10xdx ,∫10x 2dx ,就能得到定积分∫10(2x -x 2)dx 的值.解:∫10(2x -x 2)dx =∫102xdx -∫10x 2dx =2∫10xdx -∫10x 2dx ,用定义求∫10xdx 的值.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n -1个点,将区间[0,1]等分成n 个小区间 [i -1n ,i n ](i =1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx =i n -i -1n =1n . (2)近似代替、求和取ξi =i n (i =1,2,…,n),则∫10xdx ≈S n =∑i =1n i n ·1n =1n 2·n (n +1)2=n +12n.(3)取极限∫10xdx =lim n →∞S n =lim n →∞n +12n =12. 同理可求得∫10x 2dx =13,所以∫10(2x -x 2)dx =2×12-13=23. 由定积分的几何意义,可知这个值表示由直线y =2x ,x =1和曲线y =x 2所围成的图形的面积.(设计者:孙娜)。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书:第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书:第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念1.了解定积分的概念.(难点)2.理解定积分的几何意义.(重点、易混点) 3.掌握定积分的几何性质.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念 阅读教材P 45内容,完成下列问题.如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑i =1nf(ξi )Δx =________________,当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎠⎛a b f (x )d x ,即⎠⎛ab f(x(dx =__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________,区间[a ,b ]叫做______,函数f (x )叫做____________,x 叫做__________,f (x )d x 叫做__________.【答案】 ∑i =1n b -a n f (ξi ) lim n→∞∑i =1n b -an f (ξi ) 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数积分变量 被积式⎠⎛12(x +1)d x 的值与直线x =1,x =2,y =0,f (x )=x +1围成的梯形的面积有什么关系?【解析】 由定积分的概念知:二者相等. 教材整理2 定积分的几何意义 阅读教材P 46的内容,完成下列问题.从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0,那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义.【答案】 直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x)判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x =⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数.( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容,完成下列问题.1.⎠⎛ab kf (x )d x =________________________(k 为常数). 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x =______________(其中a <c <b ). 【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x填空:(1)由y =0,y =cos x ,x =0,x =π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________. (2)⎠⎛-11f (x )d x =⎠⎛-10f (x )d x +__________. (3)⎠⎛a b (x 2+2x )d x =⎠⎛ab 2x d x +________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】 根据定积分的意义,分四步求解,即分割、近似代替、求和、取极限. 【自主解答】 令f (x )=3x +2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n -1个分点,将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +i -1n ,n +i n (i =1,2,…,n ),每个小区间的长度为Δx =n +i n -n +i -1n =1n. (2)近似代替、作和取ξi =n +i -1n(i =1,2,…,n ),则S n =∑i =1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n +i -1n ·Δx =∑i =1n错误!·错误!=错误!错误!=错误![0+1+2+…+(n -1)]+5=32×n2-n n2+5=132-32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x +2)d x=lim n→∞S n =lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132-32n =132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1.利用定积分的定义计算⎠⎛12(-x 2+2x )d x 的值.【解】 令f (x )=-x 2+2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n -1个分点,把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+i -1n ,1+i n (i =1,2,…,n ),每个小区间的长度为Δx =i n -i -1n =1n.(2)近似代替、作和取ξi =1+in (i =1,2,…,n ),则S n =∑i =1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i n ·Δx =∑i =1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝⎛⎭⎪⎫1+i n 2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i n ·1n=-1n3[(n +1)2+(n +2)2+(n +3)2+…+(2n )2]+2n2[(n +1)+(n +2)+(n +3)+…+2n ]=-1n3错误!+错误!·错误!=-13⎝ ⎛⎭⎪⎫2+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4+1n +16⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+1n +3+1n .(3)取极限⎠⎛12(-x 2+2x )d x =lim n→∞S n =lim n→∞ ⎣⎢⎡-13⎝⎛⎭⎪⎫2+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4+1n +16⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+1n + ⎦⎥⎤3+1n=23.(1)⎠⎛-33-39-x2d x ;(2)⎠⎛03(2x +1)d x ; (3)⎠⎛-11-1(x 3+3x )d x . 【导学号:62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间,画出图形,然后用几何法求出图形面积,从而确定定积分的值;对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解.【自主解答】 (1)曲线y =9-x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示.其面积为S =12·π·32=92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339-x2d x =92π.(2)曲线f (x )=2x +1为一条直线.⎠⎛03(2x +1)d x 表示直线f (x )=2x +1,x =0,x =3围成的直角梯形OABC 的面积,如图(2).其面积为S =12(1+7)×3=12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x +1)d x =12.(3)∵y =x 3+3x 在区间[-1,1]上为奇函数,图象关于原点对称,∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等.由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3+3x )d x =0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y =f (x ),直线x =a ,x =b 及y =0所围成的平面图形的形状.常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.(关键词:平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积,要注意分割点要确定准确.(关键词:分割)[再练一题]2.上例(1)中变为⎠⎜⎛-32329-x2d x ,如何求解? 【解】 由y =9-x2,知x 2+y 2=9(y ≥0),x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,32,其图象如图所示:由定积分的几何意义,知⎠⎜⎛-32329-x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和.S 弓形=12×π3×32-12×3×332=6π-934,S 矩形=|AB |×|BC |=2×32×9-⎝ ⎛⎭⎪⎫322=932,∴⎠⎜⎛-32329-x2d x =6π-934+932=6π+934.[探究共研型]探究1【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加. 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ,b ]上的定积分?【提示】 ①若奇函数y =f (x )的图象在[-a ,a ]上连续,则⎠⎛-a a f (x )d x =0;②若偶函数y =g (x )的图象在[-a ,a ]上连续,则⎠⎛-a a g (x )d x =2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )=⎩⎨⎧x +1,0≤x<1,2x2,1≤x≤2,则⎠⎛02f (x )d x =( )A.⎠⎛02(x +1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x +1)d x +⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x +⎠⎛02(x +1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x =8,则⎠⎛02[f (x )-2x ]d x =________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的,由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛01f (x )d x +⎠⎛12f (x )d x =⎠⎛01(x +1)d x +⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )-2x ]d x =⎠⎛02f (x )d x -⎠⎛022x d x =⎠⎛02f (x )d x -2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x =8,⎠⎛02x d x =12×2×2=2,∴⎠⎛02[f (x )-2x ]d x =⎠⎛02f (x )d x -2⎠⎛02x d x =8-2×2=4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题,可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数,把积分区间分割成可以求积分的几段,进而把未知的问题转化为已知的问题,在运算方面更加简洁.应用时注意性质的推广:(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x =⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ; (2)⎠⎛a b f (x )d x =⎠⎜⎛a c1f (x )d x +⎠⎜⎛c1c2f (x )d x +…+⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ,n ∈N *).[再练一题]3.已知⎠⎛0e x d x =e22,⎠⎛0e x 2d x =e33,求下列定积分的值.(1)⎠⎛0e (2x +x 2)d x ;(2)⎠⎛0e (2x 2-x +1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x +x 2)d x=2⎠⎛0e x d x +⎠⎛0e x 2d x =2×e22+e33=e 2+e33.(2)⎠⎛0e (2x 2-x +1)d x =2⎠⎛0e x 2d x -⎠⎛0e x d x +⎠⎛0e 1d x , 因为已知⎠⎛0e x d x =e22,⎠⎛0e x 2d x =e33,又由定积分的几何意义知:⎠⎛0e 1d x 等于直线x =0,x =e ,y =0,y =1所围成的图形的面积,所以⎠⎛0e 1d x =1×e =e ,故⎠⎛0e (2x 2-x +1)d x =2×e33-e22+e =23e 3-12e 2+e.1.下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )+ng (x )]d x =m ⎠⎛a b f (x )d x +n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )+1]d x =⎠⎛a b f (x )d x +b -aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x =⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛-2π2πsin x d x =⎠⎛-2π0sin x d x +⎠⎛02πsin x d x 【解析】 利用定积分的性质可判断A ,B ,D 成立,C 不成立. 例如⎠⎛02x d x =2,⎠⎛022d x =4,⎠⎛022x d x =4, 即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2.图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x -1)d xC.⎠⎛01(2x +1)d xD.⎠⎛01(1-2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义,阴影部分的面积为⎠⎛012x d x -⎠⎛011d x =⎠⎛01(2x -1)d x .【答案】 B3.由y =sin x ,x =0,x =π2,y =0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号:62952047】【解析】 ∵0<x <π2,∴sin x >0.∴y =sin x ,x =0,x =π2,y =0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4.若⎠⎛a b [f (x )+g (x )]d x =3,⎠⎛a b [f (x )-g (x )]d x =1,则⎠⎛a b [2g (x )]d x =________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x=⎠⎛a b [(f (x )+g (x ))-(f (x )-g (x ))]d x =⎠⎛a b [f (x )+g (x )]d x -⎠⎛a b [f (x )-g (x )]d x =3-1=2. 【答案】 25.用定积分的几何意义求⎠⎛-114-x2d x .【解】 由y =4-x2可知x 2+y 2=4(y≥0),其图象如图.⎠⎛-114-x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和. S 弓形=12×π3×22-12×2×2sin π3=2π3-3.S 矩形=|AB |·|BC |=23.∴⎠⎛-114-x2d x =23+2π3-3=2π3+3.。

人教A版高中数学选修2-2课件定积分的概念

人教A版高中数学选修2-2课件定积分的概念

,
i n
i

1,2,,
n,
每个小区间的长度为x

i n

i
1 n

1 n
(2)近似代替
取i

i n
i
1,2,, n
(3)作和
1 0
x3dx

Sn

n i 1
f i x n

n i 1

i n
3

1 n

1 n4
n
i3
i1

1 n4

1 4
n2 n
12
(4)取极限

1
1
1
2
4 n
1 0
x3dx

lim
n
Sn

lim
n
1 4
1
1 n
2

1 4
定积分的性质
1ab
kf
xdx

k
b
a
f
xdxk为常数;
2ab f1x
f2 xdx=ab
1x
分割 近似代替 求和 取极限
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点
a=x0<x1<<xi-1<xi<<xn=b
将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上
任取一点i(i=1,2,,n),作和式
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
f1xdx

b
a
f2 xdx;
3ab
f

高中数学人教A版选修(2-2)1.5 教学课件 《定积分的概念》(人教A版)

高中数学人教A版选修(2-2)1.5 教学课件 《定积分的概念》(人教A版)

人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2

b a
f
( x)dx

lim
n
n i1
ba n

f
(i )
定积分的相关名称: ———叫做积分号, f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。
c
b
x
畅言教育
例1 利用定积的定义,计算 1 x3dx的值 0 解 令f (x)=x3
(1)分割
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
s
v(t)dt。
a
v v(t)
Oa
t
b
畅言教育
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
根据定积分的定义右边图形的面积为
S
1
f (x)dx
1 x2dx 1
0
0
3
v DS1 DS2
2
g
g
DS3
g gD S 4
v(t )
DSj
t2 2
gD S n
根据定积分的定义左边图形的面积为
n
i 1
f i x
n ba i1 n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
畅言教育 定积分的定义:
b
n
a

f
(i )

最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理

最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间[a,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将[a,b ]等分成n 个小区间:[a,a+n a b -],[a+n a b -,a+na b )(2-],…,[a+n a b n ))(1(--,b ].第i 个区间为[a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-].分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f [a+na b i ))(1(--]Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间[a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-]内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间[a,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b ]上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间[a,b ]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间[a,b ]上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间[a,b ]有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间[a,b ]上有界.因此,当函数f(x)在区间[a,b ]上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间[a,b ]上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间[a,b ]上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间[a,b ]上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间[a,b ]上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间[0,10]等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间[a,b ]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间[0,1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-](i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==[1+2+…+(n -1)]=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间[0,t 0]分成n 等份:[nit n i ,10-t 0](i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间[00,1t nit n i -]上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间[0,t 0]内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间[0,t 0]上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在[0,t 0]这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间[00,1t n i t n i -]上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间[0,2]分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是[n i n i 2,)1(2-],习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈[0,π]时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。

人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】1.5.3《定积分的概念》ppt课件
0 0
[答案] C
π π [解析] 由定积分的几何意义知 sinxdx>0, cosxdx=0,
0 0
所以C不成立,故应选C.
3.下列值等于1的是(
1 A. xdx
0
)
1 B. (x+1)dx
0
C. 1dx
1(x)dx± f2(x)dx b a ② f ( x )]d x = __________________ ; [f1(x)± 2 b a
a
b c ③ f ( x )d x =
a
f(x)dx f(x)dx+__________ (其中a<c<b).
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)=x3显然是连续函数.现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]: n-1 n 1 2 0<n<n<…< n <n=1. (2)近似代替:作和
1 1 2 1 n 1 3 3 ·+ ·+…+ 3·. n n n n n n i 1 . = n3· n i=1
n
(因为x3连续,所以ξi可随意取而不影响极限,故我们此处 将ξi取为[xi,xi+1]的右端点也无妨)
(3)取极限:
i 1 nn+1 1 n 3 1 2 3 ·= 4 i = 4 n n n n 2 i =1 i=1
1 0
[答案] C [解析] 由积分的几何意义可知选C.
π 4.由正切曲线y=tanx,直线x=0和x= 4 ,x轴所围成的平 面区域的面积用积分表示为________.

人教A版高中数学选修2-2课件3.26定积分的概念(一)

人教A版高中数学选修2-2课件3.26定积分的概念(一)

验证得圆面积的计算公式并求出较精确的圆周率值。求出了π=3、
14124 的数值。不仅如此,他还继续计算,直到算出圆内接正 3072 边
形的面积,求出更精确的圆周率值π=3.1416.
正是基于对刘徽割圆术的继承与发展,祖冲之得到当时一非凡的
成果:得到 3.1415926的数值.约率为 22/7;密率为 355/113.
问题解决的思想:分割→近似代替→求和→取极限
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边图形的面积S.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:
y
因此,我们有理由相信,这个
Sn
像是一条连续不断的曲线,那么就把函数 y f ( x) 称
为区间 I 上的连续函数.(不加说明,下面研究的都是
连续函数)
y
f(b)
y=f(x)
曲边梯形的 面积怎么求?
f(a)
这就是定积分所
oa
bx
要解决的问题.
你知道圆的面积公式怎么来的吗?
A
魏晋时期的数学家刘徽,在我国最早
D
创立了割圆术来把握圆的面积. 割圆术 就是用圆内接正多边形来近似代替圆.刘


1 n3
(12

22

(n 1)2 )

1 n3

(n

1)n(2n 6

1)


n
n
1

2

1 n
. 3
O 12 nn
k
n

x

人教版A版高中数学选修2-2:1.5.3定积分的概念

人教版A版高中数学选修2-2:1.5.3定积分的概念
把区间[a, b]分成n个小区间[ x0,x1],[ x1,x2 ],
b
i
x
[ xn1,xn ],各小段时间的长依次为
x1 x1 x0 ,x2 x2 x1,xn xn xn1,
在每个小区间[ xi1 xi ]上任意到一个点i ,求函数值f (i )
,并与小区间长度xi相乘得f (i )xi (i 1,2,3,, n), 再求

(2) 2 sin2 x cos xdx
0
0
解: (1)
3 e3xdx
0

1 3
3 e3xd 3 x
0

1 3
e3x 3 0
1 (e9 3
1)



(2) 2 sin2 x cos xdx 0
2 sin2 xd sin x 1 sin3 x 2 1
0
3
03
(3)
把[a,b]分成n个小区间 [ xi1, xi ] (i 1,2, ... , n)
y
y f (x)
其长度为
xi xi xi1 (i 1,2, ... , n) o a xi1 xi b x
过各个分点作x轴的垂线,将曲边梯形分成n个 小曲边梯形,其面积为?
(1)分割:(前面)
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
定积分的概念
定积分概念的引入
1. 求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线 y
y f ( x) ( f ( x) 0)、 和直线
A?
y f (x)
y 0、x a、x b 所组成
的平面图形。

人教A版高中数学选修2-2课件《定积分的概念》(第1课时).pptx

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1.5定积分的概念
一.求曲边梯形的面积 1.曲边梯形:在直角坐标系中,由连续曲
线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f(x)
x=a
Oa
x=b
,我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线,也就 是说:在点P附近,曲线可以看作直线(即在很小范围内以 直代曲).
1
n
Ds3 ?
1
n
O
1
t
1 2 3 jn - 1 n
nnn n n n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就
是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围
成的曲边梯形的面积.
作业:P47练习,P50练习,2
y=f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A,
得 A A1.
y=f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A,得 A A1+A2
y=f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A,得 AA1+A2+A3+A4
y=f(x) y
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
DSj
gD S n
g
O

人教课标版高中数学选修2-2数学视野:定积分的概念

人教课标版高中数学选修2-2数学视野:定积分的概念

数学视野:定积分的概念定积分的一般定义:设()f x 是定义在区间[,]a b 上的一个函数.T 表示在区间[,]a b 内插入任意1n -个分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=. 将这n 个小区间1[,]i i x x -(1,2,,)i n =长度的最大值记为()l T .在每个小区间1[,]i i x x -上任意取定一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作和1102211111()()()()()()()()()()nn i i i n n n i i i i I f x x f x x f x x f x x f x x ξξξξξ---==-+-++-++-=-∑如果不论区间[,]a b 的分法如何,不论i ξ怎样选取,当()0l T →时,和n I 都存在极限,且极限值都是I ,即1()01lim ()()n ii i l T i I f x x ξ-→==-∑.则称函数()f x 在区间[,]a b 上可积,并称极限值I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记作()d b af x x ⎰.这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()d f x x 叫做被积式.如果和n I 的极限不存在,则称函数()f x 在区间[,]a b 上不可积.这个定义是德国数学家黎曼(B.Riemann ,1826—1866)首先给出的,所以这样定义下的定积分通常称为黎曼积分.根据黎曼积分的定义,在区间[,]a b 上的连续函数,单调有界函数、只有有限个不连续点的有界函数,都是可积的.因此,教科书所讲的定积分是黎曼积分的特殊形式,黎曼积分是我们所讲的定积分的一种推广.。

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1.2
种方法得到的直边图形的长和高分别是多少?
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例,可把曲边梯形分割成n个小矩形
定积分的概念
1.2一、定积分的两个实1.2 例
新1 课引入:你能求出1 以下阴影部分图形的面
积吗?
0.8
0.8
1.6
1.4
此图形既不 规则,也不 是直线图形, 怎么办?
0.6
0.4
D
0.2
C
0.6
0.4
0.2
1.2
1
f(b)
0.8
0.6
f(a)
0.4
y=f(x)
图1 A
B 0.5
0.2
O
0.5
1
1
1
B
0.8
如何求抛物线 y x2
0.6
与直线x=1,y=0所围成
的平面图形的面积S? 0.4
引例中的图1,图2,
f(x) = x2
0.2
对求曲边梯形的面积
有什1 么启发吗?0.5
0
0.5
A
1
0.2
0.4
0.6
把不规则图形
0.4
分割成规则图 0.2
形求面积
O
0.5
1
1.5
1.4
0.2
你能写出每个小区间的左右端点的横坐标吗? 1.2
由此,我们得到求曲边梯形面积的第三步为:
求和:求出n个小矩形面积之和,作为曲边梯
n
形面积S的近似值,即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n 1 i 12
i1 n n
每个小区间的长度记为x,x 0.4 的值是多少?
1
B
类比上图可以
0.8
考虑用分割法
0.6
把区间[0,1]等
分为n个小区间
0.4
f(x) = x2
0.2
A
1
0.5
01
n
2 3 4 0.5 n nn
i 1
i
1
x
nn
x 1
规则图形可直接
0.4
用公式求面积
0.2
1.2 0.5
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 200.00 f(x) = x2
0.5
A
1
分割的小1.4矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之和 与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
n = 300.00
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
0.2
A
1
观察归纳
当分割得到的小矩形越来越细时,小矩形的面积之和 Sn 越接近曲边梯形的面积S。当n无穷大时,小矩形的面 积之和与曲边梯形的面积趋近于相等。
[a, b] ——叫做积分区间
———叫做积分号
(二)定积分的一些相关说明:S

b
a
f
xdx

lim
n
n

i 1
b
n
a
f
i

1
.当
f
xin及1 f 积(x i分)x区的间极[a限,b]存有在关时,,与其x i 极点限的值取仅法与无被关积。函数
2.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有
n
Sn
lim n
n i 1
1 n
f
( i 1) n
lim 1 1 1 1 1 1 n 3 n 2n 3
n 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 199 200 1000 2000 3000 5000
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0
0.2 0.4
课后思考
f(x) = x2
A
0.5
1
1 2 3 4 i 1 i
n nnn
nn
f (i 1) n
1 n
1.5
以这种方法近似 代替小曲边梯形 得到曲边梯形的 面积为 1
3
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1
1

2
n
n
这两种方法近似 代替小曲边梯形 1 得到的面积也是 3 吗?
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之 和与曲边1.4 梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 30.00 f(x) = x2
0.5
A
1
当分割的1.4 小矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.8 1.6
1.4
1.2
1
0.8
S
1vtdt
1
(t
2

2)dt

5
0
0
3
0.6 0.4 0.2 0.5
0.2
0.4
f(x) = x2
A
0.5
1
1.5
v(t) t 2 2
0.5
1
1.5
2
2
三、定积分的几何意义:
1.6
当 f(x)0 时,积1.4 分
b
f (x)dx
i1
四、取极限:所求曲边梯形的面积为
a x1 x2 x x 0.5 i1 i
b
n
S lim x0 i 1
f
i
x lim n b a f n n i1
i
二、定积分的概念
求曲边梯形面积和求汽车行驶的路程这两个实例,都是通 过“四个步骤”来实现 :分割---近似代替----求和------取极限
0.6
0.4
0.2
4、令n趋向于无穷大,得到路程的0.5
精确值。
0.2
0.4
0.5
1
1.5
1.6
总结归纳:根据前面两个实例,你能总结出求任意一
个曲边梯形在区间[a,b]的面积的方法1.4 步骤吗?
一、分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点1.2 ,将它等分成n个小区
间:a, x1,x1, x2, xi1, xi , ,xn1,b,
S1
y
b
a
ff1(xx)dx
Oa
bx
Oa
bx
y g2x
y Oa
y f1x
b
S1
f (x)dx
a
y f2x
S2
b a
f2 xdx
bx
S S1 S2
b a
f1xdx

b a
f2
xdx
y Oa
y g1x
y g2x
s1
b a
g1
x
dx
bx
s2


b a
g2 xdx
S S1 S2
b a
g1
x
dx

b a
g2
x
dx
(二)定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
性质2.
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx
小矩形的面积和为 Sn

n i 1
f i x
n i 1
ba n
f
i
如果当n+∞时,Sn 就无限接近于某个常数,
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
b a
f xdx
,即
b a
f
xdx

lim
n
n i 1
b
a n
f
在几何上表示由 y=f (x)、
a
xa、xb与 x轴1.2 所围成的曲边梯形的面积。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
a
0.5
b
1
1.5
2
特别地,当 ab 时,有b a
f (x)dx0。
三、定积分的几何意义:
当f(x)0时,由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲
0.4
边梯形位于 x 轴的下方,
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
n = 60.00 f(x) = x2
0.5
A
1
分割的小矩形越来越多时,观察所有的矩形面积之和 与曲边梯1.4 形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0
0.2
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