第16课时利用导数研究函数的性质
知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性
导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
高考数学导数与函数的单调性
[解析] f(x)=,f'(x)=,由f'(x)<0得x<0且x≠-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0).故选D.
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(2)在下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递增的是( )A. B. C.(π,2π) D.(0,π)
C
[解析] ∵y=xcos x-sin x,∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.对于A,当x∈时,sin x >0,y'<0,函数单调递减,故A不符合题意;对于B,当x∈时,sin x<0,y'<0,函数单调递减,故B不符合题意;对于C,当x∈(π,2π)时,sin x<0,y'>0,函数单调递增,故C符合题意;对于D,当x∈(0,π)时,sin x>0,y'<0,函数单调递减,故D不符合题意.故选C.
(2)[2021·河北秦皇岛二模] 已知函数f(x)=ln x-x2+2ax+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的单调区间.
[总结反思](1)利用导数讨论函数单调性的关键是确定导数的符号.对于含有参数的导数符号判定问题,应就参数的范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.
A
[总结反思]确定函数f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f'(x).(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)函数f(x)=的单调递减区间为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞),(-1,0) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(-∞,-1),(-1,0)
利用导数研究正态分布的概率密度函数性质
２ ２年 ６月 ０１
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｉｓｉ ｔ ｆＥ ｕ ａｉｎ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ｉｏ ｏ ｒａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｄ ｃ ｔ ｔ ｏ Ｎ ｔｒｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ） Ｓ ｉ
令 ｆ” （ ）＝ ， ０ 得 ＝ ＋ 或 ＝ 一 ， 然 ， 显 当 ＜ 一 或 ＞ ＋ 时 ， （ ／” ）＞０ 函数 为 凸 函数 ； ， 当
／— ＜ ／＋ ” ） ０函数为凹函数． ｚ Ｏ ＜ 时 （ ＜ ， ｒ ｚ 因此， —ｒ 点（ ｏ÷ ，
贯， 理解 知 识更加 深 刻 ， 而培 养学生 严谨 的治 学态度 ， 奋 的学 习 作风 ， 活 的应 用 能力 ， 得 数学 的思 想 从 勤 灵 使 得 到 真正贯 彻．
参 考 文 献
［ ］ 吴 坚 ． 用 概 率 统 计 ［ ． 京 ： 等 教 育 出 版 社 ，０ ７ １ 应 Ｍ］ 北 高 ２０．
ｓａｔ ｒ ｍ ｈ ｎ ｍｅ ａ ｉｎ ｍｅｈｏ ｓ ｏ ｏ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ａ ｏ ａ ａ ｕ ｅ ｔｒｓ ｆｏ ｔ ｅ ｅ ｕ ｒ ｔ ｔ ｄ ｆｌｗ ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｔｔｌｍｅ ｓ ｒ ｓ，ｓ ｃ ｓｖ ｒｉｅ ｕ ｏ ｕ ｈ ａ ｅ ｃ ｓｓ ｍｍ ａｉｎ，ｐｅｉ ｅｅ ｎ ｔ ｔｏ ｒｍ ｔ ｒａ ｄ ｔｔ ｌａ ｅ ｏａ ｒ ａ，ｔ ｅ ｏ ａ ｅ ｎ ｒ ｎ ｆ ｒ ｈ ｔ ｄ ｏ ｈ ｇ ｅ ｉ ｅ ｓｏ ｌｓ ａ ｅ Ｆｉ ｌ ｈ ｎ ｃ ｍｐ ｒ ｓ ａ ｄ ｔａ ｓｅｓ ｔ ｅ ｍｅｈｏ ｓ ｔ ｉｈ ｒｄ ｍ ｎ ｉｎａ ｐ ｃ ． ｎａｌ ｙ，ｉ ｅｓ ｔ ｅ ｅ ｕ ｅ ａｉ ｎ ｔｇ ｔ ｈ ｎ ｍ ｒ ｔｏ
第16讲 拓展三：利用导数研究函数的零点(方程的根)(学生版)-(人教A版数学选择性必修二讲义)
二、题型精讲
题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数
1．（2 上的最值；
(2)讨论 的零点个数.
2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数 ，讨论函数 的零点的个数.
(2)若 ，令 ，讨论方程 的解的个数．
3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数 ， 其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．
4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的极值：
(2)若 有两个零点，求a的取值范围.
5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数 ，函数 ，
(1)求 在 上的最大值；
(2)若函数 恰有三个零点，求a的取值范围.
3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上存2个零点，求 的取值范围.
4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数 .
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数 ，在 处切线的斜率为-2.
（1）求 的值及 的极小值；
（2）讨论方程 的实数解的个数.
4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知 ．
(1)当 时，求 在 上的单调性；
(2)若 ，令 ，讨论方程 的解的个数．
5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数 ．
(1)讨论函数 的单调性．
(2)若关于 的方程 有两个实数根，求实数 的取值范围．
2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数 .
高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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导数与函数的单调性-2021届高三数学一轮高考总复习课件
2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0) 是极大值； ②如果在x0附近的左侧___f_′__(x_)_＜__0__，右侧__f_′__(_x_)＞__0__， 那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号.如果 左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那 么 f(x)在这个根处取得__极__小__值____；如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点.
图 2-16-2
A
B
C
D
解析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值 点的横坐标大于 0.故选 D.
答案：D
(2)函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是( ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，3)和(1，＋∞) D.(－3,1) 解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0， 即x2＋2x－3<0.解得－3<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(－3,1).故 选 D. 答案：D
小值的可能值为端点值，故只需保证gg－ 1＝113＝＋13－ a≥a≥ 0，0，
解
得－13≤a≤13.故选 C.
答案：C
思想与方法 ⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性 例题：(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围. 解：(1) f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a). ①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
高三数学二轮复习教学案一体化：利用导数研究函数的性质
专题二——利用导数研究函数的性质高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = 2 ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -2 ．3.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 45° 4.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a6.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 2 ． 7.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -=__32_ _ 8.过点P （2，8）作曲线3x y =的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0 样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x 变化时，y,y ′的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-2⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,232⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 1y′ + 0 - 0 + y8单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 2795 单调递增↗4∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795 变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x,令y ′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 +y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x)>0,得0<x<a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x ∈R ),其中a ∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a. 由于a ≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a ,a) a (a,+∞) )(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a - ↗↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a）， 且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表： x(-∞,a) a (a,3a ) 3a (3a,+∞) )(x f '- 0 + 0 -f(x)↘↗-3274a ↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）, 且f （3a ）=-3274a .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．。
《利用导数研究函数的性质》典型例题
− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
点拨
这是一道考查导数的实际应用问题,了解数学模型中的参数、结论的实际含义.与
存在性有关的不等式证明或求参数取值范围的问题转化为函数最值问题,把图形位
学而优 · 教有方
+ − = − + − ,
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
题型3 求导数应用中“存在性”问题(数学建模)
典例3
[简单问题解决能力]已知函数() =
− + ( ∈ ).在直线
= 上是否存在点,使得过点至少有两条直线与曲线 = ()相切?若存
解析 由() ≥ + + ,得 − ( + ) − ≥ 在 ∈ 上恒成立.
设() = − ( + ) − ,则′() = − ( + ).
由′() = − ( + ) = ,得 = ( + ), ( > −).
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
人教B版同步教材名师课件
利用导数研究函数的性质
---典型例题
学而优 · 教有方
考情分析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
导数与函数内容的结合命题已成为高考的热点题型,应引起足够的重视.理解
函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数单调性,掌握利用导数求函
数极值、最值的方法,会利用导数解决某些实际问题.以导数为研究函数的重
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。
本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。
首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。
对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。
具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。
通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。
其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。
如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。
通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。
同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。
如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。
再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。
如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。
通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。
另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。
最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。
通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。
临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。
拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。
通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。
综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。
它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。
在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。
因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
利用导数研究函数的性质
利用导数研究函数的性质一、利用导数研究函数图象性质的基本思路由“导数值的正负性→函数的单调性→函数的极值点（极值）→函数的最值点（最值）”，结合“导数值绝对值大（小）→函数图象的陡峭（平缓）”，我们可以较为准确地画出函数的图象，进而得出函数的相关性质。
要求：对教材中的函数单调区间、函数的极值与函数最值的求法要思路清晰，表达准确简洁。
二、综合应用举例【例】已知函数1()ln f x x a x x =-+。
（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--。
【第（1）问分析】按照导数研究函数性质的基本思路，函数()f x 的单调性问题，就是导函数()f x '值的正负性问题。
即【解析】（1）22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-（0x >） 令24a ∆=-， ①若240a ∆=-≤，即22a ∆=-≤≤，则2()10m x x ax =-+≥恒成立故()0f x '>，()f x 的单调区间为(0,)+∞，无单减区间；②若240a ∆=->，即2a <-或2a >（i ）当2a <-时，2()1m x x ax =-+在(0,)+∞上单增，又(0)10m =>，所以()0m x > 从而()0f x '>，()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间；（ii ）当2a >时，因为0x >，由2()10m x x ax =-+>⇒2402a a x --<<或242a a x -> 由2()10m x x ax =-+<⇒2244a a a a x --+-<< ∴()f x 的单调区间为24(0,2a a --或24(,)2a a +-+∞， 单减区间为2244a a a a --+-；综上：当2a ≤时，()f x 的单增区间为(0,)+∞，无单减区间； 当2a >时，()f x的单调区间为24(0,)a a --或24(,)a a +-+∞， 单减区间为2244(,)22a a a a --+-。
人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023
人教版高中数学利用导数研究函数的性质教案2023本教案旨在通过利用导数来研究函数的性质。
通过理论讲解和实例演示，帮助学生理解导数在函数研究中的应用，从而提高他们的数学思维和解题能力。
【教学目标】1. 理解导数的概念和性质；2. 掌握函数导数的计算方法；3. 理解导数在函数研究中的应用。
【教学重点】1. 导数的概念和性质；2. 函数导数的计算方法；3. 导数在函数研究中的应用。
【教学难点】1. 导数在函数研究中的具体应用；2. 解决涉及导数的实际问题。
【教学准备】1. 教师准备好教案和相应的教学材料；2. 学生准备好笔记本和作业本。
【教学过程】一、导入（5分钟）为了引起学生的兴趣，我们可以通过一个实际问题来导入本节课的内容。
比如，可以用一个汽车行驶的例子，让学生思考汽车的速度变化是如何与时间变化相关联的。
二、理论讲解（15分钟）1. 导数的定义和概念：导数是描述函数变化率的工具，用来研究函数的性质和变化规律。
我们可以通过极限的概念来定义导数，即函数在某个点处的导数等于该点的切线的斜率。
2. 导数的计算方法：- 利用导数的定义计算导数；- 利用导数的性质计算导数；- 利用基本函数的导数公式计算导数。
三、实例演示（20分钟）通过几个具体的例子，我们来演示如何应用导数来研究函数的性质。
比如，给定一个函数，我们可以通过求导数来确定它的极值点、拐点，以及其它一些特殊的性质。
四、小组讨论（15分钟）将学生分成小组，让他们在小组内讨论一个实际问题，并运用导数的知识来解答。
鼓励学生积极思考，相互交流，帮助彼此解决问题。
五、解决问题（20分钟）让学生从课后作业中选择一个问题，并运用导数的知识来解答。
鼓励他们在解题过程中，发散思维，灵活运用导数的性质和计算方法。
六、归纳总结（10分钟）请学生进行课堂总结和复习。
我们可以回顾本节课涉及到的导数的概念、计算方法和应用。
让学生相互交流，共同总结本节课的重点和难点。
【课堂作业】1. 完成课后作业册上的练习题；2. 思考一个实际问题，并用导数的知识来解答。
2022北京重点校高二(下)期中数学汇编：利用导数研究函数的性质
2022北京重点校高二（下）期中数学汇编利用导数研究函数的性质一、单选题 1．（2022·北京·人大附中高二期中）函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2022·北京师大附中高二期中）已知定义在［0，3］上的函数()f x 的图像如图，则不等式()f x '＜0的解集为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(0，1)(2，3)3．（2022·北京师大附中高二期中）设函数()e ln x f x a x =-（其中R,e a ∈为自然常数），则“a<0”是“()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·北京八十中高二期中）已知函数()3f x x ax =-+，则“a<0”是“f （x ）在R 上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·北京·人大附中高二期中）若函数()32f x x ax bx c =+++（其中a ，b ，R c ∈）的图像关于点()1,0M 对称，函数()f x '是()f x 的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（ ）①函数()1f x +是奇函数； ①0x ∃∈R ，使得()00f x =；①1x =是函数()y f x '=图像的对称轴；①()f x 一定存在极值点. A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022·北京市第五中学高二期中）可导函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取得极值的（ ）．A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要不充分条件7．（2022·北京·汇文中学高二期中）函数()2f x x x =在区间[]0π，上的最大、最小值分别为（ ） A ．,0πB ．2,02πC ．,14ππ- D ．0,14π-8．（2022·北京四中高二期中）若函数()33f x x x m =-+的极小值为1-，则函数()f x 的极大值为（ ）A ．3B ．1-C ．1D ．2二、多选题9．（2022·北京市第一六一中学高二期中）函数()1ln f x x x=的一个单调递减区间是（ ） A ．（e ，+∞） B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，1e）D ．（1e，1）三、填空题10．（2022·北京师大附中高二期中）函数2(e)x ax f x =（其中R a ∈，e 为自然常数）①R a ∃∈，使得直线0y =为曲线()y f x =的一条切线； ①R a ∀∈，函数()f x 有且仅有一个零点； ①当0a >时，()f x 在区间()e,+∞上单调递减；①当0a ≠时，R b ∃∈，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点. 则上述结论正确的是________.（写出所有正确的结论的序号）11．（2022·北京市第十二中学高二期中）若3()3f x x x =-的两个极值点为12,x x ，则12x x +=_______． 12．（2022·北京·人大附中高二期中）设函数()()()21e x f x x x b =-+，若1x =是函数() f x 的一个极大值点，则实数b 的取值范围为__________． 四、解答题13．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数()f x ＝3243x x x +-. (1)求函数()f x 在点P （1，(1)f ）处的切线方程； (2)求函数()f x 的极值.14．（2022·北京师大附中高二期中）已知函数()2(e )x f x kx k x =-- (1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在1x =处取得极值. （i ）求k ；（ii ）()f x 是否存在最值？说明理由.15．（2022·北京师大附中高二期中）设函数()ln 2mf x x x =++（m①R ），曲线()y f x =在点()1,(1)A f ，()5,(5)B f 处的切线分别为l 1，l 2.(1)求l 1的方程，并证明：对任意实数m ，l 1过定点； (2)若()f x 存在极值，求实数m 的取值范围；(3)当m ＝9时，分别写出l 1，l 2与曲线y ＝()f x 的交点个数（不需证明）.16．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）已知函数()()2e 1xf x ax x =+-．(1)若函数()f x 在52x =-时取得极值，求a 的值；(2)在第一问的条件下，求证：函数()f x 有最小值；(3)当1a =时，过点3,04⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有几条？直接写出结果．17．（2022·北京市第一六一中学高二期中）对于函数f （x ），若存在实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数f （x ）的一个不动点.已知函数()233f x ax b x x +++=，其中,R a b ∈(1)当0a =时，（i ）求f （x ）的极值点；（ii ）若存在0x 既是f （x ）的极值点，又是f （x ）的不动点，求b 的值：(2)若f （x ）有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b 使得1x ，2x 均为f （x ）的不动点？证明你的结论.18．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知函数()()2e xf x x k ⋅=- (1)当1k =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间(),2k -∞+上的最值.19．（2022·北京市第十二中学高二期中）已知函数32()21()f x x ax a =-+∈R ． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，求()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和．20．（2022·北京八十中高二期中）已知函数32211()23()32f x x ax a x a R =-+++∈，()f x '为函数()f x 的导函数(1)若=1x -为函数()f x 的极值点，求实数a 的值；(2)()f x 的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数a 的取值范围； (3)对任意102a <≤时，任意实数[]12,1,2x x ∈-，都有1220()()373f x f x M a '+-≥+-恒成立，求实数M 的最大值.21．（2022·北京八十中高二期中）已知函数32(),R f x x ax a =-∈，且(1) 5.f '-=(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程： (2)求函数()f x 在区间[]0,3上的最小值.22．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()ln f x x =． (1)求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)设函数()()xf xg x =e ，判断函数()g x 在区间()0,1上的单调性，并说明理由； (3)设函数()()e xh x f x =-，求证：函数()y h x =存在最小值()0h x ，且()0522h x <<． 23．（2022·北京·首都师范大学附属中学高二期中）设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中0a >． (1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)求()f x 的极值．24．（2022·北京八十中高二期中）已知函数22()2e 2.x f x x ax a =--- (1)若()()21122g x f x x =+在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围. (2)若(1,2ln 2]a ∈-，求证：当0x ≥时，()0f x ≥25．（2022·北京·人大附中高二期中）已知函数()321313f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若方程()f x a =有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围．26．（2022·北京·汇文中学高二期中）若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 取得极值43-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若方程()f x k =有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围. 27．（2022·北京市第五中学高二期中）已知函数2()ax f x x e = (1)若1a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程． (2)讨论()f x 的单调区间．28．（2022·北京四中高二期中）已知函数()22ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()y f x =的单调区间． 五、双空题29．（2022·北京·汇文中学高二期中）已知对于任意 e x x ax b ∈≥+R ， 均成立. ①若 e a =，则 b 的最大值为_____________.①在所有符合题意的 a b ， 中，a b - 的最小值为______.30．（2022·北京四中高二期中）函数()21x f x x -=的零点是_________，极值点是_________．参考答案1．A【分析】观察函数()f x '在(),a b 内的图象与x 轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解. 【详解】解：由导函数()f x '在区间(),a b 内的图象可知，函数()f x '在(),a b 内的图象与x 轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数()f x 在开区间(),a b 内的极小值点有1个. 故选：A. 2．B【分析】根据函数的单调性得结论．【详解】由图象知()f x 在(1,2)上是减函数，所以()0f x '<的解集是(1,2)． 故选：B ． 3．A【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】函数的定义域为(0,)+∞当a<0时，由()e ln x f x a x =-，得()e 0xaf x x'=->，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a =时，()x f x e =在(0,)+∞上单调递增，所以“a<0”是“()f x 在区间(0,)+∞上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 4．A【分析】若f （x ）在R 上单调递减，则2()30f x x a '=-+≤恒成立，则0a ≤，a 的取值范围包含a<0，可判断“a<0”是“0a ≤”的充分不必要条件 【详解】2()3f x x a '=-+，若a<0，则2()30f x x a -'=+<恒成立，所以f （x ）在R 上单调递减， 若f （x ）在R 上单调递减，则2()30f x x a '=-+≤恒成立，则0a ≤， 所以“a<0”是“f （x ）在R 上单调递减”的充分不必要条件， 故选：A 5．C【分析】利用图象平移变换判断①，根据三次函数的性质即三次函数图象与x 轴交点结论判断①；对(1)(1)f x f x +=--求导后的结论判断①；举反例判断①．【详解】函数()f x 的图象关于点(1,0)M 对称，把它向左平移1个单位，对称点变为(0,0)，即函数(1)y f x =+是奇函数，①正确；()f x 是三次函数，其图象与x 轴一定有公共点，因此0x ∃∈R ，使得()00f x =，①正确；()f x 的图象关于(1,0)M 对称，则(1)(1)f x f x +=--，两边求导得(1)(1)(1)(1)f x f x x f x ''''+=--⋅-=-，所以()f x '的图象关于直线1x =对称，①正确；例如3()(1)f x x =-，满足题意设条件，但2()3(1)0f x x '=-≥，()f x 单调递增，无极值．①错误． 因此正确的个数是3， 故选：C ． 6．D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：函数()y f x =在一点的导数值为0，不一定得到函数()y f x =在这点取得极值，令()3g x x =，则()030g x x '=≥，当0x =时()0g x '=，但是函数在0x =的左侧单调递增，右侧也单调递增，且函数是连续函数，故函数在定义域R 上单调递增，0x =不是函数的极值点，故充分性不成立；若函数()y f x =在这点取得极值，则函数()y f x =在一点的导数值一定为0，故必要性成立； 故函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取得极值的必要不充分条件； 故选：D 7．C【分析】利用导数得到函数()f x 的单调性，根据单调性即得最值. 【详解】由题意，()[]12,0,πf x x x =∈'，()04f x x ππ'>⇒<≤，()004f x x π<⇒≤<'，所以()f x 在上(,)4ππ单调递增，在(0,)4π上单调递减.所以min 2()()214424f x f πππ===-，max ()max{(0),()}max{0,}f x f f πππ===.故选：C 8．A【分析】利用导数可求得()f x 单调性，由极小值可构造方程求得m ，进而可求得极大值. 【详解】()233f x x '=-，令()0f x '=，解得：1x =±；∴当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，0fx；当()1,1x ∈-时，()0f x '<；f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减， f x 的极小值为()1131f m =-+=-，解得：1m =，f x 的极大值为()1133f m -=-++=.故选：A.9．AD【分析】利用导数求得()f x 的一个单调递减区间. 【详解】()f x 的定义域为()()0,11,+∞，()()()'2210ln 1ln ln ln x x x x f x x x x x ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==-， 所以()f x 在区间()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()'0f x <，()f x 递减，所以AD 选项符合题意. 故选：AD 10．①①①【分析】求出函数的导函数，对a 分类讨论，分别得到函数的单调性，即可判断. 【详解】解：因为2(e )x ax f x =，所以())e (2xax x f x =-'，()00f =，对于①，若0y =为曲线的一条切线，则切点为()0,0，所以()00f '=，显然符合要求，故①正确； 当0a =时()0f x =显然不满足①，故①错误； 当0a >时，当02x <<时0fx，当0x <或2x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递增，在(),0∞-和()2,+∞上单调递减，故0a >时，()f x 在区间()e,+∞上单调递减，即①正确， 又()00f =，()2420e af =>，又当x →+∞时()0f x →，当x →-∞时()f x →+∞， 此时()[)0,f x ∈+∞，则当0a >时，当0b <，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点， 当a<0时，当02x <<时()0f x '<，当0x <或2x >时0fx，所以()f x 在()0,2上单调递减，在(),0∞-和()2,+∞上单调递增，又()00f =，()2420e af =<，又当x →+∞时()0f x →，当x →-∞时()f x →-∞， 此时()(],0f x ∈-∞，则当a<0时，当0b >，使得直线y b =与曲线()y f x =没有交点，故①正确； 故答案为：①①① 11．0【分析】利用导数，求出函数的极值点即可得解. 【详解】由3()3f x x x =-可得2()33f x x =-'，令()0f x '<解得1x <-或1x >，令()0f x '>解得11x -<<， 所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增，所以函数的极值点为1-和1，则120x x +=. 故答案为：0 12．(,1)-∞-【分析】首先求出函数的导函数，令2()(2)1g x x b x b =+++-，根据根的判定式得到()g x 有两个不相等的实根，不妨设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且12x x <，根据1x =是函数()f x 的一个极大值点，即可得到()10g <，从而求出参数的取值范围．【详解】解：因为()()()21e x f x x x b =-+， 所以22()e [(1)()]e [(1)()]x x f x x x b x x b ''=-++-+22e [(1)()]e 2(1)()(1)x x x x b x x b x ⎡⎤=-++-++-⎣⎦2e (1)[(2)1]x x x b x b =-+++-，设2()(2)1g x x b x b =+++-，则()()2224180b b b ∆=+--=+>， 所以()g x 有两个不相等的实根．于是可设1x ，2x 是()0g x =的两实根，且12x x <，①当11x =或21x =时，则1x =不是()f x 的极值点，此时不合题意；①当11x ≠且21x ≠时，由于1x =是()f x 的极大值点，故121x x ，即()10g <，即()21210b b +++-<，所以1b <-，所以b 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 13．(1)86y x =- (2)极大值18，极小值1427-【分析】（1）由导数的几何意义求出k ＝()1f '＝8，再求出(1)f ＝2，由点斜式方程即可求出答案. （2）对()f x 求导，得出()f x 的单调性即可求出()f x 的极值. （1）()f x '＝2383x x +-，所以k ＝(1)f '＝8，又因为(1)f ＝2，所以86y x =-. （2）()f x '＝2383x x +-＝（3x-1）（x+3）， 令()f x '＝0，得x ＝13或x ＝-3，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x（-∞，-3） -3（-3，13）13 （13，+∞）()f x ' +0 - 0 +()f x① 极大值 ① 极小值 ①所以x ＝3-时，()f x 取得极大值，且极大值为(3)18f -=， 当x ＝13时，()f x 取得极小值，且极小值为114()327f =-.14．(1)答案见解析(2)（i ）1；（ii ）无最大值，有最小值e -，理由见解析【分析】（1）分类讨论导函数的正负，通过导函数的正负确定()f x 的单调区间；（2）根据极值点可求k 的值，进而可根据导函数确定()f x 的单调性，根据单调性即可判断最值. （1）()()()()()()222e e 22e 2e x x x xf x x k x kx k x k x k x k x '⎡⎤-+--+--⎣⎦+-=＝＝，令()0f x '=，得=x k 或2x =-当=2k -时，()0f x '≥，()f x 单调递增区间为()-∞+∞，当2k >-时，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x()2-∞-，-2 ()2k -，k()k +∞，'()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①当2k <-时，()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表： x()k -∞，k ()2k -，-2 ()2-+∞，'()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①综上：当=2k -时，()f x 单调递增区间为-∞+∞，； 当2k >-时，()f x 单调递增区间为()2-∞-，和()k +∞，， 单调递减区间()2k -，；当2k <-时，()f x 单调递增区间为()k -∞，和()2-+∞，， 单调递减区间()2k -，. （2）（i ）因为()f x 在=1x 处取极值， 所以()()13e 10f k '=-=，得=1k . 经检验符合已知条件，所以=1k .（ii ）因为=1k ，则()()21(e )=xx x x f +-'()f x 与()f x '随x 的变化情况如下表：x()2-∞-，-2 ()21-，1 ()1+∞， '()f x +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①所以2x =-时，()f x 的极大值为2e ， 当1x =时，(1)f 的极小值为e -，又因为225(2)=e e f >， 所以当2x >时，()()f x f x >极大值， 所以()f x 无最大值.当<2x -时，210x x -->，()()21e 0e xf x x x ->=->-，当2x ≥-时，()e f x ≥-，所以()f x 有最小值，最小值为(1)=e f - 15．(1)(1)(1)39m my x -=--，证明见解析 (2)()8,+∞ (3)2个和3个【分析】（1）求出()119mf ='-，表示出l 1的方程，判断出l 1过定点（4，3）. （2）设()()244g x x m x =+-+，把()f x 存在极值等价于()g x 在区间（0，+∞）有变号零点.利用二次函数的性质得到m ＞8，再用列表法验证()f x 的单调性和极值符合题意； （3）直接判断l 1，l 2与曲线y ＝()f x 交点的个数分别为2个和3个. （1）（1）由()f x '＝()()()22244122x m x m x x x x +-+-=++，得()'119m f =-. 又()13m f =,所以l 1方程为()1139m m y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即y ＝41199m x m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.可化为：()1409my x x -++-= 当x ＝4时，y ＝4141399m m ⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭，所以l 1过定点（4，3）.（2）设()()244g x x m x =+-+，则()f x 存在极值等价于()g x 在区间（0，+∞）有变号零点. 因为()g x 在（-∞，22m -）单调递减，在（22m-，+∞）单调递增， 当22m-≤0即m≤4时，∀x①（0，+∞），()g x ＞g （0）＞0，即()f x '＞0， 所以()f x 在（0，+∞）单调递增，不合题意. 当22m -＞0即m ＞4时，由g （22m-）＜0得m ＞8， 此时 存在x 1①（0，22m -），x 2①（22m-，+∞），使得g （x 1）＝g （x 2）＝0. ()f x '与()f x 的情况如下： x（0，x 1） x 1 （x 1，x 2） x 2 （x 2，+∞） ()f x ' +0 - 0 + ()f x①极大值①极小值①（3）l 1，l 2与曲线y ＝()f x 交点的个数分别为2个和3个. 16．(1)2a = (2)证明过程见解析； (3)3条【分析】（1）求导，利用极值点的定义得到方程，求出2a =，再代入进行检验，满足要求；（2）在（1）的基础上，得到()f x 在0x =处取得极小值，结合当1x <-时，()0f x >恒成立，确定()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值；（3）设出切点，求导，利用导函数的几何意义及两点间斜率公式列出方程，得到32000451340x x x +-+=，问题转化为关于0x 的一元三次方程32000451340x x x +-+=的实数根的个数问题，构造函数()3245134g x x x x =+-+，根据特殊点的函数值的正负，结合零点存在性定理及一元三次方程最多有3个零点，确定32000451340x x x +-+=有3个实数根，即所以过点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有3条. (1)由题意得：()()2e 2xf x ax x ax '=++，525255e 50242f a a -⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎭⎝⎭'⎝，解得：2a =，当2a =时，()()2e 25xf x x x =+'，当52x <-或0x >时，0fx ，当502x -<<时，()0f x '<，所以52x =-是极大值点，满足要求，综上：2a = (2)由（1）知：()f x 在52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,，()0,∞+上单调递增，在5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 在0x =处取得极小值， 且()01f =-， ()()()()2e 21e 211x x f x x x x x =+-=-+，当1x <-时，()0f x >恒成立，综上：()f x 在0x =处取得最小值，最小值为-1 (3)当1a =时，()()2e 1xf x x x =+-可以得到3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭不在()()2e 1xf x x x =+-上，设过3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线的切点为()00,x y ，则()02000e 1x y x x =+-，因为()()2e 3x f x x x ='+，所以()()02000e 3x f x x x +'=，又()()00200200e 1e334x x x x xx x +-=+-，解得：32000451340x x x +-+=，问题转化为关于0x 的一元三次方程32000451340x x x +-+=的实数根的个数问题，令()3245134g x x x x =+-+，又()3200g -=-<，()040g =>，2340327g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()21260g =>， 所以()g x 在()223,0,0,,,233⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内各有一个实数根，又因为32000451340x x x +-+=在实数范围内最多有三个根， 因此32000451340x x x +-+=有三个不相同的实数根，所以过点3,04⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线有3条.【点睛】求解函数过一点的切线，要设出切点，根据导函数的几何意义及两点间斜率公式，列出方程，进而求解出切点，本题中，用此方法将切线条数问题转化为方程的根的个数问题，进而构造函数研究零点个数即可.17．(1)（i ）当0b ≥时，()f x 没有极值点；当0b <时，()f x 的极大值点为3b -3b -（ii ）3b =-.(2)不存在，证明见解析【分析】（1）（i ）利用导数，以及对b 进行分类讨论来求得()f x 的极值点. （ii ）结合极值点、不动点的知识来列方程组，从而求得b 的值.（2）根据极值点、不动点的知识对,a b 的取值进行分析，从而作出正确的判断. (1)（i ）当0a =时，()33f x x bx =++，()'23f x x b =+.当0b ≥时，()'0f x ≥恒成立，()f x 在R 上递增，没有极值点.当0b <时，令'0f x解得12,33b bx x =--=-则()f x 在区间()()()()'12,,,,0,x x f x f x -∞+∞>递增；在区间()()()'12,,0,x x f x f x <递减，所以()f x 的极大值点为3b -3b -（ii ）若0x 是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，则()()00000f x x f x b ⎧=⎪=⎨<'⎪⎩，即()()300002003300f x x bx x f x x b b ⎧=++='⎪=+=⎨⎪<⎩， 即203b x =-，代入30003x bx x ++=得 3300033x x x -+=，300230x x +-=，()3002110x x -+-=， ()()2000021110x x x x -+++-=，()()200012230x x x -++=， ()2001512022x x ⎡⎤⎛⎫-++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以01x =，则2033b x =-=-(2)()233f x ax b x x +++=，()'232f x x ax b =++，()f x 有两个相异的极值点，也即()'232f x x ax b =++有两个不同的零点12,x x ，所以224120,30a b a b ∆=->->①，12122,33a bx x x x +=-⋅=. 依题意，若12,x x 是()f x 的不动点，则32111132222233x ax bx x x ax bx x ⎧+++=⎨+++=⎩，两式相减得()()332212121212x x a x x b x x x x -+-+-=-， ()2211221210x x x x a x x b +++++-=，()()212121210x x x x a x x b +++-+-=，224210933a b a b --+-=，2932a b -=-，这与①矛盾，所以不存在符合题意的,a b .【点睛】有关导数的新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，转化为利用导数求解函数的单调区间、极值（点）、最值等问题来进行求解. 18．(1)1y x =-+(2)最小值为0，没有最大值【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）先求得()'f x ，然后求得()f x 的单调区间，从而求得()f x 在区间(),2k -∞+上的最值.(1)当1k =时，()()221e xf x x x =-+⋅，()()'21e x f x x =-⋅，所以()()'01,01f f ==-，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x -=-，即1y x =-+. (2)()()()222e e 2x x x kx x k k f x ⋅=-+⋅=-，其中2x k <+，()()'22222e x f x x k x k k ⎡⎤=+-+-⋅⎣⎦()()2e xx k x k =---⋅⎡⎤⎣⎦， 令'0f x，解得12x k =-，2x k =，而22k k k +>>-，所以()f x 在()(),2,,2k k k -∞-+上，()()'0,f x f x >递增； 在区间()2,k k -上，()()'0,f x f x <递减.由于()()2e xf x x k ⋅=-，所以()()0,0f x f k ≥=，x k =是()f x 的唯一零点.所以()f x 的最小值为0. ()()22222e 4e k k f k ---=-⋅=⋅，()()222222e 4e 4e 2k k k f k f k ++-+=⋅=⋅>⋅=-，所以()f x 没有最小值.综上所述，在区间(),2k -∞+上，()f x 最小值为0，没有最大值. 19．(1)答案见解析； (2)3-.【分析】（1）先对函数求导，对a 分类讨论，即可得出函数单调性；（2）由（1）可得函数极值点，根据函数有且只有一个零点可判断零点即为极小值点，据此求出a ，再由函数单调性求出函数最大值与最小值即可得解.(1)2()626()3af x x ax x x '=-=-，当0a =时，2()60f x x '=，①()f x 在R 上是单调增函数. 当0a >，此时03a >，当0x <或3a x >时，()0f x '>，03ax <<时，()0f x '<， ∴ ()f x 在(,0)-∞和(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减.当a<0时，03a<，当3a x <或0x >，()0f x '>，03a x <<，()0f x '<， ∴ ()f x 在(,)3a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)3a上单调递减.综上，当0a =时，()f x 在R 上是单调增函数，当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减，当a<0时，()f x 在(,)3a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)3a上单调递减.(2)由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1f =， 所以此时()f x 在(0,)+∞内无零点，不满足题意；当0a >时，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(,)3a+∞上单调递增，又()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，所以3()10327a af =-+=，得3a =，所以()32231f x x x =-+,则()()61f x x x ='-，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(0,1)x ∈时,()0f x '<，()f x 单调递减. 则max ()(0)1,(1)4,(1)0f x f f f ==-=-=，则min ()4f x =-， 所以()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为3-. 20．(1)12a =-或1a =(2)111,,122a ⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(3)38-【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意()10f '-=，即可得到方程，解得a ，再代入检验即可； （2）依题意有且只有两个整数满足不等式()()20x a x a +-<，再分0a >和a<0两种情况讨论，分别得到不等式组，解得即可；（3）由()3221111113232f x x ax a x -=-++，令()32211232g x x ax a x =-++利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，再根据二次函数的性质求出()2f x '的最小值，即可得到2202064733a a M a +-≥+-，最后根据二次函数的性质计算可得； (1)解：因为32211()2332f x x ax a x =-+++，所以22()2f x x ax a '=-++， 因为=1x -为函数()f x 的极值点，所以()221120f a a -=--+='，解得12a =-或1a =；当1a =时，3211()2332f x x x x =-+++，则()()2()221f x x x x x =-++=-++'，所以，当12x -<<时()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1x <-或2x >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数在=1x -处取得极小值，符合题意；当12a =-时，32111()3342f x x x x =--++，则()2111()1222f x x x x x ⎛⎫=--+=+-+ ⎝'⎪⎭，所以，当112x -<<时()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1x <-或12x >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数在=1x -处取得极小值，符合题意； 综上，12a =-或1a =．(2)解： ()()22()22f x x ax a x a x a =-++=-+-'，因为，()f x 的单调增区间内有且只有两个整数，所以，有且只有两个整数满足不等式()0f x '>，即有且只有两个整数满足不等式()()20x a x a +-<， 显然0a ≠，当0a >时，解得2a x a -<<，即不等式的解集为{}|2x a x a -<<，所以1221a a <≤⎧⎨-≥-⎩，解得112a <≤；当a<0时，解得2a x a <<-，即不等式的解集为{}|2x a x a <<-，所以2211a a -≤<-⎧⎨-≤⎩，解得112a -≤<-；综上可得111,,122a ⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦(3)解：因为()3221111113232f x x ax a x -=-++，令()32211232g x x ax a x =-++，则()222()(2)g x x ax a x a x a =-++=-+-'，令()0g x '=，则x a =-或2x a =， 因为102a <≤，所以1,02a ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，(]20,1a ∈， 所以当[1x ∈-，]a -和(2x a ∈，2]时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当(,2)x a a ∈-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以函数()g x 的极小值为3333117()2326g a a a a a -=+-=-，又28(2)243g a a =-++，令3278()(2)()4263h a g g a a a a =--=++-，27()8202h a a a ++'=>在102a <≤上成立， 所以，当102a <≤时，函数()h a 单调递增，故125()()0248max h a h ==-<， 所以()()2g g a <-，即当[1x ∈-，2]时，28()(2)243min g x g a a ==-++，又()2222222292()24a a f x x ax a x =-++=--+'其对应函数图像的对称轴为2122a x =<， 所以22x =时，()22(2)422min f x f a a ==-++''，所以()()212203643f x f x a a -+≥+-'，故有2202064733a a M a +-≥+-，所以，263a a M -≥，102a <≤， 因为221363648a a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，102a <≤，所以22133636488a a a ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，所以38M ≤-，即实数M 的最大值为38-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，极值，不等式恒成立问题等，考查运算求解能力，化归转化思想，是难题.本题第三问解题的关键在于构造函数()32211232g x x ax a x =-++，并求得其在区间[]1,2-时的最小值，进而将问题转化为263a a M -≥，102a <≤，最后结合二次函数的性质求最值即可. 21．(1)10x y --=(2)427-【分析】（1）由题意，求出a 的值，然后根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数()f x 在区间[0,3]上的单调性，从而即可求解. (1)解：由题意，2()32f x x ax '=-，因为(1)5f '-=，所以()()231215a ⨯--⨯-=，解得1a =， 所以32()f x x x =-，2()32f x x x ='-， 因为(1)0f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()011y x -=-，即10x y --=； (2)解：由（1）知1a =，32()f x x x =-，()2()3232f x x x x x '=-=-，[0,3]x ∈，所以20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，2,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 24()327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即函数()f x 在区间[0,3]上的最小值为427-.22．(1)10x y --=(2)函数()g x 在区间()0,1上的单调递增，理由见解析 (3)过程见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数及其不等式ln x x <即可证得()g x 在区间0,1上的单调性；（3）利用导数及其零点存在性定理即可证得函数()y h x =存在最小值()0h x ，利用对勾函数的性质即可证得()0522h x <<. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，，()1f x x'=， ()11f '=，()10f =，则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，即10x y --=； (2)由已知得()ln x x g x =e，()1ln 1ln e e x xxx x x g x x --'== ， 因为()0,1∈x ，故1ln 0x x ->即0g x，①函数()g x 在区间0,1上的单调递增， (3)函数()e ln xh x x =-的定义域为()0,+∞，()1e 1e x xx h x x x-'=-=，令()e 1xm x x =-，则()()1e 0x m x x '=+>，①()m x 在()0,+∞上单调递增，又①()1e 1>0m =-，1e 102m ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ①存在0112x <<，使()00m x =，即在()00,x 上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>， 故()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，①函数()y h x =存在最小值()000e ln xh x x =-，①00e 10xx -=，①00ln x x =-，①()000001e ln xh x x x x =-=+， 可知函数()0001p x x x =+在0112x <<上单调递减， ①()0522p x <<， 即()0522h x <<. 23．(1)2a = (2)答案见解析.【分析】（1）由题知'(2)1f =，进而求导计算即可得答案； （2）由题知()()'21()x a x f x x--=，进而分02a <<，2a =，2a >三种情况讨论求解即可.(1)解：'()2(2)af x x a x=+-+， 因为曲线()y f x =在点()()22f ,处切线的倾斜角为4π， 所以'(2)4(2)12af a =+-+=，解得2a =. 所以，2a =. (2)解：函数的定义域为()0,∞+，因为()()()2'2221()2(2)x a x a x a x af x x a x x x-++--=+-+==， 故令'()0f x =得2ax =或1x = 所以，当02a <<时，12ax =<，此时x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2a ,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞'()f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，当2ax =时，有极大值ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，有极小值()11f a =--. 当2a =时，12ax ==，此时，'()0f x ≥在()0,∞+上恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，函数无极值. 当2a >时，12ax =>，此时x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x()0,111,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ '()f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以，当2ax =时，有极小值ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，有极大值()11f a =--. 综上，当02a <<时，极大值2ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极小值()11f a =--；当2a =时，函数无极值；当2a >时，极小值2ln 1224a a af a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，极大值()11f a =--.24．(1)1a ≤； (2)证明见解析.【分析】（1）由题设2e ()2xg x a ax --=，根据()0g x '≥恒成立求a 的取值范围.（2）对()f x 求导，构造()e x h x x a =--利用导数研究单调性和极值，根据极值的符号及零点存在性求(0,)+∞上()h x 变号零点的范围，结合零点作代换判断()f x 的极小值符号，即可证结论.（1）由题设2e ()2xg x a ax --=，则()x g x e a '=-，又()g x 在[0,)+∞上单调递增，即e x a ≤在[0,)+∞上恒成立， 所以min (e )1x a ≤=. （2）由()2(e )x f x x a '=--，令()e x h x x a =--，则()e 1x h x '=-， 所以(,0)-∞上()0h x '<，()h x 递减；(0,)+∞上()0h x '>，()h x 递增；则()(0)1h x h a ≥=-，又(1,2ln 2]a ∈-，则(0)0h <，而(ln 2)2ln 20h a =--≥，所以(0,ln 2]上()h x 有一个变号零点1x ，则1(0,)x 上()0h x <，即()0f x '<，()f x 递减；1(,)x +∞上()0h x >，即()0f x '>，()f x 递增；则122111()()2e 2x f x f x x ax a ≥=---，又11e x x a =+，所以22111111()2()2(2)2f x x ax a x a x a x a =-=-++-+--，而1(0,ln 2]x ∈，(1,2ln 2]a ∈-，所以1(1,2]x a +∈，则12(1,0]x a +-∈-，故1()0f x ≥， 则(1,2ln 2]a ∈-，当0x ≥时()0f x ≥得证.25．(1)函数的增区间是(,1)-∞-和3)+∞（，，减区间是(13)-，，极大值为8(1)3f -=，极小值为(3)8f =-； (2)883a -<<【分析】（1）求出导函数()f x '，列表得出()f x '的正负，得函数的单调性和极值； （2）结合函数的性质（极值与单调性可得参数范围. (1)由题意2()23(1)(3)f x x x x x ==+'---，()0f x '=得=1x -或3x =， 列表如下： x(,1)-∞-1-(1,3)- 3 (3,)+∞ ()f x ' +-+()f x递增 极大值 递减 极小值 递增(,1)-∞- 极大值为8(1)3f -=，极小值为(3)8f =-；(2)作出函数图象，如图，直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点时，883a -<<.26．(1)()31443f x x x =-+(2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导数，结合极值点和极值，列出方程求解函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有3个不等的实数解，数形结合求出k 的范围． （1）对()f x 求导，得()23f x ax b '=-，由题意，得()()2120428243f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-+=-'⎪⎩,解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ , ①()31443f x x x =-+.（2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=-+,令()0f x '=，得2x =或2x =-,①当<2x -时，0f x ；当22x -<<时，()0f x '<；当2x >时，0fx.因此，当2x =-时，()f x 取得极大值283； 当2x =时，()f x 取得极小值43-,函数()31443f x x x =-+的大致图象图如所示.:要使方程()f x k =有3个不同的实数根， 由图可知，实数k 的取值范围是428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.27．(1)y=3ex-2e (2)答案见解析.【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出导函数，对a 分类讨论： a=0,a<0和a>0三种情况分别求出单调区间.（1）当1a =时, 2()x f x x e =,则2()(2)e x f x x x '=+，以f(1)=e, (1)3e f '=，所以曲线2()x f x x e =在1x =处的切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex-2e.（2）2()(2)ax f x x ax e '=+.由()0f x '=得220ax x +=.当a=0时,解得x=0.故当x>0时, ()0f x '>,当x<0时, ()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞.当a<0时,解得x=0或2x a =-.当x<0时, ()0f x '<；当20x a <<-时，()0f x '>；当2x a >-时, ()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减2区间为(,0)-∞和2(,)a -+∞.当a>0时,解得x=0或2x a =-.当x>0时, ()0f x '>；当2x a -<<时，()0f x '<；当2x a <-时, ()0f x '>.所以()f x 的单调递增区间为2(,)a -∞-和(0,)+∞,单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述：当a=0时,()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞.当a<0时,()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减区间为(,0)-∞和2(,)a -+∞.当a>0时,()f x 的单调递增区间为2(,)a -∞-和(0,)+∞,单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.28．(1)1y =(2)单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为()10f '=，结合()11f =可得切线方程；（2）求导后，根据导函数正负即可求得()f x 单调区间. (1)由题意得：()()()21122x x f x x x x+-'=-=，()1220f '∴=-=，又()11f =， ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为1y =. (2)由题意知：()f x 定义域为()0,∞+；由（1）知：当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，0f x；f x 的单调递减区间为()0,1；单调递增区间为()1,+∞.29． 0； 1e-##1e --【分析】（1）e a =时，转化为e e x b x ≤-恒成立，构造函数()x f x e ex =-，求导确定单调性求出最小值，即可求得b 的最大值；（2）令()e x f x ax b =--，由1(1)0e f a b -=+-≥得1e a b -≥-，再说明当()e x g x =与y ax b =+在点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭处相切时取得最小值即可.【详解】①若 e a =，对于任意 e e x x x b ∈≥+R ， 均成立，即e e x b x ≤-恒成立，令()x f x e ex =-，则()x f x e e '=-，当1x <时，()0,()'<f x f x 单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 单调递增，则min ()f x =(1)0f =，故0b ≤，即b 的最大值为0；①令()e x f x ax b =--，1(1)e f a b -=+-，要使a b -最小，即1e a b +-最小，又()0f x ≥对于任意均成立，故10e a b +-≥，即1e a b -≥-，以下说明a b -能取到1e -，令()e x g x =，则()e x g x '=，1(1)e g '-=，故()g x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x -=+，即12e e y x =+，结合图像可知，当12,e e a b ==时，满足对于任意 e x x ax b ∈≥+R ， 均成立，此时1e a b -=-，故a b - 的最小值为1e-. 故答案为：0；1e -. 30． 1x = 2x =【分析】令()0f x =即可求得零点；利用导数可求得()f x 单调性，根据极值点定义可得结果. 【详解】令()210x f x x-==，解得：1x =，f x 的零点是1x =；由题意知：()f x 定义域为()(),00,∞-+∞，()()243212x x x xf x x x---'==，令()0f x '=，解得：2x =；则当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，0fx；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<；f x 在(),0∞-和()2,+∞上单调递减，在()0,2上单调递增； f x 的极值点为2x =.故答案为：1x =；2x =.。
人教版高考数学一轮复习第四章 课时规范练16 利用导数研究函数的单调性(含答案)
课时规范练16 利用导数研究函数的单调性基础巩固组1.(2022重庆八中高三检测)函数f (x )=e -x cos x (x ∈(0,π))的单调递增区间为( ) A.0,π2 B.π2,π C.0,3π4D.3π4,π2.函数y=13x 3+x 2+mx+2是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞)D.[1,+∞)3.已知函数f (x )=2x 2-ln x ,若f (x )在区间(2m ,m+1)内单调递增,则实数m 的取值范围是( ) A.14,1 B.14,+∞ C.12,1 D.[0,1)4.若2a +ln22=3b +ln33=5c +ln55,则( )A.a ln 2>b ln 3>c ln 5B.c ln 5>b ln 3>a ln 2C.a ln 2>c ln 5>b ln 3D.c ln 5>a ln 2>b ln 35.(多选)已知函数f (x )=2x 3+a (x-1)e x 在区间[0,3]上不单调,则实数a 的值可以是( ) A.4eB.-4eC.-1eD.1e6.(2022山东日照高三月考)已知函数f (x )=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0),若f (x )的单调递减区间是(0,4),则实数k 的值为 .7.已知函数f (x )=x (2x -2-x ),则不等式2f (x )-3<0的解集为 .综合提升组8.(2022河北唐山三模)已知函数f (x )={e x -x -1,x ≤0,-f (-x ),x >0,则使不等式f (ln x )>-1e 成立的实数x 的取值范围为( ) A.0,1e B.1e ,+∞ C.(0,e)D.(e,+∞)9.已知函数f (x )=ax+1+ln x ,若对任意x 1,x 2∈(0,2],且x 1≠x 2,都有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>-1,则实数a 的取值范围是( ) A.-∞,274 B.(-∞,2] C.-∞,272D.(-∞,8]10.(2022河北衡水高三检测)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足xf'(x )-f (x )<0,其中f'(x )是f (x )的导函数.若2f (m-2 022)>(m-2 022)f (2),则实数m 的取值范围为 .创新应用组11.已知函数f (x )=e x -e -x ,g (x )=sin x+16x 3-ax.对于任意x 1,x 2且x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)g (x 1)-g (x 2)>0,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0]C.(-∞,1)D.(-∞,1]12.已知函数f (x )=2sin x+e -x -e x ,则不等式f (a 2-a+1)+f (-2a+1)>0的解集为 .课时规范练16 利用导数研究函数的单调性1.D 解析:f'(x )=-e -x cos x-e -x sin x=-e -x (cos x+sin x )=-√2e -x sin x+π4, 当x ∈0,3π4时,e -x >0,sin x+π4>0,则f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈3π4,π时,e -x >0,sin x+π4<0,则f'(x )>0,f (x )单调递增.故函数f (x )的单调递增区间为3π4,π.2.D 解析:函数y=13x 3+x 2+mx+2是R 上的单调函数,即y'=x 2+2x+m ≥0或y'=x 2+2x+m ≤0(舍)在R 上恒成立,因此Δ=4-4m ≤0,解得m ≥1,故选D .3.A 解析:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=4x-1x.由f'(x )>0,即4x-1x>0,解得x>12,所以f (x )的单调递增区间为12,+∞.因为f (x )在区间(2m ,m+1)内单调递增,所以(2m ,m+1)⊆12,+∞,所以{m +1>2m ,2m ≥12,解得14≤m<1,因此实数m 的取值范围是14,1.4.D 解析:构造函数f (x )=lnxx,x>0,则f'(x )=1-lnxx 2.令f'(x )=0,得x=e,当x ∈(e,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减,因为e <3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即ln33>ln44=ln22>ln55.又因为2a +ln22=3b +ln33=5c +ln55,所以3b <2a <5c ,所以ln3b <ln2a <ln5c ,即c ln5>a ln2>b ln3,故选D .5.BC 解析:由f (x )=2x 3+a (x-1)e x ,得f'(x )=6x 2+ax e x .由题意知f'(x )=0在区间(0,3)内有解,即-a=6xe x 在区间(0,3)内有解.令g (x )=6xex ,则g'(x )=6(1-x )e x,令g'(x )=0,得x=1,当x ∈(0,1)时,g'(x )>0;当x ∈(1,3)时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,3)内单调递减.所以当x=1时,g (x )有极大值.g (0)=0,g (1)=6e ,g (3)=18e 3,在区间(0,3)内,当直线y=-a 与g (x )的图象有交点时,0<-a ≤6e ,但当-a=6e ,即a=-6e 时,f (x )在区间[0,3]上单调递减,所以0<-a<6e ,即-6e <a<0,故实数a 的值可以是-4e ,-1e ,故选BC .6.13解析:由f (x )=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0),得f'(x )=3kx 2+6(k-1)x.因为f (x )的单调递减区间是(0,4),所以f'(x )<0的解集为(0,4),所以x=4是方程3kx 2+6(k-1)x=0的一个根,所以12k+6(k-1)=0,解得k=13.7.(-1,1) 解析:因为f (x )的定义域为R ,且f (-x )=(-x )(2-x -2x )=x (2x -2-x )=f (x ),所以f (x )为偶函数.因为f'(x )=2x -2-x +x ln2(2x +2-x ),当x>0时,f'(x )>0,所以f (x )单调递增.又因为f (0)=0,f (1)=2-12=32,由2f (x )-3<0可得f (x )<f (1),所以|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集为(-1,1).8.C 解析:因为f (0)=0,当x>0时,f (x )=-f (-x ),所以,当x<0时,也有f (x )=-f (-x ),即函数f (x )是奇函数.当x ≤0时,f (x )=e x -x-1,则f'(x )=e x -1≤0,f (x )单调递减,所以奇函数f (x )在R 上是减函数.又f (-1)=1e ,所以f (1)=-f (-1)=-1e,所以f (ln x )>-1e即为f (ln x )>f (1),所以ln x<1,得0<x<e . 9.A 解析:不妨设x 1<x 2,由f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>-1可得f (x 2)+x 2>f (x 1)+x 1,可知函数f (x )+x 在区间(0,2]上单调递增,则导函数f'(x )+1≥0在区间(0,2]上恒成立,由f'(x )+1=1+1x −a(x+1)2≥0,可得a ≤(x+1)3x .令v (x )=(x+1)3x ,x ∈(0,2],则v'(x )=(x+1)2(2x -1)x 2,令v'(x )=0,得x=12.当x ∈0,12时,v'(x )<0;当x ∈12,2时,v'(x )>0,所以函数v (x )在区间0,12内单调递减,在区间12,2上单调递增,所以v (x )≥v 12=274,即a ≤274.故选A .10.(2 022,2 024) 解析:函数f (x )的定义域为(0,+∞),由xf'(x )-f (x )<0,得f (x )x'=xf '(x )-f (x )x 2<0. 设F (x )=f (x )x,x ∈(0,+∞),则F'(x )<0,所以函数F (x )在区间(0,+∞)上单调递减.又2f (m-2022)>(m-2022)f (2), 所以m-2022>0,且f (m -2022)m -2022>f (2)2, 所以0<m-2022<2,解得2022<m<2024,即m 的取值范围为(2022,2024).11.D 解析:因为f (x 1)-f (x 2)g (x 1)-g (x 2)>0,所以f (x 1)-f (x 2)与g (x 1)-g (x 2)同号,因此f (x )与g (x )的单调性相同.因为f'(x )=e x +e -x >0在R 上恒成立,所以函数f (x )在R 上单调递增,因此g (x )也在R 上单调递增,而g'(x )=cos x+12x 2-a ,所以cos x+12x 2-a ≥0恒成立,即a ≤cos x+12x 2恒成立.令h (x )=cos x+12x 2,则h'(x )=x-sin x.设m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,所以函数m(x)单调递增.又因为m(0)=0,所以当x<0x2时,m(x)<0,即h'(x)<0,h(x)单调递减;当x>0时,m(x)>0,即h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)=cos x+12的最小值为h(0)=1,因此a≤1.故选D.12.{a|1<a<2}解析:因为函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)=2sin(-x)+e x-e-x=-2sin x-e-x+e x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.f'(x)=2cos x-e-x-e x=2cos x-(e-x+e x),因为e-x+e x≥2√e-x·e x=2,当且仅当e-x=e x,即x=0时,等号成立,所以f'(x)≤0,所以f(x)在R上是减函数.又因为f(a2-a+1)+f(-2a+1)>0,即f(a2-a+1)>-f(-2a+1),即f(a2-a+1)>f(2a-1),所以a2-a+1<2a-1,即a2-3a+2<0,解得1<a<2,所以不等式的解集为{a|1<a<2}.。
江苏省高考数学二轮复习第16讲利用导数研究函数的单调性极值与最值课件 (1)
题型一
导数与函数的单调性
例1 (2018盐城高三模拟)若对任意实数k,b都有函数y=f(x)+kx+b的图象与直 线y=kx+b相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)=aex-x-pa,a,p∈R.
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)已知函数g(x)为“恒切函数”. ①求实数p的取值范围;
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
1 所以当x∈(0,+∞)时, -ax-2<0有解, x 1 2 即存在x∈(0,+∞),使得a> . 2 - x x 1 2 设G(x)= - (x∈(0,+∞)),所以只要a>G(x)min即可. x2 x
1 -1,所以当x∈(0,+∞)时,G(x) =-1, 而G(x)= min 1 x
x g'(x) g(x) (-∞,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,+∞) ↘
1 1 故g(x)max=g(1)= ,所以b> . e e
( x 1)(ae x x) 1 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为f '(x)= ,当a= 时, f '(x)= 2 x e ( x 1)(e x1 x) 2 , x 1 x x-1 由(1)知 ≤ , 即 e -x≥0,当且仅当x=1时取等号, x e e
1 1 2 1 ( x0 1) + =- x0(x0+2)=- , 4 4 4 1 3 3 3 3 2 1 2, 上递增,r(-2)=0,r = 函数r(x)=- (x+1) + 在 ,故0<m< .综上所 4 4 16 2 2 16 3 述,0≤m< . 16
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第16 课时 利用导数研究函数的性质
编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾
1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件．
2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ．
3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ．
4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论．
二、基础训练
1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x
在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．
2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．
3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是__________．
4． 已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3
处取得极值，则a 的值为________．
5． 函数f (x )＝12
x 2－ln x 在[1，e]上的最大值为________．
班级_________
学号_________
姓名_________
第二部分 探究案
探究一 利用导数求函数的单调区间
问题1 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.
(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．
探究二 已知单调区间求参数范围
问题2 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调增区间；
(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．
探究三 函数的极值、最值应用问题
问题3 设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .
(1)当a ＝－103
时，讨论函数f (x )的单调性； (2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；
(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在[－1,0]上恒成立，求b 的取值范围．
探究四导数应用
问题3已知f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最小值和最大值．
第三部分训练案见附页。