无穷级数单元测试题
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第十二章 无穷级数单元测试题
一、判断题
1、。收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ）
2、若正项级数∑∞=1
n n
u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。 （ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。1lim 1>=+∞→r u u n
n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n
n n v u ∑∞
=1绝对收敛。 （ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1
-∑∞
=在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（ ） 6、已知n
n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。 （ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n
n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞
=+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。 （ ）
8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数
...!
2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。 （ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。 （ ）
10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则
必有)sin cos (2)(1
0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。 （ ） 二、选择题
1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞
=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n
2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞
=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ．
3、判断∑∞=+11
11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ）
A 因为 01
1>+n ，所以此级数收敛
B 因为01lim 11=+∞
→n n n ，所以此级数收敛 C 因为
n
n n 111
1>+，所以此级数发散。 D 以上说法均不对。
4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n
n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n n
n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞
=--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ D 7
6、 级数∑∞
=-1)1(1n n x x n 的和函数为 （ ） A x x ---)1ln( B ln(2-x) C lnx D 以上都不对
7、2
41x x -展成x 的幂级数是（ ） Ａ ∑∞=12n n x
Ｂ ∑∞=-12)1(n n n x C ∑∞=22n n x D ∑∞
=-22)1(n n n x 8、)(|sin |)(ππ≤≤-=x x x f 的傅里叶系数n n b a ,满足（ ）
Ａ ,...)2,1(0,...),2,1,0(0=≠==n b n a n n
Ｂ ,...)2,1(0,...),2,1,0(012====-n b k a n k
C ,...)2,1(0,...),2,1,0(0===≠n b n a n n
D 以上结论都不对。
三、填空题
1、∑∞
=--11)1(n n n 的和为 2、n
n n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞
=1在3|| →)(lim 0x f x 4、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππ ππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅里叶级数的和函数为 S(x)，则S(-3)= ，S(12)= ，S(πk )= ，k 为整数。 四、计算题 1、判断下列级数的收敛性 （1）∑∞=--1131arcsin )1(n n n （2）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n n n n (3) )0,(,31211>++++++b a b a b a b a (4) ++++++ n n 134232 2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收 敛区间上的和函数。 （1） ++++7537 53x x x x （2） +⋅+⋅+⋅4332214 32x x x （3） +++139513 9 2x x x 3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径 （1）⎰+x t dt 041 （2）)1ln(2x x ++ （3）x arcsin （4） x e x -3 4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.