无穷级数单元测试题
无穷级数 测试题
1. 填空3分一道（1）若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1 .n n n u v ∞=+∑必（2）若常数项级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim .n n u →∞=2.14分 下列级数中条件收敛的是（ ）绝对收敛的是（）(A)()11112n n n ∞=-+∑ (B)()11n ∞=-∑ (C)()111n n n ∞=-∑ (D)()2111nn n ∞=-∑ (E)()11n n ∞=-∑ （F ）()111n n ∞-=-∑ 下列题10分一道3.判定级数112n n n ∞=⋅∑的敛散性（收敛或者发散）4.判定级数13!n n n n n ∞=⋅∑的敛散性5.判定级数()111001n n n ∞=+∑的敛散性 6.判定级数211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性 7.求幂级数()131nnn n x n ∞=-∑的收敛半径及收敛区间（开） 8. 求幂级数11!n n x n ∞=∑的收敛区间 9.求幂级数112n n nx ∞-=∑的收敛区间及和函数10.将13x +展开成()1x -的幂级数，并求其收敛区间。
知识点归纳：一、正项级数：1.调和级数11n n ∞=∑发散。
2.11p n n∞=∑：当p>1时，收敛，p ≤1时发散（包括一系列等价无穷小） 3.比值审敛法（针对通项里出现了,!n a n ）：1lim n n n u u +→∞的值<1,收敛；>1则发散；等于1，方法用错了，该用第2条。
二.交错级数：()11nn n u ∞=-∑，判定lim 0n n u →∞≠则该级数发散；lim 0n n u →∞=， 1n n u u +≤，则该级数收敛，此时该级数分条件收敛和绝对收敛，就是将该级数加绝对值()111n n n n n u u ∞∞==-=∑∑，去掉麻烦的()1n-，此时判别法回到正项级数判别法：1）如果还收敛的话，则为绝对收敛，如果发散则为条件收敛。
《无穷级数》单元检测参考答案
《无穷级数》单元检测参考答案一 选择题1, （C ） 2, (D) 3, (C) 4, (A) 5, (B)二 填空题1, )3,3(- 2 , ln2 3 , ⎪⎩⎪⎨⎧-=11)(x e x S x 00=≠x x 4 , 0 5, α>35三 （1）当λ≠0，±1，±2，⋯时，0sin )(lim ≠=+∞→λππμλπnn ,级数发散。
（2）当λ=0，±1，±2，⋯时，πμμπλπλ∑∑∞=∞=--=+-11sin )1()1()sin()1(n n nn n n ，μ≠0时，级数收敛，μ=0时，级数收敛于0。
四 设nn nn u )1()1(-+-=，由于11)1(1)1()1(+≥-+=-+-n n n nnn ，所以原级数非绝对收敛。
下面讨论其条件收敛情况：)21121()4151()2131(2n n S n -+++-+-=上式中括号内每项小于0，所以⎨S 2n ⎬单调下降。
又2122121)21221()4161()2141(2->++-=-+++-+->n n n S n ，所以，⎨S 2n ⎬有下界。
故S S n n =∞→2lim。
又S u S S n n n n n =+=+∞→+∞→)(lim lim 22212， 故原级数条件收敛。
五 因为{}0lim,,0≥=∴↓≥∞→a a a a n n n n 。
若0lim ==∞→a a n n ，则∑∞=-1)1(n n n a 收敛，与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾，所以，0lim>=∞→a a n n 。
对∑∞=+1)11(n nn a ，用柯西判别法：111)11(lim <+=+∞→a a n n n n ，所以，级数收敛。
六 由于 f(-x)=f(x),所以)00(='f .又02)0(>=''f ，所以f(x)在x=0取得极小值1，由泰勒公式：)(0)0(!21)0()0()(22x x f f f x f +''+'+=。
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第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
高数各章综合测试题与答案汇编
因为 ,所以 ,
第十一章无穷级数测试题答案与提示
一、
1、A；2、D；3、B；4、C；5、B.
二、
1、1；2、 ；3、 ；4、 ；5、 .
三、
1、答案： .
2、答案：
提示：原式为级数 的和函数在 点的值.
而 ,分别求出 和 的和函数即可.
3、答案：
.
提示:
4、答案：
提示： ，
而
5、答案：
点 到平面 的距离 .
5、答案： .
提示：添加曲面 为平面 上被椭圆 所围的下侧，在 和 所围封闭曲面上用高斯公式.
注意到在 的积分等于 为0.
6、提示：
（1）左边= ，同理，
右边=
（2）由（1）得 = ，而由 和 泰勒展开式知道
，
而 .
第九章重积分测试题
一、选择题
1、若区域 是 平面上以 ， 和 为顶点的三角形区域， 是 在第一象限中的部分，则 ( ).
(A)绝对收敛; (B)条件收敛; (C)发散; (D)收敛性与 有关.
5、设 ，而 ，
其中 ，则 等于( )
(A) (B) (C) (D) .
二、填空题
1、设 ，则 ( )
2、设 的收敛域为 ，则级数 的收敛区间为( )
3、设 ，则以2为周期的傅里叶级数在 处收敛于( )
4、设 的傅里叶级数为
则 ( )
(A) (B) ;
(C) (D) .
二、填空题
1、设 是圆周 ，则 ( )
2、设质点在力 的作用下沿椭圆 的逆时针方向运动一周，则 所做的功等于( )
3、设 是平面 被圆柱面 所截下的部分，则 等于( )
4、设 是球面 的外侧，则 等于( )
第十二章无穷级数自测题(含答案)
第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。
2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。
无穷级数单元测试题
第十二章 无穷级数单元测试题一、判断题1、。
收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u 〔 〕 2、假设正项级数∑∞=1n nu 收敛，那么∑∞=12n n u 也收敛。
〔 〕3、假设正项级数∑∞=1n n u 发散，那么。
1lim 1>=+∞→r u u nn n 〔 〕 4、假设∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，那么n n n v u ∑∞=1绝对收敛。
〔 〕5、假设幂级数nn n x a )23(1-∑∞=在x=0处收敛，那么在x=5处必收敛。
〔 〕 6、nn n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，那么n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。
〔 〕7、nn n x a ∑∞=1和nn n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，那么n n n n x b a ∑∞=+1)(的收敛半径为),min(b a R R R =。
〔 〕8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数...!2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。
〔 〕 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。
〔 〕10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，n a 〔n=0,1,2,...〕, n b 〔n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，那么必有)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。
〔 〕二、选择题1、以下级数中不收敛的是〔 〕A ∑∞=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n nnn2、以下级数中，收敛的是〔 〕A ∑∞=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ．3、判断∑∞=+1111n nn的收敛性，以下说确的是〔 〕A 因为 011>+n，所以此级数收敛 B 因为01lim11=+∞→nn n，所以此级数收敛C 因为nn n1111>+，所以此级数发散。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
(完整版)无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛 （C)绝对收敛 （D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。
（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。
无穷级数练习及答案
第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。
（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。
第十一章 无穷级数 练习题
第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。
（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。
（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。
（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。
（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。
2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。
4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n （B ）∑∞=-1848n n n n （C ）∑∞=+1842n n n n （D ）∑∞=⋅1842n n nn2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。
（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u（C ）∑∞=12n n u (D)∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n nu=2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。
无穷级数单元测试题
第十一章 无穷级数 单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1、级数1(1)(1cos )nn n au n∞==−−∑（常数0a >）．[ ] A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．收敛性与a 无关．2、设0(1,2,3,)n u n ≠=⋅⋅⋅，且lim 1n nnu →∞=，则级数11111(1)(n n n n u u ∞+=+−+∑．[ ] A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．收敛性根据所给条件不能判定． 3、若1(1)nn n a x ∞=−∑在1x =−处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．收敛性不确定． 4、11(1)2n nn a ∞−=−=∑，2115n n a ∞−==∑，则1n n a ∞=∑＝（ ）． A ．3 B ．7 C ．8 D ．9． 5、设10(1,2,3,...)n a n n≤≤=，下列级数中肯定收敛的是（ ）． A ．1nn a∞=∑ B ．1(1)nn n a ∞=−∑ C ．1n ∞=∑D ．21(1)nn n a ∞=−∑．6、设01102()()cos 122212n n x x a f x s x a n x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪−<<⎪⎩∑，()x −∞<<+∞其中n a ＝12()cos (0,1,2,...)0f x n xdx n π=∫，则5(2s −等于（ ）．A ． 12B ． 12−C ． 34D ． 34−．7、级数221(0)nn n xx ∞−=≠∑的收敛域是（ ）． A ． (,1)(1,)−∞−+∞∪ B ． (,1][1,)−∞−+∞∪ C ． (1,0)(0,1)−∪ D ． [1,0)(0,1]−∪． 8、对于级数11(1)n n n u ∞−=−∑，其中0(1,2,)n u n >= ，则下列命题正确的是[ ][A]若11(1)n n n u ∞−=−∑收敛，则11(1)n n n u ∞−=−∑必条件收敛[B]若11(1)n n n u ∞−=−∑收敛，则1n n u ∞=∑必收敛[C]若1nn u∞=∑发散，则11(1)n n n u ∞−=−∑必发散[D]若1nn u∞=∑发散，则11(1)n n n u ∞−=−∑为绝对收敛9、设对任意正整数n 实数0n a >，下列命题中正确的是[ ] [A]若级数1nn a∞=∑收敛，则级数1n ∞=收敛[B]若级数1nn a∞=∑收敛，则级数n ∞=未必收敛[C]若级数1n ∞=收敛，则级数1n n a ∞=∑收敛[D]若级数1n ∞=发散，则级数1n n a ∞=∑未必发散10、若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均发散，则[ ][A]()1nn n ab ∞=+∑发散[B]()1nn n ab ∞=+∑发散 [C]1n nn a b∞=∑发散 [D]()221nn n ab ∞=+∑发散二、填空题（每小题3分，共30分）1、若nn n a x∞=∑的收敛半径是8，则31n n n a x∞+=∑的收敛半径是 ．2、幂函数2112n n nx∞−=∑在其收敛区间内的和函数是 ．3、1(3)3nnn x n ∞=−⋅∑收敛域是 ． 4、若nn n a x∞=∑的收敛半径是3，则1(1)n nn na x ∞+=−∑的收敛区间是 ．5、级数112n n n∞−=∑＝ ． 6、幂函数1211(1)(1(21)n n n x n n ∞−=−+−∑的和函数是 ．7、()f x 的泰勒级数()001()()!n n n f x x x n ∞=−∑在收敛区间内收敛于()f x 的充要条件是 ．8、()f x 是周期为2的周期函数，在[1,1]−上定义为22,[1,0](),[0,1)f x x −⎧=⎨⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ．9、已知幂级数11(2n n n a x ∞=−∑在2x =处发散，在1x =−处收敛，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域是 10、函数21()23f x x x =−−展开为x 的幂级数三、 简答题（每小题8分，共40分）1、判定下列级数的收敛性：（１）44441231!2!3!!n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅；（２）12sin 3n n n π∞=∑； （３）1111(0,0)23a b a b a b a b na b+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅>>++++．2、求幂级数nn ∞=的收敛域． 3、求级数35213521n x x x x n −+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅−的和函数．（用逐项求导或逐项积分的方法）4、求幂级数21!nn n n ∞=∑的和函数．5、求幂级数1ln (1)nnn n x n∞=−∑的收敛域．当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明．。
高等数学无穷级数章节练习卷
一、选择题1．设级数∑∞=-1)3(n n n x a 在6=x 条件收敛，在5-=x （ C ）。
A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．敛2．当)(1n n n v u +∑∞=收敛时，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v （ ）。
A ．可能都发散B ．必定都收敛C ．必定都发散D ．必定都绝对收敛 3．若nn n x a )1(0-∑∞=在2-=x 处收敛，则n n n x a )1(0-∑∞=在3=x 处（ ）。
A ．一定发散B ．可能收敛可能发散C ．一定绝对收敛D ．一定条件收敛 4．级数11sin n n n∞=∑（ C ）A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判别 5．当k >时，级数21(1)nn k n n ∞=+-∑（ B ）A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 无法判定二、填空题1． 设级数nn n x a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+021，若31lim 1=+∞→n n n a a ，则级数收敛半径是_____23_______。
2． 将xe 展开成1-x 的泰勒级数是0(1)!n n ex n ∞=-∑。
3．()nnnn x n !3110⋅-∑∞=的收敛区间是(,)-∞+∞。
4．幂级数nn nx n ∑∞=131的收敛域是 。
[3,3)-5．级数=+-+-+-!111!91!71!51!3111sin6．2322222!3!!nn +++++ 的和为。
21e -三、计算1. 判断级数是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛（交错级数）（1）10(1)tan2nn n n π∞+=-∑（2）1(1)ln(1n n ∞=-+∑ （3）11(1)(1)nnn n e∞=--∑（4）1n n +∞=（5） 11(1)2n nn n -∞=-∑ 答案：（1）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）发散；（4）条件收敛；（5）绝对收敛。
2. 求标准幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径、收敛域。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数部分练习题
无穷级数部分练习题1 判断下列级数的敛散性（1）∑∞=+1)1(3n nnn n ；（2）∑∞=+-11)6541(n n n n ；（3）∑∞=-+1)1(n n n ； （4）∑∞=+-1113n n n ；（5）∑∞=+-134)1(n n n ；（6）...)511(...)5131()5121()511(32+++++++++n n （7）∑∞=+1)1(1n n n ；（8）∑∞=14sin n nπ；（9）∑∞=+1)11ln(n n n ；（10）∑∞=11n n n ；（11）∑⎰∞=+11041n n dx x x ；（12）∑∞=-+13n n nn ； （13）∑∞=14!n n n ；（14）∑∞=++1)12()1(n n n n n ；（15）∑∞=-13sin )1(n n nn α （16）∑∞=131sin 2n n n；（17）∑∞=--121!cos )1(n n n n ；（18）∑∞=⋅+12222n n n n n2 判断下列命题是否正确 （1）如果级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，则级数∑∞=1n nnv u 一定发散. （2）如果级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n nu a)0(≠a 发散. （3）若级数∑∞=1n na)0(≥n a ，∑∞=1n n b )0(≥n b 均收敛，则∑∞=1n n n v u 收敛；（4）如果级数∑∞=1n nu中，0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.（5）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nu一定发散.（6）若幂级数∑∞=0n nnx a在3=x 处收敛，则幂级数∑∞=0n n n x a 在2-=x 处收敛.（7）若∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=02n n n x a 的收敛半径为R .3若级数∑∞=1n na)0(≥n a ，∑∞=1n n b )0(≥n b 均收敛，判断下列级数的敛散性.（1）∑∞=123n n nb （2）∑∞=12n na（3）∑∞=+12)(n n nb a4设21=a ，)1(211nn n a a a +=+ ,...)2,1(=n （1）证明n n a ∞→lim 存在；（2）求n n a ∞→lim ；（3）证明级数∑∞=+-11)1(n n na a 收敛. 5判断下列交错级数的敛散性（1）∑∞=+-1231)1(n nn （2）∑∞=-12sin )1(n n n （3）∑∞=+-114)1(n nn n6判断下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛. （1）∑∞=+-1121)1(n nn （2）∑∞=-133)1(n n nn7求下列幂级数的收敛半径和收敛域.（1）∑∞=-1!)1(n n nn x （2）∑∞=123n nn x n （3）∑∞=⋅1241n nnx n （4）∑∞=⋅-13)3(n n n n x 8利用幂级数和函数的性质，计算下列幂级数的和函数.（1）∑∞=++111n n n x （2）∑∞=--12)1(n n x n n9（1）求级数∑∞=-01)21(n n n 的和. （2）求级数∑∞=02)3(ln n nn的和. 10将下列函数展开为关于x 的幂级数.（1）212x x - （2）x3 （3）)1(x e dx d x -11设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤≤-=ππx x x x f 0,00,)( 将)(x f 展开成傅里叶级数.12将函数23)(x x f =，)(ππ<≤-x 展开成傅里叶级数.微分方程及向量代数部分练习题1 求解下列微分方程 （1）x y dye dx-=； （2）222dy xy y dx x xy-=-； （3）cos xy y x '+=； （4）2xy y e '-= （5）8150y y y '''++= （6）90y y ''+= （7）243xy y y xe '''-+= （8）2448x y y y e-'''++=2 设函数()f x 在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f x ef dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f t 3 已知两点(4,0,5)A ，(7,1,3)B ，求与AB 方向相同的单位向量.4已知两点1M ，2(1,3,0)M ，求12M M 的模，方向余弦和方向角. 5 求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b =上的投影.6 质点M 在力234F i j k =-+作用下，由点(1,1,2)A -沿直线移动到点(3,6,8)B ，求力F 所作的功.7 设向量(3,2,1)a =-，(4,1,2)b =-，计算a b ⨯.。
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第十二章 无穷级数单元测试题
一、判断题
1、。
收敛，则3)3(lim 21=+-∞→∞=∑n n n n n u u u （ ）
2、若正项级数∑∞=1
n n
u 收敛，则∑∞=12n n u 也收敛。
（ ） 3、若正项级数∑∞=1n n u 发散，则。
1lim 1>=+∞→r u u n
n n （ ） 4、若∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 都收敛，则n
n n v u ∑∞
=1绝对收敛。
（ ） 5、若幂级数n n n x a )23(1
-∑∞
=在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。
（ ） 6、已知n
n n x a ∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。
（ ） 7、n n n x a ∑∞=1和n
n n x b ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n n x b a ∑∞
=+1)(的收敛半径为 ),min(b a R R R =。
（ ）
8、函数f(x)在x=0处的泰勒级数
...!
2)0(!1)0()0(2+''+'+x f x f f 必收敛于f(x)。
（ ） 9、f(x)的傅里叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后， 令n=0得0a 。
（ ）
10、f(x)是以π2为周期的函数，并满足狄利克雷条件，
n a （n=0,1,2,...）, n b （n=1,2,...)是f(x)的傅里叶系数，则
必有)sin cos (2)(1
0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞=。
（ ） 二、选择题
1、下列级数中不收敛的是（ ） A ∑∞
=+1)11ln(n n B ∑∞=131n n C ∑∞=+1)2(1n n n D ∑∞=-+14)1(3n n n n
2、下列级数中，收敛的是（ ） A ∑∞
=--11)1(n n n ； B ∑∞=+-1232)1(n n n n ； C ∑∞=+115n n ； D ∑∞=-+1231n n n ．
3、判断∑∞=+11
11n n n 的收敛性，下列说法正确的是（ ）
A 因为 01
1>+n ，所以此级数收敛
B 因为01lim 11=+∞
→n n n ，所以此级数收敛 C 因为
n
n n 111
1>+，所以此级数发散。
D 以上说法均不对。
4、下列级数中，绝对收敛的是（ ） A ∑∞=-1)1(n n
n ； B ∑∞=++12123n n n ； C ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n n
n ； D ∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． 5、若级数∑∞
=--112)2(n n n a x 的收敛域为[3,4),则常数a=（ ）
Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ D 7
6、 级数∑∞
=-1)1(1n n x x n 的和函数为 （ ） A x x ---)1ln( B ln(2-x) C lnx D 以上都不对
7、2
41x x -展成x 的幂级数是（ ） Ａ ∑∞=12n n x
Ｂ ∑∞=-12)1(n n n x C ∑∞=22n n x D ∑∞
=-22)1(n n n x 8、)(|sin |)(ππ≤≤-=x x x f 的傅里叶系数n n b a ,满足（ ）
Ａ ,...)2,1(0,...),2,1,0(0=≠==n b n a n n
Ｂ ,...)2,1(0,...),2,1,0(012====-n b k a n k
C ,...)2,1(0,...),2,1,0(0===≠n b n a n n
D 以上结论都不对。
三、填空题
1、∑∞
=--11)1(n n n 的和为 2、n
n n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞
=1在3||<x 时 3、f(x)满足收敛的条件，其傅里叶级数的和函数为S(x)，已知 f(x)在x=0处左连续，且f(0)=-1，S(0)=2，则=+
→)(lim 0x f x 4、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=ππ
ππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅里叶级数的和函数为
S(x)，则S(-3)= ，S(12)= ，S(πk )= ，k 为整数。
四、计算题
1、判断下列级数的收敛性
（1）∑∞=--1131arcsin )1(n n n （2）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n n
n n
(3)
)0,(,31211>++++++b a b
a b a b a
(4) ++++++
n n 134232
2、利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收
敛区间上的和函数。
（1） ++++7537
53x x x x
（2） +⋅+⋅+⋅4332214
32x x x
（3） +++139513
9
2x x x
3、将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径
（1）⎰+x t dt
041 （2）)1ln(2x x ++
（3）x arcsin （4） x e x -3
4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.。