空间点线面的位置关系教案教学文案
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案、导学案、课后作业
《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》教案【教材分析】空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.【教学目标与核心素养】课程目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．数学学科素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.【教学重点和难点】重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.【教学过程】一、情景导入我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方形，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本128-131页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线？2、空间两条直线的位置关系？3、直线与平面的位置关系？4、平面与平面的位置关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:2.空间两条直线的位置关系3.直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内有无数个公共的直线a与平面α相交有且只有一个公共的位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点a⊂αa∩α=A直线a与平面α平行无公共点4.平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行无公共点两平面相交有无数个公共点,这些点在一条直线上四、典例分析、举一反三题型一直线与直线的位置关系例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B.【答案】见解析.【解析】(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.解题技巧（判定两直线异面的常用方法）(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.跟踪训练一a∥αα∥βα∩β=l1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与棱AB 异面且垂直的棱有( ) (A)8条 (B)6条 (C)4条 (D)3条 【答案】C【解析】如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB 平行,有四条与AB 相交,还剩四条,这四条是CC 1,DD 1,A 1D 1,B 1C 1都是与AB 异面且垂直.故选C. 题型二 直线与平面的位置关系例2如图所示,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,试判定BC 1与六个面的位置关系.【答案】见解析．【解析】因为B ∈面BCC 1B 1,C 1∈面BCC 1B 1,所以BC 1⊂面BCC 1B 1.又因为BC 1与面ADD 1A 1无公共点,所以BC 1∥面ADD 1A 1.因为C 1∈面CDD 1C 1,B ∉面CDD 1C 1,所以BC 1与面CDD 1C 1相交,同理BC 1与面ABB 1A 相交,BC 1与面ABCD 相交,BC 1与面A 1B 1C 1D 1相交.解题技巧 (直线与平面位置关系的解题思路)解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.跟踪训练二 1、下列说法中,正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行③若直线a在平面α外,则a∥α.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.题型三平面与平面的位置关系例3 α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β【答案】 D【解析】对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.跟踪训练三1、平面α与平面β平行且a⊂α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】C【解析】因为α∥β,a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本131页练习，131页习题8.5的剩余题.【教学反思】就本节课位置关系学生容易理解，但在做题时容易进入误区，例：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行. 所以要求学生做题时要将其所有情况考虑全面.《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案【学习目标】知识目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．核心素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.【学习重点】：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；【学习难点】：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本128-131页，填写。
教案(空间中点、线、面的位置关系)
空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示 平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有 条； （2）与直线B A 1相交的棱有 条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是 ； （4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离； （2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。
初中数学空间理论教案
初中数学空间理论教案1. 让学生掌握空间中点、线、面的基本概念和性质。
2. 培养学生识别和运用点、线、面解决实际问题的能力。
3. 培养学生空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 空间中点、线、面的定义及性质。
2. 点、线、面的位置关系。
3. 点、线、面在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：空间中点、线、面的基本概念和性质，点、线、面的位置关系。
2. 难点：点、线、面的位置关系的运用，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解点、线、面的定义及性质。
2. 采用案例分析法，分析点、线、面的位置关系。
3. 采用实践法，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识空间中的点、线、面，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解点、线、面的定义及性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 分析：分析点、线、面的位置关系，引导学生运用所学知识分析实际问题。
4. 实践：布置练习题，让学生通过实际问题运用点、线、面的知识，巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点，布置课后作业。
六、教学评价1. 课后作业：检查学生对点、线、面知识的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在实际问题中运用点、线、面的能力。
3. 学生反馈：了解学生对教学内容的满意度和建议，不断改进教学方法。
七、教学反思在教学过程中，要注意引导学生从生活中的实例认识点、线、面，培养学生的空间想象力。
同时，通过实际问题，让学生学会运用点、线、面的知识解决实际问题，提高学生的抽象思维能力。
在教学方法上，要注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系教案一、教学目标：1. 让学生理解点、线、面的基本概念。
2. 让学生掌握点、线、面之间的位置关系。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：重点：点、线、面之间的位置关系。
难点：如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究点、线、面的位置关系。
2. 利用多媒体课件，直观展示点、线、面的位置关系。
3. 开展小组讨论，培养学生团队合作精神。
四、教学准备：1. 多媒体课件。
2. 点、线、面模型。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入：通过展示现实生活中的点、线、面实例，引导学生关注空间点线面的位置关系。
2. 点、线、面的概念讲解：讲解点、线、面的基本概念，让学生明确它们之间的关系。
3. 点、线、面的位置关系探究：引导学生通过观察、操作、思考，发现点、线、面之间的位置关系。
4. 案例分析：分析现实生活中点、线、面位置关系的应用，让学生体会知识的价值。
5. 小组讨论：分组讨论如何运用点、线、面的位置关系解决实际问题。
6. 练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 评价目标：通过课堂表现、练习题和课后作业，评价学生对空间点线面位置关系的理解和应用能力。
2. 评价方法：课堂参与度：观察学生在课堂讨论和提问中的活跃程度和思考深度。
练习正确率：统计学生练习题的正确率，分析学生的掌握情况。
作业完成质量：评估学生作业的完成质量，包括解题思路的清晰性和答案的准确性。
3. 评价内容：学生能否准确描述点、线、面的概念及其特征。
学生是否能理解并应用点、线、面的位置关系解决简单问题。
学生是否能在实际情境中识别和运用点、线、面的位置关系。
七、教学拓展：1. 拓展活动：组织学生进行空间几何模型制作，如点、线、面的小模型，让学生通过动手操作进一步理解空间关系。
空间点线面的位置关系教案
空间点线面的位置关系教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： 1. 掌握空间中点、线、面的概念； 2. 理解点线面之间的位置关系； 3. 运用点线面的位置关系解决问题。
二、教学重难点1.重点：点线面的概念与辨析；2.难点：点线面之间的位置关系的判断及应用。
三、教学准备1.教学课件；2.白板、彩色粉笔；3.学生练习用纸。
四、教学过程步骤一：导入1.引入话题：让学生想象自己置身于一个空旷的大地，有一些身体上的特征点，如：头顶、鼻尖、脚尖等；2.提问：学生是否了解这些点在空间中的位置关系？步骤二：点、线、面的概念1.定义点：点是一个没有长度、宽度、高度，只有位置坐标的对象；2.定义线：线是由无数个点连接起来的；3.定义面：面是由无数个线连接起来的，有长度、宽度，但没有厚度。
步骤三：点线面的位置关系1.学习点与点的位置关系：–重合：两个点的位置坐标完全相同；–不重合：两个点的位置坐标不完全相同。
2.学习点与直线的位置关系：–在直线上：点在直线上；–不在直线上：点与直线没有交点。
3.学习点与平面的位置关系：–在平面内：点在平面内；–不在平面内：点与平面没有交点。
4.学习线与线的位置关系：–相交：两条线在某一点上有交集；–平行：两条线没有交点，永远不会相交；–重合：两条线在每个点上都重合。
5.学习线与平面的位置关系：–相交：线与平面有交集；–平行：线与平面没有交点，永远不会相交；–在平面内：线所在的点都在平面内。
6.学习面与面的位置关系：–相交：两个面有交集；–平行：两个面没有交集，永远不会相交；–重合：两个面在每个点上都重合。
步骤四：练习与讨论1.发放练习用纸，让学生尝试判断不同点线面之间的位置关系；2.学生互相交流答案，并进行讨论、核对。
步骤五：拓展应用1.引导学生思考如何运用点线面的位置关系解决问题；2.提供实际问题，鼓励学生利用所学知识进行解答。
五、课堂作业1.完成课堂练习；2.思考并撰写一篇关于点线面位置关系的小结，字数不少于200字。
高考数学第七章立体几何第三节空间点线面之间的位置关系教案高三全册数学教案
第三节 空间点、线、面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．[小题体验]1．(2019·湖州模拟)已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α解析：选A 由l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；在C中，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β相交，故C错误；在D中，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故D错误．故选A.2．(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.答案：③④1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．3．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．[小题纠偏]1．(2018·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面 D．相交、平行或异面解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．2．(2019·杭州诊断)设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选A ①可以根据直线与平面垂直的性质定理得出；②可以根据三垂线定理的逆定理得出；对于③，n可以在平面α内，故③不正确；对于④，反例：正方体共顶点的三个平面两两垂直，故④错误．故选A.3．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D ①中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；④中这三个公共点可以在这两个平面的交线上．故错误的是①③④，正确的是②.所以正确命题的个数为1.考点一平面的基本性质及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，A1B，CD1.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．[由题悟法]1．点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．[即时应用]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[由题悟法][即时应用]1．上面例题中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB 是异面直线的有________条．解析：与AB异面的有4条：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．答案：②④考点三异面直线所成的角重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C 法一：如图，将长方体ABCD A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，所以∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋32＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55， 所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 法二：以A 1为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，则A (0,0，3)，D 1(0,1,0)，D (0,1，3)，B 1(1,0,0)， 所以AD 1＝(0,1，－3)，DB 1＝(1，－1，－3)，所以cos 〈AD 1，DB 1〉＝AD 1·DB 1|AD 1|·|DB 1|＝0×1＋1×－1＋－3×－32×5＝55.[由题悟法]1．用平移法求异面直线所成的角的3步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．有关平移的3种技巧求异面直线所成的角的方法为平移法，平移的方法一般有3种类型：(1)利用图形中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．[即时应用]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．242解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2.在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78.答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2 AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75° D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C ⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ， 所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.答案：29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角．同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值．解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22，又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角，即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26，∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴VA 1ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863. (2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)．∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋262＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414， 即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小．解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ，∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3，∴PA ＝ 32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC .由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点，∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角．∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ，又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB . ∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°.在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°.故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，32， 设异面直线PB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22， ∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q.因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ，所以平面PB Q ∥平面AEF .又因为B Q ⊂平面PB Q ，所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
【教案】空间点、直线、平面之间的位置关系+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
ab 两直线平行a b两直线相交P∥a ba∩b=P两直线异面AA D BB 1C 1D 18.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学情分析上一节课我们认识了点、线、面的位置关系及符号语言的书写，三个基本事实和三个推论，本节通过对生活中实例的观察，从而引出点、线、面的位置关系研究.学习目标1、了解空间两条直线间的位置关系、空间直线与平面的位置关系、空间平面与平面的位置关系.2、借助几何模型辅助，培养直观想象的核心素养.教学重难点重点：1、了解直线与平面的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示 2、理解异面直线的定义，会判断异面直线，会用平面衬托来画异面直线3、几何模型思想的运用与强化，借助几何模型辅助. 难点：理解异面直线的定义，会判断异面直线，会用平面衬托来画异面直线.教学过程一、空间中直线与直线的位置关系问题1 两支笔所在的直线具有哪些位置关系？设计意图：抛砖引玉，通过让学生思考两支笔所在的直线具有哪些位置关系，初步感受异面直线，其次让学生观察生活及周围的实物，在现实生活中寻找异面直线的例子，更加真实、直观地感受异面直线.思考1 两条异面直线具有什么特征？设计意图：有了生活实例的支撑，可以让学生自己总结异面直线的特征，再次深入感知异面直线.判断1 异面直线是指“空间中两条没有公共点的直线”设计意图：可能会有学生从公共点角度入手，设计判断1是让学生判断2 异面直线是指“不在同一平面内的两条直线”设计意图：判断1学生应该能举出反例，判断2学生估计会遇到难题，多数学生应该认为是对的，对此我设计了一个环节，准备了一个例子，是长方体模型，探究直线AC 和直线11A C 的位置关系. 借助这个例子让学生意识到“不在同一平面内”和“不同在任何一个平面”是不一样的.AA DB B 111AA D BB 1C 1D 1DB 1αβb aDBαab DBC 1αaA 1DB B 111思考2 如何理解“不同在任何一个平面内”？设计意图：“不同在任何一个平面”即“不具备确定平面的条件”，而我们又知道“两条平行直线、两条相交直线可以确定唯一平面”，那么异面直线就是 “两条既不相交，也不平行的直线”. 思考3 如何判断两条直线是异面直线？设计意图：举了一个例子，在正方体1111ABCD A B C D -中，寻找与1A A 异面的直线，想通过这个例子让学生归纳出判断异面直线的方法，定义法应该没问题，不过用定义法判断比较困难，不易操作，那么就引导学生给出第二种方法“排除法”，排除法也有不足之处. 思考4 如何画两条异面直线？设计意图：通过之前的3个思考学生应该对异面直线有个更深的感知，设计思考4有2个目的，①学生通过画异面直线感受如何将三维的图形在二维平面作出，再次感知异面直线的本质.②给出判断异面直线的其他方法.例子2 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线的位置关系：（1）直线BC 与直线1D D ；（2）直线AC 与直线1A D ；（3）直线BD 与直线11D C 设计意图：设计例子2是为了给出异面直线的画法，通过借助长方体模型给出三种画法.例题1 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线的位置关系：（1）直线1A B 与直线11B D ；（2）直线1A B 与直线1B C ；（3）直线1A B 与直线1C D . 设计意图：学生通过探究异面直线的画法归纳出判断异面直线的第三种方法，利用该方法可以很快地给出异面直线的判断.练习1 若直线a ，b 是异面直线，直线b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系是什么？设计意图：学生在完成练习1的时候，刚开始凭空间想象应该会很抽象的，此时老师提示可以借助几何模型，学生的思路应该会打开. 在此也让学生更加深刻地意识到几何模型思想的重要性.几何模型思想：无论在探究异面直线的特征、归纳异面直线的判断、总结异面直线的画法，还是在例题讲解和练习巩固，都用到了模型思想，以此将模型思想渗透在课堂，进而在学生的思维中形成沉淀.A DB B 1C 1D 1ααα思考5可以从哪些角度刻画空间中两条直线的位置关系？设计意图：想让学生从不同的角度刻画空间中两条直线的位置关系.二、空间中直线与平面的位置关系问题2 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系？设计意图：借助生活中的实例让学生感知直线与平面的位置关系，可以让学生上黑板演示.文字语言图形语言符号语言设计意图：分别从文字语言、图形语言、符号语言认识空中直线与平面的位置关系.思考6 可以从哪些角度刻画直线与平面的位置关系？设计意图：想让学生从不同的角度刻画空间中直线与平面的位置关系. 可以从三个方面：平行关系、交点个数、是否在平面内.例题2 若直线a 上有一点P 在平面α外，则下列结论正确的是( ) A. 直线上所有的点都在平面外 B. 直线上有无数多个点都在平面外 C. 直线上有无数多个点都在平面内 D. 直线上至少有一个点在平面内设计意图：直线在平面外，学生可能会理解为直线与平面平行，直线在平面外包含两种情形：直线与平面平行和直线与平面相交.练习2 下列命题中，正确的是( )A. 如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行B. 如果a ，b 是两条平行直线，那么a 平行于b 所在的任何一个平面C. 如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥bD. 如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b 在α外，那么b ∥α设计意图：借助几何模型，练习2就变得游刃有余，以此让学生体会几何模型思想的重要性.利用几何模型，可以通过特例排除错误选项.A DBB 1C 1D 1三、空间中平面与平面的位置关系问题3 将一本书随意上下、左右移动和翻转，书本所在平面和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 设计意图：借助生活中的实例让学生感知空间中平面与平面的位置关系，可以让学生上黑板演示. 然后利用三种语言进行归纳.文字语言图形语言符号语言例题3 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是什么？设计意图：借助几何模型，学生很快会找到思路，以此让学生体会几何模型思想的重要性.练习3 已知平面α，β满足α∥β，且,a b ⊂α⊂β，判断直线a ，b 的位置关系，并说明理由. 设计意图：借助几何模型即可解答，其次想借助练习3为之后的课堂小结做铺垫.课堂小结（1）这节课我们运用到了哪些数学思想和方法？ 设计意图：分类讨论、数形结合、几何模型（2）这节课我们分别研究了“线线”“线面”“面面”的位置关系，那么这三者之间是否有联系呢？设计意图：让学生明白一点线线、线面、面面三者是一个整体，学习立体几何，应该具备一种整体观念，以此打开数学的格局.αβlαβ。
空间点、直线、平面的位置关系教案
空间点、直线、平面的位置关系一、教学目标：1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系.3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系．4.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面之间的位置关系.5.让学生在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，提升学生的数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理能力。
二、教学重难点与课时安排教学难点：空间中直线、平面之间的位置关系教学重点：空间中直线、平面之间的位置关系的分类与图形表示课时安排：1课时三、教学设计【生活情景导入】1..黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？【引入新课】知识点一空间直线与直线的位置关系在平面上两条直线有两种位置关系：平行和相交，在空间中两条直线有哪些位置关系呢？（引入.异面直线的定义）知识梳理(1)异面直线①定义：不同在同一的两条直线．②异面直线的画法：为了表示它们不共面的特点，作图时，用一个或两个平面衬托．(2)空间两条直线的位置关系：①相交直线——同一平面内，一个公共点；②平行直线——同一平面内，无公共点；③异面直线——不同在任何一个平面内，无公共点知识点二空间中直线与平面的位置关系通过基本事实，我们知道如果一条直线上有两点在平面内，那么这条直线在平面内．如果一条直线和平面只有一个公共点、没有公共点，它们又是什么位置关系呢？知识梳理(1)直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内：有无数个公共点，记作a⊂α；②直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作a∩α=A；③直线与平面平行：无公共点，记作a∥α当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．(2)直线与平面的三种位置关系的画法：知识点三空间中平面与平面的位置关系观察正方体的相对的两个平面，它们没有公共点，它们是什么关系呢？再观察相邻的两个平面它们有一条公共的直线，它们又是什么关系呢？思考生活中的两个平面还有哪些位置关系呢？知识梳理(1)平面与平面的位置关系有两种：①两个平面平行：没有公共点，记作α∥β；②两个平面相交：有一条公共直线，记作α∩β=l.(2)平行平面的画法：使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图【巩固练习】1.选择题.(1)如果两条直线a与b没有公共点，则直线a与b( )A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则直线a与b( ) A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线(3)设直线a，b分别是长方体的相对的两个面的对角线所在的直线，则直线a与b( )A．平行B．相交C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线2.若平面α∥β，直线a∥α，则直线a与平面β的位置关系是( )A．直线a在平面β内B．直线a与平面β相交C．直线a与平面β平行D．直线a在平面β内或直线a与平面β平行3.下列说法正确的有( )①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④如果两平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也和这个平面平行. A．0个B．1个C．2个D．3个四、课堂小结1.空间两条直线间的位置关系:①相交直线——同一平面内，一个公共点；②平行直线——同一平面内，无公共点；③异面直线——不同在任何一个平面内，无公共点2.直线与平面之间的三种位置关系:①直线在平面内：有无数个公共点，记作a⊂α；②直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作a∩α=A；③直线与平面平行：无公共点，记作a∥α3.平面与平面之间的两种位置关系:①两个平面平行：没有公共点，记作α∥β；②两个平面相交：有一条公共直线，记作α∩β＝l.四、课后作业五、教学反思。
必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案
必修二空间点直线平面之间的位置关系教案一、教学目标：1.了解空间中点、直线、平面的基本概念，并能够准确描述它们之间的位置关系。
2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的几何性质。
3.应用所学知识解决实际问题。
二、教学重点：1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的基本属性。
2.能够应用所学知识解决实际问题。
三、教学内容：1.空间中点、直线、平面的概念及其表示方法。
2.直线与直线的位置关系：相交、平行。
3.直线与平面的位置关系：相交于一点、平行于平面。
4.平面与平面的位置关系：相交、平行。
四、教学过程：步骤一：导入新知识（15分钟）1.复习并巩固二维平面几何中的直线和平行线的概念，积累一些直线和平行线的性质；2.通过一些常见的平行线的例子，引出直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的位置关系。
步骤二：点、直线、平面的概念及表示方法（10分钟）1.引导学生回顾点、直线、平面的概念和表示方法，使用示意图加深理解；2.提问引导学生思考：点确定直线，直线确定平面，点和平面之间是否必然相交？步骤三：直线与直线的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与直线相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与直线平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤四：直线与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与平面相交于一点时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤五：平面与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察平面与平面相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察平面与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤六：综合应用（15分钟）1.提供一些综合性问题，让学生应用所学知识解决问题；2.引导学生分析问题，并给出解决思路；3.让学生个别或小组合作展开思考，解决问题；4.客观给予学生合理的评价和鼓励。
空间点线面之间的位置关系教案
空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围： .3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意事项1异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2. (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案D【变式1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③题型二异面直线【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．答案：C【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、DF四点共面．1、(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．【变式4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD 的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点证明∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案B巩固提高1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC 是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．答案：B4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB 与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．答案：①答案：90°。
《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计
空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容和内容解析1．内容空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系及其符号表示．2．内容解析在前面的学习中，学生掌握了空间中点线面之间的3条基本事实，和三个推论．学生可借助这些结论和生活实际对空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的关系进行总结和概括．这些感性认识为后面章节研究它们关系的判定和性质奠定了初步的基础．空间中，点、直线、平面这三类对象之间有6类关系，其中点与点、点与线、点与面之间的关系学生已经非常清楚．而直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系，学生只有粗浅的认识．而长方体提供了观察它们之间关系的重要模型．先观察然后归纳长方体中的直线、平面之间的关系，这是新课程改革中较好体现逻辑推理重要学科素养的内容．空间中的几何对象与其代数表示各有其优缺点，代数表示较为简洁、明确，而几何表达较为形象直观．直线、平面之间的位置关系也一样，能利用代数符号表达几何关系，也能用几何图形表达代数符号，是本节课中数学建模这一学科素养的具体体现．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过对长方体和生活中实物的观察，归纳空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系；能够对上述关系进行符号表示，能在几何表示和符号表示之间快速转换．二、目标和目标解析1．目标（1）归纳并理解空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系．（2）能对上述关系进行符号表达，能在图形表示与符号表达之间相互转换．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过长方体中具体的直线、平面之间的关系，抽象、归纳出直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，并能在具体的空间图形中回答指定对象较为明显的位置关系．达成目标（2）的标志是：学生能通过类比集合中属于和含于等符号，表达直线与直线间的相交、平行；直线与平面间的在面内、相交、平行；平面与平面的平行、相交等的所有可能的位置关系．对于文字叙述或者符号表达的点线面的位置关系，学生能通过平行四边形、直线、点等图形表示出来，特别是异面直线．三、教学问题诊断分析学生对于点与点，点与线、点与面之间的关系是非常清楚的，但是如何通过抽象，剥离出本质特征，用几何图形表示不是很明白．直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系是后面章节中重点介绍的内容，本节课主要是初步感知这些对象之间关系，并用基本图形表达这些关系．异面直线是用否定性的定义来表达的，即不在任何一个平面内，没有公共点．在用图形表达的时候，只能借助一条直线在面内，一条直线与平面相交，且交点不在前一直线上来展现，或者借助两个相交平面，其各自面内有一直线，它们没有交点来衬托展现．无论是直线与直线、直线与平面、平面与平面中的哪种关系，在用图形表达时，均需借助一个或多个平面展现其相对位置关系．本节课的教学难点是：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的图形表达．四、教学过程设计（一）探究、归纳空间中直线与直线的位置关系问题1 空间中的基本要素有点、直线、平面，它们之间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点在直线上、点不在直线上；点与平面之间有点在面内、点不在面内等等．我们也知道在同一平面中，直线与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系．那么，在空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间有哪些位置关系呢？我们可以借助长方体模型或者教室中的物体首先研究一下空间中直线与直线的位置关系有哪些？师生活动：教师展示三维的长方体图形，引导学生通过观察图形中具体的直线与直线间不同的位置关系，梳理归纳出直线之间的相交、平行、异面三种位置关系．设计意图：从现有的平面知识出发，引发空间中对象间的关系，然后具体到难度相对较低的直线与直线间的位置关系.方法主要是观察、归纳．问题2平面中直线与直线的平行关系与空间中直线间的平行关系意义一样吗？那么，相交关系呢？何用图形表示空间中直线之间的平行和相交呢？追问1：两直线异面，即两条直线不在任何一个平面内，又应该怎么用图形表示呢？师生活动：学生应该都能利用平行四边形以及平行四边形内部的线段来准确地画出空间中直线与直线的相交、平行关系，但是对于追问可能会有些难度．但至少可以想到用下图来表示．基本想法是两条直线中一条在面内，另一条一定不在面内，也就是说不能画在平行四边形内部．设计意图：让学生经历从已知到未知，从空间图到直观图的过程．可促进学生经历从特殊到一般的思维过程，体会正难则反的数学探究方法．追问2：既然异面直线是不在同一平面内的直线，能否通过绘制两个不同的平面，再在各自平面中绘制不相交的直线来展现异面直线呢？师生活动：教师提出问题，引导学生认知常见的展现异面直线的情形．通过讨论后，教师展示下图．设计意图：通过不同形式的展示，引导学生全面认识异面直线，其本质为两直线不相交、不平行．（二）探究、归纳空间中直线与平面之间的关系问题3 观察下图，直线AB与长方体的六个平面分别有几个交点，它们之间的位置关系又一样吗？再结合生活中的实例思考，空间中直线与平面有哪些位置关系？师生活动：教师提出问题，引导学生类比空间中直线与直线的位置关系，借助长方体模型或者生活中的实例，探究空间中直线与平面的交点，从而归纳出直线与平面间的位置关系．教师引导学生认识直线与平面相交和直线与平面平行均称直线在平面外．追问1：当直线与平面的交点个数为无数个，一个，零个的时候，我们分别称它们的位置关系为直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行，那么用直观图怎么表示这些位置关系呢？师生活动：直线在平面内时，可以通过在表示平面的平行四边形内画一条线段展现，上一环节中的探究和讨论已经基本可以绘制直线与平面相交的直观图．教师引导学生通过观察生活中直线与平面平行时给人的直观感受来绘制直线与平面平行的直观图，也就是通过直线与平行四边形中的一条边平行来展现．设计意图：教材直接给出了直线与平面的三种位置关系，略作说明地给出了三种位置关系的直观图．此环节可让让学生结合生活中的实例理解这样绘制图形的合理性．体会直线与平面位置关系的常用直观图表示．追问2：点、直线、平面均有对应的符号表示，那么它们之间的位置关系应该怎么用符号表示呢？师生活动：教师引导学生从集合的角度理解直线与平面，自然引出直线与平面相交的基本符号表示为a∩α=A；直线与平面平行的符号为a//α．设计意图：几何与代数是数学对象的两个方面，数形结合认识事物会更全面，学会用数学语言表达世界是数学中的一种基本素养．直线与平面位置关系的直观图表示更形象、更直观，但是符号表达会更简洁、更准确．（三）探究归纳空间中平面与平面的位置关系问题4 观察下图，平面ABCD与长方体的其他平面公共点的个数有什么不同，它们之间的位置关系又有什么不一样？再结合生活中的实例思考，空间中平面与平面有哪些位置关系？师生活动：教师引导学生逐个观察平面ABCD与其他五个平面的交点情况，也可引导学生实际观察教室内地面与四周墙面、天花板的交点情况．引导学生类比直线与直线的位置关系，得到直线与平面的位置关系有平行、相交两种情况．设计意图：与直线与平面之间位置关系的探究类似，通过实例观察抽象出平面与平面的交点情况，再通过类比这一推理方式，得到平面与平面之间的位置关系．这里体现是的对数学抽象和逻辑推理这些数学素养的提升．追问：如何用符号表达平面与平面之间的位置关系？教师引导学生类比直线与直线的平行，还有直线与平面平行的符号表示，来得到平面与平面相交、平行时的符号表示．设计意图：此处的设计与直线与平面之间位置关系的符号表示意图一致，均为加强学生的数形结合意识的培养和数学直观素养的提升．（四）直线、平面位置关系的应用问题5 观察下图长方体中直线与平面，尽可能多地分类举出空间直线、平面位置关系的例子，并用符号表示这些关系．师生活动：教师可让学生在白板上分类写出尽可能多的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其符号表示．设计意图：虽然学生通过观察，逐项探究得到不同对象间的位置关系，但是学生并未形成系统全面的认知，且不熟练．此环节的设置，一方面检测学生对空间中直线、平面位置关系的掌握情况；另一方面，借助长方体中的直线与平面关系的感知，增强学生的空间感．例1如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．例2 如图，直线与具有怎样的位置关系？为什么？师生活动：对于例题1，教师可以请一名学生上台板书，其余同学在台下书写，教师巡视查看学生书写的规范性与全面性．对于例题2，教师可让学生思考，异面直线的定义是对共面的全面否定，对它的证明，最好的方式是进行反正．假定两直线不是异面关系，则它们一定共面，利用已知的基本事实和正确的推理得到矛盾的结论，从而得到之前假设的错误．设计意图：继续强化直线、平面之间位置关系的判定与符号表示．引导学生体会证明两条直线异面时常用的一种逻辑——反证法，提升学生逻辑推理的数学素养．（五）归纳小结，布置作业1．教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面有哪些位置关系？（3）怎么用符号表示空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？（4）证明两直线异面时用了什么证明方法？设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．2．布置作业教科书第131页第1，2，3，4题，第132页第4题，第9题．五、目标检测设计1．如图所示，用符号语言可表达为( )．A．α∩β＝m，n？α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n？α，A？m，A？nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n设计意图：通过这个题目，检测学生对直线与平面位置关系的判断及其符号表示的掌握情况．2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以上几个结论中，正确结论的序号是( )．A．①②③B．②C．③D．②③设计意图：这个正方体还原后的图形如下图．检测学生在平面图形与空间图形之间的相互转换，提高其空间感，加强学生对直线与直线位置关系的判断，特别是异面直线的判断．3．已知：α∥β，a？α．求证：a∥β．证明：法一：∵α∥β，∴两个平面没有公共点，把平面和直线都看成点的集合，则有α∩β＝？，a？α，∴a∩β＝？，即直线a与平面β无公共点，依据直线和平面平行的定义可得a∥β．法二：假设a不平行于β，则①a∩β＝A，这时α与β有一个公共点A；②a？β，这时α与β有无数个公共点．①和②都与已知α∥β没有公共点矛盾，∴a∥β．设计意图：考查学生运用定理、公理等已知正确的结论，按照正确的推理格式进行推理论证的能力，特别是反证法的应用．。
点线面之间的关系教案
第10讲 § 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，理解异面直线的定义，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. ¤知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：ììïííîïî相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.. 2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ¢¢，把,a b ¢¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ¢¢所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]°，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ^. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算. ¤例题精讲：【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（°的直线有且仅有（ ）. A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解：过P 作a ¢∥a ，b ¢∥b ，若P ∈a ，则取a 为a ¢，若P ∈b ，则取b 为b ¢．这时a ¢，b ¢相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记a ¢，b ¢所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a ¢，b ¢都成30°的直线．°的直线． 过点P 与a ¢，b ¢都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a ¢，b ¢所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l ¢，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B. 【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D . 又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点，为中点， ∴ EF //1112B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵）∵ 1Q AC Î平面，Q BE Î平面，1P AC Î平面，P BE Î平面，∴ 1AC BE PQ = 平面平面. 又 1AC BE R = 平面， ∴ 1R AC Î平面，R BE Î平面， ∴ R PQ Î. . 即即P 、Q 、R 三点共线【例3】已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面. 证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面a ，使得,a b a a ÌÌ. 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d a Ì. 假设c a Ë，则c C a = , 在平面a 内过点C 作//c b ¢， 因为b //c ，则//c c ¢，此与c c C ¢= 矛盾. 故直线c a Ì. 综上述，a 、b 、c 、d 四线共面. 点评：证明一个图形属于平面图形，证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理需要紧扣公理2及其三条推论，及其三条推论，寻找题中能确定平面的寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，然后从假设出发，然后从假设出发，推出矛盾，推出矛盾，推出矛盾，矛盾的原因是假设矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC 1 ， ∵DC 1∥AB 1，∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角. ∵ ∠CC 1D =45°，°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°. （2）如图，连结DA1、A 1C 1， c'b a d c a C B A P Q F ED 1C 1B1A 1D C BA¤学习目标：¤知识要点：¤例题精讲：321DACDEHF GA B D E F G H A B C D E F G M O 解：依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1AO OA =1BO OB =1CO OC ， 所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1. 由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽△A 1B 1C 1，所以111ABC A B C S S D D =（23）2=49. 点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题. 第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想掌握转化思想“线线平“线线平行Þ线面平行”. ¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：,,////a b a b a a a a ËÌÞ. 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG . ∵ F 为PD 中点，中点， ∴ GF ∥CD 且GF =12CD . ∵ AB ∥CD ， AB =CD ， E 为AB 中点，中点，∴ GF ∥AE ， GF =AE ， 四边形AEGF 为平行四边形. ∴ EG ∥AF ，又∵又∵ AF Ë平面PEC ， EG Ì平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC . 【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D. 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE =12DC . ∵ DC ∥D 1C 1， DC =D 1C 1 ， F 为D 1C 1的中点，的中点，∴ OE ∥D 1F ， OE =D 1F ， 四边形D 1FEO 为平行四边形. ∴ EF ∥D 1O . 又∵又∵ EF Ë平面BB 1D 1D ， D 1O Ì平面BB 1D 1D ，∴ EF ∥平面BB 1D 1D . 【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：A M ∥平面EFG . 证明：如右图，连结D M ，交GF 于O 点，连结OE ， 在BCD D 中，G 、F 分别是BD 、CD 中点，中点， ∴//GF BC ，∵G 为BD 中点，中点， ∴O 为M D 中点，中点， 在AM AMD D D 中，∵E 、O 为AD 、M D 中点，中点， ∴//EO AM ， 又∵A M Ì平面EFG ，EO Ì平面EFG ， ∴A M ∥平面EFG . 点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用. 【例4】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点 （1）求证：MN //平面P AD ；（2）若4MN BC ==，43PA =，求异面直线P A 与MN 所成的角的大小. 解：（1）取PD 的中点H ，连接AH ，由N 是PC 的中点，的中点， ∴ NH //=12DC . 由M是AB 的中点，的中点，∴ NH //=AM ，即AMNH 为平行四边形. ∴ //MN AH . 由,MN PAD AH PAD ËÌ平面平面， ∴ //MN PAD 平面. （2） 连接A C 并取其中点为O ，连接OM 、ON ，∴ OM //=12BC ，ON //=12P A ，所以ONM Ð就是异面直线P A 与MN 所成的角，且MO ⊥NO . 由4MN BC ==，43PA =, 得OM =2，ON =23 所以030ONM Ð=，即异面直线P A 与MN 成30°的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，得到相交的线线角，得到相交的线线角，通过解三角形通过解三角形而得. 第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. ¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b a b P a b b b b a a a ÌÌ=üÞýþ . ¤例题精讲：【例1】如右图，如右图，在正方体在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD . 证明：连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴的中点，∴ PN ∥B 1D 1. 又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD . 又PN 不在平面A 1BD 上，∴PN ∥平面A 1BD . 同理，MN ∥平面A 1BD . 又PN ∩MN =N ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . 【例2】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 证明：（1）由B 1B //=DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ， 又BD Ë平面B 1D 1C ，B 1D 1Ì平面B 1D 1C ，∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ． （2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． ∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ． 【例3】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC . 证明： PM ：MA =BN ：N D=PQ ：QD . ∴ MQ //AD ，NQ //BP ， 而BP Ì平面PBC ，NQ Ë平面PBC , ∴ NQ //平面PBC . 又 ABCD 为平行四边形，BC //AD ， ∴ MQ //BC ， 而BC Ì平面PBC ，MQ Ë平面PBC , ∴ MQ //平面PBC . 由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理，，根据平面与平面平行的判定定理，∴ 平面MNQ ∥平面PBC . 点评：由比例线段得到线线平行，由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 【例4】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2,侧棱13A A =，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点. （1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求平面AMN 与平面EFDB 的距离. 证：（1）连接11A C ,分别交MN 、EF 于P 、Q . 连接AC 交BD 于O ，连接AP 、OQ . 由已知可得//MN EF ， ∴ //MN EFDB 平面. A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E FN M P D C Q B A 由已知可得，//PQ AO 且PQ AO =. ∴ //AP OQ , ∴ //AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面EFDB . 解：（2）过1A 作平面AMN 与平面EFDB 的垂线，垂足为H 、H’，易得111'2A H A P HH PQ ==. 由22221122383()42AP A A A P =+=+=, 根据11A AMN A A MN V V --=, 则 13821111233232A H ´´´´=´´，解得131919A H =. 所以，平面AMN 与平面EFDB 的距离为61919. 点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行→线面平行→面面平行”. 第（2）问求面面距离，求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，巧妙将中间两个平面的距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B 到平面AB ’C 的距离. 第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化平行的转化..¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b a b a b üïÌÞýï=þ . ¤例题精讲： 【例1】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：∵：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ËÌ平面平面， ∴ 111//AA BEE B 平面. 又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE Ì= 平面，平面平面， ∴ 11//AA EE . 则111111//////AA BB BB EE AA EE üÞýþ. 【例2】如图，//AB a ，//AC BD ，C a Î，D a Î，求证：AC BD =. 证明：连结CD ，∵//AC BD ，∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为b ，∵,C D a Î，,C D b Î，∴CD a b = ，∵//AB a ，AB b Ì，CD a b =∴//AB CD ，又∵//AC BD ， ∴ 四边形四边形ACDB 为平行四边形，为平行四边形， ∴∴AC BD =.【例3】如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH . 证明：∵证明：∵ //EH FG ,EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ， D 1C 1B 1A BC D A 1E 1E A a B CD ββa ab∴ //EH BCD 平面. 又 ∵ EH ABD Ì平面，BCD ABD BD = 平面平面, ∴ //EH BD . 又 ∵ EH EFGH Ì平面,BD EFGH Ë平面, ∴ //BD EFGH 平面. 点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64页的3题的演变, 同样还可证//AC 平面EFGH . 【例4】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α 平面β=b ，求证//a b ． 证明：经过a 作两个平面g 和d ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵ a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又 ∵d Ì平面β，c Ë平面β，∴c ∥平面β，又 c Ì平面α，平面α∩平面β=b ，∴ c ∥b ，∵a ∥c ， ∴ a ∥b ． 点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a ，b 均平行，从而达到a ∥b 的目的，这里借用已知条件中的a ∥α及a ∥β来实现．证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行. 第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化. ¤知识要点：1. 面面平行的性质：面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，如果两个平行平面同时与第三个平面相交，如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b a b g a g b ==Þ . 2. 其它性质：①//,//l l a b a b ÌÞ； ②//,l l a b a b ^Þ^；③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α. 证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ， 则ME ∥AC ，∴，∴ ME ∥平面α， 又 NE ∥BD ， ∴ NE ∥β， 又M E ∩NE =E ，∴平面MEN ∥平面α，∵MN Ì平面MEN ，∴MN ∥α. 【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面a ，b 外，它们在a 内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在b 内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．证明：∵：∵ A ，B ，C ，D 四点在b 内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，在一条直线上，∴A ，B ，C ，D 四点共面．四点共面．又A ，B ，C ，D 四点在a 内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，是平行四边形的四个顶点，∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．的交线．∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是平行四边形．是平行四边形．【例3】如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 、G 是侧面对角线上的点，且BE CF AG ==，求证：平面EFG ∥平面ABC . d g b a _b _acd b a E N M DB C A证明：作1EP BB ^于P ，连接PF . 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面11ABB A 中，易知111A B BB ^，又1E P B B ^，所以11////EP A B AB . ∴ 11BE BP BA BB =，//EP 平面ABC . 又∵又∵ BE CF =，11BA CB =， ∴ 11CF BP CB BB =，∴ //PF BC ，则//PF 平面ABC . ∵ EP PF P = ，∴，∴ 平面PEF //平面ABC . ∵ EF Ì平面PEF ， ∴ EF //平面ABC . 同理，GF //平面ABC . ∵ EF GF F = ，∴，∴ 平面EFG //平面ABC . 点评：将空间问题转化为平面问题，将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，是解决立体几何问题的重要策略，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质//,//l l a b a b ÌÞ易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想. 【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E 、F ，且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD . 证明：过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN . ∵ BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴ EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ， ∵ AB 1=BC 1，B 1E =C 1F ，∴AE =BF ， 又∠B 1AB =∠C 1BC =45°，°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM =FN . ∴ 四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又MN Ì平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 证法二：过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴1111B E B G B A B B =，11B E C F =，11B A C B =，∴1111C F B G C B B B=， ∴FG ∥B 1C 1∥BC . 又∵EG FG =G ，AB BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD . b 又EF Ì平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD . 点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行Û线面平行Û面面平行”之间的互相转化而完成证明. 第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. ¤知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面a 内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面a 互相垂直，记作l a ^. l －平面a 的垂线，a －直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直®线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m Ìa ，n Ìa ，则l ⊥a3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，再作垂线找射影，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，然后通过解直角三角形求解，然后通过解直角三角形求解，可可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. ¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =，90BDC Ð= ，求证：BD ^平面ACD . 证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. G N M FE E C D B A D 1C1B 1A 1又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG D 中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ^，∴BD AC ^，又90BDC Ð=，即BD CD ^，AC CD C = ， ∴BD ^平面ACD . 【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值. 解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO . 由已知正方体，易知EO ^平面11ABC D ，所以EAO Ð为所求. 在Rt EOA D 中，1112222EO EF A D ===，2215()122AE =+=， 10sin 5EO EAO AE Ð==. 所以直线AE 与平面11ABC D 所成的角的正弦值为105. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ^^，，PO ^平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心. 证明：连接OA 、OB 、OC ，∵，∵ PO ^平面ABC ， ∴ ,PO BC PO AC ^^. 又 ∵ PA BC PB AC ^^，， ∴ BC PAO AC PBO ^^平面，平面，得AO BC BO AC ^^，, ∴ O 为底面△ABC 的垂心. 点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ^^，，求证PC AB ^”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ^后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出. 【例4】已知Rt ABC D ，斜边BC //平面a ，,A a Î AB ，AC 分别与平面a 成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面a 的距离. 解：作1BB a ^于1B ，1CC a ^于1C ，则由//BC a ，得，得 11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面a 的距离，的距离，设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC Ð=Ð= ，∴2,2AC x AB x ==，在Rt ABC D 中，6,90BC BAC =Ð= ，∴223624x x =+，∴6x =，即BC 到平面a 的距离为6．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB a b －－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l a b －－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,a b 内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB Ð叫做二面角的平面角. 范围：0180q °<<°. 3. 定义：两个平面相交，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，如果它们所成的二面角是直二面角，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直. 记作a b ^. 4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直®面面垂直） ¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中C 1B 1C B A aBD CA E F G 点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、F A 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P . （1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF . 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ，∴ P A ⊥平面PEF . ∵EF Ì平面PEF ，∴P A ⊥EF . （2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF . 又PE Ì平面P AE ，∴平面APE ⊥平面APF . 【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ^平面BGD . 证明：,AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ^. 同理可证,AC DG ^ ∴ AC ^面BGD . 又易知EF //AC ，则EF ^面BGD . 又因为EF Ì面BEF ，所以平面BEF ^平面BGD . 【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求证：1A BD BED ^平面平面． 证明：连接AC ，交BD 于F ，连接1A F ，EF ，1A E ，11A C . 由正方体1111ABCD A B C D -，易得11A D A B =，E D E B =，F 是BD 的中点，的中点，所以1,A F BD EF BD ^^，得到1A FE Ð是二面角1A BD E --的平面角. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则，则22222112(2)6A F A A AF =+=+=，222221(2)3EF CE CF =+=+=，22222111(22)19A E AC CE =+=+=. ∴ 22211A F EF A E +=，即1A F EF ^，所以1A BD BED ^平面平面. 点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例4】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2AB ，D 、E 分别是侧棱BB 1、CC 1上的点，且EC =BC =2BD ，过A 、D 、E 作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比 解：（1）延长ED 交CB 延长线于F ， 1//,,.1202DB EC BD EC FB BC AB ABF =\==Ð=° 又， ∴ 30BAF BFA Ð=Ð=°，90FAC Ð=°. ∵,AA AF AC AF ¢^^， ∴ ,A F A E E A C^Ð为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt △AEC 中，EC =AC ，故得∠EAC =45°. （2）设AB =a ，则31132,,,238A BCED BCED AA a BD a EC a Vh S a -¢===\=×=， 23333332,428A B C ABC ABC ADE A B C VS AA a a a V a ¢¢¢¢¢¢¢-D -¢=×=×==. ∴ 3A D E A B C A B C D E V S ¢¢¢--=. 点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用关性质，掌握两个性质定理及定理的应用..¤知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直®线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若a b ^，l a b = ，a a Ì，a l ^，则a b ^.（面面垂直®线面垂直）¤例题精讲：【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面a 垂直，a 是a 内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？垂直？ E D C 1B 1A 1C BA A C α B a⊥平为底面，按同样的方法即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直→线面垂直→线线垂直”. 上述第¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、间位置关系的命题¤例题精讲：【例1】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别在其面的对角线A 1B 、AC 上运动，且A 1M =AN ，求MN 的最小值. 解：设AN =x ，作NG ⊥AB 于G 点，连MG . ∵BC ⊥AB ，∴NG ∥BC ，又由A 1M = AN 可得MG ⊥AB ， ∴ MG ∥B 1B . 由等角定理知∠MGN =∠B 1BC =90°, ∴ NG =22NA =22x ，MG =22BM =2(2)2x -. ∴ MN 2=NG 2+MG 2=22221121(2)21()2222x x x x x +-=-+=-+. ∴ 当x =22时，MN 2有最小值12，MN 有最小值22. 【例2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ^平面．证明：∵：∵ 1AA ABCD ^平面，∴，∴ 1A A BD ^. 又∵AC BD ^，∴，∴ 1BD AA F ^平面, 得1A F BD ^. 取BC 中点G ，连结1,FG B G ， ∴ 11//A B FG . ∵1111A B BCC B ^平面，∴，∴ 11A B BE ^. 又∵正方形11BCC B 中，E ,G 分别为1,CC BC 的中点，的中点， ∴1BE B G ^，∴ 11BE A B GF ^平面, 得1A F BE ^. 又∵EB BD B = ， ∴1A F BED ^平面． 【例3】正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点. （1）求证：E 、F 、B 、D 共面；（2）求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：（1）连接11B D . ∵ E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴的中点，∴ 11//EF B D . 又 ∵ 11//DD BB 且11DD BB =, ∴ 11//BD B D . 根据平行公理4,得到11//EF B D ，所以E 、F 、B 、D 共面. （2）连接11A C ,分别交MN 、EF 于P 、Q . 连接AC 交BD 于O ，连接AP 、OQ . 由已知可得//MN EF ， ∴ //MN EFDB 平面. 由已知可得，//PQ AO 且PQ AO =. ∴ //AP OQ , ∴//AP EFDB 平面. ∴平面AMN ∥平面EFDB . 点评：证面面平行，可以是“线线平行→线面平行→面面平行”. 【例4】（05年春季高考上海卷.19）已知正三棱锥P ABC -的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60 .（1）证明：PA BC ^； （2）求底面中心O 到侧面的距离. 解：（1）证明：取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，则AD BC ^，PD BC ^，故BC ^平面APD . ∴ PA BC ^. （2）由题意可知点O 在AD 上，PO OD ^. 过点O 作,OE PD E ^为垂足，连接PO . ∵ BC ^平面APD ， ∴ BC OE ^，又有OE PD ^，∴ OE ^平面PBC ，即OE 为点O 到侧面的距离. ∵ AD BC ^，PD BC ^， ∴ P D A Ð是侧面与底面所成二面角的平面角，即60PDO Ð=°. 设OE =h ，则2OP h =,23sin 603OE h OD ==°,323AD OD h ==,4sin 60AD AB h ==°. ∴ 221(4)sin60432ABC S h h D =°=，由体积2318372343233h h h =××=，解得，解得3h =，即底面中心O 到侧面的距离为3. 点评：立体几何中的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一武器，线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行，都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等性质定理等. GFEDCB A D 1C 1B 1A 1。
第2讲 空间点、线、面的位置关系(教案) (2)
第2讲空间点、线、面的位置关系1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1(1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥αB．若m⊥α，α⊥β，则m∥βC．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥nD．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α答案 A解析由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β，B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以，C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α，D错误．故选A.(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．有无数多个 B．恰有4个C．只有1个D．不存在答案 A解析如图，由题意知面P AD与面PBC相交，面P AB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1(1)α，β，γ是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是()A．若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 D解析逐一分析所给的命题：A项，若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；B项，若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D.(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2(1)(2017·北京)如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，P A＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．①求证：P A⊥BD；②求证：平面BDE⊥平面P AC；③当P A∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．①证明因为P A⊥AB，P A⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以P A⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以P A⊥BD.②证明因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，P A⊥BD，又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC.又BD⊂平面BDE.所以平面BDE⊥平面P AC.③解因为P A∥平面BDE，P A⊂平面P AC，平面P AC∩平面BDE＝DE，所以P A∥DE.又因为D为AC的中点，所以DE＝12P A＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知，P A⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以三棱锥E －BCD 的体积 V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.(2)如图，在四棱锥A －EFCB 中，四边形EFCB 是梯形， EF ∥BC 且EF ＝34BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且FG ＝3， CF ＝212， BF ＝52. ①证明：平面FGB ⊥平面ABC ； ②求三棱锥E －GBC 的体积．①证明 由顶点F 在AC 上的射影为点G 可知， FG ⊥AC .取AC 的中点为O ，连接OB . 在Rt △FGC 中，FG ＝3， CF ＝212，∴CG ＝32. 在Rt △GBO 中，OB ＝3， OG ＝12，∴BG ＝132.∴BG 2＋GF 2＝FB 2，即FG ⊥BG . ∵FG ⊥AC ，FG ⊥BG ，AC ∩BG ＝G ， AC ⊂平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， ∴FG ⊥平面ABC .又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC . ②解 ∵EF ∥BC, EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ，V E －GBC ＝V F －GBC ， ∴V E －GBC ＝V F －GBC ＝13×S △GBC ×FG＝13×334×3＝34. 思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .跟踪演练2 (2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P —ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥P A ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， 从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解 如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 故四棱锥P —ABCD 的体积 V P-ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2， AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22， 可得四棱锥P —ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 热点三 平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为23，求四面体BCDM 的体积．(1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示，则MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴MN ∥AB 且MN ＝AB ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN ∥BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形， ∴∠PDA ＝60°，又∠EDC ＝150°， ∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，又AN ∩AD ＝A ，AN ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，又∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD .(2)解 设四棱锥P －ABCD 的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则V P －ABCD ＝13hS ＝23，又S △BCD ＝23S ，四面体BCDM 的高为h2.∴V BCDM ＝13×h 2×S △BCD ＝16×23hS＝16×23×63＝233， ∴四面体BCDM 的体积为233.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC, AB ⊥BC, BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点， 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离． (1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，又BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ⊂平面ADC ， 所以AB ⊥平面ADC .(2)解 因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝ 3. 依题意△ABD ∽△DCB ， 所以AB AD ＝CD BD ，即21＝CD 3.所以CD ＝ 6. 故BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点，所以AE ＝BC 2＝32.同理DE ＝BC 2＝32.所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22.因为DC ⊥平面ABD ， 所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B —ADE ＝V A —BDE ＝12V A —BCD ＝36， 所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是______．答案 (1)解析 对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D 为BC 的中点，则QD ∥AB . ∵QD ∩平面MNQ ＝Q ，∴QD 与平面MNQ 相交， ∴直线AB 与平面MNQ 相交； 对于(2)，作如图②所示的辅助线， 则AB ∥CD ，CD ∥MQ ， ∴AB ∥MQ ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(3)，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(4)，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.押题预测1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是()A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中A1E⊥EF，BE⊥EF.故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．因为平面A1EF⊥平面BEFC，所以∠A1EB＝90°，即A1E⊥EB.因为EF∩EB＝E，EF，EB⊂平面BEFC，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(2017·河南省六市联考)如图，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH, MN是异面直线的图形的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案 D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．则表示GH, MN是异面直线的图形的序号为②④.故选D.2．(2017届南昌模拟)已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是()A．m∥γ，α⊥γ B．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ答案 D解析因为α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，所以α⊥γ成立，但m，γ可能相交，故A不正确；也有可能n ⊂β，故B不正确；对于C，也有β与γ相交的可能，故C也不正确；对于D，因为α∩β＝m，n⊥α，所以m⊥n，故选D.3．已知平面α及直线a，b下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案 D解析由题意逐一分析所给的选项．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a ，b 与平面 α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直； 若直线a ，b 平行，则这两条直线中可能两条都与平面α不平行； 若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面 α不可能都垂直． 故选D.4．已知m ，n ，l 1，l 2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D. 5．对于四面体A —BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A —BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A —BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( ) A ．①③B ．③④C ．①②③D ．①③④ 答案 D解析 ①正确，若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点A 在平面BCD 的射影为点O ，连接BO ，CO ，可得BO ⊥CD ，CO ⊥BD ，所以点O 是△BCD 的垂心；③正确，如图， AB ⊥平面BCD, ∠BCD ＝90°，其中有4个直角三角形；④正确，正四面体的内切球的半径为r ，棱长为1，高为63，根据等体积公式13×S ×63＝13×4×S ×r ，解得 r ＝612，那么内切球的表面积S ＝4πr 2＝π6，故选D. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③解析 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．7．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①③解析 对于①，注意到该正方体的面中过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB ∥平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到此时直线AB 与平面MNP 内的一条直线MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP , ∠APB ＝90°， BP ＝BC ，M 为PC 的中点．求证：(1)直线AP ∥平面BDM ； (2)直线BM ⊥平面ACP .证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连接OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点， 又因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM . 又因为AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以直线AP ∥平面BDM .(2)因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP.又因为平面ABP⊥平面BCP，平面ABP∩平面BCP＝BP, AP⊂平面ABP，所以AP⊥平面BCP.又因为BM⊂平面BCP，所以AP⊥BM.因为BP＝BC，M为PC的中点，所以BM⊥CP.又因为AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面ACP，所以直线BM⊥平面ACP.10．(2017届宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，矩形ABCD中，AB＝3, BC＝4，沿对角线BD把△ABD 折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱锥A－BCD的体积．(1)证明∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)解由(1)知，CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.∴V A－BCD＝V B－ACD＝13·S△ACD·AB.又在△ACD 中，AC ⊥CD ，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝42－32＝7，∴V A －BCD ＝13×12×7×3×3＝372.B 组 能力提高11．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连接QN . ∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ， ∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于直线QN 和直线DC ， ∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1， AQ ＝BN ＝x ，∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1， ∴y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C. 12.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中， AA 1＝6，AB ＝3，AD ＝8, 点M 是棱AD 的中点，N 在棱AA 1上，且满足AN ＝2NA 1, P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点(含边界)，若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的最小值是________．答案17解析取A1D1的中点Q，过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于E，则易知平面C1QE∥平面CMN，在△C1QE中作C1P⊥QE，则C1P＝17为所求．13．已知三棱锥P －ABC 中， AC ⊥BC, AC ＝BC ＝2, P A ＝PB ＝PC ＝3, O 是AB 的中点， E 是PB 的中点． (1)证明：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)求点B 到平面OEC 的距离．(1)证明 连接PO ，在△P AB 中， P A ＝PB, O 是AB 中点，∴PO ⊥AB ，又∵AC ＝BC ＝2, AC ⊥BC ， ∴AB ＝22，OB ＝OC ＝ 2.∵P A ＝PB ＝PC ＝3，∴PO ＝7， PC 2＝PO 2＋OC 2， ∴PO ⊥OC .又AB ∩OC ＝O, AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ，∵PO ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面ABC .(2)解 ∵OE 是△P AB 的中位线，∴OE ＝32.∵O 是AB 的中点， AC ＝BC ，∴OC ⊥AB . 又平面P AB ⊥平面ABC ，两平面的交线为AB ， ∴OC ⊥平面P AB ，∵OE ⊂平面P AB ，∴OC ⊥OE .设点B 到平面OEC 的距离为d ，则V B －OEC ＝V E －OBC ， ∴13×S △OEC ·d ＝13×S △OBC ×12OP ， d ＝S △OBC ·12OP S △OEC＝12OB ·OC ·12OP12OE ·OC ＝143.14．(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，矩形AB ′DE (AE ＝6，DE ＝5)，被截去一角(即△BB ′C )，AB ＝3, ∠ABC ＝135°，平面P AE ⊥平面ABCDE, P A ＋PE ＝10.(1)求五棱锥P －ABCDE 的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明： BC ⊥PB .(1)解 因为AB ＝3，∠ABC ＝135°，所以∠B ′BC ＝45°， BB ′＝AB ′－AB ＝5－3＝2，所以截去的△BB ′C 是等腰直角三角形，所以S ABCDE ＝S AB ′DE －S △BB ′C ＝6×5－12×2×2＝28. 如图，过P 作PO ⊥AE ，垂足为O ，因为平面P AE ⊥平面ABCDE ，平面P AE ∩平面ABCDE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，所以PO ⊥平面ABCDE, PO 为五棱锥P －ABCDE 的高．在平面P AE 内， P A ＋PE ＝10>AE ＝6, P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知，点P 为短轴端点时， P 到AE 的距离最大，此时P A ＝PE ＝5, OA ＝OE ＝3，所以PO max ＝4，所以()V P －ABCDE max ＝13S ABCDE·PO max ＝13×28×4＝1123. (2)证明 连接OB ，如图，由(1)知， OA ＝AB ＝3，故△OAB 是等腰直角三角形，所以∠ABO ＝45°，所以∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝135°－45°＝90°，即BC ⊥BO .由于PO ⊥平面ABCDE ，所以PO ⊥BC ，而PO ∩BO ＝O ，PO ，BO ⊂平面POB ，所以BC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.。
空间点线面的位置关系教学讲义
空间点、直线、平面之间的位置关系ZHI SHI SHU LI知识梳理)1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3．异面直线所成角、平行公理及等角定理(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角．②范围：(0，π2]．(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.ZHONG YAO JIE LUN重要结论 ) 异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． 用符号可表示为：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线(如图)．SHUANG JI ZI CE 双基自测 )1．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( C ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n[解析] 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .故选C ． 2．(2019·衡阳模拟)若直线l 与平面α相交，则( A ) A ．平面α内存在直线与l 异面 B ．平面α内存在唯一一条直线与l 平行 C ．平面α内存在唯一一条直线与l 垂直 D ．平面α内的直线与l 都相交[解析] 当直线l 与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l 平行的直线，故B 错误；该平面内有无数条直线与直线l 垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l 可能异面，故D 错误，故选A ． 3．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( B ) A ．平行 B ．平行和异面 C ．平行和相交D ．异面和相交[解析] 因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，所以CD ∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( A ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．垂直[解析]如图所示，直线A 1B 与直线外一点E 确定的平面为A 1BCD 1，EF ⊂平面A 1BCD 1，且两直线不平行，故两直线相交．5．(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为( B ) A ．1517B ．1617C ．513D ．1213[解析] 如图，取B 1C 1的中点P ，连接BP ，MP .∵直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，∴AN ∥BP ，∴∠MBP 是BM 与AN 所成的角(或所成角的补角)．BM ＝BP ＝22＋(12)2＝172，MP ＝(12)2＋(12)2＝22，∴cos ∠MBP ＝BM 2＋BP 2－MP 22BM ·BP＝174＋174－242×172×172＝1617.∴BM 与AN 所成的角的余弦值为1617.故选B ．6．如图所示，正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面边长和侧棱长均为2，D 、E 分别为AA ′与BC 的中点，则A ′E 与BD 所成角的余弦值为357.[解析] 取B ′B 中点F ，连接A ′F ，则有A ′F 綊BD ．∴∠F A ′E 或其补角即为所求．∵三棱柱ABC －A ′B ′C ′棱长均为2， ∴A ′F ＝5，FE ＝2，A ′E ＝7. ∴cos ∠F A ′E ＝357.考点1 平面基本性质的应用——师生共研例1 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形： (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？[解析] (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ，所以GH 綊BC ．所以四边形BCHG 为平行四边形．(2)因为BE 綊12AF ，G 为F A 的中点，所以BE 綊FG .所以四边形BEFG 为平行四边形．所以EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，所以EF ∥CH ，所以EF 与CH 共面． 又D ⊂FH ，所以C ，D ，F ，E 四点共面．名师点拨 ☞共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 〔变式训练1〕如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点．求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．[解析] (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B ．因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B．又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA．所以CE，D1F，DA三线共点．考点2空间两条直线的位置关系——师生共研例2(1)(2019·广东模拟)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(D)A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为③④(注：把你认为正确的结论序号都填上)．[解析](1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.名师点拨☞异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．〔变式训练2〕(1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(D)A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有②④.(填上所有正确答案的序号)[解析](1)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D．(2)图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面，所以在图②④中，GH 与MN 异面．考点3 求异面直线所成的角——师生共研例3 (1)(2018·课标全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( C ) A ．22 B ．32 C ．52D ．72(2)已知四棱锥P －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( C ) A ．13B ．23C ．33D ．23[解析] (1)因为CD ∥AB ，所以∠BAE (或其补角)即为异面直线AE 与CD 所成的角． 设正方体的棱长为2，则BE ＝ 5. 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BE . 在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BE AB ＝52.故选C ．(2)设棱长都为1，连接AC ，BD 交于点O ，连接OE . ∵四棱锥的所有棱长都相等，不妨设四边形ABCD 是正方形，∴O 是BD 的中点，又E 是PB 的中点， ∴OE ∥PD ，∴∠AEO (或其补角)为异面直线AE 与PD 所成的角． 又OE ＝12PD ＝12，AE ＝32AB ＝32，OA ＝12AC ＝1212＋12＝22. ∴在△OAE 中，由余弦定理得cos ∠AEO ＝AE 2＋OE 2－OA 22AE ·OE ＝33.名师点拨 ☞求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 〔变式训练3〕(1)(2019·湖北荆州联考)已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成角的度数为( D ) A ．90° B ．45° C ．60°D ．30°(2)(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则异面直线AB 1与C 1B 所成的角是90°.[解析] (1)如图，设G 为AD 的中点，接GF ，GE ，则GF ，GE 分别为△ABD ，△ACD 的中位线． 由此可得，GF ∥AB 且GF ＝12AB ＝1，GE ∥CD ，且GE ＝12CD ＝2，∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角． 又∵EF ⊥AB ，GF ∥AB ，∵EF ⊥GF 。
空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
空间点、直线、平面之间的位置关系第2课时空间点、直线、平面之间的位置关系（一）教学内容空间中点、直线、平面之间的位置关系．（二）教学目标1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．2.了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示．3.了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示．（三）教学重点与难点教学重点：空间直线、平面的位置关系．教学难点：会用三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）描述空间直线、平面的位置关系及三种语言间的相互转化．（四）教学过程设计一、引入新课情境：在平面内，点与直线的位置关系有两种，即点在线上、点在线外；两条直线的位置关系只有平行和相交两种．在空间，例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，过街天桥所在直线和马路所在直线，它们既不相交也不平行．黑板所在的平面与地面相交等．那么，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？这就是我们这节课所要学习的内容．设计意图：通过生活实例直观感知空间中直线的位置关系，类比平面中的点、直线的位置关系，提出问题，引发学生思考．二、课堂探究长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系．问题１：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面．12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图所示的长方体ABCD−A′B′C′D′，你能发现点与直线、点与平面之间的位置关系吗？答：以点A为例，点A在直线AB上，在直线A′B′外；即，空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外；即，空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外．问题2：观察长方体ABCD−A′B′C′D′，回答下列问题：（1）直线AB与直线DC是什么位置关系？（2）直线AB与直线BC是什么位置关系？（3）直线AB与直线CC′是什么位置关系？答：（1）直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线；（2）直线AB与BC也在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线；（3）直线AB与直线CC′不同在任何一个平面内，它们既不平行，也不相交．异面直线的概念：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．追问1：你还能找出与直线AB异面的其它直线吗？答：直线B′C′、直线A′D′、直线DD′．追问2：空间两条直线有几种位置关系呢？答：空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线．相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．注：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图所示．追问3：分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？答案：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b=O，所以a与b不是异面直线．问题3：观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．你发现了什么？答：教室两墙面的交线与地面只有一个公共点，墙面和天花板的交线与地面没有公共点，手中的笔与作业本所在的平面可能没有公共点，也可能只有一个公共点，或者有无数个公共点．追问1：在空间中，直线与平面有哪几种位置关系呢？我们仍以长方体ABCD−A′B′C′D′为例进行探究，（1）直线AB与平面ABCD有几个公共点？（2）直线AA′与平面ABCD有几个公共点？（3）直线A′B′与平面ABCD有几个公共点？答：（1）直线AB与平面ABCD有无数个公共点；（2）直线AA′与平面ABCD只有一个公共点A；（3）直线A′B′与平面ABCD没有公共点．由此，我们可以根据直线与平面的公共点的个数得出直线与平面的位置关系：如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内．问题4：空间中，平面与平面有哪几种位置关系呢？探究：观察长方体ABCD−A′B′C′D′，它的上、下底面有没有公共点？下底面与平面BCC′B′有没有公共点？答：长方体的上、下底面无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面BCC′B′有一条公共直线BC．由此，我们得出两个平面之间的位置关系：如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交．三、知识应用例1用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来．解：在（1）中，α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B．在（2）中，α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩l=P，b∩l=P，a∩b=P．例2如图，AB∩α=B，A∉α，a⊂α，B∉a．直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线．理由如下：若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a⊂β．由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与平面β重合，从而AB⊂α，进而A∈α，这与A∉α矛盾．所以直线AB与a是异面直线．判断异面直线的方法：1.利用异面直线的定义判断；2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．设计意图：通过例题，考查学生对空间中点、直线、平面的位置关系的理解，并锻炼学生三种语言的转化能力．四、课堂练习1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线没有公共点．()(2)没有公共点的两条直线是异面直线．()(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内．()(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线．()(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．()2.若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（）A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能3.若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面参考答案：1.解：(1)不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，没有公共点；正确；(2)没有公共点的两条直线的位置关系是平行或异面；错误；(3)有异面直线的定义可知，正确；(4)如图，a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b=O，所以a与b不是异面直线，错误；(5)如图，a与b是异面直线且a与c也是异面直线，但b//c．2.解：由符号语言知，M，N是直线l上的两点，且点M在平面α内，点N在平面α外，故l与α相交．故选C．3.解：长方体的上下底面平行；如图，直线a，b分别在上、下底面，a//b；直线a，c分别在上、下底面，a与c异面；分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面；故选C．五、归纳总结回顾本节课的内容，你都学到了什么？答：空间点、直线、平面之间的位置关系：点与直线的位置关系：点在线上、点在线外；点与平面的位置关系：点在面内、点在面外；直线与直线的位置关系：相交、平行、异面；直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行；平面与平面的位置关系：相交、平行．。
清泉州阳光实验学校高三数学 空间点线面之间的位置关系教案
清泉州阳光实验学校空间点、线、面之间的位置关系【高考目的定位】一、空间点、直线、平面之间的位置关系1、考纲点击〔1〕理解空间直线、平面位置关系的定义；〔2〕理解可以作为推理根据的公理和定理；〔3〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以空间几何体为载体，考察逻辑推理才能；〔2〕通过判断位置关系，考察空间想象才能；〔3〕应用公理、定理证明点一一共线、线一一共面等问题；〔4〕多以选择、填空的形式考察，有时也出如今解答题中。
二、直线、平面平行的断定及其性质1、考纲点击〔1〕以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与断定定理；〔2〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以选择、填空的形式考察线与面、面与面平行关系的断定与性质定理的内容；〔2〕在解答题中，综合考察定理的应用。
三、直线、平面垂直的断定及其性质1、考纲点击〔1〕以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与断定定理；〔2〕能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
2、热点提示〔1〕以选择、填空的形式，考察线面垂直的断定定理和性质定理； 〔2〕解答题中，考察线面垂直关系及逻辑才能；〔3〕通过考察线面角及二面角，考察空间想象才能及计算才能，常以解答题的形式出现。
【考纲知识梳理】一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的根本性质公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：假设两个不重合的平面有一个公一一共点，那么它们有且只有一条过该点的公一一共直线。
2、直线与直线的位置关系 〔1〕位置关系的分类 〔2〕异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角〔或者者直角〕叫做异面直线a 与b 所成的角〔或者者夹角〕②范围：02π⎛⎤⎥⎝⎦，3、直线和平面的位置关系符号表示aα⊂a Aα=//aα图形表示4、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公一一共点个数两平面平行//αβ0两平面相交斜交aαβ=有无数个公一一共点在一条直线上垂直αβ⊥aαβ=有无数个公一一共点在一条直线上5、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间点线面的位置关系
（一）教学目标：
1. 知识与技能
（1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。
（3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进
行简单的体积或面积运算
2. 过程与方法
（1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观
（1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生
活中的应用。
（二）教学重点和难点：
1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定；
2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。
（三）教学过程： 【复习引入】
提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种?
如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？
【新课讲授】
根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。
1、高考数学（文科）考试说明的了解
2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥a
C.l 1//a 且l 2
⊂a D. l 1
//a 且l 2
⊂a
（2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂
⊥，则m m ,；
②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；
B 1
A 1
D 1
C 1
C D
B
A
P
③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么α与n 相交； ④若,//,m n m =⋂βα且βα⊄⊄n n ,，则βα////n n 且
其中正确的命题是
简单点拨：题组一主要是对线面、面面位置关系的判断以及根据平行或垂直有关
的定理和公理进行判断，要求学生对性质和定理要熟悉。
题组二：（线面、面面位置关系的推理证明和体积运算） （1）、如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的
长方体，1160AD A ∠=o
，14AD =，点P 是1AD 上的动点．
① 试求四棱锥1111P A B C D -体积的最大值； ② 试判断不论点P 在1AD 上的任何位置， 是否都有平面11B PA 垂直于平面11AA D ？ 并证明你的结论
（2）、已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的三视图如图所示，其中主视图AA 1B 1B 和 左视图B 1BCC 1均为矩形，在俯视图△A 1B 1C 1中，A 1C 1=3，A 1B 1=5,13
cos .5
A ∠=
① 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是底边AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1. ② 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，求证：
BC ⊥AC 1；
③ 若三棱柱的高为5,求三视图中左
视图的面积.
点拨讲解：要进行平行或垂直的证明，首要是应用什么定理或性质，然后根据定
理的内容对题目进行分析，找出合适的条件。
3、课后练习： P67 1、
4、12
教学札记：空间点线面的位置关系的判断和证明，关键在于学生能够了解关于线
面或面面平行、垂直的判定和性质定理，并能够灵活应用。
B 1
A 1
C 1
俯视图
主视图
左视图
B
B 1
A 1
A
A
A 1
C 1
C C
C B B 1
C 1
B
B 1
C 1。