向量解三角形综合练习题(难)

向量解三角形综合练习题(难)

课前测试

1. 若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM

→＝12CB →＋23OA →，则

MA →·MB

→＝( )

A ．－1

B ． 2

C ．－2

D ．2 3

2. 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )

A ．最大值为16

B ．最小值为4

C ．为定值8

D ．与P 的位置有关

3. 如图，△ABC 中，sin 12∠ABC ＝3

3

，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD

＝2DC ，BD ＝43

3

.

(1)求BC 的长；

(2)求△DBC 的面积．

备用例题

1. 已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN →

的取值范围是( )

A ．[－1

2，1) B ．[－1,1)

C ．[－3

4

，0) D ．[－1,0)

2. 设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O 为原点，且OP →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为

________．

3. 已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R)，若∠A ＝120°

，AB →·AC

→＝－2，则|AG →|的最小值是( ) A.

33 B .2

2 C.2

3 D.3

4 4. 已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC

→＋2PD →|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C.

522 D .25

2

5. 如图，OA

→，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上

且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共

线.DE →与OA →共线，则OD →·BC

→的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足

sin B sin A

＝1－cos B cos A

，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，则

平面四边形OACB 面积的最大值是( )

A.8＋534

B.4＋534

C ．3 D.

4＋5

2

7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 面积的最大值为________．

8. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ＝2，则

S 四边形BCED

S △ABC

的最小值等于________．

9. 已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2

－k )OB

→＋OC →＝0(0

cos B

＝

3c －a b .

(1)求sin C sin A

的值；

(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围．

11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不可能是( )

A ．等腰三角形

B ．钝角三角形

C．直角三角形D．锐角三角形

12. 在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →

|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )

A.21

B.321

4

C.212 D ．321

13. 已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝3

4，且2BA →·CB →

＝－27.

(1)求cos B 的值； (2)求AC 的长度．