1.二次函数与线段最值

第一讲 二次函数与线段最值

1．如图，已知二次函数223y x x -=-+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式；

（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作y 轴平行线交直线AC 于Q 点，求线段PQ 的最大值；

（3）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作x 轴平行线交直线AC 于M 点，求线段P M 的最大值；

（4）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值；

（5）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），连接P A ，PC ，求△P AC 面积的最大值．

y x

A C

O

B

竖直线

y

x

B (x ,y 2)

A (x ,y 1)

O

y

x

A (x 1,y )

B (x 2,y )O

AB =|y 1-y 2|=y 1-y 2 (纵坐标相减)上减下

水平线

AB =|x 1-x 2|=x 2-x 1 (横坐标相减)右减左

2．如图，抛物线223y x x -=-+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．

将军饮马模型

l A

l 1

B

A

l

2

M

B N

B 1

A

m

n

2

A 1

A

m n B 1

A 1

A

B

3．（2016浙江宁波第22题）（本题10分）如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，

B 两点，与y 轴交于点

C ，点B 的坐标为()3,0．

（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA PC +的值最小时，求点P 的坐标．

4．如图，已知点()4,8A -和点()2,B n 在抛物线2y ax =上．

（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ QB ＋最短，求出点Q 的坐标；

（2）平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，点()2,0C -和点()4,0D -是x 轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A C CB ''＋最短，求此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A B CD ''的周长最短?若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

备选题

5．已知抛物线2y ax bx c +=+与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0），C （5，0）两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；

（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

练习1．如图，已知抛物线23y ax bx +=+与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；并求出周长的最小值；

（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．

作业1．如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （－2，0）、B （6，0）、C （0，23-），抛

物线2y ax bx c +=+（0a ≠）经过A 、B 、C 三点． （1）求直线AC 的解析式； （2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为D ，在直线AC 上是否存一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2016广东省梅州市第24题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++过

A ，

B ，

C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0,3)-，动点P 在抛物线上．

（1）b =_________，c =_________，点B 的坐标为_____________；（直接填写结果） （2）是否存在点P ，使得ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为

F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．