学习讲义(选修)_二项分布

5 8
，取到白球的
機率都是
3 8
；若取後不放回袋中，則後一次取球的機率會受到
前一次取球的顏色的影響。但基本上都是機率乘法原理的應用。
解：(1)
P ( X＝2 )＝C23×
(
5 8
)2 (
3 8
)＝
225 512
。
(2) P ( X＝2 )＝C32×
5．4．3 8．7．6
＝
15 28
。
演练 1 《取球放回 (独立) 与不放回 (不独立)——数量不多 》
0.1×0.9×0.9＋0.9×0.1×0.9＋0.9×0.9×0.1 ＝0.243。
袋中有 50 顆同式樣大小的球，分別編號 1，2，3，…，50，
今從中任取 10 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，設每顆球被取的機會均等。試問取出的 10
顆球編號都是偶數的機率，最接近下列哪一個值？
1 (A) 2
10 (B) 50
1 (C) 25
高中选修数学(上) 甲版
1-2
二项分布
独立事件
范例1
演练1
范例2
演练2
重复试验与二项分布
范例3
演练3
范例4
演练4
范例5
演练5
二项分布的性质
范例6
演练6
类题练习1 类题练习2
类题练习3 类题练习4 类题练习5
类题练习6
1-2
二項分布
1 獨立事件
1.兩個事件獨立：（南一版 P.21） 當兩事件 A，B 滿足 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )時，我們稱 A，B 是獨立事件 ( 或稱事件 A，B 是 獨立的 )。反之若 P ( A∩B )≠P ( A )．P ( B )時，我們稱 A，B 是相依事件 ( 或稱事件 A，B 不 獨立 )。
2.n 個事件獨立：（南一版 P.23） 設有 n 事件 A1，A2，A3，…，An，1 ≤ i＜j＜k ≤ n，則 n 個事件獨立的定義為 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai ).P ( Aj )。 (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )。 … (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
1 (D) 20
(E)
1 210
。
答： (E) 。
2 重複試驗與二項分布
1.白努利試驗與重複試驗：（南一版 P.24~P.25） 若一個試驗只有兩種結果 ( 一般分為成功與失敗 )，則稱此試驗為白 努利試驗。許多的隨機試驗都可以看成是重複多次的白努利試驗， 它們都具有以下的特徵： (1) 每次試驗結果都不互相影響。 (2) 每次試驗結果成功的機率都相同。
×
1 128
＝
15 128
。
演练 3《二项分布的机率》
擲一顆公正的骰子 6 次，求恰有 4 次點數小於 3 的機率。
解：設隨機變數 X 表示出現點數小於 3 的次數，
且“點數小於 3”( 成功 ) 的機率是
2 6
＝
1 3
，
而“點數不小於 3”( 失敗 ) 的機率是
4 6
＝
2 3
，
故 X～B ( 6 ,
2.二項分布：（南一版 P.24~P.25）
重複 n 次白努利試驗，且滿足下列條件： (1) 每次試驗成功的機率皆為 p。
(2) 每次試驗的結果互相獨立。
令隨機變數 X 表示 n 次試驗中成功的次數，則 X 為機率分布 稱為參數是( n , p )的二項分布，X～B ( n , p ) 表示。 隨機變數 X 的機率分布如下： P ( X＝k )＝Cnk pk ( 1－p )n－k，k＝0，1，2，…，n。
袋中有 7 紅球，5 白球，每次取一球，連取三次，設每球被 取的機會均等。 (1) 取後放回袋中，求三球同色的機率。 (2) 取後不放回袋中，求三球同色的機率。
解：(1) 取後放回袋中，三球同色的機率是
7 12
×
7 12
×
7 12
＋
5 12
×
5 12
×
5 12
＝
468 1728
＝
13 48
。
(2) 取後不放回袋中，三球同色的機率是
7 12
×
6 11
×
5 10
＋
5 12
×
4 11
×
3 10
＝
9 44
。
有一正六面體的骰子，六面上的點數分別為 1，2，3，4，5，6，
今擲此骰子，直到出現的點數為 3 的倍數為止。令隨機變數 X 表 示此試驗停止時所丟擲的次數，試求 P ( X＝5 )。
16 答：______2_4_3______ 。
范例 1《取球放回 (独立) 与不放回 (不独立)——数量不多 》
袋中有 5 黑球 3 白球，每球被取的機會均等，今自袋中取球三 次，每次取一球。令隨機變數 X 表三次取球中取到黑球的次數。 (1) 若取後放回袋中，求 P ( X＝2 )。
(2) 若取後不放回袋中，求 P ( X＝2 )。
若取後放回袋中，則每次取到黑球的機率都是
范例 2《放回与不放回——数量很多》
某工廠每日生產產品 1000 件，其中有 1％的不良品。若 一檢驗員每日從產品中依序選二件，但各產品被抽中的機 會均等，試依下列條件，求二件皆為良品的機率。 (1) 取後放回。 (2) 取後不放回。
當母體很大時，取後放回與不放回，其機率會很接近。
解：(1) 取後放回，二件皆為良品的機率為 0.99×0.99＝0.9801。
1 3
)，於是
P ( X＝4 )＝C64 (
1 3
)4 (
2 3
)2＝
60 729
＝
20 243
。
設袋中有 3 紅球，2 白球，今從袋中任取 1 球，連取 4 次，取後 放回，且每球被取的機會均等，試求恰取到 2 次紅球的機率為
216
答：
625
。
范例 4《二项分布的累积机率》
投擲三枚公正的銅板，若出現同一面，則可得一分，否則得零 分。今連投 5 次，求至少得三分的機率。
范例 3《二项分布的机率》
擲一公正的硬幣 10 次，求恰有 3 次正面的機率。
設隨機變數 X 表示“出現正面”( 成功 ) 的次數，且每次成功
的機率為
1 2
，故
X～B
(
10
,
1 2
)，即求 P ( X＝3 )。
解：P ( X＝3 )＝C310 (
1 2
)3 (
1 2
)7
10！ ＝ 3！7！ ×
1 8
(2) 取後不放回，二件皆為良品的機率為
1000－10－1 0.99× 1000－1
＝0.99×998999
≈ 0.98009。
演练 2《放回与不放回——数量很多》
已知病人對某種藥物有副作用的機率為 0.1，今有 3 位病 人服用此藥物，假設 3 人是否有副作用為獨立事件，試求 恰有 1 人有副作用的機率。 解：恰有 1 人有副作用的機率為