线性代数第1章行列式试卷及答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数行列式习题+答案
第一章习题1-1．计算下列行列式（1）713501163.（2）4321651005311021.（3）222111ab c a b c . （4）2010411063143211111.（5）49362516362516925169416941.1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）14321432113213121321n nnn nn n n---.（3）21111121111211112------． 1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.（2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++.（3）222244441111a b c d a b c d a b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.1-6．计算4阶行列式112233440000000a b a b b a b a . 1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值． 1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x . 1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩ 1-10.已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.第一章习题解答1-1．计算下列行列式（1）713501163（2）4321651005311021（3）2010411063143211111（4）49362516362516925169416941（5）222111a b c a b c .(1)解一 由三阶行列式定义得71350116330765311110335161709010154234.=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=++---=解二2331123361105105105361056317317018r r r r r r --↔==--23325105105018018340560034r r r r ↔-=-=-=-.(2)解213241120112011201135001510151015601560007123400330033r r r r r r -----==34120101512100330007r r ↔-==.(3)解43433232211111111111111234012301231361001360013141020014100014r r r r r r r r r r -----==4311110123100130001r r -==.(4)解43433232211491614916149164916253579357909162536579112222162536497911132222r r r r r r r r r r -----===.(5)解 222111()()()ab c c b c a b a a b c =---. 1-2．计算行列式abcdb a dc cd a b d c b a.解12341111()r r r r ab c d b a d c b a d c a b c d c d a b c d a bdcba dcba+++=+++41322110()c c c c c c b a bd a c b a b c d c d c a d b c dc db ca d------=+++------()a b d ac b a b cd d c a db c c db ca d---=+++------ 3221()000r r r r a b d a c b a b c d a b c da b c da b c d++---=+++--++--+--21()()(1)d a c b a b c d a b c d a b c da b c d+--=+++--+-+--+--[]()()()()()()()()().a b c d a b c d a b c d d a c b a b c d a b c d a b c d a b c d =-+++--++-----=+++--++---+-1-3．计算n 阶行列式（1）n321332122211111.（2）143214321132********n nn n nn n n---.（3）21111121111211112------．(1)解 1122111111111122201111123300111230001n n n n r r r r r r n------==. (2)解12123112312131113123111311(1)22341134123411341nc c c n n n n n n n n n n n n n n n n n n+++------+=2131112310100001200(1)2112001111n r r r r r r n n n n n n------+=--10001200(1)113021111n n n--+=--1(1)!(1).2n n -+=-(3)解 21111111112111021111211012111111210112n D +--+==---+-----+--, 按第一列展开成两个行列式得111111111211021111210121111112112n D -=+--------213111111032200320003n nr r r r r r n D +++-=+ 112122122333333n n n n n n n D D D -------=+=++=++++12212221333333512n n n n ----=++++=++++-12213313333111132n n n n ---+=++++++=+=-.1-4． 证明：（1）2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c cb =+++++++++.证11111111111111112222222222222222b cc a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b b c c a a b b c a a b c c a a b ++++++++++=++++++++++++左= 1111111122222222b c a a c a a b b c a a c a a b b c a a c a a b ++=+++++111111222222bc a c a b b c a c a b b c a c a b =+1112222a b c a b c a b c ==右. （2）321321321332321332321332321c c c b b b a a a c mc c lc kc c b mb b lb kb b a ma a la ka a =+++++++++. 证 1323123233122312323312231232331223c lc c mc a ka la a ma a a ka a a b kb lb b mb b b kb b b c kc lc c mc c c kc c c --+++++++=+++++左=12123123123c kc a a a b b b c c c -==右. （3）222244441111a b c d abcda b c d ()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++.证 243322122224444222222222111111110=()()()0()()()r a r r ar r ar a b c d b a c a d a a b c d b b a c c a d d a a b c d b b a c c a d d a ------=------左222222222()()()()()()b ac ad a b b a c c a d d a b b a c c a d d a ---=------222111()()()()()()b ac ad a bcdb b ac c ad d a =---+++21222111()()()()()()r ar b a c a d a b ac ad ab b ac c ad d a +=---++++++23121()2222111()()()00()()()()r b r r b a r b a c a d a c bd bc b c ad b d a --+=------+-+2222()()()()()()()c bd bb ac ad a c b c a d b d a --=----+-+[]222211()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(b a c a d a c b d b c b c a d b d a b a c a d a c b d b d b d a c b c a b a c a d a c b d b d ad bd ab c ac bc ab b a c a d a c b d b d ad bd c ac bc b a =-----++++=-----++-++⎡⎤=-----+++----⎣⎦⎡⎤=-----++---⎣⎦=-)()()()()()()c a d a c b d b d c a b c d -----+++=右.1-5．计算行列式xyy x y x y x 0000000000.解 记000000000n x y x y D x y y x=,当1n =时，1D x =;当2n ≥时，按第1列展开得000000000000000n x y x y x y xyD x x y xyx==100000(1)0000n y x y y y xy++-1(1)n n n x y +=+-.1-6．计算4阶行列式1122334400000000a b a b b a b a . 解11222222111413313333444400000(1)0(1)000a b a b a b a b a b a b b a b a a b b a ++=-+- 2222333114143333(1)(1)a b a b a a b b b a b a ++=⨯--⨯-()()142323142323a a a a b b bb a a b b =---14142323()()a a b b a a b b =--.1-7． 如果行列式∆=nnn n nna a a a a a a a a212222111211，试用∆表示行列式nnn n n nn a a a a a a a a a a a a 11211213323122221的值．解112212122211121313232122211121211121(1)(1)n n n n r r n r r n n r r n n n n n nn n n nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---↔↔↔--=-=-∆.1-8．利用克莱姆法则解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解 方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--,181********52120476D ---==---，2285119061080512176D --==----，321811396270252146D --==--，4215813092702151470D --==---,方程组的解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=.1-9. 问λ取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？12120x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩解 方程组的系数行列式211(1)(1)1D λλλλλ==-=+-,当1λ=或1λ=-时，0D =，方程组可能有非零解．1-10. 已知()413571200=10301004ij D a =，求11121314A A A A +++.解 1234411122341112131411111111112000200==103000301004004k c c c c k A A A A =----+++∑=-2.。
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
线性代数1_2章精选练习题
线性代数1_2章精选练习题第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n (C) k n 2! (D)k n n 2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2 n (C) )!2( n (D) )!1( n4．001001001001000( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 25.001100000100100( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f 中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211a a a a a a a a a D ，则 323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 28．若a a a a a 22211211，则21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka (C)a k 2 (D)a k 29．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4 , 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2 , 则 x ( ).(A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)011. 若22351011110403D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组00321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24 n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4．若一个n 阶行列式中至少有12 n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6．行列式100002000010nn .7．行列式01)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D 3332312322211312113233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321D ，j A 4)4,3,2,1( j 为D 中第四行元的代数余子式，则44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a c， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321D ，j A 4为)4,3,2,1(4 j a j 的代数余子式，则4241A A ，4443A A .16．已知行列式nn D10301002112531，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18．若齐次线性方程组230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a dcbad c b a33332222; 2．yxyx x y x y y x y x ；3．解方程0011011101110 x x xx ； 4．111111321321221221221 n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 )；6. bn b b )1(1111211111311 117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a xa a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x ; 10.21 120000021000121 0001211．aa a aa a a a aD 110110001100001.四、证明题1．设1 abcd ，证明：011111111111122222222dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a .3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a . 4．nni in nn n n n n n nna aa aaaaa aa a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明01 11333 c b a c ba 的充要条件是0 cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题2.”“ ;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n ;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ; 8.M 3 ; 9.160 ; 10.4x ; 11.1)( n n ;12.2 ; 13.0; 14.0; 15.9,12 ; 16.)11(!1 nk k n ; 17.3,2 k ;18.7 k 三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ； 2. )(233y x ； 3. 1,0,2 x ; 4.11)(n k kax5.)111()1(00nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ; 7. nk k kna b1)()1(; 8. nk k nk k a x a x 11)()(;9. nk k x 11; 10. 1 n ;11. )1)(1(42a a a . 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)行列式习题答案
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ） （B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ） （D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正； （B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为 负 。
ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第二节 行列式的性质一、选择题：1．如果， ，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ） （C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名 学号第三节 行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ） （B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组 的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ）， （B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ）， （D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式 中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题 第一章 行 列 式系专业 班 姓名学号综 合 练 习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
第一章 行列式1.1 目的要求1．会求n 元排列的逆序数；2．会用对角线法则计算2阶和3阶行列式； 3．深入领会行列式的定义；4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质；7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．1.2 重要公式和结论1.2.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式 nnn n n n a a a a a a a a a D (2122221)11211=n n np p p tp p p a a a ...)1(212121)...(∑−=.其中是n 个数12…n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，∑表示对所有n 元排列求和，故共有n ！项． n p p p ...211.2.2 行列式的性质1．行列式和它的转置行列式相等；2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n in i i nnn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a L MMM L M M M L LMM M L MM M L21211121121221111211=++++nnn n ini i na a ab b b a a a L MMM L M M M L 2121112116． 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变． 1.2.3 行列式按行（列）展开设D 为n 阶行列式，则有=∑=nK jkika A 1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0...2211=∑=nK jkika A1⎩⎨⎧≠==+++j i ji D A a A a A a jn in j i j i 0 (2211)其中是的代数余子式. st A st a 1.2.４ 克拉默法则１．如果线性非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L M M M M M L L 22112222212111212111的系数行列式，则方程组有唯一解0≠D DD x 11=（ i=1，2，…，n ），其中是D 中第i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式．i D i x 2．如果线性齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L M M M M M L L的系数行列式，则方程组只有唯一零解．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式．0≠D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式1．上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积.2．设 kk k k a a a a D L M M ML 11111=，nnn nb b b b D L M M M L 11112=，则 211111*********D D b bc c b b c c a a a a nn n nkn n k kkk k =L L M M M MM ML L L MMM L .3．范德蒙行列式)(..................1 (11)11121121i j nj i n nn n n a a aaaa a a −=∏≤<≤−−−.1.2.6 计算行列式的常用方法1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于2、3阶行列式； 2．利用n 阶行列式定义计算行列式； 3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式； 4．利用行列式按某一行（列）展开定理计算行列式； 5．利用数学归纳法计算行列式； 6．利用递推公式计算行列式；7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式； 8．利用加边法计算行列式； 9．综合运用上述方法计算行列式.1.3 例题分析例1.1 排列14536287的逆序数为 ( )(A) 8 (B) 7 (C) 10 (D) 9解 在排列14536287中，1排在首位，逆序数为0；4、5、6、8各数的前面没有比它们自身大的数，故这四个数的逆序数为0；3的前面比它大的数有2个（4、5），故逆序数为2； 2的前面比它大的数有4个（4、5、3、6），故逆序数为4；7的前面比它大的数有1个（8），故逆序数为1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B ）．例1.2 下列排列中（ ）是偶排列.(A)54312 (B)51432 (C) 45312 (D) 654321解 按照例1的方法计算知：排列54312的逆序数为9；排列51432的逆序数为7；排列45312的逆序数为8；排列654321的逆序数为15；故正确答案为（C ）．例1.3 下列各项中，为某五阶行列式中带正号的项是（ ）． (A) (B) (C)(D) 5541324413a a a a a 5415413221a a a a a 5214432531a a a a a 5344223115a a a a a 解 由行列式的定义知，每一项应取自不同行不同列的五个元素之积，因此(A)、(B)不是五阶行列式的项，但(C)应取负号，故正确答案为（D ）．例1.4 行列式351232113,010101021=−=D D λλλ, 若21D D =，则λ的取值为（ ） (A) 2, —1 (B) 1, —1 (C)0, 2 (D)0,1解 按三阶行列式的对角线法则得.若，则，于是0,)1)(1(221=−+=D D λλ21D D =0)1)(1(2=−+λλ1,1−=λ，故正确答案为（B ）．例1.5 方程组有唯一解，则（ ）.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321x x x x x x x x x λλλ(A)1−≠λ且2−≠λ (B) 1≠λ且2−≠λ (C) 1≠λ且2≠λ (D) 1−≠λ且2≠λ解 由克拉默法则知，当所给非齐次线性方程组的系数行列式不等于0时，该方程组有唯一解，于是令行列式0)1)(2(1111112≠−+=λλλλλ 即1≠λ且2−≠λ，故正确答案为（B ）．例1.6 ==2006200420082006D （ ）．分析 对于2、3阶行列式的计算，元素的数值较小时，可以直接采用对角线法则进行计算；但元素的数值较大时，一般不宜直接采用对角线法则进行计算，而是用行列式的性质进行计算．解 此题是一个2阶行列式，虽然可以直接用对角线法则计算，但因数值较大，计算较繁，因此要仔细观察分析，用行列式的性质求解．402221003200622008220062004200820061221=−−+−−−=c c c c D ，故答案为4.例1.7 ==3214214314324321D （ ）． 分析 如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法) ．解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D 101230121012101111103214214314321111−−−−−−= 160400004001210111110=−−−=．例1.8设xx x x x x f 111123111212)(−=，则的系数为（ ），的系数为（ ）． 4x 3x 分析 此类确定系数的题目，首先是利用行列式的定义进行计算．如果用定义比较麻烦时，再考虑用行列式的计算方法进行计算．解 从的表达式和行列式的定义可知，当且仅当的主对角线的4个元素的)(x f )(x f积才能得出，其系数显然是2. 当第一行取4x )1(13=a 或)2(14=a ，则含或的行列式的项中是不出现，含的行列式的项中是不出现，于是含的项只能是含，，，的积，故的系数为13a 14a 3x )2(11x a =3x 3x 12a 21a 33a 44a 3x 1−．故答案为2 ，1−．例1.9 设0123411222641232211154321=D ，则（1）=++333231A A A （ ）， （2）=+3534A A （ ）, （3）=++++5554535251A A A A A （ ）． 分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，充分利用按行（列）展开的计算方法来进行技巧计算．解 00123411222221112211154321)(23534333231==++++A A A A A （第2，3行相同） 即 =0． 同理 )(2)(3534333231A A A A A ++++)()(23534333231A A A A A ++++=0 于是 0， =++333231A A A =+3534A A 0．011111333336412322111543211111111222641232211154321245554535251=+=++++r r A A A A A 故答案为0，0，0．例1.10 2007000000002006000200500020001000L L L MM MM M M L =D .分析 当行列式中有较多零元素时，一般可以采用行列式的定义或按行(列)展开来计算.解 此行列式刚好只有n 个非零元素，故非零项只有一项：nn n n n a a a a ,,,,112211−−−L nn n n n t a a a a 112211)1(−−−−L ，其中 2)2)(1(−−=n n t ，因此 !2007!2007)1(2)22007)(12007(−=−=−−D ．此题也可以按行(列)展开来计算． 例1.11 计算n 阶行列式2111121111211112L M M M M L L L =n D解法1 （行（列）加法）因为这个行列式的每一行的n 个元素的和都为n+1, 所以将第2,3,…,n 列都加到第一列上，得),3,2(,2111121111211111)1(21111211112111111n i r r n n n n n D i n L L M M M ML L L L M M M M L L L =−+=++++=1101000101111)1(+=+n n L M M M M L L L解法2 （加边法）)1,,3,2(211111211111211111210000111+=−==+n i c c D D i n n L L M M M M M LL L L11000101001010100011000011000101001001010001111111121+=++++−−−−+n n r r r n L M M M M M LL L L L L M M M M M L L L L . 解法3 （利用行列式的性质）101010100111112),,3,2(21111211112111121L M M M M L L L L L M M M M L L L −−−=−=n i r r D i n11000100010111121+=++++n n c c c n L M M M M L L L L ．例 1.12 计算nn n n nn n y x y x y x y x y x y x y x y x y x D +++++++++=111111111212221212111L MM M L L . 解 当n=2时，))((11111212221221112y y x x y x y x y x y x D −−=++++=当n≥3时，111212112122111121111()()()0()()()n nn n n n x y x y x y x x y x x y x x y D x x y x x y x x y +++−−−==−−−L L M M M L n．例1.13 计算nn n n nn n n x x x x x x a a a a a x a D 1122112321100000000000−−−−−−−−+=L L M M M M M M LL其中．),,2,1(0n i x i L ≠≠解 因 )1(11111111x a x x a x a D +=+=+=， 1(221121212112x ax a x x x x a x a D ++=−+=， 归纳推得 )1(1121nn n n x a x a x x x D +++=L L ． 用数学归纳法证明上式, 假设当k=n-1时结论成立，即)1(11111211−−−−+++=n n n n x a x a x x x D L L . 则当k=n 时，将按第n 列展开，得n D ))(())(()1(122111−−+−−−−−−+=n n n n n n n x x x x a D x D L 1221111)1()1(−−−+−−−+=n n n n n n n x x x x a D x Ln n nn n n n x a x x x x x D x 12211−−−+=L 1(1121nn n x a x ax x x +++=L L 即当k=n 时结论也成立，故对一切自然数结论都成立．例1.14 计算222111222333n nn nD n n n =L L L M M M L 解 （利用范德蒙行列式计算）1113213211111!−−−==n n n Tnn n n n D D L MMM M LL )]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!−−−−−−−−=n n n n n L L L !2)!2()!1(!L −−=n n n ．例 1.15 计算 βαβαβαβαβαβαβαβα+++++=L L MM M M ML LL 000000000000n D .解 按第一列把D n 分成两个行列式的和+++++=βαβαβαβαβαβαααL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαβ++++L L MM MM M LL L0000000000000n n n D D βαβαββαβαβα+=+=−−110000000000000000L L MM M M M L L L (1) +++++=βαβαβαβαβαβααβL L M M M M M L L L000000000000000n D βαβαβαβαβαβαβαα++++L L MM MM M LL L 00000000000000n n n D D αβαβααβαβαβ+=+=−−1100000000000000L L M MM M M L L L (2) (a) 当βα≠时 ，由（1）（2）得 =, 则n n D βα+−1nn D αβ+−1βαβα−−=−nn n D 1.于是 βαβα−−=++11n n n D ．(b) 当βα=时，由（1）得 ．n n n n n D D ααα)1(1+==+=−L例1.16 设, 证明：0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab . 证明 将行列式的第1行)(c b a ++×，第2行)1(−×，然后加到第3行，得ca bc ab ca bc ab ca bc ab c b a c b a ab ca bc c b a c b a ++++++=222222 222222111)(111)(c b a c b a ca bc ab c b a c b aca bc ab ++=++= ))()()((a b b c a c ca bc ab −−−++=于是，不等式的左边=))()((a b b c a c −−−.由于,从而，0>>>c b a 0)(<−a c 0)(,0)(<−<−a b b c ，因此，当时,0>>>c b a 01222<++abca bc c b a cb a cabc ab ．例 1.17 设在上连续,在内可导，试证：至少存在一个)(),(),(x h x g x f ],[b a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH .其中 )()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x H =．证明 由题设知在上连续,在内可导，又由行列式的性质可知，于是由洛尔中值定理可知，至少存在一个)(x H ],[b a ),(b a 0)()(==b H a H ),(b a ∈ξ，使得0)(=′ξH ．1.4 独立作业1.4.1 基础训练1．设ij a D =为阶行列式,则在行列式中的符号为( ) ． n 11342312n n n a a a a a −L (A) 正 (B) 负 (C) (D) 1)1(−−n 2)1()1(−−n n2．行列式为0的充分条件是（ ）．n D(A) 零元素的个数大于n; (B) 中各行元素的和为零； n D (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式不为零，利用行列式的性质对进行变换后，行列式的值（ ）． n D n D (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．4．方程0881441221111132=−−x x x的根为 （ ）．(A) 1，2，2− (B)1，2，3 (C)1，1−，2 (D)0，1，25．如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=−−−−−−=33323331232223211312131********a a a a a a a a a a a a D （ ）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486．行列式=9092709262514251（ ）.7．ab b a log 11log = ( ).8．行列式c b d c a b cb a , 则=++312111A A A （ ）.9．函数x x x x x f 121312)(−=中,的系数为（ ）.3x 10．4444333322225432154321543215432111111= ( ).11．49362516362516925169416941， 12．00000000x y y x y x x y D = 13．20000120000001301200101−−=D ， 14．xyz zx yyz x 111 15．520003520003520035200035， 16．44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17．nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000−−−−−L M M M M M LL L ,（其中),,2,1(,0n i a i L =≠） 18．n x x x D L M M M M LL L 01001001111021= (),,2,1,0n i x i L =≠ 19．43211111111111111111x x x x ++++， 20．nL M M M ML L L 22223222222222121．211121112L L L L L L =n D .22．当μ取何值时，齐次线性方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明αααααααsin )1sin(cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n L L M MM M M LL L (其中0sin ≠α)．1.4.2 提高练习1．设A 为n 阶方阵，为*A A 的伴随矩阵，则*A A 为（ ） (A) 2A (B) 12−n A(C) nA2 (D) nA2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，=00A B( ). (A)B A − (B) B A (C) B A mn )1(− (D) B A n m +−)1(3．若xxx x x x g 171341073221)(−−−−=，则的系数为（ ）. 2x (A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344．347534453542333322212223212−−−−−−−−−−−−−−−=x x x x x x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．当（ ）时，方程组只有零解.≠a ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=++=+02020z y ax z ax x z ax (A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26．排列可经过（ ）次对换后变为排列. n r r r r L 321121r r r r n n n L −−7．四阶行列式中带负号且含有因子和的项为（ ）.12a 21a 8．设y x ,为实数，则当=x （ ），=y ( )时，010100=−−−x yy x . 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2−==B A 则 =−A B ( ),=−B A （ ）.10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3−==B A 则 =−1*3B A ( ). 11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+T AB E 21（ ）. 12．设，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A =+−12A E （ ）.13．解方程组011112222212112=nnnnnnn b b b b b b b b b x x x L M M M M L L L ，其中为各不相同的常数. n b b b b ,,,,321L 14．证明：)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n L M M M L L =∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LM M M L M M M L 15．设xx x x x x x g 620321)(332=，求)(x g ′.16．设17131231533111)(85222−−−−−−=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg .17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4322321143113151−=A ，计算44434241A A A A +++的值，其中是)4,3,2,1(4=i A i A 的代数余子式.20．利用克莱默法则求解方程组.⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=−+3232222321321321x x x x x x x x x 21．求极限111cos sin 3212sin 1231lim23x x x x x x x →.第一章 参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B)6．解=×==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7．0 ， 8． 解 0111312111==++cb c a cb A A A ，故答案为09．解 因为在此行列式的展开式中，含有的只有主对角线上的元素的积，故答案为 10．解 由范德蒙行列式得行列式的值为2883x 2−11．解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12．解 x y x y x x xyy yxy xyyx y xxy D 0000000000000000−−==22222)(y x xyyx x x yy x y −−=−= 13．解 0131201014200013120101220000120000001301200101−×−=−×−=−−=D 20311243131200014=−−×−=−−×−=14．解 yzx z x y x z y x z x y z x y yzx xy zzx yyz x−−−−=−−−−−−=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x −−−15．解 520003520003520003500003352000352000352000352000325200035200035200035200035+= =5203520035200353252000352000352000350000332000320000320000320000325+=+==L 665 16．解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x −−−+−−−+−−−+−−−+=++++++++++++++++=017．解132111322113210000000)1(00000000−+−−−−−−×−=−−−=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D L MMM M MLL L L M M M M M M L L L=−−×+−−−−12221122100n n n n n a a a a a b b b b a L MMM M M LL L ==+−L L 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a L18．解 由第()列的i n i ,,2,1L =ix 1−倍加到第一列上去. nni inx x x x x x x D L MM M ML L LL MM M M LL L 0000000011111001001111021121∑=−===)1(121∑=−n i i n x x x x L19．解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x −−−+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x −−−++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20．解 2020012000200021222232222222221−−=n nL MM M M LL L L M M M M L L L 20212002−−=n L M M M ML L =)!2(2−−n 21．解 211121111)1(211121111211121112L LL L L L L L L L L L L L L L L L +=+++==n n n n D n 1101011001)1(+=+=n n L L L L L L22．解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=−−−−−−μμμ 解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组有非零解.⎪⎩⎪⎨⎧=−−+−=−+−=−++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ23．证明 (1)当时，结论显然成立, (2)假设当1=n k n ≤时,结论成立, (3)当时1+=k n11cos 2101cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααL L M M M M ML L Lkk D ααααcos 21010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23L M M M M M LL L L −+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=−=−+=−k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.2)1(−n n , 7． 44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312−−n , 11．277, 12．6 13．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1L =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n L L M M ML L L ∑−== ))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x a n i n p p p p p p p tL L L ∑−=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dx d x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(LMM M L M M M L15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为6．2x 16．（用罗尔中值定理证）证明 （1）显然是多项式，故在上连续，在()(x g )(x g ]1,0[)1,0内可导，且 ，从而由罗尔中值定理知，存在0)1()0(==g g )1,0(∈ξ，使得0)(=′ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）18．证明 33333333333301111x z xy xz xy x z x y x x z x y x z y x z y x−−−−=−−−−=0))()()((11))((2222=++−−−=++++−−=z y x y z x z x y xxz z x xy y x z x y 由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .19．解 6111132114311315144434241=−=+++A A A A , 20． 11=x ，， 22=x 33=x 21．解 (用罗必塔法则求解)11100013212001230000111231001100sin cos 3212sin 123230cos 11231lim1101cos sin 3212sin 1231lim223230=+=−+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。
(完整版)行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。
线性代数第一单元（行列式）试卷（专升本）
线性代数第一单元（行列式）试卷（专升本）第一篇：线性代数第一单元(行列式)试卷(专升本)第1题标准答案：D 1-3-1 计算行列式，结果＝（）。
A、60B、70C、80D、90第2题标准答案：C 1-1-1 排列32145的逆序数是（）。
A、1B、2C、3D、4第3题标准答案：B 1-2-1 已知3阶行列式计算：的值，结果＝（）。
A、10B、20C、30D、40第二篇：线性代数教案第一节：低阶行列式《线性代数》教案第一章：行列式本章重点：行列式的计算及其性质的应用本章难点：行列式的几条性质的证明及利用这些性质计算行列式基本要求：1．会用对角线法则计算2阶行列式和3阶行列式2．了解n阶行列式的概念3．了解行列式的性质并掌握4阶行列式的计算，会计算简单的n 阶行列式 4．了解克莱姆法则第三篇：线性代数教案-第三章行列式及其应用第三章行列式及其应用本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求（一）知识1n阶行列式的定义及性质现将这些性质作为公理体系来定义n阶行列式.设A=[aij]是任意一个n阶方阵,用Ai记其第i行元素为分量的n元向量,即2,Λ,n, Ai=(ai1,ai2,Λ,ain),i=1,并称其为行向量.有序向量组{A1,Λ,An}所定义的实值函数d(A1,Λ,An)被称为n阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t,有Λ,n.d(Λ,tAk,Λ)=td(Λ,Ak,Λ),k=1,公理2 对每行都具加性.即对任意n元向量B,有d(Λ,Ak+B,Λ)=d(Λ,Ak,Λ)+d(Λ,Ak-1,B,Ak+1,Λ), k=1,Λ,n.公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若Ak=Ak+1(k=1,Λ,n-1),则d(A1,Λ,An)=0.公理4 对于R中常用基{e1,Λ,en},有nd(e1,Λ,en)=1.当{A1,Λ,An}取定,则称d(A1,Λ,An)为一个n阶行列式.有时也简称为n阶行列式函数为n阶行列式.n行列式常被记为detA,|A|,或a11a21M an1a12a22MΛa1nΛa2n M.an2Λann公理4意味着,对于n阶单位方阵E,有 detE=|E|=1.前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若t1,Λ,tp是任意p个实数,B1,Λ,Bp是任意p个n元向量(p是任意正整数),有d(∑tkBk, A2,Λ,An)=∑tkd(Bk,A2,Λ,An)k=1k=1pp定理3.1.1满足公理1,2,3的行列式函数d(A1,Λ,An)具有以下性质:(1)若行列式某一行为零,则此行列式为零.(2)对调行列式任意两行,则行列式变号.(3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.(4)若向量组{A1,Λ,An}是相关的,则行列式d(A1,Λ,An)=0.(5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.行列式的计算例3.2.2设A是形如下式的n阶对角方阵⎡a11⎢0⎢⎢M⎢⎣00a22M00⎤Λ0⎥⎥(a=0,i≠j)M⎥ij⎥Λann⎦Λ则detA=a11a22Λann.由该例可得到: 例3.2.3设A 是形如下式的n阶上三角方阵⎡a11⎢⎢0⎢⎢M⎢⎢⎣0a12a22M0Λa1n⎤⎥Λa2n⎥⎥(主对角线下方各元素为零)M⎥⎥Λann⎥⎦则detA=a11a22Λann.定理3.2.1 设d是满足行列式公理1～4的n阶行列式函数,f是满足行列式公理1～3的n阶行列式函数,则对任意选定的n元向量A1,Λ,An及R中常用基{e1,Λ,en},有nf(A1,Λ,An)=d(A1,Λ,An)f(e1,Λ,en).(3.2.2)若f还满足行列式公理4,则有f(A1,Λ,An)=d(A1,Λ,An).-1定理3.2.2 若A是一个非奇异方阵(即A存在),则detA≠0,且detA-1=1 detA定理3.2.3 设A1,Λ,An是n个n元向量.该向量独立的充要条件是d(A1,Λ,An)≠0.本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着⎡AO⎤det⎢⎥=detAdetB ⎢⎣OB⎥⎦本定理可以推广到一般情形:若C是一个具有对角子块A1,Λ,An的分块对角方阵,即⎡A1⎢⎢⎢⎢C=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣OA2O O⎤⎥⎥⎥⎥⎥, ⎥⎥⎥⎥An⎥⎦则detC=(detA1)(detA2)Λ(detAn).行列式的展开公式定义3.3.1给定n阶方阵A=[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k 行和第j列后,余下元素按原来位置构成的n-1阶方阵,被称为元素akj 的余子阵,记为Akj.而称detAkj为akj的余子式.定理3.3.1对任意n阶方阵A=[akj](n≥2),有'=(-1)k+jdetAkj,k=1,Λ,n.(3.3.2)detAkj从而有nΛ,n.(3.3.3)detA=∑akj(-1)k+jdetAkj,k=1,j=1此式被称为行列式按第k行的展开式.定义3.3.2对行列式detA而言,称(-1)k+jdetAkj为元素akj的代数余子式,记为cofakj.下面将利用数学归纳法来证明n阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.定理3.3.2设n-1阶行列式函数存在.对任意n阶方阵A=[akj],定义函数f(A1,Λ,An)=∑(-1)k+1ak1detAk1,(3.3.4)k=1n则它是n阶行列式函数定理3.3.3对任意n阶方阵A=[akj],有∑(-1)j=1nni+j i=k⎧detA,(3.3.6)akjdetAij=⎨0, i≠k⎩i=k⎧detA,i+j(3.3.7)(-1)adetA=⎨∑jkji i≠kj=1⎩ 0,定理3.3.4对任意n阶方阵A=[akj],有detA=detAT.4 伴随阵及方阵的逆定义3.4.1给定n阶方阵A=[aij],称n阶方阵[cofaij]为A的伴随阵,记为TA*.据此定义知: A的伴随阵A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代数余子式cofaij=(-1)i+jdetAij.定理3.4.1对任意n阶方阵A=[aij](n≥2),有AA*=(detA)E.-1又:若detA≠0,则A存在,且有A-1=1A*.detA-1定理3.4.2对任意n阶方阵A而言,A存在得充分必要条件是detA≠0.当detA≠0,就有A-1=11A*,detA-1= detAdetA5矩阵的秩定义3.5.1在一个m⨯n矩阵A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式,被称为矩阵A 的k阶子式.A中不为零的子式.A中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A的秩,记为R(A).若A没有不为零的子式(等价的说法是: A是零矩阵),则认为其秩为零.推论若A有一个r阶子式不为零,而所有r+1阶子式全为零,则R(A)=r.定理3.5.1初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A～B(即A与B等价),则R(A)=R(B).若A是n阶方阵且R(A)=n,则称A为满秩方阵.显然,下列命题等价:(1)A是满秩方阵.(2)detA≠0.(3)A是可逆的(非奇异的).克莱姆法则定理3.6.1对于含有n个未知量x1,Λ,xn的n个线性代数方程构成的方程组⎧a11x1+a12x2+Λ+a1nxn=b1,⎪ax+ax+Λ+ax=b,⎪2112222nn2(3.6.1)⎨⎪M M M M⎪⎩an1x1+an2x2+Λ+annxn=bn,(或写为∑aj=1nijΛ,n.)xj=bi,i=1,如果其系数方阵A=[aij]是非奇异的(即detA≠0),则它是唯一解.这里cofakj是方阵A的元素akj的代数余子式.式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为xj=detCjdetA,j=1,Λ,n.(3.6.3)这里方阵Cj是A中第j列换为列阵b 所成的n阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等.二本章重点及难点1、理解用公理定义行列式概念中的数学原理2、利用公理4进行行列式计算3、方阵的行列式及方阵可逆之间的关系4、矩阵的秩5、利用伴随阵求解方阵的逆6、克莱母法则三：本章教学内容的深化和拓宽１．２．若第四个公理改变,行列式的值如何改变当克莱母法则法则的相关条件改变又如何? 四：思考题和习题1(3)(4)3(1)5(2)7(3)10(2)15 16(2)五、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。
《线性代数》第一章行列式测试卷
《线性代数》第一章行列式测试卷班级 学号 姓名一、单项选择题（本大题共10 题，每小题2分，共20分）1、下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2、如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3、 n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4、=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25、=001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26、在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27、若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2-8、若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9、已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210、若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题（本大题共4 题，每小题3分，共12分）1、n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是2、若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.3、如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D4、已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为三、计算题（本大题共9题，1-7题每小题6 分，8-9题 每小题8 分，共58 分）1、解方程0011011101110=x x x x2、设1111131111311113D --=，求111213143A A A A +++3、计算四阶行列式cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a ++++++++333322224、计算四阶行列式0123111111111111a a a a (1,0,1,2,3j a j ≠=)；5、 计算四阶行列式21001210012100126、设3112113423111104D ----=-，求12223242M M M M +++7、计算四阶行列式0123000000a a a a x x x x xx---8、设1=abcd，计算22222222111111111111 a aaab bbbc cccd ddd++++9、计算四阶行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a aa a a aa a a a---------四、证明题（本大题共1题，每小题10分，共10分）1、设cba,,两两不等，证明0111333=cbacba的充要条件是0=++cba.线性代数魏福义, 黄燕苹主编−北京: 中国农业出版社, 2003. 2 (ISBN 7-109-08058-7)习题解(缺习题六题解)06学年第二学期复习题:习题一: 4, 5, 6, 7(4), 10, 11, 13, 14, 15(1), 16(3)(4), 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 习题二: 1(3), 2(2), 3(3), 4, 5(3), 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 习题三: 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16习题四: 1(2)(3), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10(1)(2), 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 习题五: 1(2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 习题七:自己挑选一些题, 写出matlab 语句. 7.15必做.这是题文 这是题解 这是注释习题一 设 111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,123124051⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 求32-AB A 及T A B .1111231113231111242111111051111058111305621112901110152422201518222627022221322217204292⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦AB AL L S S FF ,, 55//99//22000077111123058111124056111051290T⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B 1.2 计算下列乘积(1) 431123570⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦721⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) []123321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3) 213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12- (4) 21401134⎡⎤⎢⎥-⎣⎦131012131402⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(5) []123x x x 111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2)10(3) 241236-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(4) 6782056-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦(5)[][]11121311*********2321222321232112222333132333311322333222111222333121213132323222a a a x a x a x a x x x x a a a x x x x a x a x a x a a a x a x a x a x a x a x a x a x x a x x a x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++设1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ,0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B , 问下列各式是否成立? (1) =AB BA(2) ()222=AB A B(3) ()2222+=++A B A AB B(4)()()22+-=-A B A B A B(1) 0101100-⎡⎤⎡⎤=≠=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦AB BA (2) ()22210100101-⎡⎤⎡⎤=≠=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦AB A B (3)()222000220020⎡⎤⎡⎤+=≠++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B A AB B (4) ()()2222202202-⎡⎤⎡⎤+-=≠-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B A B A B 1.4讨论下列命题是否正确:(1)若20=A , 则0=A ;(2)若2=A A , 则0=A 或=A E ; (3)若=AB AC 且0≠A , 则=B C .(1)不对. 反例:01000000⎛⎫⎛⎫=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ,但20000⎛⎫= ⎪⎝⎭A . (2)不对. 反例: 设1000⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 则0≠A 且≠A E , 但2=A A .(3)不对. 反例: 设1000⎛⎫=⎪⎝⎭A ,0002⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,0003⎛⎫= ⎪⎝⎭C , 则有=AB AC 且0≠A , 但=B C .. 1.5计算:(1)1101n⎛⎫⎪⎝⎭, (2)100100nλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, (3)12.34n⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)2311111112,0101010111111213,010101011111111.01010101n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)222232322322341010102101010102,000000001010213301010203,00000000100100λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()()3243324234123121211103346010304,000012111010220101010100000000n n n nn n nn n nn n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭.nλ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(3)22222111111112222,3333444411112222.33334444nn nn nn nn n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 满足矩阵方程220--=A A E , 证明A 及2+A E 都可逆, 并求1-A 及()12-+A E .由220--=A A E 得()12-=A E A E , 故A 可逆, 且()112-=-A A E . 由220--=A A E 也可得(2)(3)4+-=-A E A E E 或1(2)(3)4⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A E A E E , 故2+A E 可逆,且()12-+A E 1(3)4=--A E .(4)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:(1) 122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2) 102213418⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3) 122236117-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(4) 124115273-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(5) 2000014000100009⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(6) 3501120010201202⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999*********-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2)2321312122312221432210210010210010210021301001121000161141800101040101040110011221001122001611010401010401001611r r r r r r r r r r r r r r +----↔+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢→--→-⎢⎥⎢⎢⎥⎢---⎣⎦⎣1,1021122213401418611-⎥⎥⎥⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(3)3212213223313223*********221001063202360100122100122101170010351010015311002716610027166010852010852001531001531r r r r r r r r r r r r r -+--+-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢→-→-⎢⎥⎢⎢⎥⎢----⎣⎦⎣⎦1,12227166236852117531-⎥⎥⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(4)213113312322323122312410012410011501001111027300103520110016113106120751011110010222002531531001222r r r r r r r r r r r r r +-+-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→- ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭可知116113124751115222273531222-⎛⎫-- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭. (5)123341421911100000020*******00010002010001400140010001000140001000100010001000100010100090001000900010001009100020002014000100009r r r r r +--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0140001010009⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(6) 13344221213350110001020********1012000100120001000220011010200010350110000105100312020001120200010002010110200010*******3022001100002r r r r r r r r r r ↔---↔⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---→--32342243134255122121200010010510300210211601010201011000240110002401510100105122010010221100101200202411200020101r r r r r r r r r r r ++-+-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥---→→⎢⎥-⎢⎥----⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1211000102224015135011022120011102012221202110022-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦423110,2123⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭A AB A B , 求B .解()()1222-=+⇒-=⇒=-AB A B A E B A B A E A .()12323223123242231000431201100102,110010110010011011121001011011043120110010100143011011010153001164001164r r r r r r r r r r r -+-++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A E E求得()11432153164---⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E ,于是()114342338621531102961641232129-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A E A .1-=P AP Λ, 其中1410,1102---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P Λ,求11A . 112111************.,,.n n ------------=⇒========P AP ΛA P ΛP A P ΛP P ΛP P ΛE ΛP P ΛP A P ΛP P ΛP P ΛP A P ΛP P ΛP P ΛP()11111111111131311111410141414110110211111130212421.31242--⎡⎤-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥----⎣⎦A P ΛP1.12 设1200λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Λ, (1) 证明1200k kk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Λ; (2) 设1-=A P ΛP ，证明1k k -=A P ΛP (1)211212222231321123222111111222000,00000,0000000k kk k k k λλλλλλλλλλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛΛΛ (2)()()()()()()()()()1211111213221121121311111111111k k k k k k -----------------------===============A P ΛP A P ΛP P ΛP P ΛP P ΛP P ΛE ΛP P ΛP A A A P ΛP P ΛP P ΛP P ΛP P ΛE ΛP P ΛP A A A P ΛP P ΛP P ΛP P ΛP P ΛE ΛP P ΛP(1)23233421413443242413321310201020102010201436045606901330253025301030150311001500150020310201033311(5)(3)4500530003r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔+↔+-----===+-----=+=⋅⋅⋅-⋅-=---(2)()()()()()()()()()()1232131223322211121112021212.0r r r r yr r x y r x y x y x y x y x y y x y x y x y x x y y x y x x yx yx yx yx yxyx x y x y xx y x y x y x xy y x y yxyx++--++++++=+=+++++-=+-=+⋅⋅=+⋅⋅-+-=------(3) ()()()12321312112221111111201021.11111r r r r r r r a a a a a a a a a a aaa ++--+++==+-=+--(4)()2131413111111111111020028.1111002011112r r r r r r -----==-=-----(5)()()()123411112432,3,43521322132132123332120002003112104000403131100310033524370.12i c c c c r r i +++-=------==--------=⋅-⋅-⋅-=-(6)()()12321311111111111111111111110201224.002r r r r r r r ab ac ae b c e bd cd de adf b c e adf bce abcdef bf cfefbceabcdef abcdef abcdef ++------=-=⋅-=-----=-=⋅⋅-⋅-=⎡⎤⎣⎦-(1) 123123222222322221200()0011()0()212121r r r r r r a a a b aba b ab a b ab a b a b b a b a b b bb bb b-+-++--+=+=--=-(2)1111111111111222222222222233333333333331111111111112222222222223333333333a b x a x b c a b x a x c a b x b c a b x a x b c a b x a x c a b x b c a b x a x b c a b x a x c a b x b c a a x c b x a x c a b c b x b c a a x c b x a x c a b c b x b c a a xc b x a x c a b c b ++++++=+++++++⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭()3311111111111122222222222223333333333331111111112222222222233333333001x b c a a c b a c a b c b b c x a a c x b a c a b c x b b c a ac b a c a b c b b c a b c a b c a b c x a b c a b c x a b c a b c a b c a b ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.c证法二12211212111111111111112222222222222223333333333333311111122222222333333(1)(1)(1)(1)c c c c c c c c a b x a x b c a b a x b c a b a c a b x a x b c x a b a x b c x a b a c a b xa xbc a b a x b c a b a c b a c a b c x b a c x a b c b a c a b c -+--++-+-++=--+=--++-+--=--=--(3)()()()()()()()12112,,11111111110011.ni r r r r ar n i n x a a x n ax n ax n aa x a a x a a x a x n a a axa axaa x x a x n a x n a x a x a++--=+-+-+-==+-⎡⎤⎣⎦-=+-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=1.15 用克拉默法则解下列方程组: (1) 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩ (2)121232343454556 156 0 56 0 56 051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ (1) 计算得1234111112141420,2315312115111151122141214142,284,2315221501211302111151111512241212426,142232523123111312D D D D D -==-≠-------==-==-----------==-==------因为系数行列式0D ≠, 所以方程组有唯一解312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-. (2) 计算得1234556000156006650,015600015600015160005100005600106001507,1145,015600056000156001561001501015561005601056001150001560015600703,395,2010600150001560000560010600150001150001500011D D D D D D ==≠====-====-==12因为系数行列式0D ≠, 所以方程组有唯一解351241234515071145703395212,,,,665665665665665D D D D D x x x x x D D D D D ====-====-==-. 求下列方阵的逆阵(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (2) cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦; (3) 121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (1)套用公式()10a b d b ad bc c d c a ad bc -⎡⎤⎡⎤=-≠⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 得12525212521211522--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(2)套用上述公式, 得22cos sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (3)21123132223335712121100121100100210342010021310021310541001014650100116711021010021013102013610103220011671001167r r r r r r r r r r r r -+---+----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得12101211313423225411671--⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎣⎦. (4)4221313243212131********00010001200010002001100213000100130201012140001001401011000100010001000110200110001002310030102215100041263r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦0021110010026315110001824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦得 1100011100024000002212001212001111213012480240263121435261511824124-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦. ．解下列矩阵方程(1)25461321-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X (2)211113210432111-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦X (3)142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X (1)1254635462231321122108-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X (2) 1110332112211131132221018233543243233111111-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦X(3)11111431202431101110120111110112624--⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X 1.18 设A 是n 阶矩阵, adj A 为其转置伴随矩阵, 证明: (1)若det 0=A , 则()det adj 0=A (2) ()()1det adj det n -=A A .(1)设111212122212n n n n nn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则1121112222*12adj n n nn nn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A A . 如果A 的第一行元素全为零, 则()02,,1,,ij A i n j n ===, 于是*det(adj )0A ==A . 假设A 的第一行元素不全为零, 例如110a ≠, 作如下行初等变换, 得11112211121112222*12222111212001n nn a r a r a r n n nnnnnnnnA A A A A A A A A A a A A A A A A +++==A .现0A =, 因此*0=A .(2)一般地, *nn===A A A E A E A , 但**=A A A A . 于是*n=A A A . 从而, 若0A ≠, 立刻得到1*n -=A A. 而若0A =, 由(1)知1*n -=A A 仍成立.1.19 设10100021003100002000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,100000200000300001300042⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 利用分块矩阵的乘法, 计算AB .111122101001000002100020003100000300220002000013000020004210300103000430004300320003200000026000260008400⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦B O A B O A O AB O B O B O E 084⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1.20 若,==AB BA AC CA , 证明: ()()+=+A B C B C A .()()+=+=+=+A B C AB AC BA CA B C A .1.21 (选择题) 设A , B 为n 阶方阵, 则()C 成立. (A)()det det det +=+A B A B (B)=AB BA(C)()()det det =AB BA (D)()111---+=+A B A B(A)的反例: 222112n n +===≠+=+=E E E E E E , 除非1n =. (B)的反例: 若1001,0000⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B , 则01000000⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AB BA . (D)的反例: ()()11111222----+==≠+=E E E E E E E . (C)是成立的, 因为=⋅=⋅=AB A B B A BA .()()()()1*11*1*11133111111323232321222116323212333272A A A A E A A A E A E A A EAA A A -=-=-=-=-=----=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或()321****1243222...333A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.23 设A 为n 阶方阵,0,k k =∈A , 求证-E A 可逆, 并写出逆矩阵的表达式.()()()()2121230,k k k k ---++++=++++-++++=-=-=E A E A A A E A A A A A A A E A E E∴-E A 可逆, 且()121k ---=++++E A E A A A .00A X B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中,A B 可逆,求1X -. 解11100A XB ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.验算00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦110000E AA E E BB --⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.OK 1.25 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, det A = a , det B = b , C =⎡⎤⎢⎥⎣⎦O A B O , 求det C . 利用拉普拉斯定理:在C 中取A 所在的m 行, 所得的m 阶子式只有一个不等于零, 就是A . 而A 的余子式是B , 代数余子式是()()()()()()()()12121111m n n n m m m mnmn++++++++++++⎡⎤⎣⎦-=-=-B B B , 其中注意到()1m m +是偶数. 于是()()11mnmnab ⎡⎤=⋅-=-⎣⎦C A B .31000000(0,2,,)000000i n n a a n a a -⎤⎥⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦,求A 1231000000000000000000n n a a a a a -⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥-⎥⎦或131000000000000000n na a a a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不要用行列式符号3100000000000n a a -利用第24题的结论[]1111213123110000000000000000000000000000000n n nn a a a a a a A a a a a ------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦1122331111011000000110000000101000011000000n n n n a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥ (1)同第14(3)题.(2)()()()111110000000000000000000010000000000000011nnnn n n na b a b b a b a a b a a b a a b a b aabb aa ab b a b +++--=⋅+⋅-=⋅+⋅-==+-(2)按第一列展开111110000000000000000000(1)00000000000(1)(1)n n n n n n na b a b b a b aab a ab aa b a b aabb a a a b b a b +-+-+=+-=+-=+-(3)11121211111,2212211112122111111111111100011101111n i na a c c c nr r a a n n nn nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+-+++++++-==+-⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A B 均为n 阶方阵且det 2,det 3A B ==-,求()()1det 2adj A B -.2111*1*11122222233n n n nn n A BA BAB------===⋅⋅=-- A 为n 阶非奇异(可逆)矩阵,其转置伴随阵为*A (或adj A ),求()**A()()12111*****n n A A A A A A A A A A A---==== 或 ()()()()()111111***...nA A A A A A A A AA A ------====习题二2.1 讨论下列向量组的线性相关性(1) 123(2,1,0),(1,1,3),(1,0,3)=-=-=ααα (2) 12(1,3,4),(2,0,1)=-=αα(3) 1234(1,2,1,2),(3,1,0,1),(2,1,3,2),(1,0,3,1)=-=-=-=--αααα (4) 1234(2,1,0),(1,3,2),(0,3,4),(1,5,6)==-==-αααα (1) ()12123131212333211011110,,110110011033000000r r r r T T Tr r r r +↔----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα可见{}123,,23R m =<=ααα, 故向量组线性相关. (2) ()21312321312412020010,3010100141010100r r r T Tr rr r -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αα可见{}12,22R m ===αα, 故向量组线性无关. (3)()13422332421234232132103521033211001560156,,,10331033035221210231023110331033015601010020200001313r r T T T Tr r r r r r r r +-+++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪------⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫ ⎪---- ⎪→→⎪- ⎪-⎝⎭αααα0110000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭可见{}1234,,,34R m =<=αααα, 故向量组线性相关.(4)()222132231227171621234627120021012101221017116111,,,1335030101022772024602465162000100477r r r r T T T Tr r r r r r ---+⎛⎫⎛⎫-⎪⎪----⎛⎫--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααα 可见{}1234,,,34R m =<=αααα, 故向量组线性相关. 解法二 现有4个维, , 所以给出的向量组线性相关.P 任意()m m n >个n 维向量线性相关.2.2 求下列矩阵的秩(1)121032121133-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(2)2130121121132140-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭(3)210312123115-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭(1) 322131322212213541322100110011210121011132120422010102251133034353300001225r r r r r r r rr r r r ---++-⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-→-→--→- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 可见秩3R =. (2) 2132314143152247213021302130213002105112110210017220022113051120023292140002302100007r r r r r r r r r r --=-+-⎛⎫-⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪→→→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭可见秩4R =. 或3111134112572427132130051200200024121112111211121121130023002300232140021002100210121102100023130004r r r r r r r r r r -++--⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,4R =(3)32232213212210321032103511212010521,222311500000521r r r r r r r R -+--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪-→-→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭2.3 求解下列齐次线性方程组(1) 1234123412342202020x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+++=⎩; (2)12312312320330;230x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (3)1234123412342340369120;24680x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪--+=⎩(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换3221313121232121212121010112103330111211103330000r r r r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为1323400x x x x x +=⎧⎨-+=⎩,方程组的解为()1121212121011,1001k k k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x .(2) 对方程组的系数矩阵作行初等变换3221233113232122211211211211913310091091221230372237000322r r r r r r r r +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-→--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3R n ==, 方程组有唯一零解0000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .(3) 对方程组的系数矩阵作行初等变换2131321234123436912000024682000r r r r------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A得()123112312323234234100,,010001k k k k k k k k k k k k +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x2.4 求一个齐次线性方程组使他的基础解系为12(1,1,2,0),(0,2,2,3)T T αα=-=-由题意, 齐次线性方程组的通解为()121212341012,2203x x k k k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,或11212312422223x k x k k x k k x k =⎧⎪=-+⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 从中消去12,k k , 得1241342032203x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩即为所求.解法二: 设所求的齐次线性方程组为12233442334400x a x a x a x x b x b x +++=⎧⎨++=⎩将12(1,1,2,0),(0,2,2,3)T T αα=-=-分别代入方程组, 得()23234120......12230a a a a a -+=⎧⎨-+=⎩,()334120 (22230)b b b -+=⎧⎨-+=⎩解方程组(1), 得其中一个解2341,1,0a a a =-=-=. 解方程组(2), 得其中一个解3412,13b b ==-. 从而得一个满足要求的方程组123234011023x x x x x x --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩2.5 求下列非齐次线性方程组的通解(1)1234123412342212223x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-+=⎨⎪+++=⎩ (2) 123123123231231322x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩(3)123412341234232223314222x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=-⎨⎪++-=⎩ (1) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形2233113321213241010212110303511113312122030350303550101311113111130000000000r r r r r r r r r r r +↔-+-⎛⎫ ⎪-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭立刻得到方程组的解()12124103015,3100010k k k k ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭x(2) 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形2321123132231312218355741009123112311075823110153015301093122057100181470019r r r r r r r r r r r r r r ----+-+⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-→---→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭,498979⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x立刻得到方程组的解()12124103015,3100010k k k k ⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭x(3) 对方程组的增广矩阵作行初等变换3221312231122311223112223310544305443412220544200001r r r r r r ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为()()R R ≠A A , 所以方程组无解.123,,ααα线性无关,124,,ααα4α可由123,,ααα线性表示.123,,ααα线性无关⇒12,αα线性无关. 124,,ααα线性相关⇒4α可由12,αα线性表示. 从而4α可由123,,ααα线性表示. 124,,ααα线性相关⇒1234,,,αααα线性相关.123,,ααα线性无关⇒4α可由123,,ααα线性表示.设线性方程组()()()12312321231011x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=-⎩λλλλλ当λ等于何值时, (1)方程组有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解. 并求此时方程组的通解.1113113111113110011131100A +++=+=++=+++λλλλλλλλλλλ()23=+λλ.(1)0,3≠-λ时方程组有唯一解.(2) 3=-λ时, 31123222110033603361213121312131129033600012r r r r r r A ++------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 无解 (2) 0=λ时, 1110111011100000,()()1311100000A R A R A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→==< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 有无穷多解.112211212321110111011100000,()()13111000001110(,)01A R A R A x k k x x k k k k k x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→==< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.8 设123(,1,1),(0,3,3),(1,2,0)x =-==ααα(1)当x 为何值时, 向量组123,,ααα线性相关. (2)当x 为何值时, 向量组123,,ααα线性无关.(3)当123,,ααα线性相关时, 将1α表示为23,αα的线性组合.()1230101132123061130130x x x x ααα'''=-=--=-+(1)当1x =-时,123,,ααα线性相关; (2)当1x ≠-时,123,,ααα线性无关.(3)现1x =-. 设1α可表示为23,αα的线性组合:11223x x =+ααα, 即12101132130x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 则有线性方程组()1122111T T x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭αα,或12011321301x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 011301321011301000A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得121,13x x ==-. 于是122313x =-ααα111122121122221122 0 0 0n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 的解都是1122......0n n b x b x b x +++=()12,,...,n b b b =β是()()()11112122122212.........n n m m m mn a a a a a a a a a ===ααα的线性组合. 方程组111122121122221122......0 0 0n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 与1121111221211222222112......0......0.. 0 0n n n n m n nn n m m a x a x a x a x a x a x a b x x a x x b x x b a +++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++==++⎩+⎪⎪ 是同解方程组, 它们的基础解系相同, 从而它们的系数矩阵的秩相同, 即向量组12,,m ααα和向量组12,,,m αααβ有相同的秩:1122m m R R r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ααααααβ. 设12,,r ξξξ是12,,m ααα的一个极大无关组, 则12,,,r ξξξβ是向量组12,,,m αααβ中的1r +个向量, 因而是线性相关的. 所以β可由,,ξξξ线性表示, 从而β可由,,ααα线性表示.若向量组2,m αα线性无关2,,m αβ线性相关2,m α线性表示.123a a a1122334455111000110000110001100001100011000011000111000100000i i a a a a a a a a a a =-⎛⎫-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪=-→⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭∑A 方程组有解()()4R R ==A A 510ii a==∑.2.11 填空题(1) 设123(1,,1),(2,1,2),(0,1,2)x ==-=ααα, 当x =12-时123,,ααα线性相关. (2) 当x =1-时, 向量(,1,0)x 能由下列向量组线性表示.12(1,1,0),(2,0,1)=-=-αα(3) 已知向量组123(2,1,3,0),(3,1,0,1),(,0,3,1)x =-=-=-ααα的秩等于2, 则x =1.(4) 设矩阵121121*********x -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A , 当x =2时, ()3R A =. (5)设12,,,r ααα是非齐次线性方程组=AX b 的解, 若1122r r k k k +++ααα也是=AX b 的一个解, 则12r k k k +++=1.(6) 设12(2,0,1),(1,2,0)T T =-=αα是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系, 则=A ()214-.(1)()321312312123120120120,,1101210120122002001r r xr T T T r r r rx x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα, 当12x =-时,{}123,,23R n =<=ααα,123,,ααα线性相关. (2)设有12,x x 使得()1122,1,0x x x +=αα, 即()11122212,101010T T x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα,则该方程组的增广矩阵。
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
线性代数第一章行列式试题及答案
线性代数第一章行列式试题及答案如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个:一就是试题的计算量偏大,无论就是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还就是特征值、特征向量与二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二就是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系、在掌握好基本概念、基本原理与基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题、一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识计算能力的提高不就是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式与结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不就是一件困难的事、而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习,第一章行列式一、概念复习1、形式与意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)………、a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, …,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|、意义:就是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值、请注意行列式与矩阵在形式上与意义上的区别、当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同、)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|、行列式这一讲的的核心问题就是值的计算,以及判断一个行列式的值就是否为0、2、定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值就是许多项的代数与,每一项都就是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaaΛ2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值就是n!项的代数与。
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
326
=3
1
3 = (−1)3+2 (−1) 3
6 = −9 .
33
0 −1 0
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a2 ab b2
7. 证明 2a a + b 2b = (a − b)3 .
111
【证明】
a2 ab b2 2a a + b 2b 111
c −c
2
3
c −c
1
3
(a −b)(a +b) b(a −b) b2
zxy
【分析】利用行列式运算性质化简. 可按如下步骤操作：第一步，将第一列拆开，得到两行
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列式之和；第二步，利用第一列化简其他列；第三步，化简后提出列的公因子，再化简剩下
的最后一列.
ax + by ay + bz az + bx x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx 【证明】 ay + bz az + bx ax + by = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
zxy
111 121 14. （1） D = 1 1 3
111
1 1+ a 1
1 1 ; （2） D = 2 2 + a
nn n
1 2
.
n+a
【答案】（1） (n −1)!
；（2）
a
+
n(1 + 2
n)
a n −1
.
【解析】（1）
111 121 D= 1 1 3
线性代数 第一章 行列式
第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式（1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b =+++ 1221122112211221a a a b b a b b ----（4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b =+--2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--； (2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a =-()1122332332a a a a a =- （3）a c bba c cb a3333a b c abc =++- 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t =+= 112217t =++++=（3）()()()12322524212n n n n ---4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.解：4,5i j ==，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424t =-= （2）000000000000a c db (1342)(1)abcd abcd t =-= 7. 求1230312()123122x xf x x x x-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6-；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x -?创，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t -?创= 行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D --==(2)123123123111a a a a a a a a a +++； 解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a =+++++各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a --=+++123(1)a a a =+++ （3）41232013201116011601110111031023500r r D +--==-- 213314116116(1)111027350818r r r +++--=-=-20=- （4）211201110111611261112112211100100c c D ---==----314110110(1)26126116221223c c -+=-=--=--.（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ ()()()32212D D D D D a b a b a b a b a b a b 轾=+-=++--臌432234a a b a b ab b =++++2.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b a D １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c D a b c d c d a b c d d a b c d a ++==++++=++１１１１（2）33()ax byay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bz z xy ++++++=++++.证明：左式12axayaz bybzbx ay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bzaz bx ax by ay bz =+++++++=+++++++311r br xyzx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax byay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzx y ←−→←−→==-,所以33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax byay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab bbb a b bbb a bb b b a ...........................；各行加到第一行后提取公因式有：[]111...1...(1).....................n ba b b D a n b bba bb b b a=+-[]211111 (10)0...0(1)00 0 0...n r br r br a b a n b a b a b---=+---L[]()1(1)n a n b a b -=+--（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠ .211212111212121211210012000n n nr r n r r r n r r a a nna naa a n a a a a a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na i a a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------= 克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax ab cx bx bc abc cx ax ì-=-ïïï-+= íïï+=ïïî；解：002350b a D cb abc ca-=-=-，212023500ab a D bc c b a bc a --=-= 2220350b ab D bc b ab c ca -==-，220250baab D c bc abc c --=-=-123,,x a x b x c =-==（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,13212533853*******D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D l ll l l=-=--，（1）1l ¹且3l ¹时0D ¹，该齐次线性方程组只有零解。
线性代数第一章习题及答案
第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b cb a （3）222111c b a c b a； （4）yxy x x y x yy x y x+++.解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=416824-++- =4-（2）=ba ca cbc b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3）=222111c b a c b a222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4）yxyx x y x y yx y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+--33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-2605232112131412； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)2605232112131412-24c c -260532122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0000032122130412-=0(3)ef cfbfde cd bdaeac ab ---=ecb ec b ec badf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d cb a 10110011001---21ar r +d cb a ab 10011011010---+=12)1)(1(+--d c a ab 101101--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bxaz by ax bxaz bzay bxaz bz ay by ax +++++++++=yxzx z yz y xb a )(33+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a dcbad c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)0122222221312a b a b aa b a ab a c c c c ------=左边 ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay y xby ax x zbxaz z y b +++ zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z y zy x b yxzx z yz y x a (3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c c b b b a a a(4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++ =))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依 副对角线翻转，依次得n nnn a a a a D 11111=， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =， 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn nn n a a a a111121)1()1()1(---=-- D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax a aa x D n =;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=;(5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121,021≠n a a a 其中.解(1) aa aa a D n 00010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=0000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 0011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开 由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)n n a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nn n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=14508130032101111---=14214205410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=112123313090509151------=233130905112109151------=1202300461000112109151-----=14238100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----=42611135232422115113-=----=D14202132132********4=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x DD x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+= 5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+1000510********12122111=+=665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D 即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.。
线代第1章练习附答案
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】 利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
(C) 10 (D) 9
解 在排列 14536287 中，1 排在首位，逆序数为 0；4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和，故共有 n！项． 1.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等； 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和， 即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
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第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000ab a bcd c d=（ B ）A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
解答：0)(1010022=+-=--=---b a ab ba ab b a a =0, b =06. 设13124321322)(+--+-+=x x x x f ，则2x 的系数为 23 。
7. 五阶行列式=6200357020381002300031000___________。
解答：423212331)1(620035702038100230003100032=⨯⨯-=⨯8. （考研题）多项式211111)(321321321321+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。
9、（考研题）设xdc bd xcb dc xb dc bx x f =)(，则方程0)(=x f 的根为=x 。
【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。
再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的第四根)(d c b x ++-=。
故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。
二、计算题1、计算0001000200020120002013000002014D =。
【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项：nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2)2)(1(--=n n t ，因此 (20141)(20142)2(1)2014!2014!D --=-=方法二：按行列展开的方法也行。
2、计算行列式 3214214314324321=D 。
分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得===321421431432101010103214214314324321D 10111123413412412311110121101210321-=-----1604004001210111110=---=3．计算n 222232222222221的值。
解： 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n4、计算5阶行列式：40030807009000605020001+++++++++=a a a a a a a a a D 的值。
【分析】 仿照上题的思路。
1256(9)78341234(9)56781256(9)4(9)3478a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++=+++++++++=+=+++++5、计算行列式11111111139271248----的值。
分析 经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。
6、行列式4100034100034100034100034= 。
分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。
按第一列展开，有34412534410341034344100341003410003)1(41003410034100344D D D D -=⨯-=⨯-+⨯=+故有5312323234453)4316(3)(3)(3)(3=--=-=-=-=-D D D D D D D D于是36433333]3)3[(3)3(3543215432543545=++++=+++=++=+=D D D D D7.求行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值。
【分析】 利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得4000000000111111111111111111111111111111111111111111111111x xx x xx x xxx xx x xx x x xx x x x xx x x x x x =---=-----=-----+---=-----+---=--+---+---8、计算n 阶行列式abbbbb a b b b b b a b b bbbabb b b b a D n=。
【分析】 行列式特点是各列（各行）元素之和都是b n a )1(-+，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行再减去第一行：abbbbb a b b b b b a b b b b b a bbn a b n a b n a b n a b n a D n)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-+=ba ba b a b a b n a abb bbb a b b b b b a b b b b b a bb n a -----+=-+=000000000000011111])1([11111])1([1)]()1([---+=n b a b n a9.计算行列式nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a【分析】 方法一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。
)11(000011110011112121111211∑∑==+=++=--+=ni in nni inn a a a a a a a a a a a a a a D方法二：利用加边的方法1112211121211111111011110001111000111110111110001(1)0000n nnni inn i ina a D a a a a a a a a a a a a +==+-=+=-+-+==+∑∑10.计算行列式444422221111d c b a dcbad c b a D =的值。
【分析】 利用范作范德蒙行列式444443333322222111111x d c b a x d c b a x d c b a xd c b aD =，则行列式D 就是行列式1D 元素3x 的余子式45M ，即45M D =又))()()()()()()()()((1a b b c a c c d b d a d d x c x b x a x D ----------=此式3x 的系数是))()()()()()((a b b c a c c d b d a d d c b a ------+++-也为1D 中元素3x 的代数余子式45A ，因为4545A M -=所以，))()()()()()((111144442222a b b c a c c d b d a d d c b a d c b a dcbad c b a D ------+++==。