电子科大高等数学竞赛试题与解答

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电子科大高等数学竞赛试题与解答

一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.

1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞

→n n n x y ，则n n z ∞

→lim （ C ）

(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）

(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰

-=

a a

dx x f I )(，则有（ B ） (A) 0=I ;

(B) 0>I ;

(C) 0

(D) 不确定.

4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰

-=

x dt t f t x x F 0

22)()()(，当0→x 时，

k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）

(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.

5.

设⎪

⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0

0,),(22222

22y x y x y x y

x y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）

(A) 不连续；

(B) 连续但偏导数不存在；

(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.

6. 设k j b j i a +-=+=2,，则以向量a 、b

为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）

(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.

7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知

2222L xdx ydy k x y +=+⎰（k 为常数），则有1222L xdx ydy

x y ++⎰（ D ）

(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设

∑

∞

=0

n n

n x a 在1=x 处收敛，则

∑

∞

=-+0

)1(1

n n n

x n a 在0=x 处（ D ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散；

(D) 收敛性与a n 有关.

2

9. 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，若n m >，则齐次线性方程组0)(=X AB （ C ）

(A) 无解； (B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 可能有解，也可能无

解.

10. 设),,2,1(),,(n i z y x M i i i i =是空间)4(≥n n 个相异的点，记⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111222

111n n

n

z y x z y x

z y x A ，则n M M M ,,,21 共面的充分必要条件是（ D ）

(A) 秩(A )=1; (B) 秩(A )=2; (C) 秩(A )=3; (D) 秩(A )=2或秩(A )=3.

11．设)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，且为非零偶函数，⎰=Φx

dt t f x 0

)()(，则)(x Φ（B ）.

（A ）是偶函数； （B ）是奇函数；

（C ）是非奇非偶函数；

（D ）可能是奇函数，也可能是偶函数.

12．设)(x f 在] ,[b a 上连续，且

0)(=⎰b a

dx x f ，则……………………………………（D ）.

（A ）在) ,(b a 内不一定有x 使0)(=x f ； （B ）对于] ,[b a 上的一切x 都有0)(=x f ； （C ）在] ,[b a 的某个小区间上有0)(=x f ；（D ）在) ,(b a 内至少有一点使0)(=x f . 13．已知当0→x 时，⎰

''-=

x

dt t f t x x F 0

22)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则

)0(f ''………………………………………………………………………………………（B ）.

（A ）等于0； （B ）等于2

1

； （C ）等于1； （D ）不存在.

14．设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则

2

)(lim

x

x

x y x -→………………………………………………………………………………（B ）.

（A ）等于0；

（B ）等于1；

（C ）等于2；

（D ）不存在.

15．设直线L ：⎩

⎨⎧-=---=++31021

23z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （C ）.

（A ）π//L ；

（B ）L 在π上； （C ）π⊥L ； （D ）L 与π斜交.

16．设在全平面上有0)

,(<∂∂x y x f ，

0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式),(),(2221y x f y x f <成立的条件是………………………………………………………………………………（A ）.

（A ）21x x >，21y y <； （B ）21x x <，21y y <； （C ）21x x >，21y y >；

（D ）21x x <，21y y >.

17．设S 为八面体1||||||≤++z y x 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D ）.

（A ）

02=⎰⎰

S

dydz y ；（B ）

0 =⎰⎰

S

dydz y ；（C ）

02=⎰⎰

S

dydz x ；（D ）

0 =⎰⎰S

dydz x .