电子科大高等数学竞赛试题与解答

1电子科大高等数学竞赛试题与解答一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ） (A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a +-=+=2,，则以向量a 、b为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydy k x y +=+⎰（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn x a 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n n nx n a 在0=x 处（ D ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散；(D) 收敛性与a n 有关.29. 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，若n m >，则齐次线性方程组0)(=X AB （ C ）(A) 无解； (B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 可能有解，也可能无解.10. 设),,2,1(),,(n i z y x M i i i i =是空间)4(≥n n 个相异的点，记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111222111n nnz y x z y xz y x A ，则n M M M ,,,21 共面的充分必要条件是（ D ）(A) 秩(A )=1; (B) 秩(A )=2; (C) 秩(A )=3; (D) 秩(A )=2或秩(A )=3.11．设)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，且为非零偶函数，⎰=Φxdt t f x 0)()(，则)(x Φ（B ）.（A ）是偶函数； （B ）是奇函数；（C ）是非奇非偶函数；（D ）可能是奇函数，也可能是偶函数.12．设)(x f 在] ,[b a 上连续，且0)(=⎰b adx x f ，则……………………………………（D ）.（A ）在) ,(b a 内不一定有x 使0)(=x f ； （B ）对于] ,[b a 上的一切x 都有0)(=x f ； （C ）在] ,[b a 的某个小区间上有0)(=x f ；（D ）在) ,(b a 内至少有一点使0)(=x f . 13．已知当0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''………………………………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0； （B ）等于21； （C ）等于1； （D ）不存在.14．设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2)(limxxx y x -→………………………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0；（B ）等于1；（C ）等于2；（D ）不存在.15．设直线L ：⎩⎨⎧-=---=++3102123z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （C ）.（A ）π//L ；（B ）L 在π上； （C ）π⊥L ； （D ）L 与π斜交.16．设在全平面上有0),(<∂∂x y x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式),(),(2221y x f y x f <成立的条件是………………………………………………………………………………（A ）.（A ）21x x >，21y y <； （B ）21x x <，21y y <； （C ）21x x >，21y y >；（D ）21x x <，21y y >.17．设S 为八面体1||||||≤++z y x 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D ）.（A ）02=⎰⎰Sdydz y ；（B ）0 =⎰⎰Sdydz y ；（C ）02=⎰⎰Sdydz x ；（D ）0 =⎰⎰Sdydz x .318．设常数0>λ，则级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12tan )1(n nn πλ是……………………………（A ）. （A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性与λ有关19．设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且O =AB ，则A 和B 的秩…………………………（D ）. （A ）必有一个等于零；（B ）都等于n ；（C ）一个小于n ，一个等于n ；（D ）都小于n . 20．设A 是3阶可逆矩阵，且满足062=--E A A ，144||*=A （*A 为A 的伴随矩阵），则A 的三个特征值是………………………………………………………………………（C ）. （A ）3，3，2-； （B ）3-，3-，2； （C ）3，2-，2-； （D ）3-，2，2.21.下列命题中正确的命题有几个？ ……………………………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.22.设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是 ……………………………………（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x ..23. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则22limb b ξ→= …………………（ C ）(A) 1； (B)12 ； (C) 13 ； (D) 14. 24. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 ……………………………………………… （ D ）(A) 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.25. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处 ………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.26.设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有…………………………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；4(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.27.设f 有连续的一阶导数，则(1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰…… …………………………………… （ B ）(A) 102() d f x x ⎰；(B)3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .28. 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1nn c∞=∑，则1nn b∞=∑与1nn c∞=∑ ………… …………………………………………（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散；(D) 以上三种情况都可能发生.29. 设 n 阶矩阵A 的伴随矩阵 A O *≠，且非齐次线性方程组 A =βx 有两个不同的解向量12, ξξ，则下列命题正确的是 ……………………………………………………………………………………………………（ D ）(A) +12ξξ也是 A =βx 的解； (B) A =βx 的通鲜为1122k k =+ξξx （12,k k R ∈）； (C) 满足0A E λ-=的数λ必不为零；(D) 12ξ-ξ 是 A =0x 的基础解系.30. 设1111122232423333 , , , ,a b c d a b c d a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααα则三个平面 111112222233333:::a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d πππ++=++=++=两两相交成三条平行直线的充要条件是 …………………………………………………………………（ C ）(A) 秩1231234(,,)1, (,,,)2r r ==ααααααα; (B) 秩1231234(,,)2, (,,,)3r r ==ααααααα;(C) 123,,ααα中任意两个均线性无关，且4α不能由123,,ααα线性表出;(D) 123,,ααα线性相关，且4α不能由123,,ααα线性表出.二、（8分）设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且31)(1 lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.[解] 0])(1ln[lim 3])(1ln[lim])(1[lim 0031=++⇒=++⇒=++→→→xx f x x x x f x e xx fx x x xx由等价无穷小得40)0(')('lim )0("22)('lim 2)(lim 3)(lim00200=--=⇒=⇒=⇒=+→→→→x f x f f x x f x x f x x x f x x x x x5（或由泰勒公式得4)0("2])(0)0("21[lim )0)((0)0("21)(22022=⇒=+⇒→+=→f xx f x x x f x f x ）三、（8分）设2)1arcsin()(-='x x f 及0)0(=f ，求⎰1)(dx x f .[解]⎰⎰⎰⎰---=---=-=1111210)1arcsin()1()(')1()]()1[()1()()(dx x x dx x f x x f x x d x f dx x f]12[2101 4--+-=t π214-=π.四、（8分）设函数),(y x u 满足0=-yy xx u u 与x x x u =)2 ,(，2)2 ,(x x x u x =，求)2 ,(x x u xx ，)2 ,(x x u xy ，)2 ,(x x u yy （x u 表示u 对x 的一阶偏导数，其他类推）.[解]等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得1)2,(2)2,(=+x x u x x u y x2)2,(x x x u x = .)1(21)2,(2x x x u y -=∴ 这两个等式,对x 求导得 x x x u x x u xy xx 2)2,(2)2,(=+, .)2,(2)2,(x x x u x x u yy yx -=+由已知条件得yx xy yy xx u u u u ==,,故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35=.五、（8分）设向量组1α，2α，…，s α是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组0=AX 的解，即0≠βA ，试证明：向量组β，1αβ+，2αβ+，…，s αβ+线性无关.[证]设有一组数s k k k k ,,,,21 使得∑==++s i ik 10)(αββ,即∑∑==-=+si iis i ik k k 11)()(αβ两边左乘A ,得∑∑===-=+si iisi iA k A k k 110)()(αβ 0≠βA ,∑==+∴si ikk 1∑∑===+=-∴si si iiik k k 110)()(βα,即∑==si ii k 10α,s ααα,,21 为0=AX 的基础解系0021=⇒====∴k k k k s 。