二次根式单元 易错题难题测试题试题
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29．(1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；
(2)已知a= ，求a2+b2的值．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
【答案】（1）1+ ；（2） .
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
26．计算
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1；（4） ．
27．计算下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键. ， ， （a≥0，b>0）.
28．观察下列各式．
① ② ③ ④ ……
根据上述规律回答下列问题．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．关于代数式 ，有以下几种说法，
①当 时，则 的值为-4.
②若 值为2，则 .
③若 ，则 存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
9．若化简 - 的结果为5-2x，则x的取值范围是（）
A．为任意实数B．1≤x≤4C．x≥1D．x≤4
三、解答题
21．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
原式= .
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
22．（1）发现．① ；② ；③ ；……写出④；⑤；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
24．计算（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
【答案】－
【解析】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ · ＝－ ．
25．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
A． ＝±6B． C． ＝4D． ＝7
6．对于已知三角形的三条边长分别为 , , ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ，其中 ,若一个三角形的三边长分别为 , , ，则其面积（）
A． B． C． D．
7．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（）
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律： = ，
（3）证明：∵n是正整数，
∴ = = ．
即 = ．
故答案为(1) = = ， = ；(2) = ；(3)证明见解析.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
23．阅读下面的解答过程，然后作答：
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：(1)
=
= ；
(2)
=
=
= ；
(3)
=
=1；
(4)
=
=
= ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
二次根式单元 易错题难题测试题试题
一、选择题
1．下列各式成立的是（）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
3．若 ，则 ( ).
A． B． C． D．
4．若实数m、n满足等式 ，且m、n恰好是等腰 的两条边的边长，则 的周长（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．下列各式中正确的是（ ）
10．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
11．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
12．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设a﹣b=2+ ，b﹣c=2﹣ ，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．
14．当x=2+ 时，式子x2﹣4x+2017=________．
（1）接着完成第⑤个等式：_____；
（2）请用含 的式子写出你发现的规律；
（3）证明（2）中的结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【分析】
（1）当n=5时， ；
（2）观察不难发现， ；
（3）直接根据二次根式的化简即可证明．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）证明：
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
15．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是___.
16．化简二次根式 的结果百度文库_____.
17．已知m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式 的值________．
18．有一列数 ， ， ， ， ， ，则第 个数是_______．
19．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ______.
20．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 ＝_____．
（3）证明这个猜想．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】
解：（1）由例子可得，
④为： = = ，⑤ = ，
(2)已知a= ，求a2+b2的值．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；
（3）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2018．
【答案】（1）小亮（2） =-a（a＜0）（3）2013.
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的性质 =|a|，判断出小亮的计算是错误的；
（2）错误原因是：二次根式的性质 =|a|的应用错误；
有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn= ，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得 化简．
例如：∵5+2 =3+2+2 =（ ）2+（ ）2+2 =（ + ）2
∴ = = +
请你仿照上例将下列各式化简
（1） ，（2） ．
【答案】（1）1+ ；（2） .
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.
试题解析：（1）小亮
（2） =-a（a＜0）
（3）原式＝a+2 ＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
26．计算
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1；（4） ．
27．计算下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键. ， ， （a≥0，b>0）.
28．观察下列各式．
① ② ③ ④ ……
根据上述规律回答下列问题．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．关于代数式 ，有以下几种说法，
①当 时，则 的值为-4.
②若 值为2，则 .
③若 ，则 存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．①B．①②C．①③D．①②③
9．若化简 - 的结果为5-2x，则x的取值范围是（）
A．为任意实数B．1≤x≤4C．x≥1D．x≤4
三、解答题
21．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
原式= .
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
22．（1）发现．① ；② ；③ ；……写出④；⑤；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
24．计算（ ＋ ）÷（ ＋ － ）（a≠b）．
【答案】－
【解析】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ · ＝－ ．
25．先化简，再求值：a+ ，其中a＝1007．
A． ＝±6B． C． ＝4D． ＝7
6．对于已知三角形的三条边长分别为 , , ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ，其中 ,若一个三角形的三边长分别为 , , ，则其面积（）
A． B． C． D．
7．给出下列结论：① 在3和4之间；② 中 的取值范围是 ；③ 的平方根是3；④ ；⑤ ．其中正确的个数为（）
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律： = ，
（3）证明：∵n是正整数，
∴ = = ．
即 = ．
故答案为(1) = = ， = ；(2) = ；(3)证明见解析.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
23．阅读下面的解答过程，然后作答：
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：(1)
=
= ；
(2)
=
=
= ；
(3)
=
=1；
(4)
=
=
= ．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
二次根式单元 易错题难题测试题试题
一、选择题
1．下列各式成立的是（）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
3．若 ，则 ( ).
A． B． C． D．
4．若实数m、n满足等式 ，且m、n恰好是等腰 的两条边的边长，则 的周长（ ）
A．12B．10C．8D．6
5．下列各式中正确的是（ ）
10．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
11．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
12．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设a﹣b=2+ ，b﹣c=2﹣ ，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=_____．
14．当x=2+ 时，式子x2﹣4x+2017=________．
（1）接着完成第⑤个等式：_____；
（2）请用含 的式子写出你发现的规律；
（3）证明（2）中的结论．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【分析】
（1）当n=5时， ；
（2）观察不难发现， ；
（3）直接根据二次根式的化简即可证明．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）证明：
【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．
15．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是___.
16．化简二次根式 的结果百度文库_____.
17．已知m=1+ ，n=1﹣ ，则代数式 的值________．
18．有一列数 ， ， ， ， ， ，则第 个数是_______．
19．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 ______.
20．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 ＝_____．
（3）证明这个猜想．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】
解：（1）由例子可得，
④为： = = ，⑤ = ，