4.3.2空间两点间的距离公式

2 2 1 2
P139.B3例4
C`
B` Q(0,1,z2)
O
P(x,y,z1)
C
(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -
A
x
B H(x,x,0)
y
| OA |=
| OB |=
x +y ,
y +z ,
2 2
2
2
z C
O
B
| OC |=
x +z .
2
2
y
x
A
思考3: 在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？ |PM|, |OM|的值分别是什么？
M(x,y,0)
| OM |=
z O x
x +y
P
2
2
|PM|=|z|
y M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z） 与坐标原点O的距离公式吗？
z
O P y
x
M
|PM|=|z|
| OM |=
2
x +y
2 2
2
2
| OP |=
x +y +z
• 思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 什么图形是什么？
z
P2(x2, y2)
y1
O
x1
P1(x1,y 1)
Q(x2,y1 ) x2
x
探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标 系中，坐标轴上的 点A（x，0，0）， B（0，y，0）， C（0，0，z），与 坐标原点O的距离分 别是什么？
z
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
作业:
P138练习：1，2，3，4. P139习题：A3.B1.
如图，在正方体ABCDA`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两 点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点 的位置. z
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O x P2
A
y
M
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式.
思考2:在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么？
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中,设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 射影分别为M、N.
思考1:点M、N之间的距离如何？
z O P1 N y
P2
| MN |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )
2
2
x
M
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
•
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面 ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AD，E是 侧棱AC的中点，F是对角线BD上的动点，试建立 适当的空间直角坐标系. • （Ⅰ）写出P,A,B,C,D,E的坐标； • （Ⅱ）求|EF|的最小值.
z
P1 O x P2
A
y
M
N
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O x P2
A
y
M
N
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式.
应用举例：
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)， B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.
4.3.2空间两点间的距离公式
学习目标：会简单应用空间两点间 的距离公式.
复习引入
1. 在平面直角坐标系中两点间的 距离公式是什么？
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2
2. 在空间直角坐标系中，若已知 两个点的坐标，则这两点之间的 y 距离是惟一确定的，我们希望有 一个求两点间距离的计算公式， y2 对此，我们从理论上进行探究.