4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【学习目标】1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．【学习重难点】重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 【预习指导】（1）一楼屋顶C ’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？（2）在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？（3）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？【合作探究】空间两点间的距离公式问题：在研究这一问题之前，我们先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=例1 课堂一开始提到的问题。
例2在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，H 为三角形ABC 的外心，求点P 与H 的距离？ 【巩固练习】 教材P138练习1、2、3、4题 【当堂检测】1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63【解析】设P(x ，y ，z)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.【答案】 A图4-3-32．如图4-3-3，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别在xOy 平面和z 轴上移动．若AB ＝2，则点C 到原点O 的最远距离为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．3【解析】 连结OA ，△AOB 为直角三角形(图略)，设D 为AB 的中点，当OD⊥AB 时，O 到AB 的距离最大为1，又C 到AB 的距离为3，所以C 到O 的最远距离为3＋1，故选C.【答案】 C3．(2014·景德镇高一期末)在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】 S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2， S △ABC ＝34×|AB|2＝34×8＝2 3.故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3图43 44．(2014·江苏苏州中学周练)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图434所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【拓展延伸】图4-3-1如图4-3-1，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ|的最小值．【解】 (1)当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q(0，a ，z)． 则|PQ|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a.即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为22a.(2)因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ⊥AB 时，|PQ|最短．连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为22a.【课堂小结】今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第3题【教学反思】。
4.3.2 空间两点间的距离公式3
2
2 2 2 (7 4) (1 3) (2 1) 14, =
M 2 M 3 = (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
2
M 3 M 1 = (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
所以 M2 M3 = M3 M1 ,
提示：在空间中，到定点 的距离等于定长的点的轨 迹是 以原点为球心，
z
P
O y
半径长为 r 的球面．
x
2.如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2 （x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？ 提示：如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2） 是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、 P2（x2，y2，z2） 在xOy平面上的射影分别为M,N, 那么M,N的坐标为M（x1，y1， 0）， N（x2，y2，0）.
2 2
即 (0 4)2 (0 1)2 ( z 7)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
14 解之得 z 9
14 (0, 0, ). 9
所以所求点的坐标是
【变式练习】 在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1， -3,1）的距离相等. 答案：(0, 0, 3)
x z
P2 P1
O
M1 N1 M M2
H N2 y N
2 2 MN = (x x ) +(y y ) . 在xOy平面上, 2 1 2 1
过点P1作P2N的垂线，垂足为H,
则 MP1 = z1 ,NP2 = z2 , 所以 HP2 = z2 - z1 .
在RtΔP1HP2中，
P1H = MN = (x2 - x1 ) +(y 2 - y 1 ) ,
高一数学必修二 4.3.2 空间两点间的距离公式
【做一做】 在空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)和点 B(2,-1,6)间
的距离是( )
A.2 43 B.2 21
C.9
D. 86
解析:|AB|= (-3-2)2 + (4 + 1)2 + (0-6)2 = 86.
答案:D
重难点突破
12
1.对空间两点间距离公式的两点说明 剖析:(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推 广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体 现了化空间为平面的转化思想. (2)若已知两点的坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点 间的距离求参数或点的坐标时,则应利用公式建立相应方程求解.
∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2).
由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
∴|DE|= (1-0)2 + (1-1)2 + (0-2)2 = 5,
|EF|= (0-1)2 + (1-0)2 + (2-0)2 = 6.
题型一 题型二
精选例题
反思空间两点间的距离公式是本小节的重点,也是将来在选修模块 中继续学习空间直角坐标系的基础.应用两点间的距离公式列出方 程,是求解此类问题的常用方法,体现了两点间距离公式的应用.
精选例题
题型一 题型二
变式训练2】 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC的 形状.
本节结束，谢谢观看！
解:由题意,得
|AB|= (4-1)2 + (2 + 2)2 + (3-11)2 = 89,
高中数学4.3.2 空间两点间的距离公式1
1. 在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
2. 在空间直角坐标系中，若已 知两个点的坐标，则这两点之间的 距离是惟一确定的，我们希望有一 个求两点间距离的计算公式，对此， 我们从理论上进行探究.
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标
轴上的点A（x，0，0），B（0，y，
思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示什么 图形是什么？
z
P
O y
x
知识探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中，设点P1（x1，y1，z1），
P2（x2，y2，z2）在xOy平面上的射影
分别为M、N.
P2
z
O P1 xM
y N
思考1:点M、N之间的距离如何？
在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？
A
D
在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，
我们从理论上进行探究.
P 思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？ Q 思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
0），C（0，0，z），与坐标原点O
的距离分别是什么？
z
|OA|=|x| |OB|=|y|
B
O
y
A
C
|OC|=|z|
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标
平面上的点A（x，y，0），B（0，y，
z），C（x，0，z），与坐标原点O
4.3.2 空间两点间的距离公式
1 (y 1) 2 .
由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2, 所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.
【延伸探究】 1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得 △ABP是以AB为底边的等腰三角形?
5 5
答案: (0,－ 24 ， 0)
5
【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置 ,则可直接设出该点坐标, 利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上 找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为 17，则P点的坐标为 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得, | PQ | 17， 即 .
2.空间两点间距离的求解 (1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.
【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明 (1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何 意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面 中处理. (2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、 线线垂直的相互转化.
【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三 角形,即|PA|=|PB|, 得
0－4
2
0－5 z－6
课件6：4.3.2 空间两点间的距离公式
课堂小结 空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式 的推广，常应用在四个方面：一是根据坐标求距离； 二是根据距离求点的坐标；三是利用边长判断三角 形的形状；四是求空间中点的轨迹方程．目的都是 考查空间中两点间距离公式，解答时可类比平面上 解决类似问题的方法．在求轨迹方程时，注意理解 方程表示的图形．
4．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O是坐标原 点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________． 解析：由题意P(0,0,1)或P(0,0，－1), 所以|PA|＝ 2 或 6 . 答案： 2 或 6
题型一 求空间两点间的距离
例1 如图所示，在长方体OABCO1–A1B1C1中，|OA|＝2， |AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC中点，作OD⊥AC于D，求点O1 到点D的距离．
A. 13
B．2 5
C．5 D. 29
解析：点 P 在 y 轴的射影 P′为(0,3,0)， ∴|PP′|＝ 22＋42＝ 20＝2 5. 答案：B
3．已知点A(－3,1,4)关于原点的对称点为B，则线 段|AB|的长为________．
解析：|AB|＝2|OA|＝2 －32＋12＋42＝2 26. 答案：2 26
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
自测自评
1．坐标原点到下列各点的距离最小的是( A )
A．(1,1,1)
B．(1,2,2)
C．(2，－3,5)
D．(3,0,4)
2．点P(2,3,4)到y轴的距离是( )
练习1.点M(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距为： ___x_2_＋_y_2_＋__z_2 _. 练习2.如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表 示什么图形？_表__示__球__心__为__O_，__球__半若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x， y，z满足什么关系式？你能想象点P的集合是 什么吗？
4.3.2空间中两点间的距离公式
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
讲授新课
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴 于点P、Q和R．
点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴 z
上的坐标x，y和z，那么点M的空
间坐标为（x，y，z）．
P
R M
O
M’
Q
y
x
讲授新课
2 2
2
公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根
讲授新课
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５ ） Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ 分析：利用两点间距离公式可得
课堂练习
①在空间中，已知点A(1,0,-1)，
3 2 B (4,3,-1)，求A，B的距离_______.
②在空间中， P(1,2,-2)和Q(-1,0,-1)的 距离是________ 3
z
P A C o
B
y
2
AP AC CB BP
2
2
2
2
2
x
2
AP ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
讲授新课
总结:在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）的距离公式：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
z
D`
A` B`
C`
Q
O C B y
A x
课堂练习
3.在空间直角坐标下， 如何找到给定坐标 z D（1，3，4）的空 间位置
D
4
O D` 3 y
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作业:
P138练习：1，2，3，4. P139习题：A3.B1.
如图，在正方体ABCDA`B`C`D`中，点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动，求P、Q两 点间的距离的最小值，并指出此时P、Q两点 的位置. z
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O x P2
A
y
M
N
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式.
思考2:在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z），C（x，0，z）， 与坐标原点O的距离分别是什么？
2
|PM|=|z|
y M
思考4:基于上述分析，你能得到点 P（x，y，z） 与坐标原点O的距离公式吗？
z
O P y
x
M
|PM|=|z|| OM来自|=2x +y
2 2
2
2
| OP |=
x +y +z
• 思考5:在空间直角坐标系中，方程 x2+y2+z2=r2（r>0为常数）表示 什么图形是什么？
z
P
O y
x
探究（二）:空间两点间的距离公式
在空间中,设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)在xOy平面上的 射影分别为M、N.
思考1:点M、N之间的距离如何？
z O P1 N y
P2
| MN |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 )
2
2
x
M
思考2:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
4.3.2空间两点间的距离公式
学习目标：会简单应用空间两点间 的距离公式.
复习引入
1. 在平面直角坐标系中两点间的 距离公式是什么？
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2
2. 在空间直角坐标系中，若已知 两个点的坐标，则这两点之间的 y 距离是惟一确定的，我们希望有 一个求两点间距离的计算公式， y2 对此，我们从理论上进行探究.
例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
•
例3. 在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面 ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AD，E是 侧棱AC的中点，F是对角线BD上的动点，试建立 适当的空间直角坐标系. • （Ⅰ）写出P,A,B,C,D,E的坐标； • （Ⅱ）求|EF|的最小值.
2 2 1 2
P139.B3例4
C`
B` Q(0,1,z2)
O
P(x,y,z1)
C
(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -
A
x
B H(x,x,0)
y
P2(x2, y2)
y1
O
x1
P1(x1,y 1)
Q(x2,y1 ) x2
x
探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标 系中，坐标轴上的 点A（x，0，0）， B（0，y，0）， C（0，0，z），与 坐标原点O的距离分 别是什么？
z
B O A C
y
x
|OA|=|x|； |OB|=|y|； |OC|=|z|.
z
P1 O x P2
A
y
M
N
思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线， 则点P1、P2的距离如何计算？
z
P1 O x P2
A
y
M
N
| P1P2 |=
(x 1 - x 2 ) + (y1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )
2
2
2
这就是空间两点间的距离公式.
应用举例：
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)， B (4, 3, -1)，求A、B两点之间的距离.
| OA |=
| OB |=
x +y ,
y +z ,
2 2
2
2
z C
O
B
| OC |=
x +z .
2
2
y
x
A
思考3: 在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？ |PM|, |OM|的值分别是什么？
M(x,y,0)
| OM |=
z O x
x +y
P
2