近世代数课件(全)--2-4 循环群
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m m 1 Z,m 1 1 1 1 ，
m m 1 m m m ( 1) ( 1) ( 1) （ 1 ） （1 ） 1 ，
0 1
0
Z (1)
2012-9-19
例2
n次单位根乘群 U n （n > 1） 取 U n ，但
2 n
1 ，则
{ , , , 1} U n
U n ( )
例3 是 n 阶循环群（n >1） 模 n 的剩余类加群
Z n ([1])
是n阶循环群.
2012-9-19
二、构造 定理1 循环群 G a ，则 1. G是无限阶循环群 a
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
2012-9-19
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
H {e } ，取H的最小正幂 a k ，若 a m H ，则设 m kq r ，
0 r k ，于是 r m kq m k q a a a (a ) H
，故
r 0 ，a
k
m
(a )
k
q
，因此
2012-9-19
H (a ) .
定理4 循环群
a
近世代数
第二章 群论
§4 循环群
2012-9-19
循环群是已经研究清楚的群之一，就是 说，这种群的元素表达方式和运算规则，以 及在同构意义下这种群的数量和它们子群的 状况等，都完全研究清楚了.
2012-9-19
一、存在性
定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元. 例1 整数加群Z是无限阶循环群
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
k
（2） : a
k
[k ]
2012-9-19
四、子群 定理3 循环群的子群是循环群.
证： G ( a ) ，H G ，若 H { e } ( e ) ，若
G { , a
2
பைடு நூலகம்
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
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m m 1 m m m ( 1) ( 1) ( 1) （ 1 ） （1 ） 1 ，
0 1
0
Z (1)
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例2
n次单位根乘群 U n （n > 1） 取 U n ，但
2 n
1 ，则
{ , , , 1} U n
U n ( )
例3 是 n 阶循环群（n >1） 模 n 的剩余类加群
Z n ([1])
是n阶循环群.
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二、构造 定理1 循环群 G a ，则 1. G是无限阶循环群 a
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
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定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
H {e } ，取H的最小正幂 a k ，若 a m H ，则设 m kq r ，
0 r k ，于是 r m kq m k q a a a (a ) H
，故
r 0 ，a
k
m
(a )
k
q
，因此
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H (a ) .
定理4 循环群
a
近世代数
第二章 群论
§4 循环群
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循环群是已经研究清楚的群之一，就是 说，这种群的元素表达方式和运算规则，以 及在同构意义下这种群的数量和它们子群的 状况等，都完全研究清楚了.
2012-9-19
一、存在性
定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元. 例1 整数加群Z是无限阶循环群
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
k
（2） : a
k
[k ]
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四、子群 定理3 循环群的子群是循环群.
证： G ( a ) ，H G ，若 H { e } ( e ) ，若
G { , a
2
பைடு நூலகம்
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
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